专题三 中考数学基础解答题解题技巧
解答题是中考试题中必有的固定题型，对考生数学概念的掌握及数学公式的应用等都具有一定的考察意义，同时，通过解题活动，可以考察考生对解题思想和技巧的了解和掌握的情况。21教育名师原创作品
解答题是需要写出解题过程的题型，在中考数学试题中占相当大的比重，考试的竞争也集中在解答题的得分率上。基础解答题涉及的知识点多、覆盖面广，解法灵活。涉及数式计算、函数图像及性质的计算应用、实际问题等。
基础题解答题的关键是要重理解。理解基本的定义、公式、性质、定理，理解题目的语言叙述中的“符号信息”，理解题目的图像、图形中的“形象信息”；然后再灵活应用定义、公式、性质、定理进行计算和推理。
中考数学注重基础知识，得解答题者得天下。想做好基础题,还是得理解透彻,打好基础，灵活运用各种方法技巧。
★类型一：直接计算法
运用定义，运算律、运算法则、运算性质、运算公式等直接计算每一步的结果，但要注意审清运算式的结构、理清运算顺序，解题格式要正确。运用此种方法解计算题，需要扎实的数学基础，能理解记忆并灵活运用数学的定义、运算律、运算法则、运算性质、运算公式等。21·世纪*教育网
【例题展示】
【例1】（2016，梅州）计算：（π-5）0+ -∣-3∣+
【分析】本题直接运用计算公式法则进行运算即得结果，注意解题步骤及解题格式。其中的计算利用公式来计算，=21=2，负指数幂的计算运用该公式计算既快又不易错。
解：原式=1+－3+2
=1+1-3+2
=1
【答案】 1
【跟踪训练】
(2017,株洲)计算：+20170 ×（-1）-4sin45°
2.（2017，菏泽）计算：-12－∣3-∣+sin45°-(-1)2
3．计算：（-5sin30°)°-(1÷3)-2+∣2∣
4.（2017，宁波）计算：（2+x）(2-x)+(x-1)(x+5)
5.（2017,怀化）计算：（2a-1）-2(a+1)(a-1)-a(a-2)
化简：
★类型二：利用整体代入法、巧用计算公式法等先化简再求值
在代数式求值题型中，如果直接把每个字母的取值代入所求的代数式中，则比较复杂，而且计算量大，所以考生要学会分析条件与所求问题之间的关系，采用整体代入法、或者先化简后求值法来求代数式的值。
【例题展示】
【例2】（2104,湖北襄阳）已知：X=1-,y=1+,求x2+y2-xy-2x-2y的值。
【分析】本题所给的代数式不能化简，直接代入计算会很麻烦，用x-y与xy两个整体将所求问题与已知条件联系起来是解答本题的关键。
解：x2+y2-xy-2x-2y=（x-y）2-2(x-y)+xy
x=1-,y=1+,
x-y=(1－)－(1+)=－2
xy=(1-)(1+)=－1
原式=（－2）－2（－2）+（-1）
=7+4
【答案】7+4
【跟踪训练】
（2016，无锡洋溪中学）已知x2-4x-1=0，求代数式（2x-3）2-(x+y)(x-y)-y2的值
2.（2015，淮安）先化简，再从1,2,3三个数值选择一个合适的数作为x的值，代入求值。
（2015，梅州）已知a+b=－,求代数式（a-1）2+b(2a+b)+2a 的值
4.（2014，广州）已知多项式A=(x+2)2+(1-x)(2+x)-3
化简多项式A
若(x+1)2 =6,求A的值
5.（2017，内蒙古呼和浩特）求代数式的值，其中x=
★类型三：转化思想
转化思想是解决数学题的一种重要的思维方法，它是分析问题、解决问题的有效途径，它包含了数、式、形的相互转换。21*cnjy*com
【例题展示】
【例3】（2016，梅州）关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数x1、x221*cnjy*com
（1）求实数k的取值范围． （2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=-x1?x2，求k的值．
【分析】（1）把一元二次方程根的问题转化成根与系数的关系。根据根与系数的关系得出△>0，代入求出即可。
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=-（2k+1），x1?x2=k2+1，根据x1+x2=-x1?x2得出-（2k+1）=-（k2+1），求出方程的解，再根据（1）的范围确定即可．
解:（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3＞0，
解得：k＞；
即实数k的取值范围是k＞
（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=-（2k+1），x1?x2=k2+1 又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=-x1?x2， ∴-（2k+1）=-（k2+1）， 解得：k1=0，k2=2， ∵ k＞
∴k=2．
【答案】（1）k＞ （2）k=2
【跟踪训练】
（2015，广东）解方程：x2-3x+2=0
(2016，吉林)解方程：
3.(2016,中山二模)如图，已知：E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H，∠1=∠2，∠A=∠D，求证： （1）AF∥ED； （2）∠AFC=∠D； （3）∠B=∠C． 21·cn·jy·com
4.(2016,北京)如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD,交DC的延长线于点E.求证：DA=DE
5.如图所示，AB是⊙O的直径，∠B=30°，弦BC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD． （1）求直径AB的长； （2）求阴影部分的面积（结果保留π）．
??
