第五关 以几何图形中的图形操作与变换问题为背景的选择填空题
【考查知识点】图形的变换有轴对称、平移和旋转，在此类问题中轴对称问题多以折叠的形式出现。折叠问题也是最近中考的热点，这类问题不但考察学生对基本几何图形性质的掌握情况，而且可以培养学生的空间思维能力和运动变化观念，提高学生的实践操作水平。图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，考察内容：①中心对称和中心对称图形的性质和别。②旋转，平移的性质.
【解题思路】折叠类题目的主要出题结合点有：与三角形结合，与平行四边形结合，与圆结合，与函数图像结合，题型多以选择题和填空题的形式出现，少数题目也会在大题中作为辅助背景。在解决这类问题时，要注意折叠出等角，折叠出等长，折叠出等腰三角形，折叠出全等与相似等。图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，解题方法①熟练掌握图形的对称，图形的平移，图形的旋转的基本性质和基本作图法。②结合具体的问题大胆尝试，动手操作平移，旋转，探究发现其内在的规律。③注重对网格内和坐标内的图形的变换试题的研究，熟练掌握其常用的解题方法。④关注图形与变换创新题，弄清其本质，掌握基本解题方法，如动手操作法，折叠法，旋转法。
【典型例题】
【例1】如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E，F分别是边AD，BC上的点，将正方形纸片沿EF折叠，使得点A落在CD边上的点A′处，此时点B落在点B′处．已知折痕EF=13，则AE的长等于_________．
【答案】
【解析】过点F作FG⊥AD，垂足为G，连接AA′，在△GEF中，由勾股定理可求得EG=5，轴对称的性质可知AA′⊥EF，由同角的余角相等可证明∠EAH=∠GFE，从而可证明△ADA′≌△FGE，故此可知GE=DA′=5，最后在△EDA′利用勾股定理列方程求解即可．
解：过点F作FG⊥AD,垂足为G,连接AA′.
在Rt△EFG中,EG=,
∵轴对称的性质可知AA′⊥EF，
∴∠EAH+∠AEH=90°.
∵FG⊥AD，
∴∠GEF+∠EFG=90°.
∴∠DAA′=∠GFE.
在△GEF和△DA′A中，
，
∴△GEF≌△DA′A.
∴DA′=EG=5.
设AE=x,由翻折的性质可知EA′=x，则DE=12?x.
在Rt△EDA′中,由勾股定理得：A′E2=DE2+A′D2,即x2=(12?x)2+52.
解得：x=.
故答案为： .
【名师点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应线段相等．综合运用勾股定理，矩形的性质,菱形的性质解决问题．
【例2】（2017江苏镇江）如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为______．
【答案】．
【解析】由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'，∵D'C=4，∴BD'=BC﹣4，即BD=BC﹣4，∵DE∥AC，∴ ，即，解得BC=（负值已舍去），即BC的长为．故答案为： ．
【名师点睛】本题主要考查了旋转的性质，解一元二次方程以及平行线分线段成比例定理的运用，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等．解决问题的关键是依据平行线分线段成比例定理，列方程求解．
【例3】（2016福建三明卷）如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是 .
【答案】.
【解析】
试题分析：如图①，当点P和点C重合时，点P关于直线AB，AC的对称点分别为B，N，此时MN最短，由对称的性质可得BN⊥AC，所以CQ=2，由勾股定理求得BQ=2，所以BN=4；如图②，当点P位于BC的中点时，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，此时MN最长，根据轴对称的性质及勾股定理可求得PG=PH=,所以PM=PN=2，∠MPN=120°，过点P作PQ⊥MN于点Q，根据等腰三角形的性质及直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半可得PQ=，再由勾股定理求得MQ=3，即可求得MN=6，所以线段MN长的取值范围是.
