第十三章 轴对称
课堂练习：
1．如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则∠EBC的度数是（ ）
A．30° B．40° C．70° D．80°
2．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（ ）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm
3．某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为______________cm．
4．等腰三角形的周长为28，其一边长为8，则另两边长为 ．
5.如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A= °．
6.如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 cm．
7．如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．D为线段AC上任一点，连接BD，过C点作CE∥AB且AD=CE，试说明BD和AE之间的关系，并证明．
8．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
求证：BF=2AE；
课后练习：
1．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．45°
2．如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（ ）
A、∠C＝2∠A B、BD＝BC C、△ABD是等腰三角形 D、点D为线段AC的中点
3．下列命题中的假命题是（ ）
A、等腰三角形的顶角一定是锐角
B、等腰三角形的底角一定是锐角
C、等腰三角形至少有两个角相等
D、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合
4．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为 ．
5．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为 ．
6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 ．
7．已知：如图，中，是腰的垂直平分线，求：的度数.
8．证明：等腰三角形两腰上的中线相等.
9.如图，△ABC中，AC=BC，D、E分别在BC、AC上，AD和BE相交于点F，连接CF交AB于点P，若∠CAD=∠CBE.求证：点P是AB的中点.
第十三章 轴对称
课堂练习：
1．如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则∠EBC的度数是（ ）
A．30° B．40° C．70° D．80°
【答案】A．
考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质．
2．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（ ）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm
【答案】B
【解析】
试题分析：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系
3．某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为______________cm．
【答案】15．
【解析】
试题分析：分两种情况：?3为腰，6为底边时，根据三角形三边关系可得，3、3、6构不成三角形；?6为腰，3为底边时，三角形的三边为6、6、3，所以该三角形的周长为15．
考点：等腰三角形的性质；分类讨论．
4．等腰三角形的周长为28，其一边长为8，则另两边长为 ．
【答案】8、12或10、10．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
5.如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A= °．
【答案】87．
【解析】
试题分析：∵在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴∠DBE=∠ABC=（180°﹣31°﹣∠A）=（149°﹣∠A），
∵DE垂直平分BC，
∴BD=DC，∴∠DBE=∠C，
∴∠DBE=∠ABC=（149°﹣∠A）=∠C=31°，
∴∠A=87°．故答案为：87．
考点：线段垂直平分线的性质．
6.如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 cm．
【答案】6
考点：线段垂直平分线的性质
7．如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．D为线段AC上任一点，连接BD，过C点作CE∥AB且AD=CE，试说明BD和AE之间的关系，并证明．
【答案】BD=AE，AE⊥BD
【解析】
试题分析：先证∠ABD=∠CAE，再证△ABD≌△CAE即可得出答案．
试题解析：BD=AE，AE⊥BD；
证明：∵AB∥CE，∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴BD=AE．
∴∠ABD+∠EAB=∠CAE+∠EAB=90°
∴AE⊥BD
∴BD=AE，AE⊥BD.
考点：等腰三角形的性质.
8．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
求证：BF=2AE；
【答案】见解析
∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE；
课后练习：
1．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．45°
【答案】A．
考点：线段垂直平分线的性质．
2．如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（ ）
A、∠C＝2∠A B、BD＝BC C、△ABD是等腰三角形 D、点D为线段AC的中点
【答案】D
【解析】
试题分析：根据∠A=36°，AB=AC可得：∠ABC=∠C=72°，根据BD平分∠ABC可得：∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，则∠C=2∠A，BD=BC，△ABD是等腰三角形.
考点：等腰三角形的性质
3．下列命题中的假命题是（ ）
A、等腰三角形的顶角一定是锐角
B、等腰三角形的底角一定是锐角
C、等腰三角形至少有两个角相等
D、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合
【答案】A
【解析】
试题分析：等腰三角形的底角一定是锐角；等腰三角形至少有两个角相等；等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合
考点：等腰三角形的性质
4．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为 ．
【答案】70°，55°，55°或70°，70°，40°．
【解析】
试题分析：分两种情况，?当顶角的外角是110°时，则这个三角形的三个角应该为70°，55°，55°；
?当底角的外角是110°时，则这个三角形的三个角应该为70°，70°，40°．所以这个三角形的三个角应该为70°，55°，55°或70°，70°，40°．
考点：等腰三角形的性质；邻补角的定义；三角形内角和定理．
5．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】20．
考点：分类讨论；等腰三角形的性质．
6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 ．
【答案】110°或70°．
【解析】
试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣20°=70°．故答案为：110°或70°．
考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．
7．已知：如图，中，是腰的垂直平分线，求：的度数.
【答案】15°．
考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
8．证明：等腰三角形两腰上的中线相等.
【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：先根据题意作图，结合图形写出已知，求证，然后再根据已知和图形进行证明．可根据等腰三角形的性质得出相关的等角或相等的线段：DC=BE，∠DCB=∠EBC，BC=CB，可证明△BDC≌△CEB，所以BD=CE，即等腰三角形的两腰上的中线相等．
试题解析：已知：等腰△ABC中，AB=AC，AD=DC，AE=EB，
求证：BD=CE．
考点：等腰三角形的性质．
9.如图，△ABC中，AC=BC，D、E分别在BC、AC上，AD和BE相交于点F，连接CF交AB于点P，若∠CAD=∠CBE.求证：点P是AB的中点.
【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：根据可得，
根据可以得到，
根据等腰三角形底边三线合一即可解题.
试题解析：
，
即.
点P是AB的中点.
考点：等腰三角形的性质.
