19.1.1函数（第一课时）
教学目标
1、认识变量、常量
2、会用一个变量的代数式表示第一个变量
重点：变量与常量
难点：对变量的判断
教学媒体：多媒体电脑，绳圈
教学说明：本节渗透找变量之间的简单关系，试列简单关系式
教学设计：
引入：学生读课本70页内容，并回答问题。
问题1：在事物的运动变化中，一个量随另一个量变化而变化的现象大量存在，请你再举出一个具有这种特征的相关例子加以说明.
问题2：为了刻画变量之间相互依存和变化的关系，我们形成了什么概念？为了更深入地认识现实世界中运动变化的规律，我们需要研究什么内容？
问题3：本章我们将主要学习哪些内容？将从哪些方面来展开研究？我们研究这些内容的思想方法是什么？
问题4：章引言中的一张图表和图象反映了什么量随什么量变化而变化？分别是用什么方式反映它们的变化规律的？
新课：21·cn·jy·com
1、探究：
问题：（1）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影受出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y?21cnjy.com
(2)在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量 m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度l（单位：cm）？www.21-cn-jy.com
（3）要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆的半径r?2·1·c·n·j·y
（4）用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化。记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律，设长方形的长为xm,面积为Sm2,怎样用含x的式子表示S？【来源：21·世纪·教育·网】
2、归纳定义：
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）.数值始终不变的量为常量。
3、范例：课本71页练习
4、练习 ：
1. 指出下列问题中的变量和常量：
（1）购买一些铅笔，单价为0.2元／支，记某同学购买铅笔的数量为x支，应付的总价为y元；
（2）用长为50 cm的铁丝围成一个等腰三角形，记这个等腰三角形的腰长为x cm,底边长为y cm；
（3）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm,BC=4cm.现有一动点P从点B出发，沿射线BA方向以1 cm／s的速度运动，到达点A随即停止运动.记点P的运动时间为x（s），△ACP的面积为y（cm2）.
（4）出售某种文具盒，若每个获利 x元，一天可售出（6－x）个，一天出售该种文具盒的总利润为 y元．
2. 指出第1题的4个问题中x的取值范围，并写出能反映y与x的变化关系的式子.
5、小结：21世纪教育网版权所有
问题1：在一个变化过程中，什么是变量？什么是常量？
问题2：在一个变化过程中，量与量之间是否是相互依存和变化的？是否存在变化规律？
6、拓展训练：
如图，正形ABCD的边长为4 cm，动点P、Q同时从
点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路
径向点C运动，当P、Q到达点C时都停止运动.设运动时间
为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2）.
（1）在这个运动变化过程中，当运动时间x发生变化时，
四边形PBDQ的面积y是否也随之发生变化？当运动时间
x增大时，四边形PBDQ的面积y如何变化？
（2）在这个运动变化过程中，运动时间x的取值有什么要求吗？为什么？
7、作业布置21教育网
19.1.1函数的图象（第二课时）
教学目标
知识目标：理解函数的概念，能准确识别出函数关系中的自变量和函数
能力目标：会用变化的量描述事物
情感目标：回用运动的观点观察事物，分析事物
重点：函数的概念
难点：函数的概念
教学媒体：多媒体电脑，计算器
教学说明：注意区分函数与非函数的关系，学会确定自变量的取值范围
教学设计：
引入：
信息1：小明在14岁生日时，看到他爸爸为他记录的以前各年周岁时体重数值表，你能看出小明各周岁时体重是如何变化的吗？21cnjy.com
周岁
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
体重（kg）
9.3
11.8
13.5
15.4
16.7
18.0
19.6
21.5
23.2
25
27.6
30.2
32.5
信息2：当你坐在摩天轮上时，随着旋转时间t（min）与你离开地面的高度h(m)之间的关系如图，你能填写下表吗？21教育网
时间/min
0
1
2
3
4
5
高度/m
新课：
问题：（1）如图是某日的气温变化图。
这张图告诉我们哪些信息？
这张图是怎样来展示这天各时刻的温度和刻画这铁的气温变化规律的？
(2)收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米（m）和赫兹（KHz）为单位标刻的，下表中是一些对应的数：21世纪教育网版权所有
波长l(m)
300
500
600
1000
1500
频率f(KHz)
1000
600
500
300
200
这表告诉我们哪些信息？
这张表是怎样刻画波长和频率之间的变化规律的，你能用一个表达式表示出来吗？
一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。21·cn·jy·com
范例：例1 判断下列变量之间是不是函数关系：
长方形的宽一定时，其长与面积；
等腰三角形的底边长与面积；
某人的年龄与身高；
活动1：阅读教材7页观察1. 后完成教材8页探究，利用计算器发现变量和函数的关系
思考：自变量是否可以任意取值
例2 一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。www.21-cn-jy.com
写出表示y与x的函数关系式.
指出自变量x的取值范围.
汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？
小结：（1）函数概念
（2）自变量，函数值
（3）自变量的取值范围确定
作业：略
19.1.2函数的图象（第一课时）
教学目标
知识目标：学会用图表描述变量的变化规律，会准确地画出函数图象
能力目标：结合函数图象，能体会出函数的变化情况
情感目标：增强动手意识和合作精神
重点：函数的图象
难点：函数图象的画法
教学媒体：多媒体电脑，直尺
教学说明：在画图象中体会函数的规律
教学设计：
引入：
信息1：下图是一张心电图，
信息2：下图是自动测温仪记录的图象，他反映了北京的春季某天气温T如何随时间的变化二变化，你从图象中得到了什么信息？21世纪教育网版权所有
新课：
问题：正方形的边长x与面积S的函数关系为S=x2， 你能想到更直观地表示S与x 的关系的方法吗？21教育网
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）。
范例：例1 下面的图象反映的过程是小明从家去菜地浇水，有去玉米地锄草，然后回家.其中x表示时间，y表示小名离家的距离.21cnjy.com
根据图象回答问题：
菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？；
小明给菜地浇水用了多少时间？
菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？
小明给玉米锄草用了多少时间？
玉米地离小名家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？
例2 在下列式子中，对于x的每一确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数，画出这些函数的图象：
（1）y=x+0.5; (2)y= (x>0)
解：
活动1： 教材16页练习1，2题
思考：画函数图象的一般步骤是什么？
小结：（1）什么是函数图象
（2）画函数图象的一般步骤
作业：略
19.1.2函数的图象（第二课时）
教学目标
知识目标：学会函数不同表示方法的转化，会由函数图象提取信息
能力目标：正确识别函数图象
情感目标：激发学生的探索精神
重点：利用函数图象解决问题
难点：从函数图象中提取信息
教学媒体：多媒体电脑，直尺
教学说明：在画图象中找函数的规律
教学设计：
引入：
信息1：
信息2：
新课：
函数的表示方法为列表法、解析式法和图形法，这三种方法在解决问题时是可以相互转化的。
范例：例1 一水库的水位在最近5消耗司内持续上涨，下表记录了这5个小时水位高度.
解：（1）y=0.05t+10 (0≤t≤7)
（2）当t=5+2=7时，y=0.05t+10=10.35
预计2小时后水位将达到10.35米。
思考：函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系？
例2 已知函数y=2x－3，求：
（1）函数图象与x轴、y轴的交点坐标；
（2）x取什么值时，函数值大于1；
（3）若该函数图象和函数y=－x+k相交于x轴上一点，试求k的值.
活动2：在同一直角坐标系中，画出函数y=－x与函数y=2x－1的图象，并求出它们的交点坐标.
小结：（1）函数的三种表示方法；
（2）函数图象上点的坐标与函数关系式之间的关系；
作业：略
19.1.2函数的图象（第三课时）
教学目标
1、函数有哪几种表示法？
2、这几种表示法各有什么优缺点？
教学重点：各表示法的特点
教学难点：几种表示法之间的优劣
教学工具：多媒体
教学过程
引入
问题1：有根弹簧原长10 cm，每挂1kg重物，弹簧伸长0.5 cm，设所挂的重物为m kg，受力后弹簧的长度为l cm，根据上述信息完成下表：21世纪教育网版权所有
受力后弹簧的长度l是所挂重物m的函数吗？
问题2：有一辆出租车，前3公里内的起步价为8元，每超过1公里收2元，有一位乘客坐了t（t＞3）公里，他付费y元.用含x的式子表示y，y是x的函数吗？
问题3：如图是某地某一天的气温变化图.
