第5章交变电流 2 描述交变电流的物理量 学案（含答案）

2　描述交变电流的物理量
[学习目标] 1.掌握交变电流的周期、频率、线圈转动角速度三者之间的关系.2.能理解电流的有效值是与热效应有关的量，而平均值不是简单意义的平均.3.掌握交变电流有效值与峰值的关系，会进行有效值的计算．
一、周期和频率
[导学探究]　 如图1所示，交变电流完成一次周期性变化需要多长时间？在1 s内完成多少次周期性变化？
图1
答案　完成一次周期性变化需要0.02 s；在1 s内完成50次周期性变化．
[知识梳理]　周期、频率及它们之间的关系：
(1)周期(T)：交变电流完成一次周期性变化所需的时间．
(2)频率(f)：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数．
(3)T＝或f＝.
[即学即用]　我国电网中交流电的频率为50 Hz，则我国提供市电的发电机转子的转速为________r/min.
答案　3 000
二、峰值和有效值
[导学探究]　某交流电压的瞬时值表达式u＝6sin (100πt) V，把标有“6 V　2 W”的小灯泡接在此电源上会不会被烧坏？把标有6 V的电容器接在此电源上会不会被击穿？
答案　小灯泡不会被烧坏，交流电压的瞬时值表达式u＝6sin (100πt) V中6 V是最大值，其有效值为6 V，而标有“6 V　2 W”的小灯泡中的6 V是有效值．电容器会被击穿．
[知识梳理]　交变电流的峰值和有效值：
(1)峰值：①交变电流的电压、电流能达到的最大数值叫峰值，若交流电接入纯电阻电路中，电流及外电阻两端的电压的最大值分别为Im＝，Um＝ImR.
②使用交变电流的用电器，其最大耐压值应大于其使用的交流电压的最大值．
(2)有效值：确定交变电流有效值的依据是电流的热效应．
让交流与恒定电流通过大小相同的电阻，如果在交流的一个周期内它们产生的热量相同，则此恒定电流值叫做交流电的有效值．
(3)在正弦式交变电流中，最大值与有效值之间的关系为：
E＝＝0.707Em，U＝＝0.707Um，I＝＝0.707Im.
[即学即用]　判断下列说法的正误．
(1)正弦式交变电流的正负两部分是对称的，所以有效值为零．(　　)
(2)交变电流的有效值就是一个周期内的平均值．(　　)
(3)一个正弦式交变电流的峰值同周期频率一样是不变的，但有效值是随时间不断变化的．(　　)
(4)交流电路中，电压表、电流表的测量值都是有效值．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
一、周期和频率的理解
交变电流的周期和频率跟发电机转子的角速度ω或转速n有关．ω(n)越大，周期越短，频率越高，其关系为T＝，ω＝2πf＝2πn.
例1　(多选)矩形金属线圈共10匝，绕垂直于磁场方向的转动轴在匀强磁场中匀速转动，线圈中产生的交流电动势e随时间t变化的情况如图2所示．下列说法中正确的是(　　)
图2
A．此交变电流的频率为0.2 Hz
B．1 s内电流方向变化10次
C．t＝0.1 s时，线圈平面与磁场方向平行
D．1 s内线圈转5圈
答案　BD
解析　由图象知T＝0.2 s，故f＝＝ Hz＝5 Hz，即1 s内完成5个周期，线圈转5圈，每转1圈电流方向改变2次，故A错，B、D对；在t＝0.1 s时，e＝0，所以线圈平面与磁场方向垂直，故C错．
二、非正弦式交变电流有效值的计算
利用有效值的定义，根据电流的热效应计算，计算时注意取一个完整周期的时间，而不是简单地对电压求平均值．
例2　如图3所示的交变电流由正弦式交变电流的一半和反向脉冲电流组合而成，则这种交变电流的有效值为(　　)
图3
A.I0 B.I0 C.I0 D．I0
答案　C
解析　由i－t图象知交变电流的周期T＝2 s．一个周期内：前半个周期电流的有效值：I1＝，后半个周期电流的有效值：I2＝I0.设交变电流的有效值为I，根据交变电流有效值的定义有I2RT＝IR＋IR＝2R＋IR，解得I＝I0.故选项C正确．
计算时要注意三个相同：“相同电阻”上“相同时间”内产生“相同热量”．“相同时间”一般取一个周期，半周期对称的可取半个周期．
三、正弦式交流电有效值、最大值、平均值的对比
例3　如图4所示，矩形线圈面积为S，匝数为n，线圈电阻为r，在磁感应强度为B的匀强磁场中绕OO′轴以角速度ω匀速转动，外电路电阻为R.当线圈由图示位置转过90°的过程中，求：
图4
(1)通过电阻R的电荷量q；
(2)电阻R上所产生的热量Q.
