第十一章 三角形
课堂练习：
1．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE、CD相交于F，∠ABC=42o，∠A=60o，则∠BFC=（ ）
A、118o B、119o C、120o D、121o
2．如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
3．△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
4.如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为（ ）
A．34° B．54° C．66° D．56°
5．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
6.如图所示，在△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B；求证：CD⊥AB；
8．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠DCE=10°，∠B=60°，求∠A的度数．
9.已知：如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB，AC于点E，F．
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC的度数；
（2）若∠BEF+∠CFE=a，求∠BOC的度数．（用含a的代数式表示）
课后练习：
1．在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B等于（ ）
A．50° B．75° C．100° D．125°
2．如图，A点在B处的北偏东40°方向，C点在B处的北偏东85°方向，A点在C处的北偏西45°方向，则∠BAC的度数为（ ）
A．90° B．85° C．100° D．105°
3．锐角三角形中，最大角α的取值范围是（ ）
A、60°≤α＜90° B、60°＜α＜180
C、60°＜α＜90° D、0°＜α＜90
4．若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的度数为何（ ）
A、36 B、72 C、108 D、144
5．一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
6．在△ABC中，∠C＝30°，∠A-∠B＝30°，则∠A＝_______.
7．△ABC中，∠A=80° , ∠B=3∠C, 则∠B=_________度．
8．当三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”中最小的内角为30°，那么其中“特征角”的度数为 ．
9．在△ABC中，∠C=40°，∠B比∠A大20°，则∠A= ．
10．如图所示，AD，AE是三角形ABC的高和角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAE的度数．
11.如图，在△中，∠＞∠，，平分∠．
（1）若∠＝70°，∠ ＝30°．
①求∠= °；②∠= °．
（2）探究：小明认为如果只要知道∠－∠＝n°，就能求出∠的度数？请你就这个问题展开探究：
①实验：填表
∠的度数
∠的度数
∠的度数
70°
30°
（此格不需填写）
65°
25°
50°
20°
80°
56°
②结论：当时，试用含的代数式表示∠的度数，并写出推导过程；
③应用：若∠=56°，∠=12°，则∠= °
12.已知△ABC中，∠A=50°．
（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= °．
（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C= °．
（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1（内部有n﹣1个点），求∠BOn﹣1C（用n的代数式表示）．
（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1，若∠BOn﹣1C=60°，求n的值．
第十一章 三角形
课堂练习：
1．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE、CD相交于F，∠ABC=42o，∠A=60o，则∠BFC=（ ）
A、118o B、119o C、120o D、121o
【答案】C.
考点：三角形的内角和定理；角平分线的定义.
2．如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C．
【解析】
试题分析：∵直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，
∴∠1=∠4=40°，∠2=∠5=75°，
∴∠3=65°．
故选C．
考点：1．三角形内角和定理；2．对顶角、邻补角；3．平行线的性质．
3．△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
【答案】B
4.如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为（ ）
A．34° B．54° C．66° D．56°
【答案】D.
【解析】
试题分析：∵AB∥CD，∴∠D=∠1=34°.∵DE⊥CE，∴∠DCE=90°-∠EDC=56°.故选D.
考点：1平行线的性质；2直角三角形.
5．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】A.
考点：1.平行线的性质；2.直角三角形两锐角互余.
6.如图所示，在△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
【答案】∠DAC=20°， ∠BOA=125°.
【解析】
试题分析：∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=70°，
∴∠DAC=180°﹣90°﹣70°=20° ，
∵∠BAC=50°，∠C=70°，AE是角平分线
∴∠BAO=25°，∠ABC=60°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO=30°，
∴∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=125°.
考点：角平分线的性质、角度的计算.
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B；求证：CD⊥AB；
【答案】证明过程见解析
考点：三角形内角和定理
8．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠DCE=10°，∠B=60°，求∠A的度数．
【答案】40度
【解析】∵CE是AB边上的高，∴∠BCE=90-∠B=90°-60°=30°.
∵∠DCE=10°，∴∠BCD=30°+10°=40°.
∵CD是∠ACB的角平分线，∴∠ACB=2∠BCD=80°.
∴∠A=180°-80°-60°=40°.
