第一关：以几何图形中的动点最值问题为背景的选择填空题
【考查知识点】 “两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
【解题思路】找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
【典型例题】
【例1】（2017江苏南通）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为（ ）
A. 5 B. 10 C. 10 D. 15
【答案】B
【解析】作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示，
∵AE=CG，BE=BE′，
∴E′G′=AB=10，
∵GG′=AD=5，
∴E′G=，
∴C四边形EFGH=2E′G=10，
故选B．
【名师点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，矩形的性质等，根据题意正确添加辅助线是解题的关键．关于最短路线问题：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点（注：本题C，D位于OB的同侧）．如下图，解决本题的关键：一是找出最短路线，二是根据一次函数与方程组的关系，将两直线的解析式联立方程组，求出交点坐标.
【例2】（2017湖北随州）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．
【答案】（， ）．
【解析】解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（3，0），∴ON=3，∵点M是ON的中点，∴OM=1.5，∴PM=，∴P（， ）．故答案为：（， ）．
【名师点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P的位置．
【方法归纳】
在平面几何的动态问题中，求几何量的最大值或最小值问题常会运用以下知识：
三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
②两点之间线段最短；
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④定圆中的所有弦中，直径最长；
⑤利用对称的性质求两条线段之和最小的问题，解决此类问题的方法为：如图，要求线段l上的一动点P到点A、B距离和的最小值，先作点A关于直线L的对称点A′,连接A′B,则A′B与直线L的交点即为P点，根据对称性可知A′B的长即为PA+PB的最小值，求出A′B的值即可.
【针对练习】
1.（2017山东枣庄）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（，0） D．（，0）
2．（2017山东菏泽）如图，矩形的顶点的坐标为，是的中点，是上的一点，当的周长最小时，点的坐标是（ ）
A． B． C. D．
3．（2017山东临沂）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点，的面积为10.若动点在轴上，则的最小值是（ ）
A． B．10 C． D．
4．（2017四川泸州）已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2017辽宁营口）如图，在中，，点在上，，点是上的动点，则的最小值为（ ）
A． 4 B．5 C. 6 D．7
6．（2017贵州贵阳）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是______．
7．（2017山东东营）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为______．
8．（2017四川内江）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______．
9．（2017贵州六盘水）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点.
(1)利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹).
(2)求PA+PB的最小值.
10．（2017四川绵阳）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AB=1：3，则MD+的最小值为 ．
11．（2016广西百色）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（ ）
A．4 B．3C．2D．2+
12．（2016四川雅安）如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第一关：以几何图形中的动点最值问题为背景的选择填空题
【考查知识点】 “两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
【解题思路】找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
【典型例题】
【例1】（2017江苏南通）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为（ ）
A. 5 B. 10 C. 10 D. 15
【答案】B
【解析】作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示，
∵AE=CG，BE=BE′，
∴E′G′=AB=10，
∵GG′=AD=5，
∴E′G=，
∴C四边形EFGH=2E′G=10，
故选B．
【名师点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，矩形的性质等，根据题意正确添加辅助线是解题的关键．关于最短路线问题：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点（注：本题C，D位于OB的同侧）．如下图，解决本题的关键：一是找出最短路线，二是根据一次函数与方程组的关系，将两直线的解析式联立方程组，求出交点坐标.
【例2】（2017湖北随州）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．
【答案】（， ）．
【解析】解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（3，0），∴ON=3，∵点M是ON的中点，∴OM=1.5，∴PM=，∴P（， ）．故答案为：（， ）．
【名师点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P的位置．
【方法归纳】
在平面几何的动态问题中，求几何量的最大值或最小值问题常会运用以下知识：
三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
②两点之间线段最短；
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④定圆中的所有弦中，直径最长；
⑤利用对称的性质求两条线段之和最小的问题，解决此类问题的方法为：如图，要求线段l上的一动点P到点A、B距离和的最小值，先作点A关于直线L的对称点A′,连接A′B,则A′B与直线L的交点即为P点，根据对称性可知A′B的长即为PA+PB的最小值，求出A′B的值即可.
【针对练习】
1.（2017山东枣庄）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（，0） D．（，0）
【答案】C．
【解析】
试题分析：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
∴直线CD′的解析式为．
令中y=0，则0=，解得：x=，∴点P的坐标为（，0）．
故选C．
考点：一次函数图象上点的坐标特征；轴对称﹣最短路线问题；最值问题．
2．（2017山东菏泽）如图，矩形的顶点的坐标为，是的中点，是上的一点，当的周长最小时，点的坐标是（ ）
A． B． C. D．
【答案】B.
【解析】
3．（2017山东临沂）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点，的面积为10.若动点在轴上，则的最小值是（ ）
A． B．10 C． D．
【答案】C
【解析】
故选：C
考点：1、反比例函数与正方形，2、三点之间的最小值
4．（2017四川泸州）已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C．
【解析】
考点：1.二次函数的性质；2.三角形三边关系．
5．（2017辽宁营口）如图，在中，，点在上，，点是上的动点，则的最小值为（ ）
A． 4 B．5 C. 6 D．7
【答案】B.
【解析】
试题分析：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．由DC=1，BC=4，得到BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，于是得到∠CBC′=90°，然后根据勾股定理即可得到结论．
过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．
此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．
∵DC=1，BC=4，∴BD=3，
连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=4，
根据勾股定理可得DC′=．
故选B．
考点：轴对称﹣最短路线问题；等腰直角三角形.
6．（2017贵州贵阳）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是______．
【答案】．
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理、三角形的三边关系等，连接CE是解决本题的关键．
7．（2017山东东营）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为______．
【答案】．
故答案为2．
考点：1、轴对称﹣最短问题，2、菱形的性质
8．（2017四川内江）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______．
【答案】16．
考点：轴对称﹣最短路线问题；平行线的性质；动点型；最值问题；综合题．
9．（2017贵州六盘水）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点.
(1)利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹).
(2)求PA+PB的最小值.
【答案】（1）作图见解析；(2)2.
【解析】试题分析：(1)画出A点关于MN的称点A′,连接A′B,就可以得到P点；
(2)利用∠AMN=30°得∠AON=∠A′ON=60°，又B为弧AN的中点,∴∠BON=30°，所以∠A′OB=90°，再求最小值2．
试题解析：
(1)如图，点P即为所求作的点.
(2)由（1）可知，PA+PB的最小值为 A′B的长，
∴ OA′=OB= MN=2，
在Rt△A′OB中，A′B==2 ，
即PA+PB的最小值为2.
10．（2017四川绵阳）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AB=1：3，则MD+的最小值为 ．
【答案】 ．
【解析】
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；旋转的性质；最值问题；综合题．
11．（2016广西百色）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（ ）
A．4 B．3C．2D．2+
【答案】C
【解析】
试题分析：连接CC′，连接A′C交y轴于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，根据等边三角形的性质即可得出四边形CBA′C′为菱形，根据菱形的性质即可求出A′C的长度，从而得出结论．
连接CC′，连接A′C交l于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所示．
∵△ABC与△A′BC′为正三角形，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，
∴四边形CBA′C′为边长为2的菱形，且∠BA′C′=60°，
∴A′C=2×A′B=2．
考点：（1）轴对称-最短路线问题；（2）等边三角形的性质．
12．（2016四川雅安）如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】
试题分析：
考点：矩形的性质；轴对称-最短路线问题；最值问题．
