苏教版数学六年级下册四 比例 教案

《图形的放大与缩小比例的意义与性质》

两个内容分别属于两个知识领域，前者是图形与几何的内容，后者是数与代数的内容。在一个单元里同时教学两个领域的知识，这样的教材很少遇到。本单元把图形的放大与缩小、比例的意义与性质结合起来教学，是因为这两个内容能够互相利用、互相支持。图形放大或缩小的过程中，大小变了，但形状与结构都保持不变，比例能够准确地揭示图形放大或缩小的本质特征，帮助学生建立图形放大与缩小的正确概念。比例是表示两个比相等的式子，这个相当抽象的数学概念和图形的放大或缩小联系起来，就有了具体的含义，图形的放大、缩小有助于学生形成比例的概念。全单元编排七道例题，具体安排如下：例1、例2 图形放大与缩小的含义 在方格纸上把图形放大或缩小。例3 比例的意义。例4 比例的性质。例5 解比例。例6、例7 比例尺的意义 比例尺的实际应用。【来源：21cnj*y.co*m】
本单元的教学重点是：初步理解图形的放大和缩小；理解并掌握比例的意义和基本性质，会解比例；理解比例尺的含义，能应用比例尺解决一些简单的实际问题。教学的难点是：在方格纸上按指定的比讲简单的图形放大或缩小，应用比例尺解决相关的实际问题。
【知识与能力目标】
使学生在现实的情景中初步理解图形的放大和缩小，能在方格纸上将简单的图形放大或缩小。
联系图形的放大和缩小理解比例的意义，认识并掌握组成比例的条件，并能正确判断两个比或对应的数量关系能否组成比例。
使学生认识比例的项和内项、外项；理解并掌握比例的基本性质，能应用比例的基本性质解比例。
理解比例尺的意义，知道比例尺的不同表达形式，会求平面图的比例尺、能看懂线段比例尺表示的意义，能把线段比例尺和数值比例尺互相转化，能应用比例尺解决一些实际问题。
【过程与方法目标】
使学生在观察、比较、思考和交流等活动中，初步体会图形的相似，了解图形变化的过程，培养观察、比较、推理等思维能力，进一步发展空间观念。
使学生在数学学习的过程中，了解比例例两个比的相等关系，感受简单的演绎推理过程，培养学生比较，抽象和概括已经判断推理等思维能力。
使学生经历比例基本性质的探索和发现过程，积累数学活动的经验，体验数形结合和归纳的推理，培养学生比较，抽象和概括已经判断推理等思维能力。
使学生在观察、比较、思考和交流等活动中，进一步增强应用意识，积累数学学习经验，提高分析和解决问题的能力。
使学生在观察、比较、思考和交流等活动中，能说明比例尺表示的实际意义，进一步培养分析、抽象、概括的能力和发现问题，分析问题、解决问题的能力。
6、使学生在应用比例尺的过程中，能说明解决问题的思考过程，进一步丰富解决问题的策略，发展分析、推理的能力，增强用数和图形描述现实问题的意识和能力。
【情感态度价值观目标】
1、使学生在参与数学活动的过程中，进一步体会数学在日常生活和生产中的广泛应用，感受数学知识和方法的学习价值；获得一些学习成功的体验，激发对数学学习的兴趣，增强学好数学的信心。

【教学重点】
认识图形的放大和缩小。
理解比例的意义。
认识比例的基本性质。
应用比例的基本性质解比例。
认识比例尺和求比例尺。
能按比例尺求相应的图上距离或实际距离。
【教学难点】
1、利用方格纸按一定的比例将简单图形放大或缩小。
2、应用比例的基本性质判断两个比能否组成比例。
3、解比例方法的灵活应用。
4、两种比例尺的转换。

课件
图形的放大与缩小
【情境引入】
比较下图中每组两幅图，有什么相同的和不同点？课件出示图例。
学生观察后总结：形状相同，大小不同。
3、呈现例1图片的情境图。
4、仔细观察放大前后的两张照片，你能发现什么？
5、指名学生口答，引导学生发现长和宽的变化特点。
6、引入：像刚才这样吧一张长方形照片放大后，长方形的长和宽与原来的长方形相比，变化有没有规律呢？今天这节课我们就一起探究其中的奥秘，学习图形的放大和缩小。（板书课题）
【教学例1】
第一层次：认识图形的放大
出示两张照片的长和宽的数据：放大前长方形照片的长是8厘米，宽是5厘米；放大后长方形照片的长是16厘米，宽是10厘米。
放大前后两张照片的长有什么关系？宽呢？
学生交流用不同的方式说明放大前后照片的长与宽的关系：放大后照片的长是放大前的2倍，宽也是放大前的2倍；放大前照片的长是放大后的二分之一，宽也是放大后的二分之一。
明确：放大后照片的长是放大前的2倍，宽也是放大前的2倍，那么放大后的长方形与原来的长方形对应的边长的比是2:1，就是把原来的长方形按2:1的比放大。（板书放大）
追问：什么叫把原来的长方形按2:1的比放大？
第二层次：认识图形的缩小。?
