2018精品之高中数学（理）黄金100题系列第26题+利用导数研究函数的最值与极值

第26题 利用导数研究函数的最值与极值
I．题源探究·黄金母题
【例1】（I）求函数的极值；
（II）求函数在上的最大值与最小值．
【答案】（I）当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为；（II）函数在上的最大值是，最小值是．
【解析】
（I）．
令，解得或．下面分两种情况讨论：
（1）当，即，或时；
（2）当，即时．
当变化时，的变化情况如下表：
单调递增
单调递减
单调递增
因此，当时，有极大值，并且极大值为；
当时，有极小值，并且极小值为．
（II），结合（I）列表：
单调递减
单调递增
当时，有极小值，并且极小值为．
又由于，因此，函数在上的最大值是，最小值是．
精彩解读
【试题来源】（I）人教版A版选修2-2P28例4；（II）人教版A版选修2-2P30例5．
【母题评析】求函数的极值及函数在闭区间上的最值是高中数中常见的一类典型问题，本题考查了如何利用导数求函数的极值及最值．
【思路方法】
一、求函数极值的一般步骤：
（1）求函数的定义域；
（2）求；
（3）求方程的根；
（4）检查在方程的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值．
二、求函数在上的最大值与最小值的一般步骤：
（1）求函数在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
II．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考课标II理11】若是函数的极值点，则的极小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】试题分析：由题可得．
因为，所以，，故
令，解得或，所以在单调递增，在单调递减，
所以极小值为，故选A．
【例2】【2017高考山东理20】已知函数，，其中是自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；
当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是；极小值是．
【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数得斜率，由点斜式写出直线方程．
试题解析：（Ⅰ）由题意．又，∴，因此曲线在点处的切线方程为，即．，即．
（Ⅱ）由题意得，∵，令，则，∴在上单调递增．
∴当时，单调递减，当时，．
（I）当时，，当时，单调递减；当时，单调递增，所以当时取得极小值，极小值是．
（II）当时，．由 得 ，．
①当时，，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
∴当时取得极大值，极大值为，
当时取到极小值，极小值是 ；
②当时，，∴当时，，函数在上单调递增，无极值；
③当时，，∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
∴当时取得极大值，极大值是；当时取得极小值，极小值是．
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；
当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是；
当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是；极小值是．
【例3】【2017高考北京理19】已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求斜率再代入切线方程公式；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调减求函数的最大值，可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，根据单调性求最值．
试题解析：（Ⅰ）因为，所以．
又因为，所以曲线在点处的切线方程为．
（Ⅱ）设，则．
当时，，所以在区间上单调递减．
所以对任意有，即．
所以函数在区间上单调递减．因此在区间上的最大值为，最小值为．
【例4】【2017高考江苏20】已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（I）求关于 的函数关系式，并写出定义域；
（II）证明：；
（III）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围．
【答案】（I）；（II）见解析；（III）．
【解析】（I）解：由，得．当时，有极小值．∵的极值点是的零点，∴，又，故．∵有极值，故有实根，从而，即．
时，，故在R上是增函数，没有极值；
时，有两个相异的实根，．
列表如下
x
+
0
0
+
↗
极大值
↙
极小值
↗
故的极值点是．从而，因此，定义域为．
（II）解法一：，
解法二：由（I）知．
设，则．
当时，，从而在上单调递增．
∵，∴，故，即．因此．
（III）由（I）知，的极值点是，且，．
从而
记的所有极值之和为，
的极值为．
，于是在上单调递减．，于是，故．
因此的取值范围为．
【命题意图】本类题通常主要考查利用导数求函数的极值及函数在闭区间上的最值．
【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题、填空题或解答题，难度中等；若为压轴题，则难度大．
【难点中心】（1）可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．
（2）若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
【命题意图】本类题通常主要考查利用导数求函数的最值．
【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题、填空题或解答题，难度中等．
【难点中心】第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是恒成立，这样就能知道函数的单调性，根据单调性求最值，从而判断的单调性，求得最值．
【命题意图】本类题通常主要考查利用导数由极值最值求参数的值或取值范围．
