2018届高三数学成功在我之优等生提分问题4.1+等差数列、等比数列的性质与证明问题

2018届高三数学成功在我
专题四 数列
问题一：等差数列、等比数列的性质与证明问题
一、考情分析
等差数列与等比数列的证明是高考热点，一般出现在解答题第一问，等差数列与等比数列的证明难度虽然不大，但有一定的技巧性，且对规范性要求较高，解题时要避免会而不对或对而不全．
二、经验分享
1.等差数列证明方法主要有：(1)定义法：an－an－1(n≥2,n∈N*)为同一常数?{an}是等差数列；(2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2,n∈N*)成立?{an}是等差数列；(3)通项公式法：an＝pn＋q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立?{an}是等差数列；(4)前n项和公式法：验证数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A,B为常数)对任意的正整数n都成立?{an}是等差数列；
2.若判断一个数列不是等差数列,只需找出三项an,an＋1,an＋2,使得这三项不满足2an＋1＝an＋an＋2即可．
3.等比数列的判定与证明方法主要有：(1)定义法：将已知中提供的递推关系式,或者是an与Sn的关系式进行化简,转化为数列{an}中相邻两项之间的关系,在an≠0(n∈N*)的前提下,若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数,n≥2且n∈N*),则{an}是等比数列．(2)等比中项法：数列{an}中,an≠0,如果根据已知条件能得到a＝an·an＋2(n∈N*),则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：观察已知信息,或者计算出数列的通项公式,若可以写成an＝c·qn－1(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则数列{an}是等比数列．(5)性质法：利用等比数列的性质进行判断或证明.(6)数学归纳法.
三、知识拓展
1.数列{}中=1，=，则是等差数列，
2.数列{}中=1，是{}的前n项和，=-2（n≥2），则是等差数列
3．数列{}中=1，=（1+）+2n+2，则是等差数列
4.数列{}中=1，=2+-1，则是等差数列
5.数列{}中=2，=+1+，则是等差数列
四、题型分析
(一) 利用等差（等比）数列的定义
用定义法判断一个数列是等差数列,常采用的两个式子和有差别,前者必须加上“”,否则时无意义；在等比数列中一样有：时,有（常数）；②时,有（常数）．
【例1】【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】在数列中，已知，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，且数列的前项和为,若为数列中的最小项，求的取值范围．
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
试题解析：解（1）∵,∴．
又，∴,故，
是以为首项，公比为的等比数列
（2）由（1）知道，.
.
若为数列中的最小项，则对有恒成立
即对恒成立
当时，有；
当时,有；
当时，恒成立,
对恒成立.
令，则对恒成立,
在时为单调递增数列.
，即.
综上，.
【小试牛刀】【江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校2018届高三12月联考】已知数列的满足，前项的和为，且.
（1）求的值；
（2）设，证明：数列是等差数列；
（3）设，若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）.
【解析】
（1）令得.
（3）由（2）知，因为，所以数列的通项公式为.
因为，所以，
所以，所以数列是常数列.
由，所以.
所以.
因为
所以数列为单调递增数列
当时， ，即的最小值为
由，所以，
而当时， 在递减， 递增，所以，
当且仅当或时取得，故.
(二) 运用等差或等比中项性质
是等差数列,是等比数列,这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法．
【例2】正数数列和满足：对任意自然数成等差数列,成等比数列．证明：数列为等差数列．
【证明】依题意,,且,
．
．
由此可得．即．
数列为等差数列．
【点评】本题依据条件得到与的递推关系,通过消元代换构造了关于的等差数列,使问题得以解决．通过挖掘的意义导出递推关系式,灵活巧妙地构造得到中项性质,这种处理大大简化了计算．
【小试牛刀】【江苏省镇江市2018届高三上学期期末】已知数列的前项和，对任意正整数，总存在正数使得， 恒成立：数列的前项和，且对任意正整数， 恒成立.
（1）求常数的值；
（2）证明数列为等差数列；