1、我们可以把一个图形按一定的比放大，也可以把一个图形按一定的比缩小。
2、如果要把第一幅图按1：2的比缩小，缩小后的长与宽各应是原来的几分之几？
3、你是怎样理解按1:2的比缩小的呢？
4、强调：把图形按1:2的比缩小，是指缩小后的图形边长与缩小前对应的长的比是1:2.
第三层次：放大、缩小的比较。
我们认识放大和缩小，大家比较一下，这里的放大和缩小的比各是几比几？（板书：放大---2:1 缩小----1:2）
你认为怎样根据比知道图形是放大还是缩小？
指出放大和缩小的比都是变化后图形与原来对应边长的比，前项表示放大或缩小后的图形的边长，后项表示原来图形的边长，如果前项大于后项，表示图形放大，如果前项小于后项说明图形缩小。
【教学例2】
1、出示例2，让学生读题
（1）按3：1放大是什么意思？放大后的长、宽各是原来的几倍？各应画几格？
（2）学生自己在方格图上试着画一画。
（3）展示交流说说放大后长方形的长和宽各是几格，各是怎样计算的。
（4）你能按1:2的比画出长方形缩小后的图形吗？自己独立完成。
（5）让学生尝试在方格纸上画出缩小后的长方形，再展示各自画的图形，并交流思
考的方法。重点指导学生说说缩小后的长方形的长和宽应是原来的几分之几，各应画多少格。
图形按一定的比放大是怎样画的，按一定的比缩小呢？
说明：按一定的比把一个图形放大或缩小，先要根据已知的比确定放大或缩小后的对应的边长各是多少，再根据确定的长度画出图形。
4、讨论：把放大和缩小后的图形与原来的图形相比，你有什么发现？
5、明确：放大和缩小后的图形与原来的图形相比，大小变了，但形状没变。（放
大和缩小后的图形长与宽的比与原来图形的长和宽的比是完全一样的。）
教学“试一试”，了解画图要求。
让学生独立画出放大后的三角形再说一说自己是怎样画的？
8、量一量，斜边的长也是原来的2倍吗？你发现什么？
9、小结：把三角形按2：1的比放大后，各条边的长都是原来的2倍。
【巩固练习】
1、做“练一练”
让学生按要求在方格纸上画出缩小后的图形，再让学生说一说是怎样画的，缩小后有
关边的长度是原来的几分之几，各应画几格？
2、做练习六第1、2题。
第1题要引导学生具体分析相关图形边的长度，并完成填空，再组织交流。
第2题先让学生独立完成，然后组织交流。
【全课小结】
什么是图形的放大和缩小。要遵循什么原则？放大和缩小后的图形与原来的图形有什么关系？

略。
比例的意义
【复习导入】
我们学习数学知识的时候常常发现旧知识是新知识的基础，根据旧知识可以学习和认识新知识。现在我们就来回顾一下和放大、缩小相关的比的知识。21·世纪*教育网
出示：
（1）化简下面的比。
36:8 3.2:1.2 ：
求下面比的比值。
9:3 3.6:9 ：
让学生完成后交流，结合说说化简比和求比值的方法。
图形的放大和缩小后与原来图形的比，为什么形状不会发生变化？
今天这节课，我们就联系比和图形的放大、缩小，学习与比有关的新内容。
【认识新知】
出示例3的意义，同学们，老师拍了一张风景照，现在我把这张照片放大，这是前后的两张照。
从两张照片里知道了什么？
请你写出每张照片的长和宽的比，再比较这两个比，看看能不能发现有什么关系。
你写出的是怎样的比？（板书两个比）这两个比有什么关系？怎样知道这两个比是相等的？
放大前长和宽的比是6.4:4，放大后长和宽的比是9.6:6，两个比化简后都是8:5，它们的比值都是1.6，说明这两个比相等，可以写成等式6.4:4=9.6:6。【版权所有：21教育】