考点：轴对称的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【名师点睛】本题考查了轴对称的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是找出MN最短和最长时点P的位置．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，确定MN取最值时，点P的位置是关键．
【方法归纳】
1.图形的折叠与翻折都属于全等变换，即操作前后的两个图形是全等的，这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件。另外折叠和翻折还是轴对称变换，解决问题时还可以运用轴对称的性质。
2.图形旋转时，注意旋转中心与旋转的性质，往往与等腰三角形、全等三角形的知识综合运用。
【针对练习】
1．（2017广东广州）如图，E，F分别是?ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（ ）
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
2．（2017江苏淮安）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（ ）
A. B. 6 C. 4 D. 5
3．（2017广西桂林）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（ ）
A. B. 2 C. D.
4．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得正方形，交CD于点E，AB=,则四边形的内切圆半径为（ ）．
A. B. C. D.
5．如图，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠A=30°，OA=4，将△OAB饶点O按顺时针方向旋转120°得到△OA′B′，则点A′的坐标是（ ）
A．（2，﹣2） B．（2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（2，﹣2）
6．在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图①；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图②；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于轴对称，且点P的坐标为（0,2），PM的延长线与轴交于点N（n，0），如图③，当m=时，n的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2017江苏扬州）如图，把等边△A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，若BP=4cm，则EC=______cm．
8．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③△EPF是等腰三角形；④EF＝AP；⑤S四边形AEPF＝S△APC.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，其中正确的序号有________________.
9．如图，在中， ， ， ，点， 分别是边， 上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若为直角三角形，则的长为__________．
10．如图，长方形ABCD中，AB＝6，第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A2B2C2D2，…，第n次平移长方形An－1Bn－1Cn－1Dn－1沿An－1Bn－1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形AnBnCnDn（n＞2），若ABn的长度为2 016，则n的值为__________．
11．（2017辽宁锦州）如图，正方形ABCD中，AB=2，E是CD中点，将正方形ABCD沿AM折叠，使点B的对应点F落在AE上，延长MF交CD于点N，则DN的长为______．
12．（2016青海西宁）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为 ．
13．（2016广东深圳）如图，四边形是平行四边形，点C在x轴的负半轴上，将 ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上．若点D在反比例函数的图像上，则k的值为_________．
14．如图，在中，，,以点为圆心，的长为半径画弧，与边交于点,将 绕点旋转后点与点恰好重合，则图中阴影部分的面积为_____.
15．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3. 点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N. 当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为__________________.
16．（2016黑龙江齐齐哈尔卷）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为 ．
17．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是 ．
18．（2016湖南张家界卷）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是 cm．
19．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为 ．
第五关 以几何图形中的图形操作与变换问题为背景的选择填空题
【考查知识点】图形的变换有轴对称、平移和旋转，在此类问题中轴对称问题多以折叠的形式出现。折叠问题也是最近中考的热点，这类问题不但考察学生对基本几何图形性质的掌握情况，而且可以培养学生的空间思维能力和运动变化观念，提高学生的实践操作水平。图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，考察内容：①中心对称和中心对称图形的性质和别。②旋转，平移的性质.
【解题思路】折叠类题目的主要出题结合点有：与三角形结合，与平行四边形结合，与圆结合，与函数图像结合，题型多以选择题和填空题的形式出现，少数题目也会在大题中作为辅助背景。在解决这类问题时，要注意折叠出等角，折叠出等长，折叠出等腰三角形，折叠出全等与相似等。图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，解题方法①熟练掌握图形的对称，图形的平移，图形的旋转的基本性质和基本作图法。②结合具体的问题大胆尝试，动手操作平移，旋转，探究发现其内在的规律。③注重对网格内和坐标内的图形的变换试题的研究，熟练掌握其常用的解题方法。④关注图形与变换创新题，弄清其本质，掌握基本解题方法，如动手操作法，折叠法，旋转法。
【典型例题】
【例1】如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E，F分别是边AD，BC上的点，将正方形纸片沿EF折叠，使得点A落在CD边上的点A′处，此时点B落在点B′处．已知折痕EF=13，则AE的长等于_________．
【答案】
【解析】过点F作FG⊥AD，垂足为G，连接AA′，在△GEF中，由勾股定理可求得EG=5，轴对称的性质可知AA′⊥EF，由同角的余角相等可证明∠EAH=∠GFE，从而可证明△ADA′≌△FGE，故此可知GE=DA′=5，最后在△EDA′利用勾股定理列方程求解即可．
解：过点F作FG⊥AD,垂足为G,连接AA′.
在Rt△EFG中,EG=,
∵轴对称的性质可知AA′⊥EF，
∴∠EAH+∠AEH=90°.
∵FG⊥AD，
∴∠GEF+∠EFG=90°.
∴∠DAA′=∠GFE.
在△GEF和△DA′A中，
，
∴△GEF≌△DA′A.
∴DA′=EG=5.
设AE=x,由翻折的性质可知EA′=x，则DE=12?x.