（3）若，记 ，是否存在正整数，使得对任意正整数， 恒成立，若存在，求正整数的最小值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）见解析（3）正整数的最小值为4
【解析】（1）∵①
∴②，，
①-②得： ，即， ，
又
∴， ，
时， ； 时， .
∵为正数
∴.
又∵， ，且
∴.
（3）∵， ，由（2）知为等差数列
∴.
又由（1）知，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
令得，
∴，解得，
∴时， ，即，
∵时， ，
∴，即.
此时，即，
∴的最大值为
若存在正整数，使得对任意正整数， 恒成立，则，
∴正整数的最小值为4.
(三) 反证法
解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从反面去考虑．如：
【例3】设是公比不相等的两等比数列,．证明数列不是等比数列．
【证明】设的公比分别为,,,为证不是等比数列只需证．事实上,
,又不为零,,故不是等比数列．
【点评】本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力,对逻辑思维能力有较高要求．要证不是等比数列,只要由特殊项（如）就可否定．一般地讲,否定性的命题常用反证法证明,其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性?．??
【小试牛刀】 设{an}是公比为q的等比数列．
（Ⅰ）推导{an}的前n项和公式；
（Ⅱ）设q≠1,证明数列{an＋1}不是等比数列．
【解析】（Ⅰ）设{an}的前n项和为Sn,
当q＝1时,Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时,Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1,①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn,②
①－②得,(1－q)Sn＝a1－a1qn,
∴Sn＝,∴Sn＝
（Ⅱ）假设{an＋1}是等比数列,则对任意的k∈N*,
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1),
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1,
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1,
∵a1≠0,∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0,∴q2－2q＋1＝0,∴q＝1,这与已知矛盾．
∴假设不成立,
∴{an＋1}不是等比数列．
【点评】证明一个数列不是等差数列或等比数列,有时也可假设前三项成等差数列或等比数列,推出矛盾,
(四) 利用通项公式与前项和公式,证明或判断等差（等比）数列
【例4】等差数列的公差，，前项和为，则对正整数，下列四个结论中：
（1）成等差数列，也可能成等比数列；
（2）成等差数列，但不可能成等比数列；
（3）可能成等比数列，但不可能成等差数列；
（4）不可能成等比数列，也不可能成等差数列；
正确的是___________________.（填所有正确的序号）
【答案】（2）（4）
【解析】根据等差数列的性质，，，，因此(1)错误，(2)正确，由上显然有，，，
，故(3)错误，(4)正确．即填 (2)(4)．
利用常规结论,证明或判断等差（等比）数列
若数列是公比为的等比数列,则
（1）数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；
（2）若数列是公比为的等比数列,则数列是公比为的等比数列；
（3）数列是公比为的等比数列；
（4）数列是公比为的等比数列；
（5）在数列中,每隔项取出一项,按原来顺序排列,所得新数列仍为等比数列且公比为；
（6）,,等都是等比数列；
（7）若成等差数列时,成等比数列；
（8）均不为零时,则成等比数列；
（9）若是一个等差数列,则正项数列是一个等比数列．
若数列是公差为等差数列,则
评析：此题若用其它方法,解决起来要花比较多的时间,对于选择题来说得不断尝试．记住上面这些结论,在做选择填空题时可大大节约时间,并且能提高命中率．
从上面可以看出：证明或判断等差（等比）数列的方法有许多种,作题时到底用何种方法,一般说来大题用前四种：定义法、运用等差或等比中项性质、运用数学归纳法、反证法,但用后面的方法可以容易检验出用前面的方法得出的结果是否正确,作小题应该用后面的方法．
【小试牛刀】已知正数数列{an}对任意p，q∈N＋，都有ap＋q＝ap＋aq，若a2＝4，则a9＝_________.
【答案】18
【解析】∵a2＝a1＋1＝a1＋a1＝4，∴a1＝2，令p＝n，q＝1，所以an＋1＝an＋a1，即an＋1－an＝2，∴{an}是等差数列，且首项为2，公差为2，故a9＝2＋(9－1)×2＝18.
五、迁移运用
1.已知数列满足,则______.
【答案】
【解析】∵,,∴,∵,∴,∴,又∵,∴．∴数列是以﹣2为首项,﹣1为公差的等差数列,
