备考2018中考数学高频考点剖析
专题三十一 动态几何之线动问题
考点扫描☆聚焦中考
动态几何中线动问题，是每年中考的压轴问 ( http: / / www.21cnjy.com )题之一，考查的知识点包括线动在函数问题中的考查和线动在几何图形的考查两方面，总体来看，难度系数偏高，以选择为主。也有少量的解析题。解析题主要以综合性问题考查为主。结合2017年全国各地中考的实例，我们从两个方面进行动态几何中线动问题的探讨：21教育网
（1）线动问题在函数中的综合应用；
（2）线动在几何图形中的综合应用；
考点剖析☆典型例题
例1（2017 营口）如图，直线l的解析 ( http: / / www.21cnjy.com )式为y=﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com )B． ( http: / / www.21cnjy.com )C． ( http: / / www.21cnjy.com )D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】E7：动点问题的函数图象．
【分析】分别求出0＜t≤2和2＜t≤4时，S与t的函数关系式即可爬判断．
【解答】解：当0＜t≤2时，S= QUOTE http://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com ) t2，
当2＜t≤4时，S=t2﹣ QUOTE http://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com ) （2t﹣4）2=﹣t2+8t﹣8，
观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C．
故答案为C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
例2（2017湖南株洲）
如图示直线y= ( http: / / www.21cnjy.com )x+ ( http: / / www.21cnjy.com )与x轴、y轴分别交于点A、B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度为 ( http: / / www.21cnjy.com )π ．【来源：21cnj*y.co*m】
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【考点】F9：一次函数图象与几何变换；O4：轨迹．
【分析】先利用一次函数的解析式可确定A（﹣1，0），B（0， ( http: / / www.21cnjy.com )），再利用正切的定义求出∠BAO=60°，利用勾股定理计算出AB=2，然后根据弧长公式计算．
【解答】解：当y=0时， ( http: / / www.21cnjy.com ) x+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，解得x=﹣1，则A（﹣1，0），
当x=0时，y= ( http: / / www.21cnjy.com )x+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，则B（0， ( http: / / www.21cnjy.com )），
在Rt△OAB中，∵tan∠BAO= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠BAO=60°，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com )=2，
∴当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )π．
故答案为 ( http: / / www.21cnjy.com )π．
例3（2017湖北江汉）如图，在平面直角坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )系中，四边形ABCD的边AD在x轴上，点C在y轴的负半轴上，直线BC∥AD，且BC=3，OD=2，将经过A、B两点的直线l：y=﹣2x﹣10向右平移，平移后的直线与x轴交于点E，与直线BC交于点F，设AE的长为t（t≥0）．
（1）四边形ABCD的面积为 20 ；
（2）设四边形ABCD被直线l扫过的面积（阴影部分）为S，请直接写出S关于t的函数解析式；
（3）当t=2时，直线EF上有一动点 ( http: / / www.21cnjy.com )，作PM⊥直线BC于点M，交x轴于点N，将△PMF沿直线EF折叠得到△PTF，探究：是否存在点P，使点T恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21教育名师原创作品
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【考点】FI：一次函数综合题．
【分析】（1）根据函数解析式得到OA=5，求得AC=7，得到OC=4，于是得到结论；
（2）①当0≤t≤3时，根据已知条件得到四边形ABFE是平行四边形，于是得到S=AE OC=4t；②当3≤t＜7时，如图1，求得直线CD的解析式为：y=2x﹣4，直线E′F′的解析式为：y=﹣2x+2t﹣10，解方程组得到G（ ( http: / / www.21cnjy.com )，t﹣7），于是得到S=S四边形ABCD﹣S△DE′G=20﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×（7﹣t）×（7﹣t）=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )t2+7t﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，③当t≥7时，S=S四边形ABCD=20，
（3）当t=2时，点E，F的坐标分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )（﹣3，0），（﹣1，﹣4），此时直线EF的解析式为：y=﹣2x﹣6，设动点P的直线为（m，﹣2m﹣6），求得PM=|（﹣2m﹣6）﹣（﹣4）|=2|m+1|，PN=（﹣2m﹣6|=2（m+3|，FM=|m﹣（﹣1）|=|m+1，①假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在x轴上，如图2，连接PT，FT，②假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在y轴上，如图3，连接PT，FT，根据全等三角形的判定性质和相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：（1）在y=﹣2x﹣10中，当y=0时，x=﹣5，
∴A（﹣5，0），
∴OA=5，
∴AC=7，
把x=﹣3代入y=﹣2x﹣10得，y=﹣4
∴OC=4，