上面的等式里的两个比还可以写成什么形式？=能说说是表示什么相等的式子吗？
像黑板上这样，表示两个比相等的式子叫做比例。这就是我们学习比例的意义。（板书课题）
请大家分别写出放大后与放大前长的比和宽的比，看看这两个能不能组成比例，如果能就写出比例。
学生交流自己写的比和组成的比例，并说明理由。6.4:4=9.6:6 =
想一想，刚才我们是怎样判断两个比是否能组成比例的？
小结：比例是表示两个比相等的式子，如果两个比化简后相同或比值相等，那么这两个比就能组成比例。
学生读一读，明确：有两个比，且比值相等，就能组成比例；反之，如果是比例，就一定有两个比，且比值相等。
你能自己写出一个比例吗？请您写一个。
你写出的什么比例，你是怎样写的并介绍方法。
同学们回忆一下，什么是比，想一想，比例与比有什么关系，又有什么不同？
小结：比表示两个数相除，比例是表示两个比相等是式子，是由两个比组成的。
【巩固提高】
做练一练第一题，学生独立完成，再逐题说说判断的思考过程。
2、做练一练第二题，学生根据题意独立写出比例，在集体交流，板书比例。
3、做练习六第3题。先写出符合要求的比，再说清楚相应的两个比是否能够组成比例的理由。
明确：求出两个比的比值，就能知道两个比能不能组成比例；只要比值相等，两个比就能组成比例。
做练习六第4题独立审题，说说解题步骤，在独立完成。同时找两个同学板演。
依次完成其他练习。
【全课总结】
通过本课的学习，你有哪些收获？
略
比例的基本性质
略。
【设疑引入】
我们已经认识了比例，谁能说一下什么叫比例？如何判断两个比是否可以组成比例？
说明;表示两个比相等的式子叫做比例；判断两个比是否组成比例，可以看两个比的比值是否相等。
判断两个比能否组成比例，除了看两个比的比值是否相等以外，还有没有更简捷的方法呢？这就是我们今天要研究的内容。
【探究新知】
教学例4，出示例题。
你能根据图中的数据写出不同的比例吗？试一试，能写几个就写几个。
学生独立完成。
集体交流，引导学生说出图中对应线段长度的数据所写的比例，教师板书不同的比例。
说明：按比例缩小得到的图形，对应线段长度的比相等，所以对应线段长度的比能组成比例。
每个比例中都有4个数，你想知道它们各自的名称吗？请同学们自学教材38页中间的内容。
学生自学后介绍各部分名称。
说明：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
你知道其余几个比例的内项和外项各是多少吗？同桌互相说一说。
仔细观察，比较上面的几个比例，看看内项和外项各是哪两个数，你有什么发现？在小组内交流。
结合学生交流，6和2可以同时是比例内项，也可以同时是比例的外项。3和4可以同时是比例的内项，也可以同时是比例的外项。比例的两个外项的积与两个内项的积相等。
说明：在这些比例里，把两个内项的和两个外项同时交换，还能组成比例。同时我们发现一个规律，两个外项的积等于两个内项的积。21教育网
其他比例也有两个外项的积等于两个内项积这样的规律吗，请大家写出一些比例看看。
学生举例，教师板书。
如果用字母表示比例的四个项那么这个规律可以表示为a:b=c:d ad=bc
反过来看，如果两个数的积等于另外两个数的积，相乘的两个数分别在比例的哪个位置？
通过刚才的举例验证，发现在比例中存在这样的规律，两个内项的积等于两个外项的积。这叫做比例的基本性质。反过来，如果两个数的积等于另外两个数的积，那么相乘的两个数可以同时做比例的外项或内项，组成比例。www-2-1-cnjy-com
