2018年高考数学二轮透析23题对对碰主题13+排列组合、二项式定理与概率（理）

2018届二轮透析高考数学23题对对碰【二轮精品】第二篇
主题13 排列组合、二项式定理与概率（理）
【主题考法】本主题考题类型为选择填空题或填空题，以应用题为背景，考查利用两个计数原理、排列组合知识解决“在”与“不在”问题、相邻问题、相间问题等等计数问题，与函数、不等式等知识结合，考查古典概型、几何概型、互斥事件和概率公式、相互独立事件积概率、条件概率、n次独立重复试验、离散型随机变量分布列及其期望与方差、正态分布等数学知识与方法，考查利用二项式定理的通项求展开式的特定项、利用二项式定理展开式的性质求有关系数等问题，考查运算求解能力、阅读理解能力、应用意识、分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力，难度为基础题或中档题，分值5至15分.【主题考前回扣】
1．分类加法计数原理
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法(也称加法原理)．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法(也称乘法原理)．
3．排列
(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．
(3)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．
(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝1.
4．组合
(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．
(3)组合数的计算公式：C＝＝＝，由于0！＝1，所以C＝1.
(4)组合数的性质：①C＝C；②C＝C＋C.
5．二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk.
6．二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.
7．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C.
(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k<时，二项式系数是递增的；当k＞时，二项式系数是递减的．
当n是偶数时，那么其展开式中间一项的二项式系数最大．
当n是奇数时，那么其展开式中间两项和的二项式系数相等且最大．
(3)各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
8.牢记概念与公式
(1)概率的计算公式
①古典概型的概率计算公式
P(A)＝；
②互斥事件的概率计算公式
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
③对立事件的概率计算公式
P()＝1－P(A)；
④几何概型的概率计算公式
P(A)＝.
9.八组公式
①离散型随机变量的分布列的两个性质
(ⅰ)pi≥0(i＝1,2，…，n)；(ⅱ)p1＋p2＋…＋pn＝1.
②期望公式
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
③期望的性质
(ⅰ)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
(ⅱ)若X～B(n，p)，则E(X)＝np；
(ⅲ)若X服从两点分布，则E(X)＝p.
④方差公式
D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，标准差为.
⑤方差的性质
(ⅰ)D(aX＋b)＝a2D(X)；
(ⅱ)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；
(ⅲ)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
⑥独立事件同时发生的概率计算公式
P(AB)＝P(A)P(B)．
⑦独立重复试验的概率计算公式
Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.
⑧条件概率公式
P(B|A)＝.
【易错点提醒】
1．关于两个计数原理应用的注意事项
(1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
(2)混合问题一般是先分类再分步．
(3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．
(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．
2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．
3．排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题排除法处理．(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．(10)正难则反，等价条件．
4．对于二项式定理应用时要注意
(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．
项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．
(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系．
(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
(4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a，b.
5.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．
6．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
7.要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．
8．易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误．
【主题考向】
考向一 利用两个计数原理处理排列组合综合应用问题
【解决法宝】解排列、组合的应用题，首先要分析是排列问题还是组合问题，若是与顺序有关是排列问题，若是是顺序无关是组合问题，其次要掌握计算排列组合问题的以下常见方法：(1)元素分析法，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)位置分析法，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)排除法，即先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数；（4）对排列组合综合问题时，一般先取后排，相邻问题用“捆绑法”，不相邻问题用“插空法”，名额分配问题或相同物品分配问题用“隔板法”，定序问题或平均分组问题用“消序法”.
例2【凉山州2018届二诊】某校在教师交流活动中，决定派名语文教师， 名数学教师到甲乙两个学校交流，规定每个学校派去名老师且必须含有语文老师和数学老师，则不同的安排方案有（ ）种
A. B. C. D.
【分析】设2名语文教师为A，B，先选2名数学与A一组，另外2名数学老师与B一组，再将这两组老师分配到2所学校.
【解析】设2名语文教师为A，B，第一步，先分组，与A同组的2名数学老师共有种，另两名数学老师与B同组有种方法，第二步，再安排到两个学校交流，有种方法，由分步计数原理可得，共有=12种，故选C．
考向二 二项式定理应用
【解决法宝】1.利用二项式定理求解的2种常用思路
(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．
(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．
2．(易错提醒)在应用通项公式时，要注意以下几点：
(1)它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；
(2)Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；
(3)公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置.