答案　(1)　(2)
解析　(1)依题意磁通量的变化量ΔΦ＝BS，线圈转过90°的时间为Δt＝＝＝，平均感应电动势为＝n＝，平均感应电流为＝＝，通过电阻R的电荷量为q＝·Δt＝.
(2)线圈中感应电动势的有效值E和最大值Em的关系是E＝＝，电路中电流的有效值为I＝＝.
电阻R上产生的焦耳热为Q＝I2R·Δt＝.
1．有效值
(1)只有正(或余)弦式交流电的有效值根据E＝计算．
(2)计算与电流热效应有关的量(如电功、电功率、热量)要用有效值．
(3)交流电表的测量值，电气设备标注的额定电压、额定电流，通常提到的交流电的数值都是指有效值．
2．平均值
(1)求某一过程中的电动势是平均值，＝n.
(2)计算通过线圈横截面的电荷量时用电动势的平均值，即q＝·Δt＝Δt＝n.
1．小型手摇发电机线圈共N匝，每匝可简化为矩形线圈abcd，磁极间的磁场视为匀强磁场，方向垂直于线圈中心轴OO′，线圈绕OO′匀速转动，如图5所示．矩形线圈ab边和cd边产生的感应电动势的最大值都为e0，不计线圈电阻，则发电机输出电压(　　)
图5
A．峰值是e0 B．峰值是2e0
C．有效值是Ne0 D．有效值是Ne0
答案　D
解析　由题意可知，线圈ab边和cd边产生的感应电动势的最大值都为e0，因此对单匝矩形线圈总电动势最大值为2e0，又因为发电机线圈共N匝，所以发电机线圈中总电动势最大值为2Ne0，根据闭合电路欧姆定律可知，在不计线圈内阻时，输出电压等于感应电动势的大小，即其峰值为2Ne0，故A、B错误；又由题意可知，若从图示位置开始计时，发电机线圈中产生的感应电流为正弦式交变电流，由其有效值与峰值的关系可知，U＝，即U＝Ne0，故C错误，D正确．
2．一台小型发电机产生的电动势随时间变化的正弦规律图象如图6甲所示．已知发电机线圈内阻为5 Ω，外接一只电阻为95 Ω的灯泡，如图乙所示，则 (　　)
图6
A．电压表的示数为220 V
B．电路中的电流方向每秒钟改变50次
C．灯泡实际消耗的功率为484 W
D．发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为24.2 J
答案　D
解析　电压表示数为灯泡两端电压的有效值，由题图知电动势的最大值Em＝220 V，有效值E＝220 V，灯泡两端电压U＝＝209 V，A错；
由题图甲知T＝0.02 s，一个周期内电流方向改变两次，可知1 s内电流方向变化100次，
B错；
灯泡的实际功率P＝＝ W＝459.8 W，C错；
电流的有效值I＝＝2.2 A，发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为Qr＝I2rt＝2.22×5×1 J＝24.2 J，D对．
3．通过一阻值R＝100 Ω的电阻的交变电流如图7所示，其周期为1 s．该电阻两端电压的有效值为 (　　)
图7
A．12 V B．4 V
C．15 V D．8 V
答案　B
解析　根据电流的热效应计算电流的有效值，由(0.1 A)2R×0.4 s×2＋(0.2 A)2R×0.1 s×2＝I2R×1 s可得，流过电阻的电流的有效值I＝ A，该电阻两端电压的有效值为U＝IR＝
4 V，B正确．
4. 如图8所示，单匝矩形闭合导线框abcd全部处于磁感应强度为B的水平匀强磁场中，线框面积为S，电阻为R.线框绕与cd边重合的竖直固定转轴以角速度ω匀速转动，线框中感应电流的有效值I＝________.线框从中性面开始转过的过程中，通过导线横截面的电荷量q＝________.