如果把3:6=2:4这个比例写出分数的形式，改怎样写？=
在分数形式的比例里，把等号两端的分子，分母交叉相乘，其实就是把两个内项和两个外项相乘，所以它们的积是相等的。
教学“试一试”我们已经发现比例的基本性质，现在用它来解决新的问题。
学生在括号里填一填，交流你是怎样想的？为什么第二组比不能组成比例。
通过今天的学习我们还能用什么方法判断两个比能否组成比例。
运用比例的基本性质，可以判断两个比能否组成比例。
【巩固练习】
做“练一练”第一题，学生按要求写出乘法等式，再改写比例。
说明：这里路程是一定的，每组对应的速度和时间的乘积是相等的，所以能写出比例。写比例时每组相乘的两个数要同时做比例的外项或内项。21·cn·jy·com
做“练一练”第2题。学生独立完成，教师板书不同的比例。
做练习七的第2题。学生独立完成，指出看4个数能不能组成比例，主要看是否存在两两相乘的积相等。
做练习七的第3题。学生独立完成，指名板演。?
略。
解比例
【引入新课】
【引入新课】
关于比例，你已经知道了哪些知识？什么是比例的基本性质？
你能说一个具体的比例，并根据基本性质写成乘法算式相等的式子吗？（根据举例板书一两个）。
我们已经认识比例和它的基本性质，这节课就应用这些知识，继续学习有关比例的知识。
【探索新知】
出示例5：指名读题，说一说题中的条件和要求的问题。
你是怎样理解“按比例放大”的？
引导学生理解：把照片“按比例放大”，就是把图形的对应边长都按相同的比放大。
放大前后，两张照片的长与宽的比能组成比例吗？为什么？
明确:把照片按比例放大，放大前后对应的边长的比是相等的，两张照片的长与宽的比一定能够组成比例。
尝试解答。
根据放大前后两张照片的长和宽的条件，要求的问题，联系图形的放大的知识和过去解决问题的经验，你准备怎样写出比例，写出怎样的比例？同桌先互相说一说。
集体交流，教师相应板书：6:4=13.5：x或者13.5：x=6:4
说明：大家根据题意可以写出长与宽的比相等的比例，因为放大后照片的宽是未知的，所以用x表示，我们设未知量的宽是x厘米，然后按长与宽的比写出比例，这样含有未知项的比例实际上也是一个方程。
你有办法求出这个比例x的比值吗？请你试着求出来。
学生尝试解答，指名板演。
提问解方程的第一步的依据是什么，接着怎样求出结果的？
我们利用比例的基本性质，可以写出外项的积等于内项的积，这样就能求出未知数x的值。也就是放大后照片的宽。
我们是怎样解决这个问题的？
解决这个问题，我们设未知数x后，根据长和宽的比相等，列出含有未知数x的比例，已知比例中三项，利用比例的基本性质可以求出未知数。象这样求比例中的未知项，叫做解比例。这就是今天学习的内容。
这个结果是否正确，可以怎样检验。引导学生把结果带人比例检验，确认结果。
什么是解比例，解比例要怎样做？
解比例要先根据比例的基本性质，写出内项的积等于外项的积的等式，再用以前的解方程的方法求出未知数。
【巩固练习】
完成“试一试”学生读一读比例，然后独立解答，提醒学生主动检验。集体交流让学生说说解比例的依据和思路。明确解分数形式表示的比例，可以利用比例的基本性质交叉相乘后求出未知数。
完成练习七的第5题，学生填空后再集体评讲。
做“练一练”学生独立完成，指名三人板演。
做练习七的第8题，学生独立完成后说明：按蜂蜜与水的体积的比相等，可以列出含有未知数的比例，再解比例求出结果。
做练习七的第9题，让学生说出条件和所求问题。用不同的方法解答有困难的同桌互相讨论。
