第六关 以新定义与阅读理解问题为背景的选择填空题
【考查知识点】
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力. 阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.
【解题思路】
“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.
【典型例题】
【例1】观察下列各算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64…通过观察，用你所发现的规律确定22016的个位数字是 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】观察所给前几个算式，我们可以发现各数的末位数字分别为2、4、8、6，2、4、8……；
于是得出2的乘方的末位数字以2、4、8、6为一组循环出现，再结合2016÷4=504即可解答.
解：根据题意可得，2的乘方的末位数字以2，4，8，6为一组循环出现，
由于2016÷4=504，
所以22016的末位数字和24的末位数字相同，是6.
故选C.
【名师点睛】这是一道找规律的题目，解题的关键是要明确随着2的指数的变化，幂的末位数字位数是如何变化的.
【例2】对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=．例如：因为4＞2，所以4*2==8，则（-3）*（-2）= ．
【答案】-1．
【解析】
试题分析：∵-3＜-2，∴（-3）*（-2）=（-3）-（-2）=-1．故答案为：-1．
考点：实数的运算；新定义．
【名师点睛】此题考查了实数的运算，弄清题意是解决本题的关键．
【例3】已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat point），已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点，若P就是△ABC的费马点，若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF= ．
【答案】．
【解析】
试题分析：如图：等腰Rt△DEF中，DE=DF=，过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°，则EM=DM=1，故cos30°=，解得：PE=PF==，则PM=，故DP=1﹣，则PD+PE+PF=2×+1﹣=．故答案为：．
考点：解直角三角形；等腰直角三角形；新定义．
【名师点睛】本题主要考查了解直角三角形的知识，根据题目要求画出图形，正确求得PE的长是解决本题的关键.
【方法归纳】阅读试题提供新定义、新定理，根据所给的内容类比解决新问题 ；阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题；阅读理解型问题是指通过阅读材料，理解材料中所提供新的方法或新的知识，并灵活运用这些新方法或新知识，去分析、解决类似的或相关的问题。
【针对练习】
1．（2017湖南岳阳）已知点在函数（）的图象上，点在直线（为常数，且）上，若，两点关于原点对称，则称点，为函数，图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为
A．有对或对 B．只有对 C.只有对 D．有对或对
2．（2017湖南株洲）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（ ）
A．5 B．4 C．3+ D．2+
3．（2017湖北荆州）规定：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论：
①方程是倍根方程；
②若关于的方程是倍根方程，则a=±3；
③若关于x的方程是倍根方程，则抛物线与x轴的公共点的坐标是(2,0)和（4,0）；
④若点（m，n）在反比例函数的图象上，则关于x的方程是倍根方程
上述结论中正确的有（ ）
A.①② B.③④ C.②③ D.②④
4．（2016湖南永州卷）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
指数运算
21=2
22=4
23=8
…
31=3
32=9
33=27
…
新运算
log22=1
log24=2
log28=3
…
log33=1
log39=2
log327=3
…
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216=4，②log525=5，③log2=﹣1．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．已知整数a1，a2，a3，a4……满足下列条件：a1＝0，a2＝－|a1＋１| a3＝－|a2＋2|，a4＝－|a3＋3|……依次类推，则a2017的值为
A. －1009 B. －1008 C. －2017 D. －2016
6．（2017山东滨州）观察下列各式：
，
……
请利用你所得结论，化简代数式＋＋＋…＋（n≥3且为整数），其结果为__________．
7．（2017山东临沂）在平面直角坐标系中，如果点坐标为，向量可以用点的坐标表示为.
已知：，，如果，那么与互相垂直.
下列四组向量：
①，；
②，；
③，；
④，.
其中互相垂直的是 （填上所有正确答案的序号）．
8．（2017湖南湘潭）阅读材料：设，，如果，则.根据该材料填空：已知，，且，则 ．
9．（2017湖北黄石）观察下列格式：
……
请按上述规律，写出第n个式子的计算结果（n为正整数） ．（写出最简计算结果即可）
10．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为(x)．即当n为非负整数时，若n－≤x＜n＋，则(x)＝n.如(0.46)＝0，(3.67)＝4.