★类型四：应用题。读懂题意，找准关键词，理清问题中包含的数量关系
应用题在中考数学试卷中也是一个重要的组成部分。它考察学生的解决问题，分析问题的能力。对于应用题，要多读几遍题目，找到关键词，理解题目含义，清楚哪些是已知条件，要求什么，分析题目中所包含的数量关系，以及该类问题中隐含的数量关系是解应用题的关键。
【例题展示】
【例4】（2014，广东）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%. （1）求这款空调每台的进价。 （2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？
【分析】认真审题，明白这是销售类问题，这类问题蕴含了很多的等量关系，找到这些等量关系是解决问题的关键。销售类问题包含的公式有:售价=标价×折扣，
利润=售价-成本，总利润=总售价-总成本=数量×单利润，，
利用公式及其变形结合本题条件列出方程即可。注意分式方程一定要检验。
解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：
9% 解得：x=1200， 经检验：x=1200是原方程的解，且符合实际意义． 答：这款空调每台的进价为1200元；
（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×1200×9%=10800元． 【答案】（1）这款空调每台的进价为1200元； （2）商场销售这款空调机100台的盈利为10800元．【来源：21cnj*y.co*m】
【跟踪训练】
1．(2015,广州)某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元． （1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少 万元．
2.（2016，中山二模）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？【来源：21·世纪·教育·网】
3.（2015，江门一中二模）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的 。求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？
4.（2016，辽宁沈阳）倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买． （1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B两种型号健身器材各购买多少套？ （2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？
★类型五：数形结合法：函数图像,图表信息
函数图像题，认真审题，仔细观察图像（1）要弄清函数图像上一些特殊点的意义，如起点、终点、转折点、交点等；（2）要认识图像的变化趋势，上升或下降，直线或曲线及函数的类型；（3）有关实际问题的函数图像，要清楚理解横坐标、纵坐标所表示的意义。
图标信息题，关键是读懂图表的含义，找到对应关系。
【例题展示】
【例5】（2017，新疆乌鲁木齐）一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图所示：
（1）甲乙两地相距多远？
（2）求快车和慢车的速度分别是多少？
（3）求出两车相遇后y与x之间的函数关系式；
（4）何时两车相距300千米．
【分析】认真审题结合图像明白横轴表示行驶的时间，纵轴表示甲乙两车之间的距离，因此，由（0,600）可知两地相距600米；（4,0）表示他们行驶4小时时相遇；相遇后图中线段有曲折：表示快车到达甲地后停车不动了，慢车还在继续，直到 10小时后慢车到达乙地。由图像可知，起始点时纵坐标为600，所以两地相距600千米；
解：（1）由图像可知，起始点时纵坐标为600，所以两地相距600千米；
设慢车速度n，快车速度m，相遇后图中线段有曲折：表示快车到达甲地后停车不 动了，慢车还在继续，直到 10小时后慢车到达乙地，所以：慢车的速度是：n=600÷10=60（千米/小时），4（n+m）=600, 得：n+m=150www.21-cn-jy.com
快车速度是：m=150-n=150-60=90（千米/小时）
(3)600÷90=(小时) ×60=400(千米)
所以x=时，y=400
4≤x≤时，设y=kx+b,可得
可得，400=k+b,0=4k+b
K=150,b=-600
所以4≤x≤时，y=150x-600
≤x≤10时，y=60x
所以两车相遇后y与x的函数关系是：
4≤x<时，y=150x-600
≤x≤10时，y=60x
(4)相遇前0≤x<4时，y=-150x+600
有（3）可得，当0≤x≤时，由y=300
0≤x<4时，300=-150x+600,得x=2
4≤x<时，300=150x-600，得x=6
综上所述，当行驶2小时或6小时时，两车相距300千米
【答案】
【跟踪训练】