∴四边形ABCD的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )（3+7）×4=20；
故答案为：20；
（2）①当0≤t≤3时，∵BC∥AD，AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴S=AE OC=4t；
②当3≤t＜7时，如图1，∵C（0，﹣4），D（2，0），
∴直线CD的解析式为：y=2x﹣4，
∵E′F′∥AB，BF′∥AE′
∴BF′=AE=t，
∴F′（t﹣3，﹣4），
直线E′F′的解析式为：y=﹣2x+2t﹣10，
解 ( http: / / www.21cnjy.com )得， ( http: / / www.21cnjy.com )
∴G（ ( http: / / www.21cnjy.com )，t﹣7），
∴S=S四边形ABCD﹣S△DE′G=20﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×（7﹣t）×（7﹣t）=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )t2+7t﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
③当t≥7时，S=S四边形ABCD=20，
综上所述：S关于t的函数解析式为：S= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）当t=2时，点E，F的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣4），
此时直线EF的解析式为：y=﹣2x﹣6，
设动点P的直线为（m，﹣2m﹣6），
∵PM⊥直线BC于M，交x轴于n，
∴M（m，﹣4），N（m，0），
∴PM=|（﹣2m﹣6）﹣（﹣4）|=2|m+1|，PN=（﹣2m﹣6|=2（m+3|，FM=|m﹣（﹣1）|=|m+1，
①假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在x轴上，
如图2，连接PT，FT，则△PFM≌△PFT，
∴PT=PM=2|m+1|，FT=FM=|m+1|，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=2，
作FK⊥x轴于K，则KF=4，
由△TKF∽△PNT得， ( http: / / www.21cnjy.com ) =2，
∴NT=2KF=8，
∵PN2+NT2=PT2，
∴4（m+3）2+82=4（m+1）2，
解得：m=﹣6，∴﹣2m﹣6=﹣6，
此时，P（﹣6，6）；
②假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在y轴上，
如图3，连接PT，FT，则△PFM≌△PFT，
∴PT=PM=2|m+1|，FT=FM=|m+1|，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=2，
作PH⊥y轴于H，则PH=|m|，
由△TFC∽△PTH得， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴HT=2CF=2，
∵HT2+PH2=PT2，
即22+m2=4（m+1）2，
解得：m=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，m=0（不合题意，舍去），
∴m=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )时，﹣2m﹣6=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴P（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )），
综上所述：直线EF上存在点P（﹣6，6）或P（﹣，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）使点T恰好落在y轴上．
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考点过关☆专项突破
类型一 线动在函数关系中的综合应用
1. （2017江苏盐城）如图，曲线l是由函数y= ( http: / / www.21cnjy.com )在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )，4 ( http: / / www.21cnjy.com )），B（2 ( http: / / www.21cnjy.com )，2 ( http: / / www.21cnjy.com )）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为 8 ．21·cn·jy·com
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【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；G5：反比例函数系数k的几何意义．
【分析】由题意A（﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )，4 ( http: / / www.21cnjy.com )），B（2 ( http: / / www.21cnjy.com )，2 ( http: / / www.21cnjy.com )），可知OA⊥OB，建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴，利用方程组求出M、N的坐标，根据S△OMN=S△OBM﹣S△OBN计算即可．
【解答】解：∵A（﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )，4 ( http: / / www.21cnjy.com )），B（2 ( http: / / www.21cnjy.com )，2 ( http: / / www.21cnjy.com )），
∴OA⊥OB，
建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴．
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在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），
∴直线AB解析式为y′=﹣2x′+8，
由 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴M（1.6），N（3，2），
∴S△OMN=S△OBM﹣S△OBN= ( http: / / www.21cnjy.com ) 4 6﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) 4 2=8，