在Rt△EDA′中,由勾股定理得：A′E2=DE2+A′D2,即x2=(12?x)2+52.
解得：x=.
故答案为： .
【名师点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应线段相等．综合运用勾股定理，矩形的性质,菱形的性质解决问题．
【例2】（2017江苏镇江）如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为______．
【答案】．
【解析】由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'，∵D'C=4，∴BD'=BC﹣4，即BD=BC﹣4，∵DE∥AC，∴ ，即，解得BC=（负值已舍去），即BC的长为．故答案为： ．
【名师点睛】本题主要考查了旋转的性质，解一元二次方程以及平行线分线段成比例定理的运用，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等．解决问题的关键是依据平行线分线段成比例定理，列方程求解．
【例3】（2016福建三明卷）如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是 .
【答案】.
【解析】
试题分析：如图①，当点P和点C重合时，点P关于直线AB，AC的对称点分别为B，N，此时MN最短，由对称的性质可得BN⊥AC，所以CQ=2，由勾股定理求得BQ=2，所以BN=4；如图②，当点P位于BC的中点时，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，此时MN最长，根据轴对称的性质及勾股定理可求得PG=PH=,所以PM=PN=2，∠MPN=120°，过点P作PQ⊥MN于点Q，根据等腰三角形的性质及直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半可得PQ=，再由勾股定理求得MQ=3，即可求得MN=6，所以线段MN长的取值范围是.
考点：轴对称的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【名师点睛】本题考查了轴对称的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是找出MN最短和最长时点P的位置．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，确定MN取最值时，点P的位置是关键．
【方法归纳】
1.图形的折叠与翻折都属于全等变换，即操作前后的两个图形是全等的，这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件。另外折叠和翻折还是轴对称变换，解决问题时还可以运用轴对称的性质。
2.图形旋转时，注意旋转中心与旋转的性质，往往与等腰三角形、全等三角形的知识综合运用。
【针对练习】
1．（2017广东广州）如图，E，F分别是?ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（ ）
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
【答案】C
2．（2017江苏淮安）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（ ）
A. B. 6 C. 4 D. 5
【答案】B
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质等，得到EF垂直平分AC是解题的关键．
3．（2017广西桂林）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接AC、BD交于点G，连接OG，
故选D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，点的运动轨迹等，根据题意确定出点F的运动轨迹是解题的关键.
4．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得正方形，交CD于点E，AB=,则四边形的内切圆半径为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：设内切圆的圆心为O，过O作OE⊥于点E，连接OA，根据旋转和四边形的内切圆的性质可得，∠OAE=（90°-30°）÷2=30°，设内切圆的半径为r，则AE=-r，在Rt△OAE中，tan30°=，解得r=．
故选：B．
考点：旋转的性质；四边形的内切圆的性质；特殊角的三角函数值．
5．如图，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠A=30°，OA=4，将△OAB饶点O按顺时针方向旋转120°得到△OA′B′，则点A′的坐标是（ ）
A．（2，﹣2） B．（2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（2，﹣2）
【答案】B．
【解析】
∴点A′和点A关于x轴对称，
∴点A′的坐标为（2，﹣2）．
故选B．
【考点】坐标与图形变化-旋转．
6．在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图①；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图②；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于轴对称，且点P的坐标为（0,2），PM的延长线与轴交于点N（n，0），如图③，当m=时，n的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
考点：一次函数的性质
7．（2017江苏扬州）如图，把等边△A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，若BP=4cm，则EC=______cm．
【答案】
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC，
∵DP⊥BC，∴∠BPD=90°，
∵PB=4cm，∴BD=8cm，PD=cm，
∵把等边△A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，
∴AD=PD=cm，∠DPE=∠A=60°，∴AB=（8+）cm，
∴BC=（8+）cm，∴PC=BC﹣BP=（4+）cm，
∵∠EPC=180°﹣90°﹣60°=30°，
∴∠PEC=90°，∴CE=PC=（）cm，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、等边三角形的性质等，掌握翻折变换的性质是解题的关键．
8．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③△EPF是等腰三角形；④EF＝AP；⑤S四边形AEPF＝S△APC.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，其中正确的序号有________________.