1．(2015,深圳六校二模)如图是某汽车行驶的路程s（千米）与时间t（分钟）的函数关系图。观察图中所提供的信息，解答下列问题：（1）汽车在前9分钟的平均速度是______千米/分钟；（2）汽车在途中停留的时间为______分钟；（3）当16≤t≤30时，求s与t的函数关系式。 2·1·c·n·j·y
2.（2017，湛江二模）如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数的图象交于A（2，3），B（－3，n）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式kx＋b＞的解集______________； （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC.求S△ABC． 【版权所有：21教育】
3.（2017，深圳宝安模拟）如图，已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0） （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
4.某校为了丰富学生的第二课堂，对学生参与演讲、舞蹈、书法和摄影活动的兴趣情况进行调查，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中最感兴趣的一项），对调查结果进行统计后，绘制了如下两个统计图： （1）此次调查抽取的学生人数m=??????? 名，其中选择“书法”的学生占抽样人数的百分比n=????? （2）若该校有3000名学生，请根据以上数据估计该校对“书法”最感兴趣的学生人数．
★类型六：定义法
定义法就是直接运用数学定理、定义、性质等分析问题、解决问题。用定义法解题是最直接的方法，这也是几何中最重要的一种解题方法。21世纪教育网版权所有
【例题展示】
【例6】(2015,陕西旬阳模拟)如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E.21cnjy.com
(1)求证：△ACD≌△CEB
（2）已知DA=4，AB=,求BE的长．
【分析】利用三角形全等的判定定理，寻找全等的条件，∠ABC=∠BAC=45°可知CA=CB,再利用同角的余角相等可得∠DAC=∠BCE，从而由AAS证得全等。△ABC中，由AB=利用勾股定理求得AC，结合DA=4，在△ACD中再次勾股定理求得DC,又DC=BE,即求得BE的长。
(1)证明：
∵∠ABC=∠BAC=45°， ∴∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BCE+∠ACD=90°
∵AD⊥CP，BE⊥CP
∴∠ADC=∠BEC=90°
∴∠DAC+∠ACD=90° ∴∠DAC+∠ACD=∠BCE+∠ACD=90° ∴∠DAC=∠BCE， 在△ACD和△CEB中，【出处：21教育名师】
∠DAC=∠BCE
∠ADC=∠CEB
AC=BC
∴△ACD≌△CEB（AAS），
（2）
∵△ACD≌△CEB
∴BE=CD
在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=
∴AC=
在ΔACD中，AD=4
∴CD=
∴BE=1
【跟踪训练】
1.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F，求证：四边形AECF是平行四边形。21教育网
已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．www-2-1-cnjy-com
求证：（1）AD＝BD； （2）DF是⊙O的切线．
3.如图ΔABC中，AB=AC,P,D分别是BC,AC边上的点，且∠APD=∠B
（2015?泰安）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．
(1)求证：AC?CD=CP?BP；
(2)若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长
4.（2016，中山二模）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，D点为垂足，AC⊥BE，E点为垂足，M点为AB边的中点，连接ME、MD、ED． （1）求证：△MED是等腰三角形； （2）求证：∠EMD=2∠DAC．
5.(2017,佛山二模)如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，ΔADE和ΔBCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
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专题三 中考数学基础解答题解题技巧
解答题是中考试题中必有的固定题型，对考生数学概念的掌握及数学公式的应用等都具有一定的考察意义，同时，通过解题活动，可以考察考生对解题思想和技巧的了解和掌握的情况。21*cnjy*com