故答案为8
2. （2017年江苏扬州）如图，已知点A是反比例函数y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )的图象上的一个动点，连接OA，若将线段O A绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式为 y= ( http: / / www.21cnjy.com ) ．21cnjy.com
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【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G7：待定系数法求反比例函数解析式．www.21-cn-jy.com
【分析】设A（m，n），过A作AC⊥x轴 ( http: / / www.21cnjy.com )于C，过B作BD⊥x轴于D，得到AC=n，OC=﹣m，根据全等三角形的性质得到AC=OD=n，CO=BD=﹣m，于是得到结论．21*cnjy*com
【解答】解：∵点A是反比例函数y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )的图象上的一个动点，
设A（m，n），
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴AC=n，OC=﹣m，
∴∠ACO=∠ADO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠AOC=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠BOD，
在△ACO与△ODB中 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ACO≌△ODB，
∴AC=OD=n，CO=BD=﹣m，
∴B（n，﹣m），
∵mn=﹣2，
∴n（﹣m）=2，
∴点B所在图象的函数表达式为y= ( http: / / www.21cnjy.com )，
故答案为：y= ( http: / / www.21cnjy.com )．
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3. （2017 玉林）如图，一次函数y=k1x+5（k1＜0）的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数y= ( http: / / www.21cnjy.com )（k2＞0）的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，已知CM=1．
（1）求k2﹣k1的值；
（2）若 ( http: / / www.21cnjy.com )=，求反比例函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点P是x ( http: / / www.21cnjy.com )轴（除原点O外）上一点，将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由．www-2-1-cnjy-com
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【考点】GB：反比例函数综合题．.
【分析】（1）根据点M的坐标代入反比例关系：y= ( http: / / www.21cnjy.com )中，可得结论；
（2）根据△ACM∽△ADN，得 ( http: / / www.21cnjy.com )，由CM=1得DN=4，同理得N的坐标，代入反比例函数式中可得k2的值；2-1-c-n-j-y
（3）如图2，点P在x轴的正半轴上时 ( http: / / www.21cnjy.com )，绕P顺时针旋转到点Q，根据△COP≌△PHQ，得CO=PH，OP=QH，设P（x，0），表示Q（x+4，x），代入反比例函数的关系式中可得Q的两个坐标；【版权所有：21教育】
如图3，点P在x轴的负半轴上时；
如图4，点P在x轴的正半轴上时，绕P逆时针旋转到点Q，同理可得结论．
【解答】解：（1）如图1，∵MC⊥y轴于点C，且CM=1，
∴M的横坐标为1，
当x=1时，y=k1+5，
∴M（1，k1+5），
∵M在反比例函数的图象上，
∴1×（k1+5）=k2，
∴k2﹣k1=5；
（2）如图1，过N作ND⊥y轴于D，
∴CM∥DN，
∴△ACM∽△ADN，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵CM=1，
∴DN=4，
当x=4时，y=4k1+5，
∴N（4，4k1+5），
∴4（4k1+5）=k2①，
由（1）得：k2﹣k1=5，
∴k1=k2﹣5②，
把②代入①得：4（4k2﹣20+5）=k2，
k2=4；
∴反比例函数的解析式：y=；
（3）当点P滑动时，点Q能在反比例函数的图象上；
如图2，CP=PQ，∠CPQ=90°，
过Q作QH⊥x轴于H，
易得：△COP≌△PHQ，
∴CO=PH，OP=QH，
由（2）知：反比例函数的解析式：y=；
当x=1时，y=4，
∴M（1，4），
∴OC=PH=4，
设P（x，0），
∴Q（x+4，x），
当点Q落在反比例函数的图象上时，
x（x+4）=4，
x2+4x+4=8，
x=﹣2± ( http: / / www.21cnjy.com )，
当x=﹣2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )时，x+4=2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )，如图2，Q（2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )）；
当x=﹣2﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )时，x+4=2﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )，如图3，Q（2﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣2﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )）；
如图4，CP=PQ，∠CPQ=90°，设P（x，0），
过P作GH∥y轴，过C作CG⊥GH，过Q作QH⊥GH，
易得：△CPG≌△PQH，
∴PG=QH=4，CG=PH=x，
∴Q（x﹣4，﹣x），
同理得：﹣x（x﹣4）=4，
解得：x1=x2=2，
∴Q（﹣2，﹣2），
综上所述，点Q的坐标为（2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )）或（2﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣2﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )）或（﹣2，﹣2）．