【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题、填空题或解答题，难度较大，属于压轴题．
【难点中心】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．
III．理论基础·解题原理
考点一 利用导数研究函数的极值与最值
设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法．
考点二 已知函数极值（最值）情况求参数的值或取值范围
先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想．含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一．这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等．
【技能方法】
1．研究函数单调区间，实质研究函数极值问题．分类讨论思想常用于含有参数的函数的极值问题，大体上可分为两类，一类是定区间而极值点含参数，另一类是不定区间（区间含参数）极值点固定，这两类都是根据极值点是否在区间内加以讨论，讨论时以是否使得导函数变号为标准，做到不重不漏．
2．函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤
①求函数的定义域；
②求；
③求方程的根；
④检查在方程的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数在内的极值；
②将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【易错指导】
1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．
2．函数在某区间上或定义域内极大值不是唯一的．
3．函数的极大值不一定比极小值大．
4．对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的既不充分也不必要条件．
5．函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．
6．可导函数极值存在的条件：
(1)可导函数的极值点x0一定满足f′(x0)＝0，但当f′(x1)＝0时，x1不一定是极值点．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
(2)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
7．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
8．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
V．举一反三·触类旁通
考向1 利用导数求函数的极值
【例1】【2018豫南九校第二次质量考评】已知函数，则的极大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【例2】【2018衡水大联考】已知函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性及极值；
（Ⅱ）若不等式在内恒成立，求证：．
【答案】（I）见解析；（II）见解析．
【解析】试题分析：（I）函数求导得，讨论和演技单调性及极值即可；（II）当时，在内单调递增，可知在内不恒成立，当时， ，即，所以．令，进而通过求导即可得最值．
试题解析：（I）由题意得．
当，即时，，在内单调递增，没有极值．
当，即，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故当时，取得最小值，无极大值．
综上所述，当时，在内单调递增，没有极值；
当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值．
（II）由（I），知当时，在内单调递增，当时，成立．
当时，令为和中较小的数，所以，且．则，．
所以，与恒成立矛盾，应舍去．
当时， ，即，
所以．令，则．
令，得，令，得，故在区间内单调递增，在区间内单调递减．故，即当时，．
所以．所以．而，所以．
【名师点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（I）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（II）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；
（III）若 恒成立，可转化为．
【跟踪练习】
1．【2018江西上饶高三下学期第二次高考模拟】设函数（为常数，为自然对数的底数）．
（I）当时，求函数的单调区间；
（II）若函数在内存在三个极值点，求实数的取值范围．
【答案】（I）的单调递减区间为，单调递增区间为（II）．
试题解析：（I）函数的定义域为．．
由可得，所以当时，；当时，．
故的单调递减区间为，单调递增区间为
（II）由（I）知，当时，函数在内单调递减，在内单调递增，故在内仅存在一个极值点；当时，令，，依题函数与函数，的图象有两个横坐标不等于2的交点．
，当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增；而
所以当即时，存在使得，
且当时，当 ，当时，当时，此时存在极小值点和极大值点；
同理，当即时，存在使得，此时存在极小值点和极大值点．
综上，函数在内存在三个极值点时，实数的取值范围为．
【名师点睛】本题的难点在第（II）问，主要是对函数的分析，把它的图像和性质分析清楚了，原命题自然分析清楚了．解答数学问题，要善于抓住主要问题，再突破．
2．【2018陕西榆林二模】已知函数，．
（I）若时，求函数的最小值；
（II）若函数既有极大值又有极小值，求实数的取值范围．
【答案】（I）；（II）．
（II）现求导数，函数既有极大值又有极小值，等价于有两个零点，可分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性和极值，得到函数有极大值和极小值的条件，即可求解实数的取值范围．
试题解析：（I）当时，，定义域为．
，令，可得．列表：