例2 【广东省茂名市五大联盟学校2018届3月联考】在的展开式中，项的系数为（ ）
A. 200 B. 180 C. 150 D. 120
【分析】利用二项展开式的通项分别求出展开式含的系数和展开式中含的系数，乘积即为项的系数.
考向三 古典概型
【解决法宝】1.利用古典概型求概率的关键及注意点
①正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常用到排列、组合的有关知识．
②对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏．
2.基本事件数的探求方法：
①列举法：适合于较简单的试验；
②树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求；
③排列、组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识，只是在计数时要保持一致性，即要么用排列数，要么用组合数求．
例3 【湖北省十堰市一中2018届一模】某食品长为了促销，制作了3种不同的精美卡片，每袋食品中随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获得，现购买该食品4袋，能获奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先分基本总数，即每袋放一张卡，可重复，是“住店问题” ，可得基本事件总数，获奖为袋食品袋中种不同的卡片，即可得到获奖的事件数，利用古典概型公式即可求得概率.
考向四 几何概型
【解决法宝】1.当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；
2.利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.
例4 【山东省烟台市2018届高考诊断】七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )
A. B. C. D.
【分析】设小正方形边长为1，计算出各等腰梯形的边长和大正方形的边长，计算出各自面积，算出非阴影部分面积，根据几何概型公式即可求出所求事件的概率.
【解析】不妨设小正方形的边长为1，则两个等腰直角三角形的边长为,一个等腰直角三角形的边长为，两个等腰直角三角形的边长为2，2， ，即最大正方形边长为，P=,选B.
考向五 相互独立事件和独立重复试验
【解决法宝】1.注意区分互斥事件和相互独立事件，互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的情况，相互独立事件是指几个事件的发生与否互不影响，当然可以同时发生；
2.牢要熟记独立重复试验概率公式，并深刻理解其含义.
3.求复杂事件概率的方法
(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．
(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．　　
例5 【东北三省哈师大附等三校2018届一模】从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】设“第一次抽到奇数”为事件A，记“第二次抽到偶数”为事件B，所求的概率即 P（A/B）．先求出P（AB）和P（B）的值，再根据P（A/B）=，运算求得结果．
【解析】由题意，记“第一次抽到奇数”为事件A，记“第二次抽到偶数”为事件B，则，，所以.故选B.
考向六 随机变量的分布列、期望和方差
【解决法宝】1.离散型随机变量的分布列、期望和方差，是概率的重点内容，高考对此作重点考查，理科的概率解答题基本上都要考查这个知识点；
求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率；
求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布（或两点分布），则可直接利用公式求解.
例6【浙江省嵊州市2018届上学期期末】甲箱子里装有个白球和个红球，乙箱子里装有个白球和个红球．从这两个箱子里分别摸出一个球，设摸出的白球的个数为，摸出的红球的个数为，则（ ）
A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
【分析】分别求出、的分布列和期望，即可作出正确判断.
【主题集训】
1. 【海南省2018届上学期期末】已知随机变量服从正态分布，且， ，则（ ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8
【答案】B
【解析】随机变量服从正态分布，所以曲线关于对称，且，由，可知，所以，故选B.
2.【山东省烟台市2018届上学期期末】在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得：，即，解得，所求的概率为，故选
3.【广东省江门市2018届一模】6件产品中有件合格品，件次品。为找出件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验出最后一件次品的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】次正正次,正次正次,正正次次,以上三种可能,概率为,故选.
4.【湖北省黄冈、黄石等八市2018届高三3月联考】天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数。依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组。得到的10组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353。则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，每天下雨概率由十组数据可得三天中有两天下雨的概率，故选
5.【广东省茂名市五大联盟学校2018届3月联考】12月18日至20日，中央经济工作会议在北京举行，中国经济的高质量发展吸引了全球更多投资者的青睐目光，在此期间，某电视台记者，随机采访了7名外国投资者，其中有4名投资者会说汉语与本国语，另外3名投资者除会说汉语与本国语外还会一种语言,现从这7人中任意选取3人进行采访，则这3人都只会使用两种语言交流的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】从7人中任意选取3人的不同选取方法有种情况，其中3人都只会说两种语言有种情况，故所求概率为，故选B.
6.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，10】把长为的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】.