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【点评】本题是反比例函数与一次函数的综 ( http: / / www.21cnjy.com )合题，考查了含字母系数的两函数关系式的有关问题，与三角形全等和相似相结合，列比例式或点的坐标在函数图象上列等式可解决问题，第三问有难度，画出图形是关键．【来源：21·世纪·教育·网】
4. 如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0（OA＞OC），直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD= ( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求点B的坐标；
（2）求直线BN的解析式；
（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．
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【考点】FI：一次函数综合题．
【分析】（1）由非负数的性质可求得x、y的值，则可求得B点坐标；
（2）过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由条件可求得D点坐标，且可求得 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，结合DE∥ON，利用平行线分线段成比例可求得OM和ON的长，则可求得N点坐标，利用待定系数法可求得直线BN的解析式；
（3）设直线BN平移后交y轴 ( http: / / www.21cnjy.com )于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方时，可知S即为 BNN′B′的面积，当N′在y轴的负半轴上时，可用t表示出直线B′N′的解析式，设交x轴于点G，可用t表示出G点坐标，由S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′，可分别得到S与t的函数关系式．
【解答】解：
（1）∵|x﹣15|+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，
∴x=15，y=13，
∴OA=BC=15，AB=OC=13，
∴B（15，13）；
（2）如图1，过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，
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由折叠的性质可知BD=BC=15，∠BDN=∠BCN=90°，
∵tan∠CBD= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，且BF2+DF2=BD2=152，解得BF=12，DF=9，
∴CF=OE=15﹣12=3，DE=EF﹣DF=13﹣9=4，
∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°，且∠ONM+∠CND=180°，
∴∠ONM=∠CBD，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵DE∥ON，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，且OE=3，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，解得OM=6，
∴ON=8，即N（0，8），
把N、B的坐标代入y=kx+b可得 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴直线BN的解析式为y= ( http: / / www.21cnjy.com )x+8；
（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，
当点N′在x轴上方，即0＜t≤8时，如图2，
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由题意可知四边形BNN′B′为平行四边形，且NN′=t，
∴S=NN′ OA=15t；
当点N′在y轴负半轴上，即8＜t≤13时，设直线B′N′交x轴于点G，如图3，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵NN′=t，
∴可设直线B′N′解析式为y= ( http: / / www.21cnjy.com )x+8﹣t，
令y=0，可得x=3t﹣24，
∴OG=24，
∵ON=8，NN′=t，
∴ON′=t﹣8，
∴S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′=15t﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（t﹣8）（3t﹣24）=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )t2+39t﹣96；
综上可知S与t的函数关系式为S= ( http: / / www.21cnjy.com )．
类型二 线动在几何图形中的综合应用
1. （2017张家界）如图，在正方形ABCD中，AD=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为 6 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣10 ．
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【考点】R2：旋转的性质；LE：正方形的性质．
【分析】根据旋转的想知道的PB=BC=AB，∠PBC=30°，推出△ABP是等边三角形，得到∠BAP=60°，AP=AB=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，解直角三角形得到CE=2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2，PE=4﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )，过P作PF⊥CD于F，于是得到结论．21世纪教育网版权所有
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，
∴PB=BC=AB，∠PBC=30°，
