第十一章 三角形
课堂练习：
1．如图，直线a//b,则（ ）
A. B. C. D.
2．如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=20°，∠2=40°，则∠3等于（ ）
A．50° B．30° C．20° D．15°
3．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=（ ）
A．90° B．135° C．270° D．315°
4．数学活动课上，小明将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
5．如图AB∥CD，AD与BC交于点E，EF平分∠BED交CD延长线于点F，若∠A=110°，∠B=30°，则∠F的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
6.已知△ABC，
（1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+∠A；
（2）如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣∠A；
（3）如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣∠A．上述说法正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE的大小是 度．
8．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一段直角边与含45°角的三角板的一段直角边重合，则∠α的度数为 ．
9．如图，DE∥BC，CF为BC的延长线，若∠ADE=50°，∠ACF=110°，则∠A= ．
10．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=35°，则∠2的度数为 ．
11．如图，∠A=55°，∠B=30°，∠C=35°，求∠BDC的度数．
12.如图，∠A＝90°，∠B＝21°，∠C＝32°，求∠BDC的度数。
课后练习：
1．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
2．如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=30°，∠DAE=55°，则∠ACD的度数是（ ）
A．80° B．85° C．100° D．110°
3．若△ABC有一个外角是锐角，则△ABC一定是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
4.如图，△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线交于点E，且CE∥AB，AC与BE交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A．CB=CE B．∠A=∠ECD C．∠A=2∠E D．AB=BF
5. 如图， 等于（ ）
A. 90 ° B. 180° C.360° D.270°
6．如图，平面上直线a，b分别经过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是__________．
7．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=，∠2=，则∠3= °.
9．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P= ．
10．已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2．
11.（1）如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，若∠A=50°，求∠BOC的度数．
（2）如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
12．如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B=30°，∠DAE=55°，求∠ACD的度数．
13．【课本引申】
我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
【尝试探究】
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC＋∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
【拓展运用】
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，若∠1+∠2＝230°，则剪掉的∠C＝_________；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请直接写出答案_ ．
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由)
14．如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B=30°，∠ACD=100°， 求∠DAE的度数．
15．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB于CD相交于点O，若∠A=40°，∠C=36°，求∠P的度数．
第十一章 三角形
课堂练习：
1．如图，直线a//b,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
考点：（1）两直线平行的性质；（2）对顶角相等；（3）三角形的外角和定理.
2．如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=20°，∠2=40°，则∠3等于（ ）
A．50° B．30° C．20° D．15°
【答案】C.
【解析】
试题分析：如图
由题意得：∠4=∠2=40°；
由外角定理得：∠4=∠1+∠3，
∴∠3=∠4-∠1=40°-20°=20°，
故选C．
考点：1.平行线的性质；2.三角形的外角性质．
3．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=（ ）
A．90° B．135° C．270° D．315°
【答案】C
考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理．
4．数学活动课上，小明将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】D
【解析】
试题分析:先根据直角三角板的特殊性求出∠ACD的度数，再根据∠α是△ACE的外角进行解答．
∵图中是一副三角板叠放，
∴∠ACB=90°，∠BCD=45°，
∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCD=90°﹣45°=45°，
∵∠α是△ACE的外角，
∴∠α=∠A+∠ACD=30°+45°=75°．
故选D．
考点：三角形的外角性质；平行线的性质；直角三角形的性质．
5．如图AB∥CD，AD与BC交于点E，EF平分∠BED交CD延长线于点F，若∠A=110°，∠B=30°，则∠F的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C．
考点：①平行线的性质；②三角形的外角的性质．
6.已知△ABC，
（1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+∠A；
（2）如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣∠A；
（3）如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣∠A．上述说法正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C．
考点：角平分线的定义；三角形的内角和定理．
7．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE的大小是 度．
【答案】60
【解析】
试题分析:由∠A=80°，∠B=40°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD=∠B+∠A，然后利用角平分线的定义计算即可．
∵∠ACD=∠B+∠A，
而∠A=80°，∠B=40°，
∴∠ACD=80°+40°=120°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=60°，
故答案为60
考点：三角形的外角性质．
8．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一段直角边与含45°角的三角板的一段直角边重合，则∠α的度数为 ．
【答案】105°．
考点：三角形的外角性质．
9．如图，DE∥BC，CF为BC的延长线，若∠ADE=50°，∠ACF=110°，则∠A= ．
【答案】60°．
考点：平行线的性质；三角形的外角
10．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=35°，则∠2的度数为 ．
【答案】125°．
【解析】
试题分析：根据三角形外角性质求出∠BCQ，根据平行线的性质得出∠2=∠BCQ，代入求出即可．
∵∠1=35°，∠A=90°，
∴∠BCQ=∠A+∠1=90°+35°=125°，
∵EF∥MN，
∴∠2=∠BCQ=125°，
故答案为：125°．
考点：平行线的性质；三角形的外角性质．
11．如图，∠A=55°，∠B=30°，∠C=35°，求∠BDC的度数．
【答案】120°．
考点：三角形的外角性质．
12.如图，∠A＝90°，∠B＝21°，∠C＝32°，求∠BDC的度数。
【答案】∠BDC=143°
【解析】
试题分析：连接AD并延长AD至点E，根据三角形的外角性质求出∠BDE=∠1+∠B，∠CDE=∠2+∠C，据此即可求出答案.
