9.3 分式方程（1）同步练习
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9.3 分式方程（1）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分式方程的增根是去分母后的方程的根,但不是原方程的根,它使最简公分母的值为零．
２．解分式方程的一般方法和步骤: ①去分母,即在方程的两边都乘以最简公分母,把原方程化成整式方程;②解这个整式方程;③验根:把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不为０的根是原方程的根,使最简公分母为０ 的根是原方程的增根,必须舍去．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．的解是（ ）
A. B. C. D.
2．有下列方程：①2x+=10；②x-；③；④．属于分式方程的有（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
3．下列关于x的方程是分式方程的是( )
A. ; B. ; C. ; D.
4．已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A. m≥-3 B. m≤-3 C. m＞-3 且m≠-2 D. m≥3且m≠-2
5．当x=( )时, 互为相反数.
A. B. C. D.
6．若分式方程-1=有增根,则m的值为( )
A. 0和3 B. 1 C. 1和-2 D. 3
7．若分式方程无解，则a的值为（ ）
A. 0 B. -1 C. 0或-1 D. 1或-1
8．关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（ ）
A. m<-6且m≠2 B. m＞6且m≠2 C. m<6且m≠-2 D. m<6且m≠2
二、填空题
9．如果分式的值为－1，则x的值是__________.
10．关于x的方程：①－＝6；②＝；③＋1＝x；④＝；⑤－＝4；⑥＝－x.分式方程有____________(填序号)．
11．方程＝的解是________．
12．关于x的分式方程=1的解为正数,则m的取值范围是_____.
13．当k________时，关于x的方程不会产生增根.
14．当m=____时，关于x的分式方程无解．
15．如果解关于x的分式方程时出现增根，那么m的值为_____________
三、解答题
16．解方程及化简分式：
(1) ；
(2)；
(3)化简:；
(4)若分式方程;无解，求k的值.
17．已知x＝3是方程的一个根，求k的值和方程其余的根.
18．(1)观察下列算式: ……
由此可推断: = .
(2)请用含字母 (为正整数)的等式表示(1)中的一般规律.
(3)解方程: .
19．阅读下列材料:
关于x的分式方程x＋=c＋的解是x1=c，x2=;
x－= c－，即x＋=c+的解是x1=c，x2=－；
x＋=c＋的解是x1=c，x2=；
x＋=c＋的解是x1=c，x2=.
请观察上述方程与解的特征,比较关于x的方程x＋=c＋ (m≠0)与它的关系,猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证.
由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论;
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和,方程右边形式与左边的完全相同,只是把其中未知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接得解.
请利用这个结论解关于x的方程:
参考答案
1．B
【解析】原方程两边同时乘以得：
，解得： ，
检验：当时， ，
∴是原方程的解，
即原方程的解是： .
故选B.
2．B
【解析】①2x+=10是整式方程，
②x-是分式方程，
③是分式方程，
④是整式方程，
所以，属于分式方程的有②③．
故选：B．
3．D
【解析】根据分式方程的定义——分母中含有未知数的方程.故选D.
4．C
【解析】去分母得， ，整理得， .
由题意得 且，解之得m＞-3 且m≠-2.
故选C.
5．B
【解析】由题意得： .故选B.
【方法点睛】本题目是一道考查相反数定义问题，根据相反数的性质——互为相反数的两个数相加得0.从而列方程，解方程即可.
6．D
【解析】∵分式方程-1=有增根，
∴x﹣1=0，x+2=0，
∴x1=1，x2=﹣2．
两边同时乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化为x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m，
整理得，m=x+2，
当x=1时，m=1+2=3；
当x=﹣2时，m=﹣2+2=0，
当m=0，方程无解，
∴m=3．
故选D．
7．D
【解析】试题分析：在方程两边同乘(x＋1)得：x－a＝a(x＋1)，
整理得：x(1－a)＝2a，
当1－a＝0时，即a＝1，整式方程无解，
当x＋1＝0，即x＝－1时，分式方程无解，
把x＝－1代入x(1－a)＝2a得：－(1－a)＝2a，
解得：a＝－1，
故选D．
点睛：本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分式方程无解的条件．
8．D
【解析】先解关于x的分式方程，用含m的式子表示x的值，然后再依据“解是正实数且”建立不等式组求m的取值范围．
解：去分母得， ，
解得， ，
∵关于x的分式方程的解是正实数且
∴，
解得，m<6且m≠2.
