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课题：18.1.2平行四边形的判定（1）
教学目标：
理解并掌握平行四边形的判定定理．
重点：
理解并掌握平行四边形的判定定理，并能熟练应用．
难点：
根据条件灵活运用平行四边形的判定定理进行推理．
教学流程：
一、导入新课
想一想：平行四边形都有哪些性质呢？
答案：
边：平行四边形的对边平行且相等.
角：平行四边形的对角相等，邻角互补.
对角线：平行四边形的对角线互相平分.
二、新课讲解
思考：平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
探究1：性质1：平行四边形的对边相等.
逆命题：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
( http: / / www.21cnjy.com )
证明：连接BD．
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AB=CD，AD=BC，
且BD＝DB，
∴△ABD≌△CDB．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
归纳：判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
( http: / / www.21cnjy.com )
符号语言：
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
探究2：性质2：平行四边形的对角相等.
逆命题：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
( http: / / www.21cnjy.com )
证明：在四边形ABCD中，
有∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A+∠B=180°，
∠B+∠C=180°．
∴AD∥BC，AB∥DC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
归纳：判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
( http: / / www.21cnjy.com )
符号语言：∵∠A=∠C，∠B=∠D ，
∴四边形ABCD是平行四边形.
探究3：性质3：平行四边形的对角线互相平分.
逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
( http: / / www.21cnjy.com )
证明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB．
∴∠OAD=∠OCB．
∴AD∥BC．
同理AB∥DC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
归纳：判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
( http: / / www.21cnjy.com )
符号语言：
∵ OA=OC，OB=OD ，
∴四边形ABCD是平行四边形.
探究4：思考：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD， AB=CD ．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
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证明：连接AC．
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AB//CD，
∴∠1=∠2，
又∵AB=CD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA．
∴BC=DA，
∵AB=CD，BC=DA．
∴四边形ABCD是平行四边形．
归纳：判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
( http: / / www.21cnjy.com )
符号语言：∵ AB//CD，AB=CD ，
∴四边形ABCD是平行四边形.
归纳：平行四边形的判定方法
边：
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
角：
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线：
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形．
例1:如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．
求证：AB∥EF．
证明：∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥DC．
又∵DC=EF，DE=CF，
∴四边形DCFE也是平行四边形．
∴DC∥EF．
∴AB∥EF．
例2:已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF.21世纪教育网版权所有
求证：四边形BFDE是平行四边形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵AE=CF，
∴OA－AE=OC－CF，
即OE=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形。
追问1：想一想，还有其它的证法吗？
追问2：若点E，F 分别在AC 两侧的延长线上，其他条件不变，结论还成立吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵AE=CF，
∴OA+AE=OC+CF，
即OE=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
例3:如图,在□ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点．
求证：四边形EBFD是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD, BE∥DF，
又∵BE=AB, DF= CD，
∴BE=DF，
∴四边形EBFD是平行四边形.
三、巩固提升
1．在四边形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6 cm，那么当AD＝______，CD＝______时，四边形ABCD是平行四边形．21cnjy.com
答案：5cm，6cm
2．若∠A，∠B，∠C，∠D为四边形ABCD的四个内角，下列给出的是这四个内角的比值，其中能使四边形ABCD是平行四边形的是( )21·cn·jy·com
A．2∶3∶2∶3 B．2∶3∶3∶2 C．1∶2∶3∶4 D．2∶2∶3∶3
答案：A
3．小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采 ( http: / / www.21cnjy.com )用了一种方法：如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
答案：A
4.如图，在四边形ABCD中, AD∥BC, AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.21教育网
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD＝∠FCB＝90°，
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF(AAS)，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
5.如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．
求证：四边形AFBE是平行四边形．
证明：∵AC∥DB，
∴∠CAB＝∠DBA，
又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD(ASA)，
∴CO＝DO，
∵E，F分别为OC，OD的中点，
∴OE＝OF，
∴四边形AFBE 是平行四边形.
四、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
我们都学习了哪些平行四边形的判定方法？
五、布置作业
教材P47页练习第2、4题．
( http: / / www.21cnjy.com )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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18.1.2平行四边形的判定（1）课件
数学人教版 八年级下
21世纪教育网（www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
导入新课
想一想：平行四边形都有哪些性质呢？
平行四边形的对边平行且相等.
平行四边形的对角相等，邻角互补.
边
角
对角线
平行四边形的对角线互相平分.
思考：平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
性质1：平行四边形的对边相等.
逆命题：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
新课讲解
新课讲解
证明：连接BD．
∵AB=CD，AD=BC，
且BD＝DB，
∴△ABD≌△CDB．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
D
A
B
C
1
2
3
4
新课讲解
判定定理1：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言：
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
思考：平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
性质2：平行四边形的对角相等.
