第十三章 轴对称
课堂练习：
1．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（ ）
A. AE∥BC B. ∠ADE=∠BDC C. △BDE是等边三角形 D. △ADE的周长是9
2．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ，则∠CPQ度数为（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
3．已知ΔABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC边上，且AD=CE，AE与BD交于点F，则∠AFD的度数为（ ）
A．60° B．45° C．75° D．70°
4.如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠α= ．
5．如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 度．
6.如图，已知：B是线段AD上的一点，△ABC、△BDE均为等边三角形，AE交BC于P，CD交BE于Q．
求证：（1）AE=CD；（2）BP=BQ；（3）PQ∥AD
课后练习：
1．如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹锐角为25°,则∠α的度数为（ ）
A．25° B．45° C. 35° D. 30°
2．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A5B5A6的边长为（ ）
A．6 B．16 C．32 D．64
3．如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．PD=DQ B．DE=AC C．AE=CQ D．PQ⊥AB
4．设O是等边三角形ABC内一点，已知∠AOB=1150，∠BOC=1250,则在以线段OA,OB,OC为边构成的三角形中，内角不可能取到的角度是（ ）
A．650 B．600 C．450 D．700
5.如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是 ．
6．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm．
7．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E在BC的延长线上，G是AC上一点，且CG=CD，F是GD上一点，且DF=DE，则∠E= 度．
8.如图，等边△ABC的边长为6，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC，交AB、CD于点E、F，则EF的长度为 ．
9.已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点构成的三角形是 三角形．
10.探究：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE，
结论：（1）∠AEB的度数为 ；
（2）线段AD、BE之间的数量关系是 ．
应用：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
第十三章 轴对称
课堂练习：
1．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（ ）
A. AE∥BC B. ∠ADE=∠BDC C. △BDE是等边三角形 D. △ADE的周长是9
【答案】B．
考点：1．旋转的性质；2．等边三角形的判定和性质；3．平行的判定．
2．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ，则∠CPQ度数为（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
【答案】B．
考点：1．全等三角形的判定与性质,2．等边三角形的性质
3．已知ΔABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC边上，且AD=CE，AE与BD交于点F，则∠AFD的度数为（ ）
A．60° B．45° C．75° D．70°
【答案】A
【解析】
试题分析：在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠C，AD=CE，利用ASA可判定△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∠DAF=∠ABD，所以∠AFD=∠ABD+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠BAD=60°，故答案选A．
考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定和性质．
4.如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠α= ．
【答案】20°．
【解析】试题分析：如图，延长CB交直线m于D，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°.
∵l∥m，∴∠adb=40°.
∴∠α=∠ABC﹣∠1=60°﹣40°=20°．
考点：1.平行线的性质；2.等边三角形的性质；3.三角形外角性质．
5．如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 度．
【答案】60
在△ABD与△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=60°．
故答案为：60．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
6.如图，已知：B是线段AD上的一点，△ABC、△BDE均为等边三角形，AE交BC于P，CD交BE于Q．
求证：（1）AE=CD；（2）BP=BQ；（3）PQ∥AD
【答案】（1）AE=CD；（2）BP=BQ
即∠ABE=∠CBD，
在△ABE与△CBD中，，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD；
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
课后练习：
1．如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹锐角为25°,则∠α的度数为（ ）
A．25° B．45° C. 35° D. 30°
【答案】C．
【解析】试题分析：根据两直线平行，内错角相等求出∠1，再根据等边三角形的性质求出∠2，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠α=∠2：
如图，∵m∥n，∴∠1=25°.
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°.∴∠2=60°-25°=35°.
∵l∥m，∴∠α=∠2=35°．
故选C．
考点：1.平行线的性质；2.等边三角形的性质．
2．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A5B5A6的边长为（ ）
A．6 B．16 C．32 D．64
【答案】B
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
故选B．
考点：等边三角形的性质．
3．如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．PD=DQ B．DE=AC C．AE=CQ D．PQ⊥AB
【答案】D
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等边三角形的判定与性质；3.平行线的性质.
4．设O是等边三角形ABC内一点，已知∠AOB=1150，∠BOC=1250,则在以线段OA,OB,OC为边构成的三角形中，内角不可能取到的角度是（ ）
A．650 B．600 C．450 D．700
【答案】D．
考点：1．旋转的性质,2．全等三角形的判定与性质,3．等边三角形的判定与性质
5.如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是 ．
【答案】60°．
考点：等边三角形的性质．
6．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm．
【答案】18
【解析】
试题分析：根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=18cm，
故答案为：18
考点：等边三角形的判定与性质．
7．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E在BC的延长线上，G是AC上一点，且CG=CD，F是GD上一点，且DF=DE，则∠E= 度．
【答案】15
【解析】
试题分析：根据等边三角形的性质可得：∠ACB=60°，根据CG=CD以及外角的性质可得：∠GDC=30°，根据DE=DE以及外角的性质可得：∠E=15°.
考点：（1）、等腰三角形的性质；（2）、三角形外角的性质
8.如图，等边△ABC的边长为6，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC，交AB、CD于点E、F，则EF的长度为 ．
【答案】4
考点：等边三角形的判定与性质；平行线的性质．
9.已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点构成的三角形是 三角形．
【答案】等边
考点：轴对称的性质；等边三角形的判定．
10.探究：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE，
结论：（1）∠AEB的度数为 ；
（2）线段AD、BE之间的数量关系是 ．
应用：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】结论：（1）60；（2）AD=BE；应用：∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；
【解析】
（2）∵△CDA≌△CEB，
∴AD=BE；
应用：∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；
理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，
∴AC = BC， CD = CE，
∠ACB =∠DCB =∠DCE－∠DCB，
即∠ACD = ∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD = BE，
∠BEC = ∠ADC=135°．
∴∠AEB =∠BEC－∠CED =135°－ 45°= 90°．
在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM = DM = ME，
∴DE = 2CM．
∴AE = DE+AD=2CM+BE．
考点：等边三角形的性质；等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定和性质．