（1）指出其中的两个变量是 ， .
（2）其中 是 的函数，自变量是 .
问题4：从上面的三个问题中，可以发现表示函数有哪三种方法，这三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？
二、小结：
三者之间的优劣
练习：1.甲车速度为20米／秒，乙车速度为25米／秒．现甲车在乙车前面500米，设x秒后两车之间的距离为y米．求y随x（0≤x≤100）变化的函数解析式，并画出函数图象.
作业：
19.2.1 正比例函数（1）
【教学目标】
知识与技能：
1.理解正比例函数的概念.
2.会用描点法画正比例函数图象.
3.掌握正比例函数的性质．
过程与方法：
1.通过“燕鸥”这一实际情境引入，培养学生数学建模的能力．
2.通过对正比例函数的性质的探究，使学生经历做数学的过程，初步形成正确、科学的学习方法.
情感态度与价值观：
1.通过“燕鸥”这一实际情境引入，使学生认识到生活实例中有大量的函数模型，激发学生学习数学的兴趣．
2.培养学生热爱自然、热爱生活的优秀品质.
【教学重点】
1.正比例函数的概念.
2.探究正比例函数的性质.
【教学难点】
正比例函数的性质中的y与x的变化关系.
【教学过程】
一、创设情境，引入新知
1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行200千米.
(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？
(2) 这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？
(3) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？
师生活动：
教师用多媒体呈现问题，学生思考并解答.
教师重点关注：学生能否顺利写出y与x的函数关系式. 注意自变量的取值范围．
设计意图：
通过“燕鸥”这一实际情境引入，使学生认识到现实生活和数学密不可分，向学生渗透热爱自然、关注珍惜物种、人与动物和谐共处的情感教育.21cnjy.com
同时发展学生从实际问题中提取有用的数学信息，建立数学模型的能力.
二、观察思考、归纳概念
问题1：
下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？请指出函数解析式中的常数、自变量和自变量的函数．
（1）圆的周长 l 随半径r的大小变化而变化；
（2）小华步行的速度为每分钟30米，小华所走的路程S（单位：米）随他所走的时间t（单位：分钟）的变化而变化.2·1·c·n·j·y
（3）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随这些练习本的本数 n的变化而变化；【来源：21·世纪·教育·网】
（4）冷冻一个0 ℃物体，使它每分下降2 ℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化．21·世纪*教育网
（5）小华步行所走的路程为300米，他所走的时间t（单位：分钟）随他步行的速度（单位：米/分）的变化而变化.www-2-1-cnjy-com
师生活动：
教师多媒体呈现上述五个实际问题.
学生独立解答，解答后小组交流，出代表进行反馈.
教师要重点关注：（1）题中学生易将写成.（4）题中每分钟下降2℃应记为“-2℃”，避免学生将写为.关注学生能否准确找出中的常量.2-1-c-n-j-y
函数解析式
常数
自变量
函数
（1）l=2πr
2π
r
l
（2）S=30t
30
t
S
（3）h=0.5n
0.5
n
h
（4）T= －2t
-2
t
T
（5）
300
v
t
?
?
设计意图：
通过指出常数、自变量、自变量的函数，对函数的概念进行回顾，从而为后续环节找正比例函数的共同点建立生长点. www.21-cn-jy.com
通过对实际问题讨论，使学生体验从具体到抽象的认识过程.
问题2：
将上表中的前四个函数与第五个函数进行比较，思考：前四个函数有什么共同特点？
师生活动：
学生观察、思考.小组交流，分析、归纳共同特点，出代表反馈.
教师要根据学生的具体表现，通过引导、点拨，使学生比较、观察得出共同点.教师根据学生的表述板书：
共同点：常数×自变量．
学生阅读教材正比例函数的概念，教师板书：
概念：一般地，形如y=kx（k是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
教师追问：这里为什么强调k是常数，k≠0呢？
学生交流、讨论，互相补充.
设计意图：
通过将前四个函数与第五个函数进行比较，是学生通过比较、观察、分析、概括出正比例函数的共同特点，使学生明白正比例函数的特征，从而归纳出正比例函数的概念.
有效地克服了因没有对比直接观察使学生出现的不适性、盲目性.
培养学生的观察、分析、归纳、概括等思维能力.
三、练习运用，内化概念
判断下列函数是否为正比例函数？如果是，请指出比例系数.
①；②；③；④；⑤；⑥
师生活动：
学生独立解答，教师巡视.
教师根据学生反馈情况，引导学生根据“常数×自变量”归纳辨别正比例函数要注意的问题.
教师重点关注学生能否正确辨别以下函数：、、.
设计意图：
使学生结合实例深入理解概念的内涵，做到具体问题具体分析.
四、合作探究，概括性质
1.画一画
画出下列函数的图像.（要求：选择和本人学号相同的题号，画出函数图象）
（1）① ??②?? （2）①?? ②??
（3）①?? ② ???（4）①?? ②??
（5）①?? ②? ??（6）①?? ②
师生活动：
教师讲清要求，巡视指导.
学生按要求绘制函数图象.
设计意图：
使学生熟练函数图象的画法.
为下一环节小组观察图像、归纳正比例函数图象做准备.避免只看一两个函数图象就轻易下结论的不科学、不客观的作法.21教育网
学生选取与学号一致的题号画函数图象，是为了在画图环节不占用较多的时间和精力，以免影响教学效率.
不同学生绘制不同函数图象，是为了学生在合作探究时可以观察到更多的函数图象，避免学生利用不完全归纳法归纳正比例函数性质时因图像数量少，从而缺乏典型性、缺少可信度的不科学作法.21·cn·jy·com
2.想一想
以小组为单位，观察本组成员所画图像，你有什么发现？
师生活动：
学生以小组为单位进行观察、分析、交流，归纳正比例函数的性质.
教师各组巡视，认真倾听各小组的想法，为汇总性质做准备.
各小组出代表进行汇报，教师逐条板书.
图像
k的取值
图像经过象限
图像变化趋势
y与x的关系
k＞0
三、一象限
从左向右图像呈上升趋势
随着x的增大y也增大
K＜0
二、四象限
从左向右图像呈下降趋势
随着x的增大y反而减小
?
?
设计意图：
培养学生的观察、分析、猜想等能力，发展学生的思维，使学生的思维在思维的深度和广度上有所发展.
培养学生合作探究的意识和能力，使学生学会合作，学会倾听，学会交流.
3.试一试
利用课件验证你的猜想是否正确.
师生活动：
教师为学生提供可供学生动手操作的探究课件.
学生利用几何画板课件动手验证环节二中猜想出的各种结论.
设计意图：
通过学生自己利用几何画板课件进行动态验证，激发学生的学习兴趣，培养学生动手实践的能力，同时使学生亲历画图——观察——猜想——验证，给学生提供自主探索的机会，使学生亲身体验做数学的过程，知道学习数学、研究数学的基本程序.
五、想一想
正比例函数的图像是经过原点的直线，那么怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？
师生活动：
教师引导学生思考、交流、归纳，得出两点法.
六、练一练
用你认为最简单的方法画出正比例函数的图像（教科书第113页练习）
师生活动：
学生练习，教师巡视指导.
设计意图：
巩固“两点法”画图像的方法.
七、小结与作业：
小结：
本节课你有哪些收获？用你的语言说一说.
作业：
教材第120页1题、2题.
设计意图：
通过学生自己回顾、归纳本节内容，使学生对本节课的内容进行一次重新梳理，使学生能从整体上对本节内容有一个深刻地认识，使知识内化.21世纪教育网版权所有
19.2.1 正比例函数（2）
【教学目标】
知识与技能：
1.理解正比例函数的概念.
2.会用描点法画正比例函数图象.
