第十三章 轴对称
课堂练习：
1．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=9，AC=7，则△ADE的周长是 ．
2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=10，则线段MN的长为 ．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为 ．
4．如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为 ．
5.如图，已知在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，ED=DC．求证：AB=AC．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，点D是BC的中点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点F．
（1）求证：AE=CE；
（2）求证：△AEF≌△CEB．
7．如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB=DC；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．
课后练习：
1．如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是 度．
2．如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=40°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE= °．
3．如图，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=30°，若AB=m，BC=n，则△DBC的周长为 ．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
5．如图，已知在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上一点，且AD=AE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．试判断△BCF的形状，并说明理由．
6．已知：如图，在△BAC中，AB=AC，D，E分别为AB，AC边上的点，且DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形．
7．如图，已知△ABC中，CD为∠ACB的平分线，AE∥CD交BC的延长线于E，EF⊥AE交AC的延长线于F．
（1）求证：AC=CE；
（2）若AC=5，求AF．
8．AB=AC，∠B=30°
（1）若∠BAD=45°，求证：△ACD为等腰三角形；
（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．
9．如图，已知点D、E是△ABC的边BC上两点，且BD=CE，∠1=∠2．试证：△ABC是等腰三角形
第十三章 轴对称
课堂练习：
1．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=9，AC=7，则△ADE的周长是 ．
【答案】16
考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=10，则线段MN的长为 ．
【答案】10
【解析】
试题分析：∵MN∥BC
∴∠MEB=∠CBE，∠NEC=∠BCE
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠BCE
∴∠MEB=∠MBE，∠NEC=∠NCE
∴ME=MB，NE=NC
∴MN=ME+NE=BM+CN=10
故答案为：10
考点：等腰三角形的判定
3．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为 ．
【答案】55°．
考点：等腰三角形的性质．
4．如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为 ．
【答案】．
考点：1.等腰三角形的性质；2. 三角形外角的性质.
5.如图，已知在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，ED=DC．求证：AB=AC．
【答案】见解析
【解析】
试题分析：根据SAS得出△ADE≌△ADC，得出∠E=∠C，再根据∠E=∠B，得出∠B=∠C，进而证出AB=AC．
试题解析：∵AD平分∠EDC，
∴∠ADE=∠ADC，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC （SAS），
∴∠E=∠C，
又∵∠E=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，点D是BC的中点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点F．
（1）求证：AE=CE；
（2）求证：△AEF≌△CEB．
【答案】见解析
（2）∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B+∠BCE=90°，
∴∠BAD=∠BCE，
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
7．如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB=DC；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）△OEF为等腰三角形．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．
课后练习：
1．如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是 度．
【答案】20或80
【解析】
试题分析：当80°是等腰三角形的顶角时，顶角为80°；
当80°是等腰三角形的低角时，顶角=180°﹣80°×2=20°．
故答案为：20或80．
考点：等腰三角形
2．如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=40°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE= °．
【答案】30
考点：1、翻折变换，2、等腰三角形的性质
3．如图，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=30°，若AB=m，BC=n，则△DBC的周长为 ．
【答案】m+n.
考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的判定；3.三角形内角和定理．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）30°；（3）32.
【解析】
试题分析：（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；
（2）首先利用三角形内角和求得∠ABC的度数，然后减去∠ABD的度数即可得到答案；
（3）将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得．
试题解析：（1）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A=40°，
∴∠ABD=∠A=40°，∠ABC=∠C=（180°-40°）÷2=70°
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°；
（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6，
∴AB=2AE=12，
∵△CBD的周长为20，
∴AC+BC=20，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．
考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的判定与性质．
5．如图，已知在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上一点，且AD=AE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．试判断△BCF的形状，并说明理由．
【答案】△BFC是等腰三角形．
考点：全等三角形的判定与性质．
6．已知：如图，在△BAC中，AB=AC，D，E分别为AB，AC边上的点，且DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形．
【答案】见解析
考点：等腰三角形的判定与性质．
7．如图，已知△ABC中，CD为∠ACB的平分线，AE∥CD交BC的延长线于E，EF⊥AE交AC的延长线于F．
（1）求证：AC=CE；
（2）若AC=5，求AF．
【答案】（1）证明见解析（2）10
【解析】
试题分析:（1）根据CD为∠ACB的平分线，得到∠BCD=∠ACD，又AE∥CD，所以∠ACD=∠EAC，∠BCD=∠AEC，从而∠EAC=∠AEC，即可解答；
考点：全等三角形的判定与性质．
8．
（1）若∠BAD=45°，求证：△ACD为等腰三角形；
（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．
【答案】（1）证明见解析（2）60°或30°．
【解析】
试题分析：（1）根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C=30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC=120°，求出∠CAD=∠ADC，根据等腰三角形的判定得出即可；
（2）有两种情况：①当∠ADC=90°时，当∠CAD=90°时，求出即可．
（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，
∵∠BAD=45°，
∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣45°=75°，∠ADC=∠B+∠BAD=75°，
∴∠ADC=∠CAD，
∴AC=CD，
即△ACD为等腰三角形；
考点：等腰三角形的判定；直角三角形的性质．
9．如图，已知点D、E是△ABC的边BC上两点，且BD=CE，∠1=∠2．试证：△ABC是等腰三角形．
【答案】证明见解析．
【解析】
试题分析：首先根据∠1=∠2可得AD=AE，∠ADB=∠AEC，然后再证明△ABD≌△ACE可得AB=AC，进而可得△ABC是等腰三角形．
试题解析：∵∠1=∠2，
∴AD=AE，∠ADB=∠AEC，
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
考点：1．等腰三角形的判定；2．全等三角形的判定与性质．