故选D.
9．
【解析】解分式方程=－1得, ,经检验, 是原分式方程的解,故答案为.
10．②④⑤
【解析】试题解析：根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程，知：分式方程有：②＝；④＝；－＝4.
故答案为：②④⑤.
11．x＝－1
【解析】＝
方程两边同乘以2x（x-3），得
x-3=4x
解得，x=-1，
检验：当x=-1时，2x（x-3）≠0，
故原分式方程的解是x=-1，
故答案是：x=-1．
12．m>2,且m≠3
【解析】解关于的方式方程得： ，
∵原分式方程的解为正数，
∴ ，解得： 且.
故答案为： 且.
点睛：含有待定系数的方式方程有正数解包含两层含义：（1）方程有解，即表达未知数的值的代数式不能使最简公分母的值为0（如本题中不能使最简公分母的值为0）；（2）表达未知数的值的代数式的值是正数（如本题中的值需大于0）.
13．
【解析】原方程化为整式方程得，k+2(x-3)=4-x，把x=3代入这个整式方程得，k=1，即当k=1时，原方程有增根，所以当k≠1时，原方程不会产生增根，故答案为.
14．-6
【解析】把原方程去分母得，2x+m=-(x-3)①，把x=3代入方程①得，m=-6，故答案为-6.
15．-4
【解析】方程两边同乘以x-2得，m+2x=x-2，因分式方程出现增根，所以x=2，把x=2代入m+2x=x-2得，m+4=0，解得m=-4.故答案为-4.
点睛：本题考查了分式方程的增根，增根就是使最简公分母等于0的未知数的值，确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16．(1)x=6；(2)无解；(3) ；(4)k=3或k=1
【解析】试题分析：（1）、（2）方程两边同时乘以最简公分母后化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得；
（3）先计算括号里的，然后再进行分式的除法计算即可；
（4）先化为整式方程，然后根据分式方程无解情况进行讨论即可得.
试题解析：（1）方程两边同乘x(x+3)，得
2（x+3）+x2=x(x+3)，
解得：x=6，
检验：当x=6时，x(x+3)≠0，所以x=6是原方程的解；
（2）方程两边同乘（x+2）(x-2)，得
（x-2）2-16=（x+2）(x-2)，
解得：x=-2，
检验：当x=-2时，（x+2）(x-2)=0，所以x=-2是增根，原方程无解；
（3）原式===；
（4）方程两边同时乘（x-3），得
3（x-3）+2-kx=-1，
整理得：（3-k）x=6，
当整式方程无解时，3-k=0即k=3，
当分式方程无解时，x=3，此时3-k=2，k=1，
所以k=3或1时，原方程无解．
17．k＝－3，x1＝2，x2＝3
【解析】试题分析：将x＝3代入方程即可求出k值，再代入解分式方程，并验根即可求出方程其余的根.
解：由题意得2＋＝1,∴k＝－3
方程两边都乘以x·（x＋2），约去分母得
10x－3（x＋2）＝x（x＋2）?
整理得x2－5x＋6＝0
x1＝2,x2＝3
检验：x＝2时，x（x＋2）＝8≠0
∴2是原方程的根
x＝3时，x（x＋2）＝15≠0
∴3是原方程的根
∴原方程的根为：x1＝2，x2＝3
18．(1) (2) (3) 原方程无解
【解析】试题分析:(1)观察算式可发现:中间的分数,分子为1,分母为相邻两个自然数的乘积,右边的分数为以相邻两个自然数分别为分母和分子为1的两个分数的差,即可求解,(2)利用（1）发现的规律可求解,(3)利用规律对分式方程先化简,再解分式方程.
试题分析:(1) ,
(2) ,
(3) ,
,
,
,
,
,
解方程,经检验是原方程的增根,所以原方程无解.
19．（1）；验证：（略）
（2）
【解析】试题分析：此题为阅读分析题，解此题要注意认真审题，找到规律： 的解为，据规律解题即可．
试题解析：
猜想：的解为.
验证：当x=c时，=右边，所以x1=c是原方程的解.
同理可得也是原方程的解.
所以的根为.
点睛：此类题目的做法是：根据题目已知的信息总结出规律，再根据定理、定义等验证总结出来的规律是否正确.对于和规律相似但是有差别的待求式，可以给它添项或减项，把它化成与已知相同的形式，再用规律解答.