-
0
+
极小值
所以，函数的最小值为．
（II），定义域为，．
记，，，
①当时，，在上单调递增，
故在上至多有一个零点，
此时，函数在上至多存在一个极小值，不存在极大值，不符题意；
②当时，令，可得，列表：
+
0
-
极大值
若，即，，即，故函数在上单调递减，函数在上不存在极值，与题意不符，若，即时，由于，且 ，故存在，使得，即，且当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增，函数在处取极小值．
由于，且 （事实上，令， ，故在上单调递增，所以）．
故存在，使得，即，
且当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，函数在处取极大值．
综上所述，当时，函数在上既有极大值又有极小值．
【名师点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力．导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题；(4)考查数形结合思想的应用．
3．【2018福建厦门高三下学期第一次质量检查（3月）】已知函数，其中为自然对数的底数．
（I）当时，证明：；
（II）讨论函数极值点的个数．
【答案】（I）详见解析；（II）详见解析．
试题解析：（I）依题意，，故原不等式可化为，因为，只要证．
记，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
∴，即，原不等式成立．
（II）．
记
（ⅰ）当时，，在上单调递增，，．
∴存在唯一，且当时，；当．
①若，即时，对任意，此时在上单调递增，无极值点；
②若，即时，此时当或时，．即在上单调递增；当时，，即在上单调递减；此时有一个极大值点和一个极小值点；
③若，即时，此时当或时，．即在上单调递增；当时，，即在上单调递减：此时有一个极大值点和一个极小值点．
（ⅱ）当时，，所以，显然在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点．
（ⅲ）当时，由（I）可知，对任意，从而，而对任意．∴对任意．
此时令，得；令，得．
∴在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点．
（ⅳ）当时，由（I）可知，对任意，当且仅当时取等号．此时令，得；令得．
∴在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点．
综上可得：①当或时，有两个极值点；
②当时，无极值点；
③当时，有一个极值点．
【名师点睛】求函数极值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值；（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值．
考向2 利用导数求函数的最值
【例3】【2018吉林百校联盟届高三TOP20九月联考】已知关于的不等式有唯一整数解，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【名师点睛】不等式有唯一整数解问题可以转化为两个图像的位置关系问题，观察与的图象的高低关系，只要保证上方只有一个整数满足即可．
【例4】【2018吉林百校联盟届高三TOP20九月联考】已知当时，关于的方程有唯一实数解，则距离最近的整数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由可得：，令，则，
令，则，由可得，函数h(x)单调递增，
函数h(x)的最小值为，则存在满足h(x)=0，据此可得：距离最近的整数为3．本题选择B选项．
【名师点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
【例5】【2016高考浙江理数】已知，函数F（x）=min{2|x?1|，x2?2ax+4a?2}，其中min{p，q}=
（I）求使得等式F（x）=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范围；
（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；
（ii）求F（x）在区间[0，6]上的最大值M（a）．
【答案】（I）；（II）（i）；（ii）．
（II）（i）设函数，，则
，，
所以，由的定义知，即．
（ii）当时，，
当时，．
所以，．
考点：1、函数的单调性与最值；2、分段函数；3、不等式．
【思路点睛】（I）根据的取值范围化简，即可得使得等式成立的的取值范围；（II）（i）先求函数和的最小值，再根据的定义可得；（ii）根据的取值范围求出的最大值，进而可得．
【跟踪练习】
1．【2018云南保山市普通高中毕业生第二次市级统测】已知函数．
（Ⅰ）设函数，试讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设函数 ，求函数的最小值．
【答案】(Ⅰ) 函数在上单增，在上单减，在上单增(Ⅱ)
（Ⅱ）函数，令，则，从而通过求和的最小值进而可得的最小值．
试题解析：
（Ⅰ）函数的定义域为，，
故 ．
令，得或，
当时，，在上为单调增函数，
当时，，在上为单调减函数，
当时，，在上为单调增函数，
故函数在上单增，在上单减，在上单增．
（Ⅱ）函数，
由（Ⅰ）得函数在上单增，在上单减，在上单增，
∵时，，而，
故函数的最小值为，
令，得 ，
当时，，在上为单调减函数，
当时，，在上为单调增函数，
∴函数的最小值为，
故当时，函数的最小值为．
【名师点睛】利用导数求函数在闭区间上的最值问题，先对函数求导，再求导函数的零点，一般先看能不能因式分解，如果不能就要分三个方面考虑，一是导函数恒正或恒负，二是可观察出函数的零点，再通过二阶导证明导函数单调，导函数只有唯一零点，三是导函数的零点不可求，我们一般称为隐零点，通过图像和根的存在性定理，先判定和设零点，后面一般需要回代消去隐零点或参数，本题中是将一个函数拆为两个函数分别求得最值，又恰好在同一处取到．
2．【2018江西上饶高三下学期第二次高考模拟】已知函数．
（I）求函数的极值；
（II）若恒成立，求的最小值．
【答案】（I）极小值为，无极大值；（II）．
，令，只需利用导数求出即可的结果．
试题解析：（I），恒成立，
∴在上单调递增，又，∴当时，递减，