3.掌握正比例函数的性质．
过程与方法：
1.通过“燕鸥”这一实际情境引入，培养学生数学建模的能力．
2.通过对正比例函数的性质的探究，使学生经历做数学的过程，初步形成正确、科学的学习方法.
情感态度与价值观：
1.通过“燕鸥”这一实际情境引入，使学生认识到生活实例中有大量的函数模型，激发学生学习数学的兴趣．
2.培养学生热爱自然、热爱生活的优秀品质.
【教学重点】
1.正比例函数的概念.
2.探究正比例函数的性质.
【教学难点】
正比例函数的性质中的y与x的变化关系.
【教学过程】
一、创设情境，引入新知
1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行200千米.
(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？
(2) 这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？
(3) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？
师生活动：
教师用多媒体呈现问题，学生思考并解答.
教师重点关注：学生能否顺利写出y与x的函数关系式. 注意自变量的取值范围．
设计意图：
通过“燕鸥”这一实际情境引入，使学生认识到现实生活和数学密不可分，向学生渗透热爱自然、关注珍惜物种、人与动物和谐共处的情感教育.21世纪教育网版权所有
同时发展学生从实际问题中提取有用的数学信息，建立数学模型的能力.
二、观察思考、归纳概念
问题1：
下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？请指出函数解析式中的常数、自变量和自变量的函数．
（1）圆的周长 l 随半径r的大小变化而变化；
（2）小华步行的速度为每分钟30米，小华所走的路程S（单位：米）随他所走的时间t（单位：分钟）的变化而变化.21cnjy.com
（3）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随这些练习本的本数 n的变化而变化；www.21-cn-jy.com
（4）冷冻一个0 ℃物体，使它每分下降2 ℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化．2·1·c·n·j·y
（5）小华步行所走的路程为300米，他所走的时间t（单位：分钟）随他步行的速度（单位：米/分）的变化而变化.www-2-1-cnjy-com
师生活动：
教师多媒体呈现上述五个实际问题.
学生独立解答，解答后小组交流，出代表进行反馈.
教师要重点关注：（1）题中学生易将写成.（4）题中每分钟下降2℃应记为“-2℃”，避免学生将写为.关注学生能否准确找出中的常量.【来源：21·世纪·教育·网】
函数解析式
常数
自变量
函数
（1）l=2πr
2π
r
l
（2）S=30t
30
t
S
（3）h=0.5n
0.5
n
h
（4）T= －2t
-2
t
T
（5）
300
v
t
?
?
设计意图：
通过指出常数、自变量、自变量的函数，对函数的概念进行回顾，从而为后续环节找正比例函数的共同点建立生长点. 2-1-c-n-j-y
通过对实际问题讨论，使学生体验从具体到抽象的认识过程.
问题2：
将上表中的前四个函数与第五个函数进行比较，思考：前四个函数有什么共同特点？
师生活动：
学生观察、思考.小组交流，分析、归纳共同特点，出代表反馈.
教师要根据学生的具体表现，通过引导、点拨，使学生比较、观察得出共同点.教师根据学生的表述板书：
共同点：常数×自变量．
学生阅读教材正比例函数的概念，教师板书：
概念：一般地，形如y=kx（k是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
教师追问：这里为什么强调k是常数，k≠0呢？
学生交流、讨论，互相补充.
设计意图：
通过将前四个函数与第五个函数进行比较，是学生通过比较、观察、分析、概括出正比例函数的共同特点，使学生明白正比例函数的特征，从而归纳出正比例函数的概念.
有效地克服了因没有对比直接观察使学生出现的不适性、盲目性.
培养学生的观察、分析、归纳、概括等思维能力.
三、练习运用，内化概念
判断下列函数是否为正比例函数？如果是，请指出比例系数.
①；②；③；④；⑤；⑥
师生活动：
学生独立解答，教师巡视.
教师根据学生反馈情况，引导学生根据“常数×自变量”归纳辨别正比例函数要注意的问题.
教师重点关注学生能否正确辨别以下函数：、、.
设计意图：
使学生结合实例深入理解概念的内涵，做到具体问题具体分析.
四、合作探究，概括性质
1.画一画
画出下列函数的图像.（要求：选择和本人学号相同的题号，画出函数图象）
（1）① ??②?? （2）①?? ②??
（3）①?? ② ???（4）①?? ②??
（5）①?? ②? ??（6）①?? ②
师生活动：
教师讲清要求，巡视指导.
学生按要求绘制函数图象.
设计意图：
使学生熟练函数图象的画法.
为下一环节小组观察图像、归纳正比例函数图象做准备.避免只看一两个函数图象就轻易下结论的不科学、不客观的作法.21教育网
学生选取与学号一致的题号画函数图象，是为了在画图环节不占用较多的时间和精力，以免影响教学效率.
不同学生绘制不同函数图象，是为了学生在合作探究时可以观察到更多的函数图象，避免学生利用不完全归纳法归纳正比例函数性质时因图像数量少，从而缺乏典型性、缺少可信度的不科学作法.21·cn·jy·com
2.想一想
以小组为单位，观察本组成员所画图像，你有什么发现？
师生活动：
学生以小组为单位进行观察、分析、交流，归纳正比例函数的性质.
教师各组巡视，认真倾听各小组的想法，为汇总性质做准备.
各小组出代表进行汇报，教师逐条板书.
图像
k的取值
图像经过象限
图像变化趋势
y与x的关系
k＞0
三、一象限
从左向右图像呈上升趋势
随着x的增大y也增大
K＜0
二、四象限
从左向右图像呈下降趋势
随着x的增大y反而减小
?
?
设计意图：
培养学生的观察、分析、猜想等能力，发展学生的思维，使学生的思维在思维的深度和广度上有所发展.
培养学生合作探究的意识和能力，使学生学会合作，学会倾听，学会交流.
3.试一试
利用课件验证你的猜想是否正确.
师生活动：
教师为学生提供可供学生动手操作的探究课件.
学生利用几何画板课件动手验证环节二中猜想出的各种结论.
设计意图：
通过学生自己利用几何画板课件进行动态验证，激发学生的学习兴趣，培养学生动手实践的能力，同时使学生亲历画图——观察——猜想——验证，给学生提供自主探索的机会，使学生亲身体验做数学的过程，知道学习数学、研究数学的基本程序.
五、想一想
正比例函数的图像是经过原点的直线，那么怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？
师生活动：
教师引导学生思考、交流、归纳，得出两点法.
六、练一练
用你认为最简单的方法画出正比例函数的图像（教科书第113页练习）
师生活动：
学生练习，教师巡视指导.
设计意图：
巩固“两点法”画图像的方法.
七、小结与作业：
小结：
本节课你有哪些收获？用你的语言说一说.
作业：
教材第120页1题、2题.