给出下列关于(x)的结论：
①(1.493)＝1；
②(2x)＝2(x)；
③若(x－1)＝4，则实数x的取值范围是9≤x＜11；
④当x≥0，m为非负整数时，有(m＋2 017x)＝m＋(2 017x)；
⑤(x＋y)＝(x)＋(y)．
其中，正确的结论有________(填写所有正确的序号)．
11．如果记，并且f（1）表示当时y的值，即f（1）=；f（）表示当时y的值，即f（）=．那么 ______．
12．已知实数a、b、c满足a＋b＝ab＝c，有下列结论：
①若c≠0，则；②若a＝3，则b＋c＝9；
③若a＝b＝c，则abc＝0；④若a、b、c中只有两个数相等，则a＋b＋c＝8．
其中正确的是 _____________ （把所有正确结论的序号都选上）．
13．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=．
例如：(-3)☆2= = 2．
从﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a，b(a≠b)的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是_____．
14．一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinα?cosβ+cosα?sinβ；sin（α﹣β）=sinα?cosβ﹣cosα?sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°?cos30°+cos60°?sin30°==1．类似地，可以求得sin15°的值是 ．
15.一列数，，，… 满足条件：，（n≥2，且n为整数），则 = ．
16.观察下列等式：
在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第 层．
17.如图（1），PT与⊙O1相切于点T，PAB与⊙O1相交于A、B两点，可证明△PTA∽△PBT，从而有PT2=PA?PB．请应用以上结论解决下列问题：如图（2），PAB、PCD分别与⊙O2相交于A、B、C、D四点，已知PA=2，PB=7，PC=3，则CD= ．
第六关 以新定义与阅读理解问题为背景的选择填空题
【考查知识点】
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力. 阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.
【解题思路】
“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.
【典型例题】
【例1】观察下列各算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64…通过观察，用你所发现的规律确定22016的个位数字是 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】观察所给前几个算式，我们可以发现各数的末位数字分别为2、4、8、6，2、4、8……；
于是得出2的乘方的末位数字以2、4、8、6为一组循环出现，再结合2016÷4=504即可解答.
解：根据题意可得，2的乘方的末位数字以2，4，8，6为一组循环出现，
由于2016÷4=504，
所以22016的末位数字和24的末位数字相同，是6.
故选C.
【名师点睛】这是一道找规律的题目，解题的关键是要明确随着2的指数的变化，幂的末位数字位数是如何变化的.
【例2】对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=．例如：因为4＞2，所以4*2==8，则（-3）*（-2）= ．
【答案】-1．
【解析】
试题分析：∵-3＜-2，∴（-3）*（-2）=（-3）-（-2）=-1．故答案为：-1．
考点：实数的运算；新定义．
【名师点睛】此题考查了实数的运算，弄清题意是解决本题的关键．
【例3】已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat point），已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点，若P就是△ABC的费马点，若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF= ．
【答案】．
【解析】
试题分析：如图：等腰Rt△DEF中，DE=DF=，过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°，则EM=DM=1，故cos30°=，解得：PE=PF==，则PM=，故DP=1﹣，则PD+PE+PF=2×+1﹣=．故答案为：．
考点：解直角三角形；等腰直角三角形；新定义．
【名师点睛】本题主要考查了解直角三角形的知识，根据题目要求画出图形，正确求得PE的长是解决本题的关键.
【方法归纳】阅读试题提供新定义、新定理，根据所给的内容类比解决新问题 ；阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题；阅读理解型问题是指通过阅读材料，理解材料中所提供新的方法或新的知识，并灵活运用这些新方法或新知识，去分析、解决类似的或相关的问题。
【针对练习】
1．（2017湖南岳阳）已知点在函数（）的图象上，点在直线（为常数，且）上，若，两点关于原点对称，则称点，为函数，图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为
A．有对或对 B．只有对 C.只有对 D．有对或对
【答案】A．
【解析】
试题解析：设A（a，-），
由题意知，点A关于原点的对称点B（（a，-），）在直线y2=kx+1+k上，
则=-ak+1+k，
故选A．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标．
2．（2017湖南株洲）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（ ）
A．5 B．4 C．3+ D．2+
【答案】D.
【解析】
考点：旋转的性质；平行线的判定与性质；等腰直角三角形．
3．（2017湖北荆州）规定：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论：
①方程是倍根方程；
②若关于的方程是倍根方程，则a=±3；
③若关于x的方程是倍根方程，则抛物线与x轴的公共点的坐标是(2,0)和（4,0）；
④若点（m，n）在反比例函数的图象上，则关于x的方程是倍根方程
上述结论中正确的有（ ）
A.①② B.③④ C.②③ D.②④
【答案】C
【解析】
试题分析：①由x2﹣2x﹣8=0，得
（x﹣4）（x+2）=0，
解得x1=4，x2=﹣2，
∵x1≠2x2，或x2≠2x1，
∴方程x2﹣2x﹣8=0不是倍根方程．
故①错误；
②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，
∴设x2=2x1，
∴x1?x2=2x12=2，
∴x1=±1，
④∵点（m，n）在反比例函数的图象上，
∴mn=4，
解mx2+5x+n=0得x1=﹣，x2=﹣，
∴x2=4x1，
∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；
故选：C．
考点：1、反比例函数图象上点的坐标特征；2、根的判别式；3、根与系数的关系；4、抛物线与x轴的交点
4．（2016湖南永州卷）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
指数运算
21=2
22=4
23=8
…
31=3
32=9
33=27
…
新运算
log22=1
log24=2
log28=3
…
log33=1
log39=2
log327=3
…
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216=4，②log525=5，③log2=﹣1．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B.