图8
答案　　
解析　感应电动势的最大值Em＝BSω，有效值E＝，感应电流的有效值I＝＝，电荷量q＝·Δt＝·Δt＝·Δt＝＝.
一、选择题(1～7题为单选题，8～10题为多选题)
1．下列选项中提到的交流电，不是指有效值的是(　　)
A．交流电压表的读数
B．保险丝熔断电流
C．电容器击穿电压
D．220 V交流电压
答案　C
解析　电容器击穿电压指电容器两端允许加的电压的最大值．
2．一正弦交流电的电压随时间变化的规律如图1所示，由图可知(　　)
图1
A．该交流电的电压的有效值为100 V
B．该交流电的频率为25 Hz
C．该交流电压瞬时值的表达式为u＝100sin (25t) V
D．并联在该电压两端的电压表指针不停摆动
答案　B
解析　根据题图可知该交变电流电压的最大值为100 V，周期为4×10－2 s，所以频率为25 Hz，A错，B对；而ω＝2πf＝50π rad/s，所以u＝100sin (50πt) V，C错；交流电压表的示数为交流电的有效值而不是瞬时值，不随时间变化，D错．
3．一个矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，周期为T.从中性面开始计时，当t＝T时，线圈中感应电动势的瞬时值为2 V，则此交变电压的有效值为(　　)
A．2 V B．2 V
C. V D. V
答案　A
解析　先用代入法求出感应电动势的最大值，由e＝Emsin ωt，得2 V＝Emsin (×)，由此得Em＝4 V，因此此交变电压的有效值为2 V，选项A正确．
4．一个小型电热器若接在输出电压为10 V的直流电源上，消耗电功率为P；若把它接在某个正弦交流电源上，其消耗的电功率为.如果电热器电阻不变，则此交流电源输出电压的最大值为(　　)
A．5 V B．5 V
C．10 V D．10 V
答案　C
解析　设电热器电阻为R，正弦交流电源的电压有效值为U有效，接10 V直流电源时，P＝＝；接交流电源时＝，联立得U有效＝5 V，故电压的最大值Um＝U有效＝10 V，选项C正确．
5．阻值为1 Ω的电阻上通一交变电流，其i－t关系图象如图2所示，则在0～1 s内电阻上产生的热量为(　　)
图2
A．1 J B．1.5 J
C．2 J D．2.8 J
答案　D
解析　因为所加的电流为交变电流，大小在变化，所以只能分时间段来求热量．在0～1 s内电流的瞬时值大小为1 A和2 A的时间段分别为t1＝0.4 s，t2＝0.6 s，所以Q＝IRt1＋IRt2＝2.8 J.