解答题是需要写出解题过程的题型，在中考数学试题中占相当大的比重，考试的竞争也集中在解答题的得分率上。基础解答题涉及的知识点多、覆盖面广，解法灵活。涉及数式计算、函数图像及性质的计算应用、实际问题等。
基础题解答题的关键是要重理解。理解基本的定义、公式、性质、定理，理解题目的语言叙述中的“符号信息”，理解题目的图像、图形中的“形象信息”；然后再灵活应用定义、公式、性质、定理进行计算和推理。
中考数学注重基础知识，得解答题者得天下。想做好基础题,还是得理解透彻,打好基础，灵活运用各种方法技巧。
★类型一：直接计算法
运用定义，运算律、运算法则、运算性质、运算公式等直接计算每一步的结果，但要注意审清运算式的结构、理清运算顺序，解题格式要正确。运用此种方法解计算题，需要扎实的数学基础，能理解记忆并灵活运用数学的定义、运算律、运算法则、运算性质、运算公式等。
【例题展示】
【例1】（2016，梅州）计算：（π-5）0+ -∣-3∣+
【分析】本题直接运用计算公式法则进行运算即得结果，注意解题步骤及解题格式。其中的计算利用公式来计算，=21=2，负指数幂的计算运用该公式计算既快又不易错。
解：原式=1+－3+2
=1+1-3+2
=1
【答案】 1
【跟踪训练】
(2017,株洲)计算：+20170 ×（-1）-4sin45°
【分析】本题直接运用计算公式法则进行运算即得结果
解:原式=
=
=－1
【答案】－1
2.（2017，菏泽）计算：-12－∣3-∣+sin45°-(-1)2
【分析】本题直接运用计算公式法则进行运算即得结果
解:原式=
=
=
【答案】
3．计算：（-5sin30°)°-(1÷3)-2+∣2∣
【分析】本题直接运用计算公式法则进行运算即得结果
解:原式=
=－6
【答案】－6
4.（2017，宁波）计算：（2+x）(2-x)+(x-1)(x+5)
【分析】本题直接运用计算公式法则进行运算即得结果
解:原式=
=
【答案】
5.（2017,怀化）计算：（2a-1）-2(a+1)(a-1)-a(a-2)
【分析】本题直接运用计算公式法则进行运算即得结果
解:原式=
=
=
【答案】
化简：
【分析】本题直接运用计算公式法则进行运算即得结果
解:原式=
=
=3x+1
【答案】3x+1
★类型二：利用整体代入法、巧用计算公式法等先化简再求值
在代数式求值题型中，如果直接把每个字母的取值代入所求的代数式中，则比较复杂，而且计算量大，所以考生要学会分析条件与所求问题之间的关系，采用整体代入法、或者先化简后求值法来求代数式的值。2·1·c·n·j·y
【例题展示】
【例2】 （2104,湖北襄阳）已知：X=1-,y=1+,求x2+y2-xy-2x-2y的值。
【分析】本题所给的代数式不能化简，直接代入计算会很麻烦，用x-y与xy两个整体将所求问题与已知条件联系起来是解答本题的关键。2-1-c-n-j-y
解：x2+y2-xy-2x-2y=（x-y）2-2(x-y)+xy
x=1-,y=1+,
x-y=(1－)－(1+)=－2
xy=(1-)(1+)=－1
原式=（－2）－2（－2）+（-1）
=7+4
【答案】7+4
【跟踪训练】
（2016，无锡洋溪中学）已知x2-4x-1=0，求代数式（2x-3）2-(x+y)(x-y)-y2的值
【分析】本题可以用一元二次方程求根的方法求出x的值，然后再代入计算，但这样计算量大而且过程复杂，故先化简，再分析条件与所求代数式之间的关系，最后整体代入即可。
解：原式=
=
=
因为x2-4x-1=0 ，所以x2-4x=1，
所以，原式=
=12
【答案】12
2.（2015，淮安）先化简，再从1,2,3三个数值选择一个合适的数作为x的值，代入求值。
【分析】本题先化简分式再代入求值，注意所选的x的值要使原式有意义。
解：
=
=
=
因为≠0，≠0，所以x≠1,x≠2,故根据条件x=3
x=3时，原式=3－2=1
【答案】1
（2015，梅州）已知a+b=－,求代数式（a-1）2+b(2a+b)+2a 的值
【分析】本题满足条件的a,b的值很多，因此无法把a,b的取值一一代入，所以本题适合整体代入，用(a+b)表示所求代数式，整体代入即得结果。【来源：21·世纪·教育·网】
解：原式=
=
=
当a+b=－时，
原式=
=2+1
=3
【答案】3
4.（2014，广州）已知多项式A=(x+2)2+(1-x)(2+x)-3
化简多项式A
若(x+1)2 =6,求A的值
【分析】先化简，再分析条件与所求代数式之间的关系，最后整体代入即得结果
解：（1）A=
=
因为(x+1)2 =6，所以
所以A=3x+3
=3(x+1)
=±
【答案】(1) (2)±
5.（2017，内蒙古呼和浩特）求代数式的值，其中x=
【分析】直接代入计算量大而且过程复杂，故本题先化简分式再代入求值
解：原式=
=
=
当x=时，原式==
【答案】
★类型三：转化思想
转化思想是解决数学题的一种重要的思维方法，它是分析问题、解决问题的有效途径，它包含了数、式、形的相互转换。21教育网
【例题展示】
【例3】（2016，梅州）关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数x1、x221世纪教育网版权所有