∴∠ABP=60°，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠BAP=60°，AP=AB=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵AD=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AE=4，DE=2，
∴CE=2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2，PE=4﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
过P作PF⊥CD于F，
∴PF= ( http: / / www.21cnjy.com )PE=2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣3，
∴三角形PCE的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )CE PF= ( http: / / www.21cnjy.com )×（2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2）×（4﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )）=6 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣10，
故答案为：6 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣10．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．（2016·广西桂林· ( http: / / www.21cnjy.com )3分）如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是 π 21·世纪*教育网
【考点】轨迹；正方形的性质；旋转的性质．
【分析】如图点P运动的路径是以G为圆心的弧，在⊙G上取一点H，连接EH、FH，只要证明∠EGF=90°，求出GE的长即可解决问题．【出处：21教育名师】
【解答】解：如图点P运动的路径是以G为圆心的弧，在⊙G上取一点H，连接EH、FH．
∵四边形AOCB是正方形，
∴∠AOC=90°，
∴∠AFP=∠AOC=45°，
∵EF是⊙O直径，
∴∠EAF=90°，
∴∠APF=∠AFP=45°，
∴∠H=∠APF=45°，
∴∠EGF=2∠H=90°，
∵EF=4，GE=GF，
∴EG=GF=2，
∴的长==π．
故答案为π．
3．（2016·黑龙江龙东·8分）已知：点 ( http: / / www.21cnjy.com )P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．2·1·c·n·j·y
（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）
（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OF ( http: / / www.21cnjy.com )E=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．
（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题．21*cnjy*com
图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．
【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF．
（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．
图3中的结论为：CF=OE﹣AE．
选图2中的结论证明如下：
延长EO交CF于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠GCO，
在△EOA和△GOC中，
，
∴△EOA≌△GOC，
∴EO=GO，AE=CG，
在RT△EFG中，∵EO=OG，
∴OE=OF=GO，
∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°﹣30°=60°，
∴△OFG是等边三角形，
∴OF=GF，
∵OE=OF，
∴OE=FG，
∵CF=FG+CG，
∴CF=OE+AE．
选图3的结论证明如下：
延长EO交FC的延长线于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠AEO=∠G，
在△AOE和△COG中，
，
∴△AOE≌△COG，
∴OE=OG，AE=CG，
在RT△EFG中，∵OE=OG，
∴OE=OF=OG，
∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°﹣30°=60°，
∴△OFG是等边三角形，
∴OF=FG，
∵OE=OF，
∴OE=FG，
∵CF=FG﹣CG，
∴CF=OE﹣AE．
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1备考2018中考数学高频考点剖析
专题三十一 动态几何之线动问题
考点扫描☆聚焦中考
动态几何中线动问题，是每年中考的压轴问题 ( http: / / www.21cnjy.com )之一，考查的知识点包括线动在函数问题中的考查和线动在几何图形的考查两方面，总体来看，难度系数偏高，以选择为主。也有少量的解析题。解析题主要以综合性问题考查为主。结合2017年全国各地中考的实例，我们从两个方面进行动态几何中线动问题的探讨：21cnjy.com
（1）线动问题在函数中的综合应用；
（2）线动在几何图形中的综合应用；
考点剖析☆典型例题
例1（2017 营口）如图，直线l的解析式 ( http: / / www.21cnjy.com )为y=﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（ ）21*cnjy*com
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A． ( http: / / www.21cnjy.com )B． ( http: / / www.21cnjy.com )C． ( http: / / www.21cnjy.com )D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】E7：动点问题的函数图象．
【分析】分别求出0＜t≤2和2＜t≤4时，S与t的函数关系式即可爬判断．
【解答】解：当0＜t≤2时，S= QUOTE http://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com ) t2，
当2＜t≤4时，S=t2﹣ QUOTE http://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com ) （2t﹣4）2=﹣t2+8t﹣8，