设计意图：
通过学生自己回顾、归纳本节内容，使学生对本节课的内容进行一次重新梳理，使学生能从整体上对本节内容有一个深刻地认识，使知识内化.21·世纪*教育网
19.2.2 一次函数(1)
教学目标
知识技能:认识一次函数解析式的特点及意义，知道一次函数与正比例函数关系．理解一次函数图象特征与解析式的联系规律．会用简单方法画一次函数图象,并能运用一次函数的性质解决简单应用问题．21·cn·jy·com
数学思考:通过类比的方法学习一次函数，体会数学研究方法多样性．
解决问题:经历将一次函数表达式与图像y＝kx+b结合的探索过程，通过观察与思考、合作探究得出一次函数和一次函数的性质及其简单应用．【来源：21·世纪·教育·网】
情感态度:初步形成利用一次函数的观点认识现实世界的意识；通过本节课的学习，体会数形结合思想的重要性．21·世纪*教育网
教学重点:一次函数解析式和图象的特征与解析式的联系规律，一次函数图象的画法．
教学难点:一次函数与正比例函数关系和一次函数图象特征与解析式的联系规律．
教学过程设计
活动一.提出问题，创设情境
1.问题:某登山队大本营所在地的气温为15°C，海拔每升高1km气温下降6°C．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所处位置的气温是y°C．试用解析式表示y与x的关系．21教育网
2.分析:从大本营向上当海拔每升高1km时，气温从15℃就减少6°C，那么海拔增加xkm时，气温从15℃减少6x℃．因此y与x的函数关系式为:www-2-1-cnjy-com
y=15－6x （x≥0）
当然，这个函数也可表示为: y=－6x+15 （x≥0）
当登山队员由大本营向上登高0．5km时，他们所在位置气温就是x=0．5时函数y=－6x+15的值，即y=－6×0．5+15=12（°C）．2-1-c-n-j-y
3.引入 这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同？它的图象又具备什么特征？我们这节课将学习这些问题．21*cnjy*com
活动二.出示课题,进行新课
1.思考:我们先来研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示？它们又有什么共同特点？
(1)有人发现，在20～25°C时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t（°C）有关，即C的值约是t的7倍与35的差．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)一种计算成年人标准体重G（kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值h减常数105，所得差是G的值．【出处：21教育名师】
(3)某城市的市内电话的月收费额y（元）包括:月租费22元，拨打电话x分的计时费（按0．01元／分收取）．【版权所有：21教育】
(4)把一个长10cm，宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形面积y（cm2）随x的值而变化．www.21-cn-jy.com
2.写出解析式:这些问题的函数解析式分别为:
(1)C=7t－35．(2)G=h－105．(3)y=0．01x+22．(4)y=－5x+50．
3.归纳:它们的形式与y=－6x+15一样，函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和．如果我们用b来表示这个常数,则函数形式就可以写成:y=kx+b（k≠0）
定义:一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数．当b=0时，y=kx+b即y=kx．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．
活动三.知识巩固,课堂练习
1.下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1）y=－8x． （2）y=． （3）y=5x2+6． （3）y=－0．5x－1．
2.一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加２米．
（1）一个小球速度v随时间t变化的函数关系．它是一次函数吗？
（2）求第2．5秒时小球的速度．
3.汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y（升）随行驶时间x（时）变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．y是x的一次函数吗？
活动四.知识应用,例题解析
1.例1画出函数y=－6x与y=－6x+5的图象．并比较两个函数图象，探究它们的联系及解释原因．
通过活动，加深对一次函数与正比例函数关系的理解，认清一次函数图象特征与解析式联系规律．学生从图象形状，倾斜程度及与y轴交点坐标上比较两个图象，从而认识两个图象的平移关系，进而了解解析式中k、b在图象中的意义，体会数形结合在实际中的表现．指导学生动手列表,画图,观察比较.得到上面两个函数的图象的相同点与不同点.
2.归纳:学生填写书中横线上的空.
这两个函数的图象形状都是______,并且倾斜程度_______.函数 y=－6x的图象经过原点,函数 y=－6x+5 的图象与 y轴交于点_______,即它可以看作由直线y=－6x 向_平移__个单位长度而得到.21世纪教育网版权所有
比较两个函数解析式,试解释这是为什么. 猜想:一次函数y=kx+b的图象是什么形状，它与直线y=kx有什么关系？21cnjy.com
3.归纳结论:一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移︱b︱个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜ 0时，向下平移）.2·1·c·n·j·y
作业：略
19.2.2 一次函数(2)
教学目标
知识技能:理解一次函数图象特征与解析式的联系规律．会画一次函数图象,并能运用一次函数的性质解决简单应用问题．www.21-cn-jy.com
数学思考:通过进一步学习一次函数，体会数学研究方法多样性．
解决问题:经历将一次函数表达式与图像y＝kx+b结合的探索过程，通过观察与思考、合作探究得出一次函数和一次函数的性质及其简单应用．2·1·c·n·j·y
情感态度:初步形成利用一次函数的观点认识现实世界的意识；通过本节课的学习，进一步体会数形结合思想的重要性．21·世纪*教育网
教学重点:一次函数解析式和一次函数图象特征及一次函数图象与解析式的联系．一次函数图象的画法．
教学难点:一次函数图象特征与解析式的联系规律．
教学过程设计
活动一.动手画图，寻找联系
例1画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象.
如上左图,过（0，-1）点与（1，1）点画出直线y=2x-1．过（0，1）点与（1，0．5）点画出直线y=-0.5x+1．21教育网
活动二.分析比较, 发现规律
1.画出函数y=x+1、y=-x+1、y=2x+1、y=-2x+1的图象．由它们联想：一次函数解析式y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中，k的正负对函数图象有什么影响？
通过活动，熟悉一次函数图象画法．经历观察发现图象的规律，并根据它归纳总结出关于数值大小的性质．体会数形结合的探究方法在数学中的重要性，进而认识理解一次函数图象特征与解析式联系．学生从函数图象特征入手，寻求变量数值变化规律与解析式中k值的联系．【来源：21·世纪·教育·网】
2.归纳结论：(1)图象(如上右图)：
(2)规律：当k>0时，直线y=kx+b由左至右上升；当k<0时，直线y=kx+b由左至右下降．
(3)性质：当k>0时，y随x增大而增大．当k<0时，y随x增大而减小．
活动三.知识巩固,课堂练习
1.直线y=2x-3与x轴交点坐标为_______，与y轴交点坐标为_________，图象经过第________象限，y随x增大而_________．21世纪教育网版权所有
2.分别说出满足下列条件的一次函数的图象过哪几个象限？
（1）k>0 b>0 （2）k>0 b<0 （3）k<0 b>0 （4）k<0 b<0
活动四.知识梳理,课堂小结
本节进一步学习了一次函数的解析式、图象特征，并熟悉了简单方法画图象，进而利用数形结合的探究方法寻求出一次函数图象特征与解析式的联系，这使我们对一次函数知识的理解和掌握更透彻，也体会到数学思想在数学研究中的重要性．
活动五.知识反馈,布置作业
(1)在同一直角坐标系中画出下列函数图象，并归纳y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中b对函数图象的影响．21·cn·jy·com
(1)y=x-1 y=x y=x+1 (2)y=-2x+1 y=-2x y=-2x-1
1)画图如下:
2)它们的关系是:b的值决定直线y=kx+b与y轴交点的坐标（0，b）．
①当b>0时,交点在原点上方②当b=0时,交点即原点③当b<0时,交点在原点下方．
(2)若函数y=mx-（4m-4）的图象过原点，则m=_______，此时函数是______函数．若函数y=mx-（4m-4）的图象经过（1，3）点，则m=______，此时函数是______函数．
(3)若一次函数y=（1-2m）x+3图象经过A（x1、y1）、B（x2、y2）两点．当x1y2，则m的取值范围是什么？21cnjy.com
19.2.2 一次函数(3)
教学目标
知识技能:学会用待定系数法确定一次函数解析式．进一步感知数形结合和待定系数法的数学思想在一次函数中的应用.21世纪教育网版权所有
数学思考:通过学习用待定系数法求一次函数的解析式，体会数学研究方法的多样性．
解决问题:经历待定系数法的应用过程，逐步学会利用待定系数法这一思想分析解决问题．
情感态度:初步形成利用待定系数法的意识；通过学习，进一步体会待定系数法思想的重要性．
教学重点:待定系数法确定一次函数解析式．
教学难点:灵活运用有关知识解决相关问题．
教学过程设计
活动一.提出问题，创设情境
前面学习了有关一次函数的一些知识，掌握了其解析式的特点及图象特征，并学会了已知解析式画出其图象的方法以及分析图象特征与解析式之间的联系规律．如果反过来，告诉我们有关一次函数图象的某些特征，能否确定解析式呢？ 21教育网
活动二.分析思考,进入新课
1.已知一次函数图象过点（3，5）与（－4，－9），求这个一次函数的解析式．
联系以前所学知识，你能总结归纳出一次函数解析式与一次函数图象之间的转化规律吗？
引导学生分析思考解决由图象到解析式转化的方法过程，从而总结归纳两者转化的一般方法．在教师指导下经过独立思考，研究讨论顺利完成转化过程．概括阐述一次函数解析式与图象转化的一般过程．21·cn·jy·com
分析：求一次函数解析式，关键是求出k、b值．因为图象经过两个点，所以这两点坐标必适合解析式．由此可列出关于k、b的二元一次方程组，解之可得．
解:设这个一次函数解析式为y=kx+b．
∵y=k+b的图象过点（3，5）与（－4，－9），
∴ 解之，得
故这个一次函数解析式为y=2x－1.