完成思考题。
【总结回顾】
通过这节课的学习，你有什么收获，还有什么体会？
略。
比例尺
【认识比例尺】
观察平面图，出示地图。
这是一幅地图，是把实际形状缩小了，你能说说为什么这幅平面图和实际平面图比，形状没有变化吗？
把实际形状按比例缩小，形状就不会变化。在现实生活中，有时会根据需要把实际物体的面按比例缩小或者扩大若干倍以后画到图纸上。你还能举出生活中的这样的例子吗？
出示例6，学生自由读题。
你能说说题里的条件和要解决的问题吗？
板书：实际 长 50米 宽30米
图上 长5厘米 宽3厘米
草坪上的图上距离和实际距离的比，是哪两个数据的比？宽的图上距离和实际距离的比呢？
想一想：怎样写出5厘米和50米，3厘米和30米的比？
说明：图上距离和实际距离的单位不同，先要统一成相同的单位，根据要求写出比之后再化简。
让学生写出相应的比，把写出的比化简。
交流：你写出的两个比是怎样的？（板书学生交流的比并化简）
这里的1:1000表示的是哪两个数量的比？（板书：图上距离：实际距离）
指出：这个问题是把长方形草坪按比例缩小画出它的平面图，我们算出了它的图上距离和实际距离的比是1:1000.像这样的一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。2·1·c·n·j·y
例6里画出的平面图的比例尺是多少？能说说这个比例尺1:1000表示的是什么意思吗？
说明：比例尺1:1000是图上距离和实际距离的比，前项表示图上距离，后项表示实际距离，所以比例尺1:1000表示图上距离是实际距离的，反过来实际距离是图上距离的1000倍。【来源：21·世纪·教育·网】
回顾一下，比例尺是怎样得出的？前项和后项各表示什么意思？
指出：比例尺是用图上距离和实际距离的比得到的，它的前项表示图上距离，后项表示实际距离，把图形缩小时，通常比例尺的前项写成是1的比。21*cnjy*com
比例尺1:1000表示图上1厘米相当于实际距离的多少米？你是怎样想的？
说明：比例尺1:1000表示实际距离是图上距离的1000倍，也就是图上1厘米表示实际距离的1000厘米，是10米。所以比例尺1:1000还可以用线段这样表示(画出线段比例尺），这里的一格表示1厘米，表示的实际距离的单位要写在线段上的数据的最后，这样就能知道图上1厘米的长度表示实际距离是多少，这是比例尺的另一种表现形式。
你能说说这里线段表示的比例尺的意思？
说明：从这个线段表示的比例尺上看，可以知道这里的图上1厘米表示实际距离的10米。像1:1000这样的比例尺，我们称为数值比例尺，用线段形式表示的比例尺我们称为线段比例尺，数值比例尺和线段比例尺都是比例尺的表现形式，都反映了图上距离和实际距离的关系。【出处：21教育名师】
通过比例尺的学习，你能说说你对比例尺的理解吗？
学生发言后小结：比例尺实际上是一个比，表示的是平面图的图上距离和实际距离的比，反映图上距离和实际距离的关系，比例尺还可以写出线段比例尺和数值比例尺。
【巩固应用】
做练一练的第1题，先互相说说比例尺表示的实际含义，独立完成后引导学生推算确认两个比例尺表示的意义相同。www.21-cn-jy.com
做练一练第2题，学生先量一量，再计算比例尺。交流：你求出的这幅地图的比例尺是多少？怎样求一幅地图的比例尺？21教育名师原创作品
做练习八的第2题，学生读题并理解题意。学生自己量一量，求出比例尺再完成书上的填空。
依次完成其他练习。
【总结交流】