9.已知：如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB，AC于点E，F．
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC的度数；
（2）若∠BEF+∠CFE=a，求∠BOC的度数．（用含a的代数式表示）
【答案】（1）125°（2）
（2）∵OB平分∠ABC
∴∠ABO=∠CBO
∵EF∥BC
∴∠EOB=∠OBC
∴∠EOB=∠EBO
同理可得，∠FOC=∠FCO
∴∠EOB==90°﹣∠BEO
∠FOC==90°﹣∠CFO
又∵∠EOF=180°
∴∠BOC=180°﹣∠EOB﹣∠FOC=（∠BEO+∠CFO）=
课后练习：
1．在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B等于（ ）
A．50° B．75° C．100° D．125°
【答案】B
考点：三角形内角和定理．
2．如图，A点在B处的北偏东40°方向，C点在B处的北偏东85°方向，A点在C处的北偏西45°方向，则∠BAC的度数为（ ）
A．90° B．85° C．100° D．105°
【答案】B
考点：方向角．
3．锐角三角形中，最大角α的取值范围是（ ）
A、60°≤α＜90° B、60°＜α＜180
C、60°＜α＜90° D、0°＜α＜90
【答案】A
【解析】三角形中最大的角不能小于60°，如果小于60°，则三角形的内角和将小于180°，
又该三角形是锐角三角形，则最大角必须小于90°，故最大角的取值范围是60°≤α＜90°．
4．若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的度数为何（ ）
A、36 B、72 C、108 D、144
【答案】B
【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2（∠A+∠B+∠C）=360°，∵2（∠A+∠C）=3∠B，
∴∠B=72°，
5．一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
【答案】D
【解析】
6．在△ABC中，∠C＝30°，∠A-∠B＝30°，则∠A＝_______.
【答案】90°
【解析】
试题分析：根据三角形的内角和可知∠A+∠B+∠C=180°，再由∠C＝30°，∠A-∠B＝30°可求得∠A=90°.
考点：三角形的内角和
7．△ABC中，∠A=80° , ∠B=3∠C, 则∠B=_________度．
【答案】75．
【解析】
试题分析：设∠B=x°，根据三角形的内角和公式可得，80+x+x=180，解得x=75°．
故答案为：75°．
考点：三角形的内角和公式．
8．当三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”中最小的内角为30°，那么其中“特征角”的度数为 ．
【答案】60°或100°
【解析】
试题分析：根据题意中的新定义可得：三角形的三个内角分别为：30°、60°、90°或者30°、50°、100°，则特殊角为60°或100°.
考点：新定义型
9．在△ABC中，∠C=40°，∠B比∠A大20°，则∠A= ．
【答案】60°
【解析】
试题分析：由题意可知：设∠A为x°，则∠B为x°+20°，再利用三角形的内角和是180°得：x+x+20+40=180，解此方程即可解决问题．
解：设∠A=x°，则∠B=x°+20°．
根据三角形的内角和定理得：
x+x+20+40=180，
2x=180﹣60，
x=60．
故答案为：60°．
10．如图所示，AD，AE是三角形ABC的高和角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAE的度数．
【答案】20°
11.如图，在△中，∠＞∠，，平分∠．
（1）若∠＝70°，∠ ＝30°．
①求∠= °；②∠= °．
（2）探究：小明认为如果只要知道∠－∠＝n°，就能求出∠的度数？请你就这个问题展开探究：
①实验：填表
∠的度数
∠的度数
∠的度数
70°
30°
（此格不需填写）
65°
25°
50°
20°
80°
56°
②结论：当时，试用含的代数式表示∠的度数，并写出推导过程；
③应用：若∠=56°，∠=12°，则∠= °
【答案】（1）①40°；②20°；（2）见解析；（3）74°．
试题解析：（1）①40°； ②20°；
（2）①填表
∠的度数
∠的度数
∠的度数
70°
30°
（此格不需填写）
65°
25°
20°
50°
20°
15°
80°
56°
12°
②解：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C．
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=（18O°-∠B-∠C）． =90°-∠B-∠C．
∵AD⊥BC, ∴∠ADB=90°． ∴∠BAD+∠B=90°． ∴ ∠BAD=90°-∠B
∴ ∠DAE=∠BAE-∠BAD =（90°-∠B-∠C）-（90°-∠B）=∠B-∠C=（∠B-∠C）=n°；
③ 74°．
考点：三角形内角和定理、角平分线的性质．
12.已知△ABC中，∠A=50°．
（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= °．
（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C= °．
（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1（内部有n﹣1个点），求∠BOn﹣1C（用n的代数式表示）．
（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1，若∠BOn﹣1C=60°，求n的值．
【答案】(1)、115°；(2)、；(3)、﹣×130°；(4)、n=13．
(3)、先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据n等分线的定义求得∠On﹣1BC+∠On﹣1CB，即可求出∠BOn﹣1C．(4)、依据(3)的结论即可求出n的值．
试题解析：(1)、∵△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°，BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线． ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=65°，
∴△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=115° (2)、∵点O2是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，
∴∠O2BC+∠O2CB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=（）°，
∴∠BO2C=180°﹣（）°=（）°．
(3)、∵点On﹣1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，
∴∠On﹣1BC+∠On﹣1CB=（∠ABC+∠ACB）=×130°， ∴∠BOn﹣1C=180°﹣×130°；
(4)、∵∠BOn﹣1C=60°， ∴180°﹣×130°=60°，解得n=13．
考点：三角形内角和定理．