（1）求实数k的取值范围． （2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=-x1?x2，求k的值．
【分析】（1）把一元二次方程根的问题转化成根与系数的关系。根据根与系数的关系得出△>0，代入求出即可。21·世纪*教育网
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=-（2k+1），x1?x2=k2+1，根据x1+x2=-x1?x2得出-（2k+1）=-（k2+1），求出方程的解，再根据（1）的范围确定即可．
解:（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3＞0，
解得：k＞；
即实数k的取值范围是k＞
（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=-（2k+1），x1?x2=k2+1 又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=-x1?x2， ∴-（2k+1）=-（k2+1）， 解得：k1=0，k2=2， ∵ k＞【来源：21cnj*y.co*m】
∴k=2．
【答案】（1）k＞ （2）k=2
【跟踪训练】
（2015，广东）解方程：x2-3x+2=0
【分析】通过因式分解把一元二次方程转化成一元一次方程。
解：原方程变形为：
所以，x-2=0或x-1=0
所以，x1=2,x2=1
(2016，吉林)解方程：
【分析】通过去分母把分式方程转化成整式方程，但因为分母不为零，所以最后要检验
解：去分母得，
解得， x=5
检验：x=5时，,
所以，原分式方程的解为 x=5
3.(2016,中山二模)如图，已知：E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H，∠1=∠2，∠A=∠D，求证： （1）AF∥ED； （2）∠AFC=∠D； （3）∠B=∠C． 21cnjy.com
【分析】转化思想是分析几何问题的一个重要的思想方法。本题（1）的位置关系可以转化为相应的数量关系来研究。即根据对顶角相等可得∠1=∠3，进一步得到∠3=∠2，根据同位角相等，两直线平行即可求解； （2）（3）中的角是特殊位置关系的角：同位角，内错角。因此可以把角的数量关系转化为平行的位置关系来解决。即（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠AFC=∠D； （3）根据等量关系可得∠A=∠AFC，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等即可得到∠B=∠C．www.21-cn-jy.com
证明：（1）∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠3=∠2， ∴AF∥ED；
（2）∵AF∥ED， ∴∠AFC=∠D；
（3）∵∠AFC=∠D，∠A=∠D， ∴∠A=∠AFC， ∴AB∥CD， ∴∠B=∠C．
4.(2016,北京)如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD,交DC的延长线于点E.求证：DA=DE21*cnjy*com
【分析】观察可知DA，DE是同一个三角形的边，故可利用“等角对等边”把DA=DE转化为证明∠DAE=∠DEA即可。
证明：四边形ABCD是平行四边形
AB//DC
∠BAE=∠DEA
又AE平分∠BAD,
∠BAE=∠DAE
∠DAE=∠DEA
DA=DE
5.如图所示，AB是⊙O的直径，∠B=30°，弦BC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD． （1）求直径AB的长； （2）求阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角推知∠ACB=90°，然后在直角三角形ABC中利用边角关系、勾股定理来求直径AB的长度；（2）把阴影部分的面积转化为扇形的面积与三角形的面积之差。故连接OD．利用（1）中求得AB=43可以推知OA=OD=23；然后由角平分线的性质求得∠AOD=90°；最后由扇形的面积公式、三角形的面积公式可以求得阴影部分的面积=S扇形△AOD-S△AOD．
解：（1）∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠B=30°， ∴AB=2AC， ∵AB2=AC2+BC2， ∴AB2= AB2+62，
∴AB=4
（2）连接OD． ∵AB=4
∴OA=OD=2
∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°， ∴∠ACD=45°， ∴∠AOD=2∠ACD=90°， ∴S△AOD= OA?OD=6
∴S扇形△AOD= ?π?OD2= ?π?（2 ）2=3π，
∴阴影部分的面积=S扇形△AOD-S△AOD=3π-6．??????