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9.3 分式方程（1）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分式方程的增根是去分母后的方程的根,但不是原方程的根,它使最简公分母的值为零．
２．解分式方程的一般方法和步骤: ①去分母,即在方程的两边都乘以最简公分母,把原方程化成整式方程;②解这个整式方程;③验根:把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不为０的根是原方程的根,使最简公分母为０ 的根是原方程的增根,必须舍去．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．的解是（ ）
A. B. C. D.
2．有下列方程：①2x+=10；②x-；③；④．属于分式方程的有（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
3．下列关于x的方程是分式方程的是( )
A. ; B. ; C. ; D.
4．已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A. m≥-3 B. m≤-3 C. m＞-3 且m≠-2 D. m≥3且m≠-2
5．当x=( )时, 互为相反数.
A. B. C. D.
6．若分式方程-1=有增根,则m的值为( )
A. 0和3 B. 1 C. 1和-2 D. 3
7．若分式方程无解，则a的值为（ ）
A. 0 B. -1 C. 0或-1 D. 1或-1
8．关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（ ）
A. m<-6且m≠2 B. m＞6且m≠2 C. m<6且m≠-2 D. m<6且m≠2
二、填空题
9．如果分式的值为－1，则x的值是__________.
10．关于x的方程：①－＝6；②＝；③＋1＝x；④＝；⑤－＝4；⑥＝－x.分式方程有____________(填序号)．
11．方程＝的解是________．
12．关于x的分式方程=1的解为正数,则m的取值范围是_____.
13．当k________时，关于x的方程不会产生增根.
14．当m=____时，关于x的分式方程无解．
15．如果解关于x的分式方程时出现增根，那么m的值为_____________
三、解答题
16．解方程及化简分式：
(1) ；
(2)；
(3)化简:；
(4)若分式方程;无解，求k的值.
17．已知x＝3是方程的一个根，求k的值和方程其余的根.
18．(1)观察下列算式: ……
由此可推断: = .
(2)请用含字母 (为正整数)的等式表示(1)中的一般规律.
(3)解方程: .
19．阅读下列材料:
关于x的分式方程x＋=c＋的解是x1=c，x2=;
x－= c－，即x＋=c+的解是x1=c，x2=－；
x＋=c＋的解是x1=c，x2=；
x＋=c＋的解是x1=c，x2=.
请观察上述方程与解的特征,比较关于x的方程x＋=c＋ (m≠0)与它的关系,猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证.
由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论;
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和,方程右边形式与左边的完全相同,只是把其中未知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接得解.
请利用这个结论解关于x的方程:
参考答案
1．B
【解析】原方程两边同时乘以得：
，解得： ，
检验：当时， ，
∴是原方程的解，
即原方程的解是： .
故选B.
2．B
【解析】①2x+=10是整式方程，
②x-是分式方程，
③是分式方程，
④是整式方程，
所以，属于分式方程的有②③．
故选：B．
3．D
【解析】根据分式方程的定义——分母中含有未知数的方程.故选D.
4．C
【解析】去分母得， ，整理得， .
由题意得 且，解之得m＞-3 且m≠-2.
故选C.
5．B
【解析】由题意得： .故选B.
【方法点睛】本题目是一道考查相反数定义问题，根据相反数的性质——互为相反数的两个数相加得0.从而列方程，解方程即可.
6．D
【解析】∵分式方程-1=有增根，
∴x﹣1=0，x+2=0，
∴x1=1，x2=﹣2．
两边同时乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化为x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m，
整理得，m=x+2，
当x=1时，m=1+2=3；
当x=﹣2时，m=﹣2+2=0，
当m=0，方程无解，
∴m=3．
故选D．
7．D
【解析】试题分析：在方程两边同乘(x＋1)得：x－a＝a(x＋1)，
整理得：x(1－a)＝2a，
当1－a＝0时，即a＝1，整式方程无解，
当x＋1＝0，即x＝－1时，分式方程无解，
把x＝－1代入x(1－a)＝2a得：－(1－a)＝2a，
解得：a＝－1，
故选D．
点睛：本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分式方程无解的条件．
8．D
【解析】先解关于x的分式方程，用含m的式子表示x的值，然后再依据“解是正实数且”建立不等式组求m的取值范围．
解：去分母得， ，
解得， ，
∵关于x的分式方程的解是正实数且
∴，
解得，m<6且m≠2.