试题解析：如图，连接AD并延长AD至点E
因为∠BDE=∠1+∠B ,∠CDE=∠2+∠C
所以∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠1+∠2+∠B+∠C
=∠BAC+∠B+∠C
因为∠A＝90°，∠B＝21°，∠C＝32°
所以∠BDC=90°+21°+32°=143°.
考点：三角形的外角性质
课后练习：
1．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】C．
考点：三角形的外角性质．
2．如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=30°，∠DAE=55°，则∠ACD的度数是（ ）
A．80° B．85° C．100° D．110°
【答案】C
【解析】
试题分析：利用三角形的内角和外角之间的关系计算．
∵∠B=30°，∠DAE=55°，
∴∠D=∠DAE﹣∠B=55°﹣30°=25°，
∴∠ACD=180°﹣∠D﹣∠CAD=180°﹣25°﹣55°=100°．
故选C．
考点：三角形的内角和外角之间的关系
3．若△ABC有一个外角是锐角，则△ABC一定是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
【答案】A
考点：三角形的外角性质．
4.如图，△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线交于点E，且CE∥AB，AC与BE交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A．CB=CE B．∠A=∠ECD C．∠A=2∠E D．AB=BF
【答案】D
【解析】
试题分析：选项A和B：根据角平分线定义和平行线的性质推出∠FBC=∠E即可；选项C：先根据三角形外角的性质及角平分线的定义得出∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠ACD=（∠A+∠ABC），再由BE平分∠ABC可知∠EBC=∠ABC，根据∠ECD是△BCE的外角即可得出结论；选项D：根据等腰三角形的判定和已知推出即可．
∵△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线交于点E，
∴∠ABF=∠CBF，∠FCE=∠ECD，
∵CE∥AB，
∴∠A=∠FCE，∠E=∠ABE，
∴∠A=∠ECD，∠FBC=∠E，
∴CB=CE，
考点：三角形内角和定理；平行线的性质．
5. 如图， 等于（ ）
A. 90 ° B. 180° C.360° D.270°
【答案】B
【解析】
试题分析：连接CD，根据三角形内角和定理可得：∠A+∠B=∠BDC+∠ACD，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BDC+∠ACD+∠C+∠D+∠E=∠EDC+∠ECD+∠E=180°.
考点：三角形内角和
6．如图，平面上直线a，b分别经过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是__________．
【答案】30°．
【解析】
试题分析：由三角形的外角性质得，a，b相交所成的锐角的度数是100°﹣70°=30°．故答案为：30°．
考点：三角形的外角性质．
7．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=，∠2=，则∠3= °.
【答案】20°．
考点：1.平行线的性质；2.三角形的外角性质．
9．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P= ．
【答案】90°．
考点：1．三角形内角和定理；2．三角形的角平分线、中线和高；3．三角形的外角性质．
10．已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2．
【答案】见解析
【解析】
试题分析：根据三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角证明即可．
证明：∵∠1是△ABC的一个外角，
∴∠1＞∠3，
∵∠3是△DEC的一个外角，
∴∠3＞∠2，
∴∠1＞∠2．
考点：三角形的外角性质．
11.（1）如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，若∠A=50°，求∠BOC的度数．
（2）如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
【答案】（1）115°；（2）∠BOC=∠A．见解析
（2）∠BOC=∠A，
理由：如图2，
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A．
考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质．
12．如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B=30°，∠DAE=55°，求∠ACD的度数．
【答案】100°．
考点：三角形外角的性质．
13．【课本引申】
我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
【尝试探究】
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC＋∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
【拓展运用】
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，若∠1+∠2＝230°，则剪掉的∠C＝_________；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请直接写出答案_ ．
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由)
【答案】（1）∠DBC+∠ECB =180°+∠A （2）50°（3）∠P=90°－∠A （4）∠BAD+∠CDA=360°－2∠P．
点睛：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键。
14．如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B=30°，∠ACD=100°， 求∠DAE的度数．
【答案】55o
【解析】
试题分析：首先根据邻补角的定义求出∠BCA=80o，再根据三角形外角的性质求出∠CAE =30o+80o=110o，然后再根据角平分线的定义求出∠DAE的度数.
试题解析：∵∠B=30o ，∠ACD=100°
∴∠BCA=180o-100o=80o
∠CAE=∠B+∠BCA=30o+80o=110o
AD是△ABC的外角平分线
∴∠DAE=110o=55o
考点：1.角平分线的定义；2.三角形外角的性质.
15．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB于CD相交于点O，若∠A=40°，∠C=36°，求∠P的度数．
【答案】38°
考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质．