6. 在图3所示电路中，A是熔断电流为I0＝2 A的保险丝，电阻可不计，R是可变电阻，是交流电源．交流电源的内电阻不计，其电动势随时间变化的规律是e＝220sin (314t) V．为了不使保险丝熔断，可变电阻的阻值应该大于(　　)
图3
A．110 Ω B．110 Ω
C．220 Ω D．220 Ω
答案　B
解析　电源电动势的有效值为U＝220 V，Rmin＝＝ Ω＝110 Ω，故B项正确．
7．电阻R1、R2与交流电源按照如图4甲所示方式连接，R1＝10 Ω、R2＝20 Ω.合上开关S后，通过电阻R2的正弦式交变电流i随时间t变化的情况如图乙所示．则(　　)
图4
A．通过R1的电流的有效值是 A
B．R1两端的电压有效值是6 V
C．通过R2的电流的最大值是 A
D．R2两端的电压最大值是6 V
答案　B
解析　由题图乙可得，正弦式交变电流的最大值Im＝ A，所以电流的有效值I＝＝ A，电阻R1、R2串联，所以电流的最大值均为 A，有效值均为 A，故A、C项错误．由欧姆定律U＝IR得，U1＝IR1＝6 V，故B项正确．U2＝IR2＝12 V，所以U2m＝ U2＝12 V，故D项错误．
8．如图5甲是小型交流发电机的示意图，两磁极N、S间的磁场可视为水平方向的匀强磁场，为交流电流表．线圈绕垂直于磁场方向的水平轴OO′沿逆时针方向匀速转动，从图示位置开始计时，产生的交变电流随时间变化的图象如图乙所示，以下判断正确的是 (　　)
图5
A．电流表的示数为10 A
B．线圈转动的角速度为50π rad/s
C．t＝0.01 s时线圈平面与磁场方向平行
D．t＝0.02 s时电阻R中电流的方向自右向左
答案　AC
9．图6甲、乙分别表示两种电压的波形，其中图甲所示电压按正弦规律变化，下列说法正确的是(　　)
图6
A．图甲表示交流电，图乙表示直流电
B．两种电压的有效值相等
C．图甲所示电压的瞬时值表达式为u＝311sin (100πt) V
D．两种电压的周期相同
答案　CD
解析　图甲、乙都表示交流电，图甲中有效值U＝ V≈220 V，而图乙中的有效值不存在这一关系，所以它们的有效值不相同．由图甲看出T＝2×10－2s，ω＝＝100π rad/s，所以
u＝311sin (100πt) V．由图象可知两种电压的周期都是2×10－2 s.
10．如图7甲所示，在匀强磁场中，一矩形金属线圈两次分别以不同的转速，绕与磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动势图象如图乙中曲线a、b所示，则(　　)
图7
A．两次t＝0时刻线圈平面均与中性面重合
B．曲线a、b对应的线圈转速之比为2∶3
C．曲线a表示的交变电动势频率为25 Hz
D．曲线b表示的交变电动势有效值为10 V
答案　AC
解析　线圈位于中性面时，磁通量最大，电动势为零，A正确；转速之比等于周期的反比，故该比值为3∶2，B错误；频率为周期的倒数，a的周期为0.04 s，频率为25 Hz，C正确；正弦式交变电流的电动势的有效值为E＝＝，已知Ea＝ V，且ωb＝ωa，故可知Eb＝× V＝5 V，D错误．
二、非选择题
11. 如图8所示，线圈abcd的面积是0.05 m2，共100匝，线圈电阻为1 Ω，外接电阻R＝9 Ω，匀强磁场的磁感应强度为B＝ T，当线圈以300 r/min的转速匀速转动时，求：
图8
(1)电路中交流电压表和交流电流表的示数；
(2)线圈从图示位置转过90°的过程中通过电阻R的电荷量．
答案　(1)31.86 V　3.54 A　(2)0.16 C
解析　(1)Em＝nBSω
＝100××0.05×2π× V
＝50 V
E＝＝25 V≈35.4 V.
电流表的示数I＝＝3.54 A，
电压表的示数U＝IR＝3.54×9 V＝31.86 V.
(2)从图示位置转过90°的过程中，
＝n，
又因为＝，q＝Δt，
联立得q＝＝≈0.16 C.
12. 如图9所示，在匀强磁场中有一个内阻r＝3 Ω、面积S＝0.02 m2的半圆形导线框可绕OO′轴旋转．已知匀强磁场的磁感应强度B＝ T．若线框以ω＝100π rad/s的角速度匀速转动，且通过电刷给“6 V,12 W”的小灯泡供电，则：
图9
(1)若从图示位置开始计时，求线框中感应电动势的瞬时值表达式；
(2)由题中所给已知条件，外电路所接小灯泡能否正常发光？如不能，则小灯泡实际功率为多大？
答案　(1)e＝10cos (100πt) V　(2)不能　 W
解析　(1)线框转动时产生感应电动势的最大值
Em＝BSω＝×0.02×100π V＝10 V
因线框转动从平行于磁感线位置开始计时，则感应电动势的瞬时值表达式
e＝Emcos ωt＝10cos (100πt)V.
(2)由题意知灯泡的电阻R＝3 Ω
线框产生的电动势的有效值E＝＝10 V，灯泡两端电压U＝R＝5 V<6 V，故灯泡不能正常发光，其实际功率P＝＝ W＝ W.