2.归纳结论.定义:像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．21cnjy.com
从上面的过程中还反映出函数解析式与函数图象存在着如下相互转化的关系：
活动三.知识巩固,课堂练习
1.已知一次函数y=kx+2，当x=5时y的值为4，求k值．
2.已知直线y=kx+b经过点（9，0）和点（24，20），求k、b值．
3.生物学家研究表明,某种蛇的长度y (CM)是其尾长x(CM)的一次函数,当蛇的尾长为6CM时, 蛇的长为45.5CM; 当蛇的尾长为14CM时, 蛇的长为105.5CM.当一条蛇的尾长为10 CM时,这条蛇的长度是多少?www.21-cn-jy.com
活动四.知识梳理,课堂小结
请同学们回顾本节课学到了什么?
活动五.知识反馈,布置作业
(1)已知一次函数y=3x－b的图象经过点P(1,1),则该函数图象必经过点( )
A.(－1,1) B.(2,2) C.(－2,2) D.(2,－2)
(2)若一次函数y=2x+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9，求 b的值．
(3)点M（－2，k）在直线y=2x+1上，求点M到x轴的距离d为多少?
19.2.2 一次函数(4)
教学目标
知识技能: 利用一次函数知识解决相关实际问题．
数学思考: 通过学习一次函数的知识，体会数学研究方法的多样性．
解决问题: 体会解决问题方法多样性，发展创新实践能力。
情感态度: 熟悉所学的知识，体会运用思想方法解决问题的重要性．
教学重点: 熟悉并运用一次函数的知识解决问题．
教学难点: 灵活运用有关知识解决相关问题．
教学过程设计
活动一.提出问题，创设情境
我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定解析式，如何利用一次函数知识解决相关实践问题呢？这将是我们这节课要解决的主要问题.21世纪教育网版权所有
活动二.提出问题,进入新课
例1. 小芳以200米／分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度20米／分，又匀速跑10分钟．试写出这段时间里她跑步速度y（米／分）随跑步时间x（分）变化的函数关系式，并画出图象．www.21-cn-jy.com
分析:本题y随x变化的规律分成两段:前5分钟与后10分钟．写y随x变化函数关系式时要分成两部分．画图象时也要分成两段来画，且要注意各自变量的取值范围．
解:y=
我们把这种函数叫做分段函数．在解决分析函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2·1·c·n·j·y
例2. A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料费用分别为每吨15元和24元．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．怎样调运总运费最少？
引导学生讨论分析思考．从影响总运费的变量有哪些入手，进而寻找变量个数及变量间关系，探究出总运费与变量间的函数关系，从而利用函数知识解决问题．在教师指导下，经历思考、讨论、分析，找出影响总运费的变量，并认清它们之间的关系，确定函数关系，最终解决实际问题．21·世纪*教育网
活动过程及结论:通过分析思考，可以发现:A─C，A─D，B─C，B─D运肥料共涉及4个变量．它们都是影响总运费的变量．然而它们之间又有一定的必然联系，只要确定其中一个量，其余三个量也就随之确定．这样我们就可以设其中一个变量为x，把其他变量用含x的代数式表示出来:www-2-1-cnjy-com
(1)若设A─C x吨，
则:由于A城有肥料200吨:A─D，200─x吨．
由于C乡需要240吨:B─C，240─x吨．由于D乡需要260吨:B─D，260─200+x吨．
那么，各运输费用为:
A─C 20x A─D 25（200-x） B─C 15（240-x） B─D 24（60+x）
若总运输费用为y的话，y与x关系为:
y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x）．化简得:
y=40x+10040 （0≤x≤200）．
由解析式或图象(如上右图)都可看出，当x=0时，y值最小，为10040．
因此，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨．此时总运费最少，为10040元．21教育网
(2)若A城有肥料300吨，B城200吨，其他条件不变，又该怎样调运呢？
解题方法与思路不变，只是过程有所不同:
A─C x吨 A─D 300-x吨 B─C 240-x吨 B─D x-40吨
反映总运费y与x的函数关系式为:y=20x+25（300-x）+15（240-x）+24（x-40）．
化简:y=4x+10140 （40≤x≤300）．
由解析式可知:当x=40时 y值最小为:y=4×40+10140=10300
因此从A城运往C乡40吨，运往D乡260吨；从B城运往C乡200吨，运往D乡0吨．此时总运费最小值为10300吨．21cnjy.com
如何确定自变量x的取值范围是40≤x≤300的呢？
由于B城运往D乡代数式为x-40吨，实际运费中不可能是负数，而且A城中只有300吨肥料，也不可能超过300吨，所以x取值应在40吨到300吨之间．
活动三.分析思考,总结归纳
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量间的关系，选取其中某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数．这样就可以利用函数知识来解决了．21·cn·jy·com
在解决实际问题过程中，要注意根据实际情况确定自变量取值范围．就像刚才那个变形题一样，如果自变量取值范围弄错了，很容易出现失误，得到错误的结论．
活动四,知识巩固，课堂练习
从A、B两水库向甲、乙两地调水，其中甲地需水15万吨，乙地需水13万吨，A、B两水库各可调出水14万吨．从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米．设计一个调运方案使水的调运量（万吨/千米）最少．
活动五.知识梳理，课堂小结
本节课我们学习并掌握了分段函数在实际问题中的应用，特别是学习了解决多个变量的函数问题，为我们以后解决实际问题开辟了一条坦途.【来源：21·世纪·教育·网】
活动六.知识反馈，布置作业:
《19.2.3一次函数与方程、不等式》
（第一课时）
教学目标：
1．使学生领会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系；
2．引导学生经历探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系的过程，体会数形结合、分类、类比、归纳等数学思想方法的运用，积累数学活动经验。通过自主探究、小组合作等活动，锻炼学生的自学能力、归纳概括的能力，增强学生间的合作意识；
3．通过对一次函数、一次方程与一元一次不等式内在关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系，培养学生用联系的观点看待数学问题的意识.
教学重点：探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间内在关系．
教学难点：对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的揭示．
教学过程：
一、复习旧知、提出课题
前面我们学习了一次函数.实际上,一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应,互相依存.它与我们七年级学过的一元一次方程,一元一次不等式,二元一次方程组有着必然的联系，复习一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的形式,师生共同回答
这节课开始,我们就学着用函数的观点去看待方程(组)与不等式,并充分利用函数图象的直观性,形象地看待方程(组)不等式的求解问题.这是我们学习数学的一种很好的思想方法.
注:点明学习本节内容的必要性：(1)函数与方程、方程组、不等式有着必然的联系；(2)用函数的观点看待方程、方程组、不等式是我们学数学应该掌握的思想方法.给学生一个本节内容的大致框架.21·cn·jy·com
二、创设情境、讲授新课
探究一：我们先来看下面的两个问题有什么关系：
(1)解方程2x+20=0.
(2)当自变量为何值时,函数y=2x+20的值为零?
1、问题：
对于2x+20=0和y=2x+20,从形式上看,有什么相同和不同的地方?
?
2x+20=0
y=2x+20
形式上
?一元一次方程
?一次函数
从问题本质上看,(1)和(2)有什么关系?
?
2x+20=0
y=2x+20
本质上
（从“数”的角度）
解方程 2x+20=0，
得x=-10.
?当函数值y为0时，所对应的自变量x的值.也就是：当y=0时，即2x+20=0，解得x=-10.
快乐演练：从“数”的角度
序 号
一元一次方程问题
一元函数问题
1
?解方程2x+20=0
?当x为何值时，
y=2x+20的值为0?
2
?解方程 -2x+2=0
?当x为何值时，
y=-2x+2的值为0?
3
?解方程 -2x+2= -1
(先转化为-2x+3=0)
?当x为何值时，
y=-2x+3的值为0?
4
?解方程 ax+b=0
?当x为何值时，
y=ax+b的值为0?