★类型四：应用题。读懂题意，找准关键词，理清问题中包含的数量关系
应用题在中考数学试卷中也是一个重要的组成部分。它考察学生的解决问题，分析问题的能力。对于应用题，要多读几遍题目，找到关键词，理解题目含义，清楚哪些是已知条件，要求什么，分析题目中所包含的数量关系，以及该类问题中隐含的数量关系是解应用题的关键。
【例题展示】
【例4】（2014，广东）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%. （1）求这款空调每台的进价。 （2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？
【分析】认真审题，明白这是销售类问题，这类问题蕴含了很多的等量关系，找到这些等量关系是解决问题的关键。销售类问题包含的公式有:售价=标价×折扣，
利润=售价-成本，总利润=总售价-总成本=数量×单利润，，
利用公式及其变形结合本题条件列出方程即可。注意分式方程一定要检验。
解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：
9% 解得：x=1200， 经检验：x=1200是原方程的解，且符合实际意义． 答：这款空调每台的进价为1200元；
（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×1200×9%=10800元． 【答案】（1）这款空调每台的进价为1200元； （2）商场销售这款空调机100台的盈利为10800元．
【跟踪训练】
1．(2015,广州)某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元． （1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少 万元．
【分析】（1）本题所包含的等量关系：增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解． （2）利用（1）中求得的增长率来求2016年该地区将投入教育经费．
解：设增长率为x，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为
2500（1+x）2万元． 则2500（1+x）2=3025， 解得x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意舍去）．
所以x=0.1=10% 答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%． （2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）． 故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．
2.（2016，中山二模）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？
【分析】认真审题，明白这是销售类问题，这类问题蕴含了很多的等量关系，找到这些等量关系是解决问题的关键。本题用公式：总利润=数量×单利润，
解：设每件商品降价x元，根据题意得
x-40）(300+20x)=6080
解得，x1=4,x2=1
因为要让顾客得实惠
所以 x=4
60-4=56(元)
答：应将销售单价定为56元。
（2015，江门一中二模）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的 。求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？21·cn·jy·com
【分析】本题是工程类问题，工程类问题所包含的等量关系有:工作总量=工作效率×工作时间，以及它的变形式。当工作总量未知时，通常把它当做单位1来处理。本题求的是工作效率，工作时间明显，一定要根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲10天的工作总量+乙12天的工作总量=1．
解：设甲施工队单独完成此项工程需x天，
则乙施工队单独完成此项工程需x天． 根据题意得：
解得：x=25． 经检验：x=25是所列方程的解． ∴当x=25时， x=20． 答：甲施工队单独完成此项工程需25天，乙施工队单独完成此项工程需20 天．
（2016，辽宁沈阳）倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买． （1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B两种型号健身器材各购买多少套？ （2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？
【分析】（1）设购买A种型号健身器材x套，B型器材健身器材y套，根据：“A型器材总费用+B型器材总费用=20000元，A型器材数量+B型器材数量=50”列方程求解可得； （2）设购买A型号健身器材m套，根据：A型器材总费用+B型器材总费用≤18000，列不等式求解可得．
解：（1）设购买A种型号健身器材x套，B型器材健身器材（50-x）套，
根据题意，得：310x+460（50-x）=20000
解得 ：x=20
x=30
答：购买A种型号健身器材20套，B型器材健身器材30套．
（2）设购买A型号健身器材m套， 根据题意，得：310m+460（50-m）≤18000， 解得：m≥ www-2-1-cnjy-com
∵m为整数， ∴m的最小值为34， 答：A种型号健身器材至少要购买34套．
★类型五：数形结合法：函数图像,图表信息
函数图像题，认真审题，仔细观察图像（1）要弄清函数图像上一些特殊点的意义，如起点、终点、转折点、交点等；（2）要认识图像的变化趋势，上升或下降，直线或曲线及函数的类型；（3）有关实际问题的函数图像，要清楚理解横坐标、纵坐标所表示的意义。
图标信息题，关键是读懂图表的含义，找到对应关系。
【例题展示】
【例5】（2017，新疆乌鲁木齐）一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图所示：
（1）甲乙两地相距多远？
（2）求快车和慢车的速度分别是多少？