【解析】设把长为的铁丝随机截成三段的长度分别为x,y,80-x-y，则由题意知：，所以包含事件每段铁丝长度都不小于所表示的面积为，而基本事件所表示的平面区域的面积为，所以由古典概型的计算公式即可得出每段铁丝长度都不小于的概率，故应选.
7.【湖南省衡阳市2018届一模】2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日,中国人民银行为此发行了以此为主题的金质纪念币,如图所示,该圆形金质纪念币,直径22mm.为了测算图中军旗部分的面积,现用1粒芝麻(将芝麻近似看作一个点)向硬币内随机投掷220次,其中恰有60次落在军旗内,据此可估计军旗的面积大约是（ ）
A. 32 B. 33 C. 132 D. 133
【答案】B
【解析】设军旗的面积为s，
8.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，8】如图所示的阴影部分是由轴，直线及曲线围成，现向矩形区域内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由几何概型可知，所求概率为.
9.【河南省濮阳市2018届二模】如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
10.【云南大理2017届高三第一次统测，4】2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（ ）
A．80 B．100 C．120 D．200
【答案】D
【解析】正态曲线图象的对称轴为，根据其对称性可知， 成绩不低于分的学生人数约为人，故选D.
11.【广西桂林、贺州、崇左三市2018届第二次联考】若，则成立的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,由于,所以, ,故概率为,选C.
12.【广东省汕头市2017届高三上学期期末，9】将二项式展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】由，知当时为有理项，则二项式展开式中有4项有理项，3项无理项，所以基本事件总数为，无理项互为相邻有，所以所求概率＝，故选A．
13.【甘肃省兰州市2018届一诊】若的展开式中各项的系数之和为，则分别在区间和内任取两个实数，，满足的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，可得，则，点所在区域为矩形，面积为，满足的区域面积，所以满足的区域面积，满足的概率为，故选B.
14.【广东省珠海一中等六校2018届第三次联考】从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有( )
A. 42种 B. 36种 C. 72种 D. 46种
【答案】A
15.【广东省2018届一模】的展开式中，的系数为（ ）
A. 120 B. 160 C. 100 D. 80
【答案】A
【解析】，的展开式中含的项为的展开式中含的项为的系数为，故选A.
16.【河南省郑州市2018届第二次质量预测】《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撒侨任务的故事.撒侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( )
A. 240种 B. 188种 C. 156种 D. 120种
【答案】D
【解析】当E,F排在前三位时， =24,当E,F排后三位时， =72，当E,F排3，4位时， =24，N=120种，选D.
17.【山东省聊城市2018届一模】的展开式中常数项为__________．
【答案】672
18.【陕西省西安市一中2018届上期中】已知，则__________．
【答案】
【解析】令，得；
令，得；
两式相加得
19.【百校联盟2018届TOP20三月联考】春节临近，某火车站三个安检入口每天通过的旅客人数（单位：人）均服从正态分布，若，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个超过人的概率为__________．
【答案】
【解析】根据正态分布的对称性，每个安检人口超过1100人的概率： .
所以这三个安检人口每天至少有两个超过1100人的概率为
20.【内蒙古赤峰市2018届上学期期末】机动车驾驶的考核过程中,科目三又称道路安全驾驶考试,是机动车驾驶人考试中道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目的简称假设某人每次通过科目三的概率均为,且每次考试相互独立,则至多考两次就通过科目三的概率为__________．
【答案】
【解析】第一类：考一次就通过的概率为；第二类：第一次未通过，第二次通过的概率为；综上，则至多考两次就通过科目三的概率为.
21.【辽宁省锦州市一中2018届一模】甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件三个人去的景点各不相同，事件甲独自去一个景点，则__________．
【答案】
22.【山东省济南市2018届一模】的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含项的系数为__________．
【答案】-48
【解析】令，可得的展开式中各项系数的和为，得， 展开式的系数，即是展开式中的与系数的和， 展开式通项为，令，得，令，得，将与，分别代入通项，可得与的系数分别为与原展开式的系数为，故答案为.
23.【新疆乌鲁木齐地区2018届二诊】有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法种数有__________（用数字作答）．
【答案】36
【解析】根据题意，先排除甲的其余4人，因为乙、丙两位同学要站在一起，故捆绑再与其余3人进行全排，共有种排法，再将甲插空，由于甲不能和乙站在一起，故甲有3种插法，所以根据乘法原理，不同的站法有种排法.