③作出直线y=2x+20(建议课前作出,以免影响本节课主题),看看(1)与(2)是怎么样的一种关系?【来源：21·世纪·教育·网】
从形的角度 ：直线y=2x+20的图象与x轴的交点坐标为（_-10_,_0），这说明方程2x＋20＝0的解是x=_-10__.21·世纪*教育网
快乐演练：从“形”的角度
序号
一次函数问题
一次函数问题
1
当x为何值时，
y=2x+20的值为0
2
当x为何值时，
y=2x-2的值为0
3
当x为何值时，
y=-2x+3的值为0
4
当x为何值时，
y=ax+b的值为0
直线y=ax+b与x轴交点
的横坐标（即x=-b/a)
注:用具体问题作对比,帮助学生理解.
在学生议论的基础上,教师结合教科书揭示：(1)与(2)实际上是同一个问题.
探讨归纳
从前面的讨论我们可以看到：一个一元一次方程的求解问题,可以与解某个相应的一次函数问题相一致.你认为在一般情况下,怎样的解一元一次方程问题与怎样的一次函数问题是同一的?学生小组讨论(鼓励学生用自己的语言说明为什么同一?图象上怎么看?函数方程形式上怎么看?)21世纪教育网版权所有
师生共同归纳：
一次函数与一元一次方程的关系
从数的角度看：
求ax+b=0(a≠O)的解x为何值时y=ax+b的值为0
从形的角度看：
求ax+b=0(a≠0)的解确定直线y=ax+b与x轴的横坐标
从数和形两方面总结,帮助学生建立数形结合的观念.
让学生在探究过程中理解两个问题的同一性.
2、思考一：
下面3个方程有什么共同点与不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3； （2）2x+1=0； （3）2x+1=-1．（同桌的两个同学互相交流）
相同点：等式左边都是一元一次方程而且左边都是2x+1
不同点：等式右边有3,0和-1，即有正数、零和负数.
追问：（2）我们已经研究过，可以从“数”和“形”两个角度考虑，那么（1）和（3）怎么解释？（引导学生通过图像共同完成，理解和体会一元一次方程与函数的关系）
归纳：（更具有一般性）
从数的角度看：
求ax+b=k(a≠O)的解x为何值时y=ax+b的值为k
从形的角度看：
求ax+b=k(a≠0)的解当函数y=ax+b纵坐标为k时，所对应的横坐标x的值
从数和形两方面总结,帮助学生建立数形结合的观念.
让学生在探究过程中理解两个问题的同一性.
3、例题讲解：
已知一次函数y=-2x+2，根据图像回答：
（1）当y=0时，求x的值.
（2）当y=2时，求x的值.
解：(1)由图像可知：一次函数y=-2x+2与x 轴的交点 为（1,0）；∴当y=0时，x=1
(2)由图像可知：一次函数y=-2x+2与y 轴的交点为（0,2）；∴当y=2时，x=0
4、快乐演练：
⑴根据下列图像，将一次函数转化为一元一次方程，并直接说出相应方程的解？
⑵当x为何值时，y=ax+b的值？
（1）引导学生从函数图像上，如何将图像问题转化为代数问题，从而达到理解数形结合思想的目的.
（2）引导学生从函数图像上直接看出，左边的由图像可以得到当x=-1时，y=0；当x=0时，y=2；右边的由图像可以得到当x=-2时，y=0；当x=0时，y=-1；21cnjy.com
（通过实例来巩固一次函数与一元一次方程的关系，学会怎么进行转化）
探究二：刚刚我们已经研究了一元一次方程与一次函数的关系，主要是从“数”和“形”两个角度来探讨，下面我们看这样两个问题www.21-cn-jy.com
1、问题一：从“数”的角度议一议：在上面的问题解决过程中，你能发现它们之间有什么关系吗？
(1)解不等式：2x-4>0
(2)当x为何值时，函数y=2x-4的值大于0
解：（1）解得x>2；
(2)就是要使2x-4>0，解得x>2时，函数y=2x-4的值大于0
师生共同归纳：从数的角度看它们是同一个问题
2、快乐演练：根据一次函数与不等式的关系填空：
解不等式3x－6<0，可看作
“当自变量x取何值时，函数y=3x+8的值大于0”可看作
解答：（1）求一次函数y=3x-6的函数值小于0的自变量的取值范围
（2）解不等3x+8>0
3、问题二：从“形”的角度议一议：如何用函数图象来解释：自变量x为何值时，函数y=2x-4值大于0？2·1·c·n·j·y
解：画出直线y=2x-4,可以看出，当x＞2时，这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=2x-4>0
师生共同归纳：从数的角度看它们是同一个问题
4、快乐演练：
根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集
2-1-c-n-j-y
（1） （2）
①、由图像（1）回答下列问题：
⑴3x+6>0，从“数”的角度，等价于y>0；
从“形”的角度，图像只能够在x上方，通过函数图像可以看出解集为x>-2
⑵3x+6≤0，从“数”的角度，等价于y≤0；
从“形”的角度，图像只能够在x下方，通过函数图像可以看出解集为x≤-2
②、由图像（2）回答下列问题：
⑴-x+3≥0，从“数”的角度，等价于y≥0；
从“形”的角度，图像只能够在x上方，通过函数图像可以看出解集为x≤3
⑵-x+3<0，从“数”的角度，等价于y<0；
从“形”的角度，图像只能够在x下方，通过函数图像可以看出解集为x>3
5、共同归纳：
由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0的形式,所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y=ax+b的值大(小)于0时,求自变量相应的取值范围.
一般的一元一次不等式与一次函数的求值、利用图象分析数量关系等问题关系很密切.
从数的角度看：
求ax+b>0(a≠0)的解x为何值时y=ax+b的值大于0
从形的角度看：
求ax+b>0(a≠0)的解确定直线y=ax+b在x轴上方的图象所对应的x值
对于（<0、≥0、≤0）的情况,让学生自己口述,使其真正理解.
注:数形结合,揭示本质.
6、思考二：
下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？21*cnjy*com
（1）3x+2＞2； （2）3x+2＜0； （3）3x+2＜-1．（同桌的两个同学互相交流）
相同点：等式左边都是一元一次不等式而且左边都是3x+2
不同点：等式右边有2,0和-1，即有正数、零和负数；且有大于和小于符号
追问：（2）我们已经研究过，可以从“数”和“形”两个角度考虑，那么（1）和（3）怎么解释？（引导学生通过图像共同完成，理解和体会一元一次方程与函数的关系）
归纳：
不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围；
不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的自变量取值范围．
7、例题讲解：
如图, 一次函数的图象y=kx+b(k≠0)经过点（-3，-2）,则关于x的不等式kx+b＞-2的解集为________________.21教育网
解：x＜-1
分析：在只知道一次函数图像上一个点的情况下如何求解它的解集，发现不能够通过从“数“的角度求解，只能够从”形“的角度，通过函数图像得到解集。www-2-1-cnjy-com
8、快乐演练：
如图是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象,则关于x的方程kx+b=0的解为 ；关于x的不等式kx+b＞0的解集为 ；关于x的不等式kx+b＜0的解集为 .【来源：21cnj*y.co*m】
分析：在知道一次函数图像上2个点的情况下如何求解它的解集，
⑴可以能够通过从“数“的角度求解，先求出一次函数的解析式，再通过解不等式得到；
⑵可以能够从”形“的角度，通过函数图像直接得到解集，图像与x轴的交点横坐标就是方程kx+b=0的解；kx+b>0对应于函数图像在x轴上方，即x＞2；kx+b＜0对应于函数图像在x轴下方，即x＜2； 【出处：21教育名师】
三、课堂小结、提升新知
1．今天这节课你有哪些收获
2．你觉得应该要注意什么问题？
四、布置作业、内化新知
习题19.2.3 第1题
19.2.3 一次函数与二元一次方程（组）
教学目标
知识能力
学会利用函数图象解二元一次方程组，通过学习了解变量问题利用函数方法的优越性．提高解决实际问题的能力．21*cnjy*com
过程方法
经历观察、思考等数学活动，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述观点．体验数形结合思想意义，逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题，体会解决问题的策略多样性，发展实践能力和创新精神．21·世纪*教育网
情感、态度与价值观 积极参与活动，提高学习兴趣及求知欲，养成实事求是的态度及独立思考的习惯．
教学重点
归纳图象法解二元一次方程组的具体方法．
灵活运用函数知识解决实际问题．
教学难点
灵活运用函数知识解决相关实际问题．
教学过程
一、提出问题，创设情境
举例说明什么是二元一次方程？它的解个数如何？举出几组．
看到x+y=5这个方程，同学们能联想到以前学过的哪些知识?