这节课我们一起学习比例尺，你对比例尺是怎样理解的？你还有哪些收获和体会？

略
比例尺的应用

【旧知铺垫】
出示例7的平面图，上节课我们一起学习了比例尺，你知道这幅平面图的比例尺是多少吗？你能说说这个比例尺的实际意义吗？21世纪教育网版权所有
引导指出：比例尺1:8000表示图上距离是实际距离的，实际距离 是图上距离的8000倍，根据比例尺1:8000还可以知道图上距离1厘米表示实际距离8000厘米，也就是80米。2-1-c-n-j-y
我们已经认识了比例尺，理解比例尺的实际意义，这节课我们就应用比例尺解决相关的实际问题。
【探究新知】
第一层次：根据比例尺求实际距离
呈现例7的信息，明华小学到少年宫的图上距离5厘米，实际距离是多少米？
你打算怎样求明华小学到少年宫的实际距离？先独立解答，再在小组里交流你的计算方法。
学生各自解答，再小组交流。
集体反馈，引导学生理解不同方法：
根据比例尺，知道实际距离是图上距离的8000倍，算式是：5×8000=40000（厘米），40000厘米=400米。21cnjy.com
根据比例尺，知道图上距离1厘米表示实际距离80米，图上距离是5厘米，算式为：5×80=400（米）。21*cnjy*com
想一想，图上的比例尺表示是哪两个数量的比？
引导：根据比例尺的这个关系式，其中哪些数量是已知的，要求的是什么数量？除了大家已经运用的方法解题外，你还能想到怎样解答？
用方程或者解比例的方法怎样设未知数？怎样解比例？
学生用解比例的方法
小结列比例求实际距离的方法：已知比例尺的实际距离，可以设未知量x，列出比例，用解比例的方法求出结果。列比例解的关键是根据：=比例尺先列出比例，再解比例求未知数。
明华小学到体育馆的实际距离是多少？
怎样才能算出明华小学到体育馆的实际距离？
学生量一量，再算一算。重点交流列比例的方法，明确可以根据比例尺列比例，这样的思考过程比较方便，解比例可以求出结果。
第二层次：求图上距离。
出示“试一试”学生读题，理解题意，明确要先求图上距离。
学生独立解答，学生巡视，指名列比例解答的学生板演。
黑板上的解答是怎样想，列比例的依据是什么？
指出：和求实际距离一样，已知实际距离和比例尺，也可以设未知数根据比例尺列比例解答。
还有不同的解答方法吗？
根据学生交流板书算式，引导理解不同的方法：
（1）240米=24000厘米，24000÷8000=3（厘米）。
图上距离1厘米表示实际距离的80米，240÷80=3（厘米）。
学生画一画，并说一说画法：先找到正北方，再从明华小学这点出发正北方向量出3厘米，标出医院的位置。
这节课我们解决了关于比例尺的什么问题？解决这类实际问题，你有什么经验可以和大家交流？
小结：应用比例尺的意义，我们既可以计算实际距离，也可以计算图上距离。计算时要根据比例尺表示的数量关系思考，比较方便的方法是设未知数，根据比例尺列出比例，解比例求出结果。
【巩固内化】
做练一练学生看图读题，这幅图的比例尺是多少？你是怎么理解的？明确：要在图上确定幼儿园的位置，必须求出汽车站到幼儿园的图上距离。
做练习八的第6题，学生了解题意，独立计算，填写表格。集体交流，让学生说说你是怎样计算的？
做练习八的第7题，学生读题，理解题意，在小组里讨论解决问题的方法。独立解答，指名板演。
做练习八的第8题。学生按活动要求完成。
阅读“你知道吗”。你知道了什么，你能选其中的两个比例尺说说它们的实际意义？
【全课总结】
这节课我们学习了什么内容？你有哪些收获和体会？
略。