【答案】①②③⑤
【解析】∵AB=AC,∠BAC=90°,点P是BC的中点,
∴AP⊥BC,AP=PC,∠EAP=∠C=45°,
∴∠APF+∠CPF=90°,
∵∠EPF是直角,
∴∠APF+∠APE=90°,∴∠APE=∠CPF,故②正确,
在△APE和△CPF中,
,
∴S四边形AEPF=S△APF+S△APE=S△APF+S△CPF=S△APC=S△ABC,故⑤正确,综上所述,故答案为:①②③⑤.
9．如图，在中， ， ， ，点， 分别是边， 上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若为直角三角形，则的长为__________．
【答案】或
【解析】∵， ，
∴，
∴为直角三角形有种情况．
①当时，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述， 的长为或．
点睛：解决本题要考虑和两种情况．
10．如图，长方形ABCD中，AB＝6，第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A2B2C2D2，…，第n次平移长方形An－1Bn－1Cn－1Dn－1沿An－1Bn－1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形AnBnCnDn（n＞2），若ABn的长度为2 016，则n的值为__________．
【答案】402．
【解析】根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=6-5=1，进而求出AB1和AB2的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出ABn=（n+1）×5+1求出n即可．
解：∵AB=6,第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位,得到矩形A1B1C1D1，
第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位,得到矩形A2B2C2D2…，
∴AA1=5,A1A2=5,A2B1=A1B1?A1A2=6?5=1，
∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11=2×5+1，
∴AB2的长为：5+5+6=16=3×5+1；
……
∴ABn=(n+1)×5+1=2016，
解得：n=402.
故答案为：402.
点睛：本题主要考查找规律.根据所求出的数字找出其变化规律是解题的关键.
11．（2017辽宁锦州）如图，正方形ABCD中，AB=2，E是CD中点，将正方形ABCD沿AM折叠，使点B的对应点F落在AE上，延长MF交CD于点N，则DN的长为______．
【答案】．
点睛：本题考查了翻折变换﹣折叠问题，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
12．（2016青海西宁）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为 ．
【答案】2.5
【解析】试题分析：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，
考点：1.旋转的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.正方形的性质．
13．（2016广东深圳）如图，四边形是平行四边形，点C在x轴的负半轴上，将 ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上．若点D在反比例函数的图像上，则k的值为_________．
【答案】4
【解析】
试题分析：如图，作DM⊥轴 由题意∠BAO=∠OAF, AO=AF, AB∥OC 所以∠BAO=∠AOF=∠AFO=∠OAF
∴∠AOF=60°=∠DOM ∵OD=AD-OA=AB-OA=6-2=4 ∴MO=2， MD=2 ∴D（-2，-）
∴k=-2×（-2）=-4
考点：（1）平行四边形的性质；（2）反比例函数
14．如图，在中，，,以点为圆心，的长为半径画弧，与边交于点,将 绕点旋转后点与点恰好重合，则图中阴影部分的面积为_____.
【答案】2-.
【解析】
考点：1.旋转性质；2.直角三角形性质；3.扇形与三角形面积计算；4.等边三角形的判定.
15．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3. 点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N. 当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为__________________.
【答案】或.
【解析】
试题分析：根据题意可得四边形ABNM是矩形，所以AB=MN=3，AM=BN，根据折叠的性质可得AB=AB’,BE=B’E，点B′为线段MN的三等分点时，分两种情况：①当MB’=1，B’N=2时，在Rt△AMB’中，由勾股定理求得AM=，设BE==B’E=x，在Rt△ENB’中，由勾股定理可得，解得x=；②当MB’=2，B’N=1时，在Rt△AMB’中，由勾股定理求得AM=，设BE==B’E=x，在Rt△ENB’中，由勾股定理可得，解得x=.
考点：矩形的性质；勾股定理；折叠的性质.
16．（2016黑龙江齐齐哈尔卷）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为 ．
【答案】﹣1．
【解析】
考点：翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．
17．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是 ．
【答案】或或5．
【解析】
考点：矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；分类讨论．
18．（2016湖南张家界卷）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是 cm．
【答案】8.
【解析】
试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x，则DH=AD﹣AH=8﹣x，在Rt△AEH中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x，EH=DH=8﹣x，∴EH2=AE2+AH2，即（8﹣x）2=42+x2，解得：x=3．∴AH=3，EH=5.∴C△AEH=12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF∽△HAE，∴．
∴C△EBF==C△HAE=8．
考点：1折叠问题；2勾股定理；3相似三角形.
19．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为 ．
【答案】24+9．
【解析】
考点：旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质．