这节课我们就一起来讨论他们之间的关系．
我们知道，方程3x+5y=8可以转化为y=-x+，并且直线y=-x+上每个点的坐标（x，y）都是方程3x+5y=8的解．2-1-c-n-j-y
由于任何一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式．所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线．【来源：21cnj*y.co*m】
那么解二元一次方程组
可否看作求两个一次函数y=-x+与y=2x-1图象的交点坐标呢？如果可以，我们是否可以用画图象的方法来解二元一次方程组呢？【出处：21教育名师】
我们这节课就来解决这些问题．
二、导入新课
[活动一]
活动内容设计：
一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式Ａ以每分钟0．1元的价格按上网时间计费；方式Ｂ除收月基费20元外再以每分钟0．05元的价格按上网时间计算．如何选择收费方式能使上网者更合算？【版权所有：21教育】
活动设计意图：
通过这个活动，先请学生自行考虑解决方法，再引导学生熟悉巩固用一次函数知识求二元一次方程组问题的方法，进一步提高把实际问题转化为数学问题的能力．
教师活动：
引导学生从实际问题中抽象出具体的数学问题，并应用所学方法求解．
学生活动：
在教师引导下建立两种计费方式的函数模型，然后比较求解．
活动过程及结论：
过程一：
设上网时间为x分钟，若按方式Ａ收费，y=0．1x元；若按Ｂ方式收费，y=0．05x+20元．21教育名师原创作品
在同一直角坐标系中分别画出这两个函数图象．
解方程组：
得
所以两图象交于点（400，40），从图象上可以看出：
当0 当x=400时，0．1x=0．05x+20，
当x>400时，0．1x>0．05x+20．
因此，当一个月内上网时间少于400分钟时，选择方式Ａ省钱；当上网时间等于400分钟时，选择方式Ａ、Ｂ没有区别；当上网时间多于400分钟时，选择方式Ｂ省钱．
方法二：
设上网时间为x分钟，方式Ｂ与方式Ａ两种计费的差额为y元，则y随x变化的函数关系式为：
y=（0．05x+20）-0．1x
化简：y=-0．05x+20．
在直角坐标系中画出函数的图象．
计算出直线y=-0．05x+20与x轴交点为（400，0）．
由图象可知：
当00，即选方式Ａ省钱．
当x=400时，y=0，即选方式Ａ、Ｂ没有区别．
当x>400时，y<0，即选方式Ｂ省钱．
由此可得如方法一同样的结论．
通过以上活动，使我们清楚看到函数在解决变量关系问题时的优越性，但在确定分界点位置时，又要借助方程来准确求值．www.21-cn-jy.com
联系以前所学方程（组），不等式与函数都是基本的数学模型，它们之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来，解决实际问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把这些数学模型结合起来使用．21·cn·jy·com
[活动二]
活动内容设计：
两种移动电话计费方式如下：
全球通
神州行
月租费
50元/月
0
本地通话费
0.40元/分
0.60元/分
用函数方法解答如何选择计费方式更省钱．
活动设计意图：
经过这一活动，巩固所学知识，熟悉具体问题如何灵活地、有机地把数学模型结合起来使用．
教师活动：
引导学生灵活、有机地运用各种数学模型顺利解决实际问题．
学生活动：
在教师引导下，掌握解决具体问题的方法，灵活、有机地运用各种数学模型，提高分析、解决问题能力．21教育网
活动过程及结论：
方法一：
设每月通话时间累计x分钟，则全球通月消费y=0．40x+50元；神州行月消费：y=0．60x元．21cnjy.com
在同一坐标系中画出两个一次函数的图象．
解方程组：
得
所以两图象交于点（250，150）．
由图象可以看出：
当00．60x，
当x=250时 0．40x+50=0．60x，
当x>250时 0．40x+50<0．60x．
因此，当一个月通话时间少于250分时，选择神州行省钱；当一个月通话时间等于250分钟时，选择全球通与神州行没有区别；当一个月通话时间多于250分钟时，选择全球通省钱．【来源：21·世纪·教育·网】
方法二：
设一个通话时间累计为x分，全球通与神州行两种计费差额为y元，则y随x变化的函数关系式为：
y=（0．40x+50）-0．60x
化简为：y=-0．20x+50
在直角坐标系中画出这个函数图象．
计算出直线y=-0．20x+50与x轴的交点为（250，0）．
由图象可以看出：
当00，即选神州行省钱．
当x=250时，y=0，即选神州行与全球通没有区别．
当x>250时，y<0，即选全球通省钱．
由此可以得到与方法一相同的结论．
三、课时小结
本节课从二元一次方程与一次函数关联谈起，得出利用函数图象解决二元一次方程（组）的具体方法及步骤，并通过两个实例让我们看到了不同数学模型间的联系，且通过函数观点把它们统一起来，根据具体情况灵活、有机地把这些数学模型结合起来使用，为我们解决有关实际问题提供了更大的便利．2·1·c·n·j·y
解二元一次方程组除了代入法和加减法 外还可以用图像法，那么用作图法来解方程组的步骤如下：
1、把二元一次方程化成一次函数的形式
2、在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点．
交点坐标就是方程组的解．
四、课后作业
1．二元一次方程组的解即为函数 与函数 的图象交点的坐标．
2．一次函数y=2x+3与y=2x-3的图象的位置关系是 ，即 交点（填“有”或“没有”），由此可知的解的情况是 ．
3．若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是 ．
4．在同一坐标系下，函数的图象如图所示：请根据图象回答：
（1）方程组的解为＿＿＿＿＿．
（2）不等式的解集为＿＿＿＿＿．
（3）方程的解为＿＿＿＿＿．
（4）不等式的解集为＿＿＿＿＿．
5．（10分）已知：直线5x+by=1，3x+y=1，ax+5y=4，2x-3y=8相交于一点，试求a，b的值．21世纪教育网版权所有
6．已知：直线x-2y=-k+6和x+3y=4k+1，若它们的交点在第四象限内．
（1）求k的取值范围．
（2）若k为非负整数，求直线x-2y=-k+6和x+3y=4k+1分别与y轴的交点，及它们的交点所围成的三角形的面积．www-2-1-cnjy-com
板书设计
11．3．3 一次函数与二元一次方程（组）
一、一次函数与二元一次方程关系
二、利用函数图象解二元一次方程组
三、用函数观点解决实际问题
四、随堂练习
19.3 课题学习 选择方案
教学目标
知识技能:进一步了解一次函数的解析式和图象在解决简单实际中的应用．
数学思考:尝试解决最佳方案设计问题．
解决问题:建立函数模型解决实际问题.
情感态度:通过小组讨论交流合作，培养学生的合作意识和探索精神；通过本节的学习，认识到函数与现实有密切关系，感受到数学的实际价值．21教育网
教学重点:建立函数模型选择最佳方案．
教学难点:建立函数模型选择最佳方案．
教学过程设计
活动一.方案设计:问题1 用哪种灯省钱
一种节能灯的功率为10瓦（0.01千瓦），售价为60元；一种白炽灯的功率为60瓦，售价为3元.两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同（3000小时以上）.如果电费价格为0.5元/（千瓦时），消费者选用哪种灯可以节省费用？www.21-cn-jy.com
分析:设照明时间为x小时，(总费用=用电费+灯的售价) 则
用节能灯的总费用y1为:y1=0.5×0.01x+60 ①
用白炽灯的总费用y2为:y2=0.5×0.06x+3 ②
讨论:根据①②两个函数，考虑下列问题:
（1）x为何值时y1=y2 （2）x为何值时y1＞y2 （3）x为何值时y1＜y2
试利用函数解析式及图象给出解答，并结合方程、不等式进行说明.