观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C．
故答案为C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
例2（2017湖南株洲）
如图示直线y= ( http: / / www.21cnjy.com )x+ ( http: / / www.21cnjy.com )与x轴、y轴分别交于点A、B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度为 ( http: / / www.21cnjy.com )π ．【来源：21·世纪·教育·网】
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【考点】F9：一次函数图象与几何变换；O4：轨迹．
【分析】先利用一次函数的解析式可确定A（﹣1，0），B（0， ( http: / / www.21cnjy.com )），再利用正切的定义求出∠BAO=60°，利用勾股定理计算出AB=2，然后根据弧长公式计算．
【解答】解：当y=0时， ( http: / / www.21cnjy.com ) x+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，解得x=﹣1，则A（﹣1，0），
当x=0时，y= ( http: / / www.21cnjy.com )x+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，则B（0， ( http: / / www.21cnjy.com )），
在Rt△OAB中，∵tan∠BAO= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠BAO=60°，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com )=2，
∴当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )π．
故答案为 ( http: / / www.21cnjy.com )π．
例3（2017湖北江汉）如图，在平面直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系中，四边形ABCD的边AD在x轴上，点C在y轴的负半轴上，直线BC∥AD，且BC=3，OD=2，将经过A、B两点的直线l：y=﹣2x﹣10向右平移，平移后的直线与x轴交于点E，与直线BC交于点F，设AE的长为t（t≥0）．
（1）四边形ABCD的面积为 20 ；
（2）设四边形ABCD被直线l扫过的面积（阴影部分）为S，请直接写出S关于t的函数解析式；
（3）当t=2时，直线EF ( http: / / www.21cnjy.com )上有一动点，作PM⊥直线BC于点M，交x轴于点N，将△PMF沿直线EF折叠得到△PTF，探究：是否存在点P，使点T恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．www.21-cn-jy.com
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【考点】FI：一次函数综合题．
【分析】（1）根据函数解析式得到OA=5，求得AC=7，得到OC=4，于是得到结论；
（2）①当0≤t≤3时，根据已知条件得到四边形ABFE是平行四边形，于是得到S=AE OC=4t；②当3≤t＜7时，如图1，求得直线CD的解析式为：y=2x﹣4，直线E′F′的解析式为：y=﹣2x+2t﹣10，解方程组得到G（ ( http: / / www.21cnjy.com )，t﹣7），于是得到S=S四边形ABCD﹣S△DE′G=20﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×（7﹣t）×（7﹣t）=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )t2+7t﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，③当t≥7时，S=S四边形ABCD=20，2-1-c-n-j-y
（3）当t=2时，点E，F的坐标分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )（﹣3，0），（﹣1，﹣4），此时直线EF的解析式为：y=﹣2x﹣6，设动点P的直线为（m，﹣2m﹣6），求得PM=|（﹣2m﹣6）﹣（﹣4）|=2|m+1|，PN=（﹣2m﹣6|=2（m+3|，FM=|m﹣（﹣1）|=|m+1，①假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在x轴上，如图2，连接PT，FT，②假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在y轴上，如图3，连接PT，FT，根据全等三角形的判定性质和相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：（1）在y=﹣2x﹣10中，当y=0时，x=﹣5，
∴A（﹣5，0），
∴OA=5，
∴AC=7，
把x=﹣3代入y=﹣2x﹣10得，y=﹣4
∴OC=4，
∴四边形ABCD的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )（3+7）×4=20；
故答案为：20；
（2）①当0≤t≤3时，∵BC∥AD，AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴S=AE OC=4t；
②当3≤t＜7时，如图1，∵C（0，﹣4），D（2，0），
∴直线CD的解析式为：y=2x﹣4，
∵E′F′∥AB，BF′∥AE′
∴BF′=AE=t，
∴F′（t﹣3，﹣4），
直线E′F′的解析式为：y=﹣2x+2t﹣10，
解 ( http: / / www.21cnjy.com )得， ( http: / / www.21cnjy.com )
∴G（ ( http: / / www.21cnjy.com )，t﹣7），
∴S=S四边形ABCD﹣S△DE′G=20﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×（7﹣t）×（7﹣t）=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )t2+7t﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
③当t≥7时，S=S四边形ABCD=20，