（3）求出两车相遇后y与x之间的函数关系式；
（4）何时两车相距300千米．
【分析】认真审题结合图像明白横轴表示行驶的时间，纵轴表示甲乙两车之间的距离，因此，由（0,600）可知两地相距600米；（4,0）表示他们行驶4小时时相遇；相遇后图中线段有曲折：表示快车到达甲地后停车不动了，慢车还在继续，直到 10小时后慢车到达乙地。由图像可知，起始点时纵坐标为600，所以两地相距600千米；
解：（1）由图像可知，起始点时纵坐标为600，所以两地相距600千米；
设慢车速度n，快车速度m，相遇后图中线段有曲折：表示快车到达甲地后停车不 动了，慢车还在继续，直到 10小时后慢车到达乙地，所以：慢车的速度是：n=600÷10=60（千米/小时），4（n+m）=600, 得：n+m=15021教育名师原创作品
快车速度是：m=150-n=150-60=90（千米/小时）
(3)600÷90=(小时) ×60=400(千米)
所以x=时，y=400
4≤x≤时，设y=kx+b,可得
可得，400=k+b,0=4k+b
K=150,b=-600
所以4≤x≤时，y=150x-600
≤x≤10时，y=60x
所以两车相遇后y与x的函数关系是：
4≤x<时，y=150x-600
≤x≤10时，y=60x
(4)相遇前0≤x<4时，y=-150x+600
有（3）可得，当0≤x≤时，由y=300
0≤x<4时，300=-150x+600,得x=2
4≤x<时，300=150x-600，得x=6
综上所述，当行驶2小时或6小时时，两车相距300千米
【答案】
【跟踪训练】
1．(2015,深圳六校二模)如图是某汽车行驶的路程s（千米）与时间t（分钟）的函数关系图。观察图中所提供的信息，解答下列问题：（1）汽车在前9分钟的平均速度是______千米/分钟；（2）汽车在途中停留的时间为______分钟；（3）当16≤t≤30时，求s与t的函数关系式。
【分析】认真审题结合图像可知（0,0）表示出发点，（9,12）表示9分钟时行驶了12km，9min至16min是平行x轴的线段表示这段时间停留不动，（30,40）表示40min时行驶了40km.由图像可知16≤t≤30是一次函数图像，故可用待定系数法求其函数关系式。
解：(1)设前9分钟路程与时间的函数关系为s=vt，把s=12，t= 9代入s=vt 解得（km/min），即汽车在前9分钟的平均速度为?km/min? (2)16 －9 =7 (min)，汽车在中途停了7 min.? (3)设当16t30时，s与t的函数关系式为s=kt+6．由图知函数图像经过点(16，12)和点(30，40)，于是可得方程组，解得?? 于是s与t的函数关系式为s =2t －20(16≤t≤30)
2.（2017，湛江二模）如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数的图象交于A（2，3），B（－3，n）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式kx＋b＞的解集______________； （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC.求S△ABC． 【出处：21教育名师】
【分析】（1）把A（2，3），B（－3，n）代入一次函数y＝kx＋b与反比例函数可求出m,k,b的值，（2）数形结合，不等式kx＋b＞解集即是直线在双曲线上方时x的所有的取值。（3）结合图像确定三角形的底，带入面积公式即可。
解:（1）∵ 点A（2，3）在的图象上，∴ m＝6， ∴ 反比例函数的解析式为， ∴ n＝＝－2. ∵ 点A（2，3），B（－3，－2）在y＝kx＋b的图象上， ? ∴ 一次函数的解析式为y＝x＋1． （2）－3＜x＜0或x＞2. （3）以BC为底，则BC边上的高为3＋2＝5， ∴ S△ABC＝×2×5＝5．
3.（2017，深圳宝安模拟）如图，已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0） （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=-x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标； （2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．
解:(1)把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=-x2+mx+3得：0=-32+3m+3， 解得：m=2， ∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小， 设直线BC的解析式为：y=kx+b， ∵点C（0，3），点B（3，0）， ∴ 0=3k+b,b=3
∴ b=3,k=-1
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
当x=1时，y=-1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，求点P的坐标为：（1，2）．
4.某校为了丰富学生的第二课堂，对学生参与演讲、舞蹈、书法和摄影活动的兴趣情况进行调查，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中最感兴趣的一项），对调查结果进行统计后，绘制了如下两个统计图： （1）此次调查抽取的学生人数m=??????? 名，其中选择“书法”的学生占抽样人数的百分比n=????? （2）若该校有3000名学生，请根据以上数据估计该校对“书法”最感兴趣的学生人数．
【分析】这种题型，主要信息都在图中，故要仔细观察图。由演讲的人数及所占抽样人数的百分比可求出样本容量。
解：M=150,n=30％
3000×30％=900(名)
答：估计该校对“书法”最感兴趣的学生人数为900名．
★类型六：定义法
定义法就是直接运用数学定理、定义、性质等分析问题、解决问题。用定义法解题是最直接的方法，这也是几何中最重要的一种解题方法。
【例题展示】
【例6】(2015,陕西旬阳模拟)如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E.