解:设照明时间为x小时，则
用节能灯的总费用y1为:y1=0.5×0.01x +60=0.005x+60 ①
用白炽灯的总费用y2为:y2=0.5×0.06x +3=0.03x+3 ②
在同一直角坐标系中画出函数的图象
由图看出，两条直线交点是P（2280，71.4）.
（1）x=2280时, y1=y2（2）x＜2280时, y1＞y2（3）x＞2280时, y1＜y221·cn·jy·com
所以,x=2280时,消费者选用两种灯费用相同.
x＞2280时,消费者选用节能灯可以节省费用.
x＜2280时消费者选用白炽灯可以节省费用.
活动二. 方案设计:问题2 怎样租车
某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师.现在有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表:21世纪教育网版权所有
(1)共需租多少辆汽车？(2)给出最节省费用的租车方案.
甲种客车
乙种客车
载客量（单位:人/辆）
45
30
租金（单位:元/辆）
400
280
分析:
（1）从乘车人数的角度考虑租多少辆汽车条件
①要保证240名师生有车坐，则汽车总数不能小于6辆
②要使每辆汽车至少要有1名教师.则汽车总数不能大于6辆
∴ 汽车总数只有6辆
（2）如果设租用 x 辆甲种客车，则租用乙种客车是（6- x）辆
根据租车费用（单位:元）是x的函数，可得y=400x+280（6-x）
即 y=120x+1680
讨论:x的取值范围
①保证240名师生有车坐则4≤x≤6 ②租车费不超2300元则0≤x＜6
∴ x的取值范围是4 ≤x ≤5即x=4或5两种可能.为节省应选甲车4辆，乙车2辆方案.
活动三.方案设计:问题3 怎样调水
从A，B两水库向甲、乙两地调水，其中甲地需水15万吨，乙地需水13万吨，A、B两水库各可调出水14万吨.从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米.设计一个调运方案使水的调运量（单位:万吨千米）尽可能小.21cnjy.com
设从A水库调往甲地的水量为x吨；设水的调运量为y万吨千米；则有
y= 50x+30（14-x）+60（15-x）+45（x-1）=5x+1275
甲
乙
合计
A
x
14-x
14
B
15-x
x-1
14
合计
15
13
28
活动四.知识梳理,课堂小结
解决含有多个变量的问题时,可以分析这些变量之间的关系,从中选取有代表性的变量作为自变量,然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数,以此作为解决问题的数学模型.
第19章 一次函数复习与小结
教学目标
知识技能:回顾本章主要内容，说出知识之间的联系；归纳解决实际问题的一般过程积累数学活动的经验，发展归纳与概括的能力.【来源：21·世纪·教育·网】
数学思考:本章知识之间的紧密联系以及与其它知识的联系.
解决问题:以小组讨论的形式对本章的知识进行系统梳理，总结出本章的知识点.
情感态度:通过对本章知识结构的回顾，进一步感受知识之间的紧密联系.
教学重点:确定函数解析式；函数的应用题.
教学难点:是知识的实际应用.
教学过程设计
活动一.知识结构
通过学生的合作交流总结出本节的知识结构
活动二.回顾与思考
1.为了研究变化的世界，我们引入了函数.在同一变化的过程中两个相互制约、相互依存的量x，y满足什么条件时，y是x的函数？举出一些函数的实例.21世纪教育网版权所有
2.举例说明函数有哪几种表示法，它们各有什么优点？
3.举例说明一次函数y=kx+b中的常数k对图象的影响，结合图象说明一次函数的性质.由一次函数的图象怎样求出它的解析式？www-2-1-cnjy-com
4.一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组与一次函数之间有什么关系？怎样用函数图象解方程（组）或解不等式？2-1-c-n-j-y
5.体会怎样建立实际问题的函数模型.
活动三.确定函数解析式
1.已知，如图14—1，一轮船在离A港10千米的P地出发向B地匀速行驶，30分钟后离A港26千米（未到达B港）．设出发x小时后，轮船离A港y千米（未到达B港），则y与x之间的函数关系式为_______________.【来源：21cnj*y.co*m】
解析 求出轮船的速度即可表示出y与x之间的函数关系．
答案 y=32x+10
2.已知一次函数的图象经过点（0，1），且图象与x轴、y轴所围成的三角形的面积为2，求一次函数的解析式．21*cnjy*com
解析 首先设出函数解析式，由图象过点（0，1）可得b＝1．然后根据三角形面积公式列出关于k的方程求得k值．【出处：21教育名师】
答案 设所求的一次函数解析式为y＝kx+b．
因为直线y＝kx+b经过点（0，1），所以b＝1．所以y＝kx+1．
令y＝0，则.所以直线y＝kx+l与x轴的交点坐标为
所以，解得k=±
所以一次函数的解析式为
活动四.函数应用题
1.如图14—2所示，是某公司一电热淋浴器水箱的水量y（L）与供水时间x（min）的函数关系.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，求在30 min时水箱有多少L水?
解析（1）由图象可知y与x成一次函数关系，设出解析式列方程组求解；（2）求当x＝30时的函数值即得答案．2·1·c·n·j·y
答案 （1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b．
因为直线y＝kx+b过点（10，50）和点（50，150），
所以
所以y=2.5x+25
（2）当x＝30时，y＝2．5×30＝100（L），即30 min时水箱有100 L水．
2.为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台价格、月处理污水量及年消耗费如下表：21教育网
A型
B型
价格（万元/台）
12
10
处理污水量（吨/月）
240
200
年消耗费（万元/台）
1
1
经预算，该企业购买设备资金不高于105万元．
（1）请你为该企业设计，能有几种设计方案?
（2）若企业每月生产污水量为2 040吨，为了节约资金，应选用哪种购买方案?购买资金为多少?
解析 列出关于x的不等式，求不等式的自然数解即可解决本题．
答案 设购买污水处理设备A型x台，则B型（10－x）台．
根据题意，得12x+10（10－x）≤105．解得x≤2．5．
因为x为自然数，所以x＝0或1或2．
所以共有3种方案：
方案1：购买A型0台，B型10台；
方案2：购买A型l台，B型9台；
方案3：购买A型2台，B型8台.
（2）由题意，得240x+200（10－x）≥2 040．解得x≥1．所以x=1或2．
当x=1时，购买资金为12×l+10×9=102（万元）；
当x=2时，购买资金为12×2+10×8=104（万元）.
所以应选择方案2、方案3，购买资金分别为102万元和104万元．
活动五.链接中考
1.一次函数的图象经过点（1，2），且y随x的增大而增大，则这个函数解析式是__________（任写一个），21cnjy.com
解析 本题是结论开放题，答案不唯一，该类型是近几年中考命题热点，目的在于考查学生思维的灵活性.
答案 y=2x或y=x+1
2.如图11—3，l1、l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用）y（费用=灯的售价+电费，单位：元）与照明时间x（小时）的函数图象，假设两种灯泡的使用寿命都是2 000小时，照明效果一样．21·cn·jy·com
（1）根据图象分别求出l1、l2的函数关系式；
（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等?
（3）小亮房间计划照明2 500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法（直接给出答案，不必写出解答过程）．www.21-cn-jy.com
解析 （1）由图象可得知l1、l2分别经过两点，因此设出解析式列出方程组可求得函数解析式；（2）列出关于x的方程；（3）根据所求出的函数关系式设计用灯方法．21·世纪*教育网
答案 （1）设直线l1的解析式为y1=k1x+b1，因为直线l1经过点（0，2）和点（500，17），
所以
所以y1=0.03x+2（0≤x≤2000）.
同理求得直线l2的解析式l2＝0．012x+20（0≤x≤2 000）．
（2）当y1=y2时，两种灯的费用相等．
所以0．03x+2＝0.012x+20．解得x=1 000．
所以当照明时间为1 000小时时，两种灯的费用相等．
（3）节能灯使用2 000小时，白炽灯使用500小时．
活动六.课堂小结
引导学生总结本节的收获.