当时，递增，∴的极小值为，无极大值．
（II）即，
令，即证当时，恒成立，
则，当在上单调递增，当时，，与矛盾．
②当在上单调递减，当上单调递增，
∴，即，
∴，令，
∴，令得，
令得，∴，即当时，的最小值为．
3．【2018天津市十二重点中学高三毕业班联考】已知函数．
（I）讨论函数的单调性；
（II）若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（III）当时，若函数有两个极值点，求的最大值．
【答案】（I）当时，在上递减；当 时，在 上内单调递增，在 内单调递减；（II）；（III）．
试题解析：（I）由已知得，
当时，，在内单调递减．
当时，若，有，若，有，则在上内单调递增，在内单调递减．
（II）令，由
解法一：当时，，所以在内单调递减，则有 ，从而 ，
当时，，得，当，有，则在上内单调递增，此时 ，与恒成立矛盾，因此不符合题意，
综上实数的取值范围为．
解法二：当时，，所以在内单调递减，则有 ，符合题意．
当时，，得，当，有，若，有，则在上内单调递增，在内单调递减．又，因此，即，
综上实数的取值范围为．
（III），则，
由已知，可得，即方程有2个不相等的实数根，
则， 解得，其中，
而
由可得，又，所以，
设，，，由，则，故，所以在单调递增，当时，取得最大值，最大值为．
4．【2018山东聊城高三一模】已知函数（，且）．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求函数在上的最大值．
【答案】（Ⅰ）的单调增区间为，单调减区间为．（Ⅱ）当时， ；当时， ．
【试题解析】（Ⅰ），
设 ，则．
∵，，∴在上单调递增，
从而得在上单调递增，又∵，
∴当时，，当时，，
因此，的单调增区间为，单调减区间为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得在上单调递减，在上单调递增，
由此可知．
∵，，∴．
设，则 ．
∵当时，，∴在上单调递增．
又∵，∴当时，；当时，．
①当时，，即，这时， ；
②当时，，即，这时， ．
综上，在上的最大值为：当时， ；
当时， ．
【名师点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查利用导数求最大值．与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．
考向3 已知函数极值（最值）情况求参数的值或取值范围
【例6】【2018广州市海珠区高三综合测试（一）】已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，故选A．
【名师点睛】本题主要考查了函数的极值以及零点，已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【例7】【2018海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学等八校高三上学期新起点联盟考试】已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【名师点睛】解答本题的关键是如何借助题设条件建立不等式组，这是解答本题的难点，也是解答好本题的突破口，如何通过解不等式使得问题巧妙获解．
【例8】【2018广东珠海高三9月摸底考试】函数
（I）讨论的单调性；
（II）若函数有两个极值点，且，求证：
【答案】（I） 时，在上单减，在上单增；时，在上单减，在和上单增；时，在上单增；（II）见解析．
对恒成立．设，研究其最值即可．
试题解析：的定义域是，．
（I）由题设知，．令，这是开口向上，以为对称轴的抛物线．
在时，当，即时，，即在上恒成立．
②当，即时，由得
令，，则，．
1) 当即，即时，时，，即，时，，即．
2) 当时，即，即时，
时，，即，或时，，即
综上：①当时，在上单减，在上单增；
②当时，在上单减，在和上单增；
③当时，在上单增．
（II）若函数有两个极值点，且，则必是，则，则，且在上单减，在和上单增，则．
、是的二根， ，即，，
若证成立，只需证
即证对恒成立．
设，
，
当时，，，，故，故在上单增，
故，
对恒成立，．
【跟踪练习】
1．【2018豫南九校第二次质量考评】若函数在处有极小值，则常数的值为（ ）
A． B．2或8 C．2 D．8
【答案】D
【解析】∵函数f（x）=x（x﹣c）2，∴f′（x）=3x2﹣4cx+c2，又f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极值，
∴f′（II）=12﹣8c+c2=0，解得c=2或6，又由函数在x=2处有极小值，故c=2，c=6时，函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值．
【名师点睛】根据函数在x=2处有极小值，得到f′（II）=0，解出关于c的方程，再验证是否为极小值即可．需要注意： 是 是函数的极值点的充分不必要条件．
2．【2018“超级全能生”26省9月联考】已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则的取值范围是__________．
【答案】
3．【2018广西柳州模拟】已知为实数，函数．
（I）若是函数的一个极值点，求实数的取值；
（II）设，若，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（I） ；（II） ．
【解析】试题分析：（I）求出函数f（x）定义域，函数的导函数f′（x），假设存在实数a，使f（x）在x=3处取极值，则f′（III）=0，求出a，验证推出结果．
（II）由f （x0）≤g（x0） 得：（x0﹣lnx0）a≥x02﹣2x0，记F（x）=x﹣lnx（x＞0），求出F′（x），推出F（x）≥F（I）=1＞0，转化a≥，记G（x）=，x∈[，e]求出导函数，求出最大值，列出不等式求解即可．
解析：（I）函数定义域为，．
∵是函数的一个极值点，∴，解得．经检验时，是函数的一个极小值点，符合题意，∴．
（II）由，得，记，
∴，∴当 时，，单调递减；当时，，单调递増．∴，∴，记，
∴ ．
∵，∴，∴，∴时，，单调递减；时，，单调递增，∴，∴．
故实数的取值范围为．
【名师点睛】本题考查函数的动手的综合应用，函数的最值的求法，极值的求法，用到了变量集中的方法．