∴,∴．则．故答案为：．
2.数列满足,记,则数列的前项和 ．
【答案】
【解析】由得,且,所以数列构成以1为首项,2为公差的等差数列,所以,从而得到,则,
所以,,
两式相减,得
所以.
3．【江苏省常州2018届高三上学期期末数学】已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且满足（其中为常数）， .数列满足.
（1）证明数列是等差数列，并求出的通项公式；
（2）若无穷等比数列满足：对任意的，数列中总存在两个不同的项， 使得，求的公比.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
（1）方法一：因为①，
所以②，
由②-①得， ，
即 ，又，
则，即.
在中令得， ，即.
综上，对任意，都有，
故数列是以为公差的等差数列.
又，则.
方法二：因为，所以，又，
则数列是以为首项， 为公差的等差数列，
因此，即.
当时， ，又也符合上式，
故.
故对任意，都有，即数列是以为公差的等差数列.
（2）令，则数列是递减数列，所以.
考察函数，因为，所以在上递增，因此，从而 .
因为对任意，总存在数列中的两个不同项， ，使得，所以对任意的都有，明显.
若，当时，
有，不符合题意，舍去；
若，当时，
有 ，不符合题意，舍去；
故.
4．【江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟】已知数列，其前项和为，满足， ，其中， ， ， .
⑴若， ， （），求证：数列是等比数列；
⑵若数列是等比数列，求， 的值；
⑶若，且，求证：数列是等差数列.
【答案】（1）见解析（2）（3）见解析
【解析】
（1）证明：若，则当 (),
所以，
即，
所以，
又由， ，
得， ，即，
所以，
故数列是等比数列．
（2）若是等比数列，设其公比为（ ），
当时， ，即，得
　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　 ①
当时， ，即，得
　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　②
当时， ，即，得
　　　　　　　　　，　　　　　　　　③
②?①? ，得 ，
③?②? ，得 ，
解得．
代入①式，得．
此时 ()，
所以， 是公比为１的等比数列，
故．
（3）证明：若，由，得，
　　又，解得．
由， ， ， ，代入得，
所以， ， 成等差数列，
由，得，
两式相减得：
即
所以
相减得：
所以
所以
，
因为，所以，
即数列是等差数列.
5．【江苏省五校2018届高三上学期第一次学情监测】已知数列满足： .
（1）若，求的值；
（2）设，求证：数列从第2项起成等比数列；
（3）若数列成等差数列，且，试判断数列是否成等差数列？并证明你的结论.
【答案】（1）（2）见解析（3）见解析
【解析】（1）当时，可得，又，
从而可得；
（2）由，可得，
所以；
又因为，
所以，即，
又， ，所以，
所以数列成等比数列；
6．【江苏省南通市如皋中学2017-2018学年第一学期高三第二次阶段测试】已知数列{an}的首项， ， ．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，若Sn<100，求最大正整数n；
(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且am－1，as－1，an－1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）99；（3）不存在
【解析】试题分析：（1）根据可得，根据，可知，即，据此即可求证；（2）根据等比数列的通项公式可得，进而即可表示出，对其进行整理可得，由于，所以有，即，至此，即可得到最大正整数 ；（3）首先假设存在，根据等差数列的性质可得，再根据等比的性质可得，结合（2）中得到的通项公式可将其化简为，接下来再根据均值不等式可知，当且仅当时等号成立，至此，再根据互不相等即可得结果.
试题解析：(1)因为＝＋，所以－1＝－.又因为－1≠0，所以－1≠0(n∈N*)．
所以数列为等比数列．
(2)由(1)可得－1＝·n－1，所以＝2·n＋1.
Sn＝＋＋…＋＝n＋2＝n＋2·＝n＋1－，
若Sn<100，则n＋1－<100，因为函数y= n＋1－单调增， 所以最大正整数n的值为99.
(3)假设存在，则m＋n＝2s，(am－1)(an－1)＝(as－1)2，
因为an＝，所以＝2，
化简得3m＋3n＝2·3s，因为3m＋3n≥2·＝2·3s，
当且仅当m＝n时等号，又m，s，n互不相等，所以不存在．
7．【2018届高三南京市联合体学校调研测试】已知数列中， ， ，.
(1)令，求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
(3) 令当取得最大项时，求的值.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）.
【解析】
（1） ,

