【等价转换思想】1.转化与化归思想的含义
转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.
2.转化与化归思想在解题中的应用
(1)在三角函数和解三角形中,主要的转化方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化、通过正弦定理、余弦定理实现边角关系的相互转化等.
(2)换元法是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法.
(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化.
(4)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.
(5)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题转化为其导函数f'(x)构成的方程、不等式问题求解.
(6)在解决解析几何、立体几何问题时,常常在数与形之间进行转化.
3.常见的转化方法有以下几种类型：
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；如在三角函数和解三角形中,主要的转化方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化、通过正弦定理、余弦定理实现边角关系的相互转化等.
(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题；
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径；
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的；
(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，结论适合原问题.
应用1．等与不等引起的转化
函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．
例1【2018届河北省定州中学高三下学期开学】定义：如果函数在区间上存在 ，满足， ，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
例2【2018届湖北省宜昌市高三年级元月调研】已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】若函数有个零点，即方程有个解
与有个交点，记
则过原点作的切线，切线斜率为
则实数的取值范围是
应用2．特殊与一般引起的转化
特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法．这类转化法一般的解题步骤是：
第一步：确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标．
第二步：寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”把特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．
第三步：确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”明确其与需要解决问题的关系，确立新的需要解决的问题．
第四步：解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题．
第五步：回归目标问题．
第六步：回顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．
例3.设函数，观察：
，
，
，
，
……，
根据以上事实，当时，由归纳推理可得： .
【答案】
【解析】
通过条件归纳推理可知,故填.
应用3．正与反引起的转化
正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．
例.若从3个海滨城市和两个内陆城市中随机选2个去旅游，那么概率是的事件是（ ）
A.至少选一个海滨城市 B.恰好选一个海滨城市
C.至多选一个海滨城市 D.两个都选海滨城市
【答案】C
例5.在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．
【答案】
【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：
应用4．空间与平面引起的转化
立体几何中有些问题的解答，可以转化为平面几何问题来解决，即考虑转化成在一个平面上的问题，运用平面几何知识求解.特别是涉及旋转体的问题，通过研究轴截面，寻找几何体与几何体几何元素之间的关系．
例6【2017天津，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .
【答案】
【名师点睛】正方体与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其他几何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个顶点的距离相等，1.若是柱体，球心肯定在中截面上，再找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2.若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径，3.若是三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简单.
例7【2017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
【答案】（1）详见解析；（2）1
应用5．数与形引起的转化
利用数形结合思想，往往可以实现数与形的相互转化，特别是涉及函数方程与函数图象、曲线与方程等问题，适时进行数与形的相互转化，可以达到化难为易、化繁为简的良好效果.
例8【2018届江苏省扬州市高三上学期期末】若实数，满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义为坐标原点与可行域内的点连线距离的平方，据此可得，目标函数取得最大值时经过点，其最大值为：，
考查坐标原点到直线的距离：可得目标函数的最小值为.
综上可得的取值范围是.
例9【2016高考新课标3】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.
【答案】4
例10.已知点，点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点．
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线与点的轨迹有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由题意知：，
的轨迹是以、为焦点的椭圆，其轨迹方程为…………………4分
（Ⅱ）设，，则将直线与椭圆的方程联立得：，消去，得：【反思提升】通过以上问题的研究，我们可以体会到等价转化思想方法的特点具有灵活性和多样性.在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行.它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形.消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化.可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变.由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型.在数学解题中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化.按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，尤如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力.
一、选择题
1．【2018届福建省厦门外国语学校高三下学期第一次（开学）】若关于的不等式的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．【2018届湖北省宜昌市高三年级元月调研】已知函数，且，则关于的不等式的解集为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函数知为奇函数
由得到
在上递增
等价于
，解得
故的解集为
故选.
3．【2017课标3，文10】在正方体中，E为棱CD的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4．【2018届天津市耀华中学高三12月】定义在上的偶函数，满足，且在上是减函数，又与是锐角三角形的两个内角，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】、为锐角三角形的两内角．
∴，则．
∴．
且、．
又∵，在上单调递减．
∴在上单调递减．
又∵是上偶函数．
∴在上单调递增．
∴．
故选．
5．【2018年湖南省高三十四校联考】已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，若对任意的正实数，都有恒成立，且，则使成立的实数的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
6．【2018届湖北省宜昌市高三年级元月】定义:如果函数的导函数为,在区间上存在使得,,则称为区间上的"双中值函数".已知函数是上的"双中值函数",则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，
在区间上存在，
满足
方程在区间有两个不相等的解
则，解得
则实数的取值范围是
故选
点睛：本题主要考查的是导数的运算，并且理解新函数定义，并运用定义解题。根据题目给出的定义可得，即方程在区间有两个不相等的解，利用二次函数的性质解出即可得到答案.