【解析】
试题分析：根据表格中的规律可得:①因为24=16，此选项正确；②因为55=3125≠25，所以此选项错误；③因为2﹣1=，所以此选项正确；故答案选B．
考点：实数的运算．
5．已知整数a1，a2，a3，a4……满足下列条件：a1＝0，a2＝－|a1＋１| a3＝－|a2＋2|，a4＝－|a3＋3|……依次类推，则a2017的值为
A. －1009 B. －1008 C. －2017 D. －2016
【答案】A
故选A.
6．（2017山东滨州）观察下列各式：
，
……
请利用你所得结论，化简代数式＋＋＋…＋（n≥3且为整数），其结果为__________．
【答案】 .
7．（2017山东临沂）在平面直角坐标系中，如果点坐标为，向量可以用点的坐标表示为.
已知：，，如果，那么与互相垂直.
下列四组向量：
①，；
②，；
③，；
④，.
其中互相垂直的是 （填上所有正确答案的序号）．
【答案】①③④
【解析】
综上所述，①③④互相垂直．
故答案是：①③④．
考点：1、平面向量，2、零指数幂，3、解直角三角形
8．（2017湖南湘潭）阅读材料：设，，如果，则.根据该材料填空：已知，，且，则 ．
【答案】6.
【解析】
试题分析:利用新定义设，，如果，则，2m=4×3,m=6.
考点：新定义问题
9．（2017湖北黄石）观察下列格式：
……
请按上述规律，写出第n个式子的计算结果（n为正整数） ．（写出最简计算结果即可）
【答案】．
【解析】
试题分析：n=1时，结果为：；
n=2时，结果为：；
n=3时，结果为：；
所以第n个式子的结果为：．故答案为：．
考点：规律型：数字的变化类．
10．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为(x)．即当n为非负整数时，若n－≤x＜n＋，则(x)＝n.如(0.46)＝0，(3.67)＝4.
给出下列关于(x)的结论：
①(1.493)＝1；
②(2x)＝2(x)；
③若(x－1)＝4，则实数x的取值范围是9≤x＜11；
④当x≥0，m为非负整数时，有(m＋2 017x)＝m＋(2 017x)；
⑤(x＋y)＝(x)＋(y)．
其中，正确的结论有________(填写所有正确的序号)．
【答案】①③④
点睛：本题考查了理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解．
11．如果记，并且f（1）表示当时y的值，即f（1）=；f（）表示当时y的值，即f（）=．那么 ______．
【答案】2016.5（或）
12．已知实数a、b、c满足a＋b＝ab＝c，有下列结论：
①若c≠0，则；②若a＝3，则b＋c＝9；
③若a＝b＝c，则abc＝0；④若a、b、c中只有两个数相等，则a＋b＋c＝8．
其中正确的是 _____________ （把所有正确结论的序号都选上）．
【答案】((④．
【解析】①∵a＋b＝ab，∴，正确;
②∵a＋b＝ab＝c，a=3，∴3+b=3b=c，∴b=，c=，则b+c=+=6，错误；
③∵a＝b＝c，a＋b＝c，∴c+c=c，∴c=0，∴abc=0，正确；
④∵a、b、c中只有两个数相等，当a=b时，则2a=a2，则a=0或a=2，其中a=0时三数相同不合题意；a=2时，则b=2，c=4，∴a+b+c=8；当a=c时，则a+b=a，则b=0，此时三数相同不符合题意；当b=c时，则a+b=b，则a=0，此时三数相同不符合题意.综上a＋b＋c＝8，正确．
故答案为((④．
13．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=．
例如：(-3)☆2= = 2．
从﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a，b(a≠b)的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是_____．
【答案】8
【解析】解：当a＞b时，a☆b= =a，a最大为8；
当a＜b时，a☆b==b，b最大为8，故答案为：8．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinα?cosβ+cosα?sinβ；sin（α﹣β）=sinα?cosβ﹣cosα?sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°?cos30°+cos60°?sin30°==1．类似地，可以求得sin15°的值是 ．
【答案】．
【解析】
15.一列数，，，… 满足条件：，（n≥2，且n为整数），则 = ．
【答案】-1.
【解析】
试题分析：根据题意可知，，，，，.......,由此可得这组数据3个一循环，2016÷3=672，所以是第672个循环中的第3个数，即=-1.
考点：规律探究题.
16.观察下列等式：
在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第 层．
【答案】44
【解析】
考点：（1）规律型：（2）数字的变化类
17.如图（1），PT与⊙O1相切于点T，PAB与⊙O1相交于A、B两点，可证明△PTA∽△PBT，从而有PT2=PA?PB．请应用以上结论解决下列问题：如图（2），PAB、PCD分别与⊙O2相交于A、B、C、D四点，已知PA=2，PB=7，PC=3，则CD= ．
【答案】.
【解析】
考点：相似三角形的判定与性质；切线的性质．