故选D.
9．
【解析】解分式方程=－1得, ,经检验, 是原分式方程的解,故答案为.
10．②④⑤
【解析】试题解析：根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程，知：分式方程有：②＝；④＝；－＝4.
故答案为：②④⑤.
11．x＝－1
【解析】＝
方程两边同乘以2x（x-3），得
x-3=4x
解得，x=-1，
检验：当x=-1时，2x（x-3）≠0，
故原分式方程的解是x=-1，
故答案是：x=-1．
12．m>2,且m≠3
【解析】解关于的方式方程得： ，
∵原分式方程的解为正数，
∴ ，解得： 且.
故答案为： 且.
点睛：含有待定系数的方式方程有正数解包含两层含义：（1）方程有解，即表达未知数的值的代数式不能使最简公分母的值为0（如本题中不能使最简公分母的值为0）；（2）表达未知数的值的代数式的值是正数（如本题中的值需大于0）.
13．
【解析】原方程化为整式方程得，k+2(x-3)=4-x，把x=3代入这个整式方程得，k=1，即当k=1时，原方程有增根，所以当k≠1时，原方程不会产生增根，故答案为.
14．-6
【解析】把原方程去分母得，2x+m=-(x-3)①，把x=3代入方程①得，m=-6，故答案为-6.
15．-4
【解析】方程两边同乘以x-2得，m+2x=x-2，因分式方程出现增根，所以x=2，把x=2代入m+2x=x-2得，m+4=0，解得m=-4.故答案为-4.
点睛：本题考查了分式方程的增根，增根就是使最简公分母等于0的未知数的值，确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16．(1)x=6；(2)无解；(3) ；(4)k=3或k=1
【解析】试题分析：（1）、（2）方程两边同时乘以最简公分母后化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得；
（3）先计算括号里的，然后再进行分式的除法计算即可；
（4）先化为整式方程，然后根据分式方程无解情况进行讨论即可得.
试题解析：（1）方程两边同乘x(x+3)，得
2（x+3）+x2=x(x+3)，
解得：x=6，
检验：当x=6时，x(x+3)≠0，所以x=6是原方程的解；
（2）方程两边同乘（x+2）(x-2)，得
（x-2）2-16=（x+2）(x-2)，
解得：x=-2，
检验：当x=-2时，（x+2）(x-2)=0，所以x=-2是增根，原方程无解；
（3）原式===；
（4）方程两边同时乘（x-3），得
3（x-3）+2-kx=-1，
整理得：（3-k）x=6，
当整式方程无解时，3-k=0即k=3，
当分式方程无解时，x=3，此时3-k=2，k=1，
所以k=3或1时，原方程无解．
17．k＝－3，x1＝2，x2＝3
【解析】试题分析：将x＝3代入方程即可求出k值，再代入解分式方程，并验根即可求出方程其余的根.
解：由题意得2＋＝1,∴k＝－3
方程两边都乘以x·（x＋2），约去分母得
10x－3（x＋2）＝x（x＋2）?
整理得x2－5x＋6＝0
x1＝2,x2＝3
检验：x＝2时，x（x＋2）＝8≠0
∴2是原方程的根
x＝3时，x（x＋2）＝15≠0
∴3是原方程的根
∴原方程的根为：x1＝2，x2＝3
18．(1) (2) (3) 原方程无解
【解析】试题分析:(1)观察算式可发现:中间的分数,分子为1,分母为相邻两个自然数的乘积,右边的分数为以相邻两个自然数分别为分母和分子为1的两个分数的差,即可求解,(2)利用（1）发现的规律可求解,(3)利用规律对分式方程先化简,再解分式方程.
试题分析:(1) ,
(2) ,
(3) ,
,
,
,
,
,
解方程,经检验是原方程的增根,所以原方程无解.
19．（1）；验证：（略）
（2）
【解析】试题分析：此题为阅读分析题，解此题要注意认真审题，找到规律： 的解为，据规律解题即可．
试题解析：
猜想：的解为.
验证：当x=c时，=右边，所以x1=c是原方程的解.
同理可得也是原方程的解.
所以的根为.
点睛：此类题目的做法是：根据题目已知的信息总结出规律，再根据定理、定义等验证总结出来的规律是否正确.对于和规律相似但是有差别的待求式，可以给它添项或减项，把它化成与已知相同的形式，再用规律解答.
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