逆命题：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
新课讲解
新课讲解
证明：在四边形ABCD中，
有∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A+∠B=180°，
∠B+∠C=180°．
∴AD∥BC，AB∥DC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
D
A
B
C
新课讲解
判定定理2：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言：
∵∠A=∠C，∠B=∠D ，
∴四边形ABCD是平行四边形.
思考：平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
性质3：平行四边形的对角线互相平分.
逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
新课讲解
证明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB．
∴∠OAD=∠OCB．
∴AD∥BC．
同理AB∥DC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
新课讲解
已知: 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
D
A
B
C
O
新课讲解
判定定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
符号语言：
∵ OA=OC，OB=OD ，
∴四边形ABCD是平行四边形.
新课讲解
思考：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
证明：连接AC．
∵AB//CD，
∴∠1=∠2，
又∵AB=CD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA．
∴BC=DA，
∵AB=CD，BC=DA．
∴四边形ABCD是平行四边形．
已知:如图，在四边形ABCD中，AB//CD， AB=CD ．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
A
B
C
D
1
2
新课讲解
判定定理4：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
符号语言：
∵ AB//CD， AB=CD ，
∴四边形ABCD是平行四边形.
归 纳
平行四边形的判定方法
边
角
对角线
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
新课讲解
证明：∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥DC．
又∵DC=EF，DE=CF，
∴四边形DCFE也是平行四边形．
∴DC∥EF．
∴AB∥EF．
例1:如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．
求证：AB∥EF．
新课讲解
例2:已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵AE=CF，
∴OA－AE=OC－CF，
即OE=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形。
想一想，还有其它的证法吗？
新课讲解
证明：∵四边形ABCD是
平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵AE=CF，
∴OA+AE=OC+CF，
即OE=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
例2:已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形。
若点E，F 分别在AC 两侧的延长线上，其他条件不变，结论还成立吗？
新课讲解
例3:如图,在□ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点．
求证：四边形EBFD是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD, BE∥DF，
又∵BE= AB, DF= CD，
∴BE=DF，
∴四边形EBFD是平行四边形.
巩固提升
1．在四边形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6 cm，那么当AD＝______，CD＝______时，四边形ABCD是平行四边形．
5cm
6cm
巩固提升
2．若∠A，∠B，∠C，∠D为四边形ABCD的四个内角，下列给出的是这四个内角的比值，其中能使四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．2∶3∶2∶3
B．2∶3∶3∶2
C．1∶2∶3∶4
D．2∶2∶3∶3
A
巩固提升
3．小玲的爸爸在钉制平行四边
形框架时，采用了一种方法：如图
，将两根木条AC，BD的中点重叠
，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
巩固提升
4.如图，在四边形ABCD中, AD∥BC, AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD＝∠FCB＝90°，
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF(AAS)，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
巩固提升
5.如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．
求证：四边形AFBE是平行四边形．
证明：∵AC∥DB，
∴∠CAB＝∠DBA，
又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD(ASA)，
∴CO＝DO，
∵E，F分别为OC，OD的中点，
∴OE＝OF，
∴四边形AFBE 是平行四边形.
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
我们都学习了哪些平行四边形的判定方法？
布置作业
教材P47页练习第2、4题．
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18.1.2平行四边形的判定（1）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是（ ）
A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等
C. 一组对边平行，一组对边相等 D. 两条对角线互相平分
2．下列哪组条件能够判别四边形ABCD是平行四边形？（ ）
A. AB∥CD，AD＝BC B. AB＝CD，AD＝BC
C. ∠A＝∠B，∠C＝∠D D. AB＝AD，CB＝CD
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第2题图 第3题图 第4题图
3．如图，在四边形中，是边的中点，连结并延长，交的延长线于点，．添加一个条件，使四边形是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（ ）．www-2-1-cnjy-com
A. B. C. D.
4．如图，在 ABCD中，对角线A ( http: / / www.21cnjy.com )C，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( )
A. AE＝CF B. DE＝BF C. ∠ADE＝∠CBF D. ∠AED＝∠CFB
5．在给定的条件中，能作出平行四边形的是（ ）
A. 以60cm为对角线，20cm、34cm为两条邻边
B. 以20cm、36cm为对角线，22cm为一条边
C. 以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边
D. 以6cm、10cm为对角线，8cm为一条边
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．如图，已知∠B＝∠D，要使四边形ABCD成为平行四边形，需要添加一个条件是_______________．21cnjy.com
7．小明做了一个平行四边形的纸板， ( http: / / www.21cnjy.com )但他不确定纸板形状是否标准，小红用刻度尺量了这个四边形的四条边长，然后告诉小明，纸板是标准的平行四边形，小红得出这个结论的依据是__________．21·cn·jy·com
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第6题图 第8题图 第9题图 第10题图
8．如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有_____个平行四边形．【来源：21·世纪·教育·网】
9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线交于 ( http: / / www.21cnjy.com )点0，点E、F在直线AC上（不同于A、C），当E、F的位置满足_______的条件时，四边形DEBF是平行四边形．
10．如图所示，在△ABC中，AB=AC=7cm，D是BC上的一点，且DE∥AC，DF∥AB，则DE+DF=___．www.21-cn-jy.com
三、解答题(共40分)
11．如图，点M，N在线段AC上，AM＝CN，AB∥CD，AB＝CD.求证：∠1＝∠2.