(1)求证：△ACD≌△CEB
（2）已知DA=4，AB=,求BE的长．
【分析】利用三角形全等的判定定理，寻找全等的条件，∠ABC=∠BAC=45°可知CA=CB,再利用同角的余角相等可得∠DAC=∠BCE，从而由AAS证得全等。△ABC中，由AB=利用勾股定理求得AC，结合DA=4，在△ACD中再次勾股定理求得DC,又DC=BE,即求得BE的长。
(1)证明：
∵∠ABC=∠BAC=45°， ∴∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BCE+∠ACD=90°
∵AD⊥CP，BE⊥CP
∴∠ADC=∠BEC=90°
∴∠DAC+∠ACD=90° ∴∠DAC+∠ACD=∠BCE+∠ACD=90° ∴∠DAC=∠BCE， 在△ACD和△CEB中，
∠DAC=∠BCE
∠ADC=∠CEB
AC=BC
∴△ACD≌△CEB（AAS），
（2）
∵△ACD≌△CEB
∴BE=CD
在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=
∴AC=
在ΔACD中，AD=4
∴CD=
∴BE=1
【跟踪训练】
1.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F，求证：四边形AECF是平行四边形。
【分析】本题定义法。用平行四边形的定义或判定定理，寻找其成立的条件。本题方法很多，选用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”较简单。【版权所有：21教育】
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD=OB，OA=OC ∵ ∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO ∴△FDO≌△EBO ∴OF=OE ∴四边形AECF是平行四边形。
已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：（1）AD＝BD； （2）DF是⊙O的切线．
【分析】（1）由于AC=AB，如果连接CD，那么只要证明出CD⊥AB，根据等腰三角形三线合一的特点，我们就可以得出AD=BD，由于BC是圆的直径，那么CD⊥AB，由此可证得． （2）已知DF与⊙O的公共点为D，所以用切线的判断定理，故连接OD，再证明OD⊥DE即可．
证明：连结CD，
???∵BC为⊙O的直径 ∴CD⊥AB???????????????????????????? ∵AC＝BC ∴AD＝BD．??
证明：连结OD，????? ∵AD＝BD，OB＝OC ∴OD∥AC?????????????? ∵DE⊥AC? ∴DF⊥OD????????????????????? ∴DF是⊙O的切线．??
3.如图ΔABC中，AB=AC,P,D分别是BC,AC边上的点，且∠APD=∠B
（2015?泰安）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．
(1)求证：AC?CD=CP?BP；
(2)若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长
【分析】(1)AC?CD=CP?BP积相等，即是比例问题，因此用相似来解决。利用三角形相似的判断定理证明△ABP∽△PCD，再由AB=AC进行等量代换即证得。（2）证△BAP∽△BCA，再代入计算即得结果。
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C． ∵∠APD=∠B，
∴∠APD=∠B=∠C． ∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC， ∴∠BAP=∠DPC， ∴△ABP∽△PCD， ∴
∴AB?CD=CP?BP． ∵AB=AC， ∴AC?CD=CP?BP；
(2)∵PD∥AB，
∴∠APD=∠BAP． ∵∠APD=∠C，
∴∠BAP=∠C． ∵∠B=∠B， ∴△BAP∽△BCA， ∴
∵AB=10，BC=12， ∴
∴BP=
4.（2016，中山二模）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，D点为垂足，AC⊥BE，E点为垂足，M点为AB边的中点，连接ME、MD、ED． （1）求证：△MED是等腰三角形； （2）求证：∠EMD=2∠DAC．
【分析】（1）综合利用直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质。根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出ME=MD，从而得到△MED是等腰三角形。根据等边对等角的性质可得∠MAE=∠MEA，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠BME=2∠MAE，同理求出∠BMD=2∠MAD，然后根据∠EMD=∠BME-∠BMD整理即可得解．
证明：
∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC， ∴ME=AB，MD=AB， ∴ME=MD， ∴△MED为等腰三角形；
∵ME=AB=MA， ∴∠MAE=∠MEA， ∴∠BME=2∠MAE， 同理可得：∠BMD==2∠MAD， ∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC．
∴∠EMD=2∠DAC．
5.(2017,佛山二模)如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，ΔADE和ΔBCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
2-1-c-n-j-y
【分析】先利用三角形的中位线证得 MN//PQ且NM=QP，根据平行四边形的判定定理可得四边形PQMN为平行四边形，然后由△ADE和△BCE都是等边三角形，得出AE=DE，CE=BE，∠AED=∠BEC，则可得出△ACE≌△DBE，故AC=BD，从而根据菱形的定义得出四边形PQMN为菱形。
证明：如图，连结AC、BD． ∵ PQ为ΔABC的中位线， ?? ∴ PQ// AC且PQ=AC
同理 MN//AC 且MN=AC
∴ MN//PQ且NM=QP ? ∴ 四边形PQMN为平行四边形． ? 在ΔAEC和ΔDEB中， ??? AE=DE，EC=EB， ? ∠AED=60°=∠CEB，
∴ ∠AED+∠DCE=∠CEB+∠DCE ?? 即 ∠AEC=∠DEB． ??? ?∴ ΔAEC≌ΔDEB． ∴ AC=BD．
?∴ PQ=AC=BD=PN ? ? ?∴PQMN为菱形．