两式相减：

又
数列是以2为首项,公比为2的等比数列.
（2）由（1）知 即
也满足上式
（3）

令



最大
8．【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中】在数列中， ， ， ，其中．
⑴ 求证：数列为等差数列；
⑵ 设， ，数列的前项和为，若当且为偶数时， 恒成立，求实数的取值范围；
⑶ 设数列的前项的和为，试求数列的最大值.
【答案】⑴见解析⑵⑶
【解析】⑴证明：
，
，
数列是公差为1的等差数列；
⑵由⑴可知， ，故.
因为，
所以 ，
当且为偶数时，设，
则
，
要使对且为偶数恒成立，
只要使对且为偶数恒成立，
即使对为正偶数恒成立，
， ，故实数的取值范围是；
⑶由⑴得， ，
，
，
设，
，
当时， ，即，
当时， ，即，
，
因此数列的最大值为．
9．【安徽省池州市2018届高三上学期期末】已知数列满足： ， .
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
10．【山西省晋城市2018届高三上学期第一次模拟】已知数列满足， .
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前10项和.
【解析】（1）∵，
∴ ，
又，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）得，
∴，
∴
.
11．【云南省昆明市第一中学2018届高三第五次月考】已知数列满足 .
（1）证明： 是等比数列；
（2）令，求数列的前项和.
【解析】（1）由得：
∵ ，
∴，从而由得 ，
∴是以为首项， 为公比的等比数列．
（2）由（1）得
∴，即 ，
∴ ．
12．【安徽省马鞍山市2018届高三第一次（期末）教学质量检测】已知数列的首项为，且， .
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】(1) ，
数列是以为首项，以1为公差的等差数列；
(2)由(1)可知， ， ，
，
.
13．【福建省福州市2018届高三上学期期末】已知数列中， .设.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项的和.
【解析】（1）证明：因为， ，
所以 ，
又因为，
所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列.
14．【河南省南阳市第一中学校2018届高三第七次考试】已知数列数列的前项和且，且.
（1）求的值，并证明： ；
（2）求数列的通项公式.
【解析】（1）令，得，所以，
， ，
两式相减得，
因为，所以.
（2）由（1）可知，数列为等差数列，公差为，首项为，
所以当为奇数时， ，
数列为等差数列，公差为，首项为，
所以当为偶数时， ，
综上所述.
15．【福建省三明市A片区高中联盟校2018届高三上学期阶段性考试】已知各项为正数的数列， ，前项和， 是与的等差中项（）．
（1）求证： 是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求前项和．
【解析】（1）∵当时，
∴，
即，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴
∴（），
∵当时也成立，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
16.【新疆兵团农二师华山中学2017届高三上学期学前考试数学】已知数列{an}前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(n∈N*)．
（I）证明：{an+2}是等比数列,并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}满足bn=log2(an+2),Tn为数列{}的前n项和,若对正整数a都成立,求a的
取值范围．
【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）.
【解析】(Ⅰ) 由题设
是等比数列
；（Ⅱ）因为

．
试题解析：(Ⅰ) 由题设,
两式相减得,
即.
又,
所以是以为首项,为公比的等比数列

又,所以
（Ⅱ）因为,

所以,
依题意得：
17.【广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试】已知数列的前项和为.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若恰好依次为等比数列的第一、第二、第三项,求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）当时,.
当时,.
检验时,上式符合.
∴.
（Ⅱ）由题知成等比数列,
,
即,解得.
,公比.
,
∴
.
即
上式两边乘以,得
得
.
18．已知数列的各项均不为0,其前n项和为,且满足,．
（1）求的值；
（2）求证是等差数列；
（3）若,求数列的通项公式,并求
【答案】（1）；（2）见解析；（3）,．
【解析】（1）因为,所以,即,
因为,所以．
（3）由（2）都是公差为2的等差数列,
当时,,
所以,为偶数
当时,,
所以
当时,,
因为,所以,