7．【2018届天津市耀华中学高三12月】已知函数若数列满足，且是递增数列，那么实数的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
8．【2018届云南省昆明市第一中学高三第六次】已知函数，若两个正数，满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
则可看作区域内点与定点的斜率.
直线与横轴交于点，与纵轴交于点，又因为，，所以，
故选C．
9.【2018届山西省晋中市高三1月】已知不等式在上恒成立，且函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
设椭圆的左、右焦点分别为，，由，代入椭圆方程可得，可设，，由，可得，即有，即，可得，代入椭圆方程可得，由，，即有，解得．故选：A．
二、填空题（4*5=20分）
11.【2018届北京市东城区高三上学期期末】在△ABC中， ， ，则b=_____，△ABC的面积为____.
【答案】 6
12.【2018届北京市西城区44中高三12月月考】复数， ，则实部的最大值__________，虚部的最大值__________．
【答案】
【解析】∵， ，
∴，
∴的实部为，∴实部的最大值为，
的虚部为，∴虚部的最大值为．
13．【2018届北京市昌平区高三上学期期末】已知， ,点E是AB边上的动点，则的值为__________； 的最大值为__________.
【答案】 -1. 2.
14.【2018届北京市朝阳区高三第一学期期末】已知数列满足（），， ().设，则________;________.（用含的式子表示）
【答案】
【解析】由可得，两式相加可得，即， ，所以数列是周期为 的周期数列， ；由可得，所以，故答案为 ， .
15.四棱锥的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，，，则该球的体积为 _ ．
【答案】
【解析】
根据题中四棱锥的特点,可联想到这是一个长方体的一部分,四棱锥的五个顶点均在球面上,也就是长长方体的八个顶均在这个球面上,故可转化为长方体的外接球,又由长宽高分别为,可求得体对角线,所以,球的体积为.
16．已知直线l：x-y-m=0经过抛物线y2=8x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则m=________， ________.
【答案】 2 16
17.【2018届江西省抚州市高三八校联考】已知函数 (其中为自然对数的底数)，曲线上存在不同的两点, 使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】 曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，等价于函数有两个不同的极值点，等价于有两个不同的实根，
令，得，
令，则条件等价于直线与曲线有两个不同的交点，
，
当时，；当时，；当时，；
从而当时有最大值在上递增，在上递减，
当时，，当时，，
如图所示，所以实数的取值范围是.
解答题（共6道小题，共70分）
18.【2018届甘肃省高三第一次诊断】中，三个内角的对边分别为，若，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求周长的取值范围.
【答案】（I）；（II）.
19.已知函数
（1）求的单调区间；
（2）当时，若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)f(x)在上是增函数，在上是减函数；(2).
20.过抛物线上的点作倾斜角互补的两条直线，分别交抛物线于两点．
(1)若，求直线的方程；
(2)不经过点的动直线交抛物线于两点，且以为直径的圆过点，那么直线是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．
【答案】（1）（2）恒过点
【解析】
（1）抛物线方程为，设，
设直线的方程是，由，得，
由，得，则，由弦长公式，得，
因此直线的方程是
（2）设，以为直径的圆过点，
则，即，
化简，得，
过的直线为，恒过点．
21. 已知点A,椭圆E:的离心率为；F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点
（I）求E的方程；
（II）设过点A的动直线与E 相交于P,Q两点。当的面积最大时，求的直线方程.
【答案】（I）；（II）或.
，所以的面积．设，则，．因为，当且仅当时，时取等号，且满足．所以，当的面积最大时，的方程为或．
22.【2018届甘肃省高三第一次诊断】已知函数，.
（Ⅰ）若曲线与曲线在公共点处有共同的切线，求实数的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问函数是否有零点？如果有，求出该零点；若没有，请说明理由.
【答案】（I）；（II）无零点.
