陕西省黄陵中学高新部2017-2018学年高二4月月考数学试题+Word版含答案

高新部高二第一学月考试数学试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a，b，c∈R，则复数(a＋bi)(c＋di)为实数的充要条件是( )
A．ad－bc＝0 B．ac－bd＝0
C．ac＋bd＝0 D．ad＋bc＝0
2．(2013·东莞二模)复数(1＋2i)i(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．复数z＝i(1＋i)(i为虚数单位)的模等于( )
A．1 B. C．0 D．2
4．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1， b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
5.复数=(　　)
A.i B.1+i C.-i D.1-i
6.i是虚数单位，计算i+i2+i3=(　　)
A.-1 B.1 C.-i D.i
7.设x∈R，则“x=1”是“复数z=(x2-1)+(x+1)i为纯虚数”的(　　)
A.充分必要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
8.若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A.-2 B.4 C.-6 D.6
9．已知f(x)＝x2，i是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10．若复数z＝lg(m2－2m＋2)＋i·lg(m2＋3m－3)为实数，则实数m的值为 (　 　)
A．1 B．－4
C．1或－4 D．以上都不对
11．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于 (　 　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．对任意复数ω1、ω2，定义ω1]2，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1、z2、z3，有如下四个命题：
①(z1＋z2)*z3＝(z1] (　B　)
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝________.
14．设复数z满足iz＝－3＋i(i为虚数单位)，则z的实部为________．
15．已知i为虚数单位，复数z1＝3－ai，z2＝1＋2i，若在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为________．
16．对于任意两个复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，y1，x2，y2为实数)，定义运算“⊙”为：z1⊙z2＝x1x2＋y1y2.设非零复数ω1，ω2在复平面内对应的点分别为P1，P2，点O为坐标原点．如果ω1⊙ω2＝0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？
18．(12分)已知z＝1＋i，a、b∈R.若＝1－i，求a、b的值.
19.(12分)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y关于t的回归方程=t+.
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.
附：回归方程=t+中，=，
=-.
20.(12分)生物课外活动小组在研究性别与色盲关系时，得到如下2×2列联表：
色盲
非色盲
总计
男
12
788
800
女
5
995
1000
总计
17
1 783
1 800
试判断性别与色盲是否有关系？
21.(12分)已知复数z1＝i(1－i)3，
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
22.(12分) 已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值．
(2)若复数z满足|z－a＋bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值．

DBBC AAAC ACAB
13.答案：2
14.答案：1
15.答案：
16.答案：
17.[解析]　z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)
＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)由m2－3m＋2＝0得m＝1或m＝2，
即m＝1或2时，z为实数．
(2)由m2－3m＋2≠0得m≠1且m≠2，
即m≠1且m≠2时，z为虚数．
(3)由，得m＝－，
即m＝－时，z为纯虚数．
18.[解析]　∵z＝1＋i，∴z2＝2i，所以
＝
＝
＝a＋2－(a＋b)i＝1－i.
所以，所以.
19.【解析】(1)列表计算如下：
i
ti
yi
tiyi
1
1
5
1
5
2
2
6
4
12
3
3
7
9
21
4
4
8
16
32
5
5
10
25
50
∑
15
36
55
120
这里n=5，=ti==3，=yi==7.2.
又-n=55-5×32=10，
tiyi-n=120-5×3×7.2=12，
从而==1.2，=-=7.2-1.2×3=3.6，
故所求回归方程为=1.2t+3.6.
(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为
=1.2×6+3.6=10.8(千亿元).
20.【解析】由列联表中数据可知，K2的观测值为
k=≈4.751>3.841，
在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与色盲有关系”.
21.
[分析]　(1)利用模的定义求解；
(2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合．
[解析]　(1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，
∴|z1|＝＝2.
(2)解法一：|z|＝1，∴设z＝cosθ＋isinθ，
|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|
＝
＝.
当sin(θ－)＝1时，
|z－z1|取得最大值，
从而得到|z－z1|的最大值2＋1.
解法二：|z|＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点(2，－2)．
∴|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点距离最大，则|z－z1|max＝2＋1.
22.解：(1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实数根，
∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，
故解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－3＋3i|＝2|z|，
得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8，
∴Z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，2为半径的圆．
如图，当Z点在直线OO1上时，|z|有最大值或最小值．
∵|OO1|＝，半径r＝2，
∴当z＝1－i时，|z|有最小值，且|z|min＝.