综上所述：S关于t的函数解析式为：S= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）当t=2时，点E，F的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣4），
此时直线EF的解析式为：y=﹣2x﹣6，
设动点P的直线为（m，﹣2m﹣6），
∵PM⊥直线BC于M，交x轴于n，
∴M（m，﹣4），N（m，0），
∴PM=|（﹣2m﹣6）﹣（﹣4）|=2|m+1|，PN=（﹣2m﹣6|=2（m+3|，FM=|m﹣（﹣1）|=|m+1，
①假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在x轴上，
如图2，连接PT，FT，则△PFM≌△PFT，
∴PT=PM=2|m+1|，FT=FM=|m+1|，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=2，
作FK⊥x轴于K，则KF=4，
由△TKF∽△PNT得， ( http: / / www.21cnjy.com ) =2，
∴NT=2KF=8，
∵PN2+NT2=PT2，
∴4（m+3）2+82=4（m+1）2，
解得：m=﹣6，∴﹣2m﹣6=﹣6，
此时，P（﹣6，6）；
②假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在y轴上，
如图3，连接PT，FT，则△PFM≌△PFT，
∴PT=PM=2|m+1|，FT=FM=|m+1|，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=2，
作PH⊥y轴于H，则PH=|m|，
由△TFC∽△PTH得， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴HT=2CF=2，
∵HT2+PH2=PT2，
即22+m2=4（m+1）2，
解得：m=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，m=0（不合题意，舍去），
∴m=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )时，﹣2m﹣6=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴P（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )），
综上所述：直线EF上存在点P（﹣6，6）或P（﹣，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）使点T恰好落在y轴上．
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考点过关☆专项突破
类型一 线动在函数关系中的综合应用
1. （2017江苏盐城）如图，曲线l是由函数y= ( http: / / www.21cnjy.com )在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )，4 ( http: / / www.21cnjy.com )），B（2 ( http: / / www.21cnjy.com )，2 ( http: / / www.21cnjy.com )）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为 ．21·cn·jy·com
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2. （2017年江苏扬州）如图，已知点A是反比例函数y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )的图象上的一个动点，连接OA，若将线段O A绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式为 ．2·1·c·n·j·y
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3. （2017 玉林）如图，一次函数y=k1x+5（k1＜0）的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数y= ( http: / / www.21cnjy.com )（k2＞0）的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，已知CM=1．
（1）求k2﹣k1的值；
（2）若 ( http: / / www.21cnjy.com )=，求反比例函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点P是x ( http: / / www.21cnjy.com )轴（除原点O外）上一点，将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
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4. 如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0（OA＞OC），直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD= ( http: / / www.21cnjy.com )21教育网
（1）求点B的坐标；
（2）求直线BN的解析式；
（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．21·世纪*教育网
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类型二 线动在几何图形中的综合应用
1. （2017张家界）如图，在正方形ABCD中，AD=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为 ．
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2．（2016·广西桂林·3分）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是 。www-2-1-cnjy-com
3．（2016·黑龙江龙东·8分）已知：点P ( http: / / www.21cnjy.com )是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．21世纪教育网版权所有
（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）
（2）直线BP绕点B逆时针 ( http: / / www.21cnjy.com )方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．
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