( http: / / www.21cnjy.com )
12．如图，平行四边形中，对角线、交于点．将直线绕点顺时针旋转分别交、于点、．2·1·c·n·j·y
（）在旋转过程中，线段与的数量关系是__________．
（）如图，若，当旋转角至少为__________时，四边形是平行四边形，并证明此时的四边形是是平行四边形．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
参考答案
1．C
【解析】A、因为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，所以根据“两组对边分别平行”可以判定一个四边形为平行四边形．故本选项不符合题意；2-1-c-n-j-y
B、因为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，所以根据“两组对边分别相等”可以判定一个四边形为平行四边形．故本选项不符合题意；21*cnjy*com
C、根据“一组对边平行，另一组对边相等”不能判定一个四边形为平行四边形．故本选项符合题意；
D、因为“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”，所以根据“对角线互相平分”可以判定一个四边形为平行四边形．故本选项不符合题意；【出处：21教育名师】
故选：C．
2．B
【解析】解：根据平行四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定，A、C、D均不能判定四边形ABCD是平行四边形；
B选项给出了四边形中，两组对边相等，故可以判断四边形是平行四边形．
故选B．【版权所有：21教育】
3．D
【解析】如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
在和中
( http: / / www.21cnjy.com )
∴≌，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴
∴四边形为平行四边形．
故选D．
4．B
【解析】A：∵在平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
若AE=CF，则OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
B：若DE与AC不垂直，则满足AC上一定有一点DM=DE，同理有一点N使BF=BN，则四边形DEBF不一定是平行四边形，则选项错误；
C：∵在平行四边形ABCD中，OB=OD，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
若∠ADE=∠CBF，则∠DEB=∠FBO，
则△DOE和△BOF中，21教育网
∴△DOE≌△BOF，
∴DE=BF， ( http: / / www.21cnjy.com )
又∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．故选项正确；
D：∵∠AED=∠CFB，
∴∠DEO=∠BFO，
∴DE∥BF，
在△DOE和△BOF中，21教育名师原创作品
∴△DOE≌△BOF，
∴DE=BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．故选项正确．
故选B．
5．C
【解析】首先，可以根据三角形的三边关系 ( http: / / www.21cnjy.com )：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．为此，可以推断选项A、选项C错误．又因为平行四边形对角线互相平分，再根据三角形三边关系，可以推断出选项D错误，选项C正确．21*cnjy*com
6．∠A＝∠C答案不唯一
【解析】∵在四边形ABCD中，∠B ( http: / / www.21cnjy.com )=∠D
∴可添加的条件是：∠A=∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）
故答案是：∠A=∠C，等．21世纪教育网版权所有
7．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【解析】根据平行四边形的判定可得：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
故答案是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
8．4
【解析】解：∵在 ABCD中，E，F分别 ( http: / / www.21cnjy.com )为AB，DC的中点
∴DF=CD=AE=EB，AB∥CD
∴四边形AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上 ABCD本身，共有4个平行四边形4．
故答案为4．
9．AE=CF（答案不唯一）
【解析】解: 当AE=CF时四边形DEBF是平行四边形；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO，AO=CO，
∵AE=CF，
∴EO=FO，
∴四边形DEBF是平行四边形，
故答案为：AE=CF．
10．7cm
【解析】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DF=AE，
又∵DE∥AC，
∴∠C=∠EDB，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠EDB，
∴DE=BE，
∴DF+DE=AE+BE=AB=7cm．
11．证明见解析
【解析】证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠C，
∵AB=CD, AM=CN，
∴△ABM≌△CDN，
∴∠AMB=∠CND,BM=DN，
∴∠BMN=∠DNM，
∴BM∥DN，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∴∠1=∠2.
12．（）相等；（）
【解析】（1）根据平行四边形的对边平 ( http: / / www.21cnjy.com )行可得AD∥BC，对角线互相平分可得OA=OC，再根据两直线平行，内错角相等求出∠1=∠2，然后利用“角边角”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等即可得到AF=CE【来源：21cnj*y.co*m】
（2）根据垂直的定义可得∠BAO=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，然后求出∠BAO=∠AOF，再根据内错角相等，两直线平行可得AB∥EF，然后根据平行四边形的对边平行求出AF∥BE，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
解：（）相等,理由如下：
如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
在 ABCD中，AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE；
（）证明：当旋转角为时，
，
又∵AB⊥AC，
∴∠BAO= ( http: / / www.21cnjy.com )90°，
∠AOF=90°，
∴∠BAO=∠AOF，
∴AB∥EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
即：AF∥BE，
∵AB∥EF，AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；
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