第十四章 整式的乘法与因式分解
课堂练习：
1．已知则（ ）
A、 B、 C、 D、52
2．已知，，化简的结果为( )
A. 1 B. 2 C.－1 D.－2
3．若n是正整数，有理数x、y满足x＋ ＝0，则一定成立的是（ ）
A.x2n+1＋（）n = 0 B. x2n+1＋（）2n+1 = 0
C.x2n ＋（）2n = 0 D. xn ＋（）2n = 0
4．设，，则a、b的大小关系是（ ）
A．a=b B． a＞b C． a＜b D．以上三种都不对
5．如图，矩形ABCD的面积为__________________（用含x的代数式表示）．
6.计算：（3×105）×（7×104）＝______ __________；（结果写成科学记数法）
7．按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是 ．
8．某化工厂使用一种球形储气罐储存气体，现在要制造一个新的球形储气灌，如果新储气罐的体积是原来的8倍，那么它的半径是原来的________倍．（已知球的体积）
9．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿化面积．
10．若=4,=5，求的值
11．一个长方形草坪的的长是2x米，宽比长少4米，
（1）如果将这块草坪的长和宽增加3米，那么面积会增加多少平方米？
（2）求出当x=2时面积增加的值。
12．某同学在计算一个多项式A乘以时,因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是.
（1）、这个多项式A是多少？
（2）、正确的计算结果是多少？
课后练习：
1．已知多项式ax+b与2x2﹣x+1的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为-2，则ab的值为（ ）
A.﹣4 B. C. D. 4
2．要使成立，且M是一个多项式，N是一个整数，则（ ）
A. B.
C. D.
3．如果（x﹣2）（x+3）=x2+px+q，那么p、q的值为（ ）
A．p=5，q=6 B．p=1，q=﹣6 C．p=1，q=6 D．p=5，q=﹣6
4．若2m=3，2n=4，则23m﹣2n等于（ ）
A．1 B． C． D．
5．下列各式
（1）b5×b5=2b5
（2）（﹣2a2）2=﹣4a4
（3）（an﹣1）3=a3n﹣1
（4）2m+3n=6m+n
（5）（a﹣b）5（b﹣a）4=（a﹣b）20
（6）﹣a3×（﹣a）5=a8
其中计算错误的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．比较大小： （填>、=、<）．
7．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
根据前面各式的规律，则（a+b）6= ．
8．观察下列运算并填空：1×2×3×4＋1＝24＋1＝25＝52 ；2×3×4×5＋1＝120＋1＝121＝112 ； 3×4×5×6＋1＝360＋1＝361=192；试猜想= 2.
9．若，则代数式= ．
10.阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘记为an，记为an．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．
（1）计算以下各对数的值：
log24= ，log216= ，log264= ．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
logaM+logaN= ；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
（4）根据幂的运算法则：an?am=an+m以及对数的含义说明上述结论成立．
11．已知（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2，如图是正方形和长方形卡片（各有若干张），你能用拼图的方法说明上式吗？
12.一天，小明和小玲玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式。比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
（1）图③可以解释为等式：
（2）要使拼出的矩形面积为3a2+8ab+4b2，则此矩形的长为 ，宽为 ．
（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x>y），观察图案，指出以下关系式
Ⅰ. Ⅱ.x-y=n Ⅲ. Ⅳ
Ⅴ. 其中正确的有几个（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（4）如图5，是将两个边长分别为和的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=6，ab=6，你能求出阴影部分的面积S阴 吗？
14．在通常的日历牌上，可以看到一些数所满足的规律，表①是2015年9月份的日历牌．
（1）在表①中，我们选择用如表②那样2×2的正方形框任意圈出2×2个数，将它们线交叉相乘，再相减，如：用正方形框圈出4、5、11、12四个数，然后将它们交叉相乘，再相减，即4×12﹣5×11=﹣7或5×11﹣4×12=7，请你用表②的正方形框任意圈出2×2个数，将它们先交叉相乘，再相减．列出算式并算出结果（选择其中一个算式即可）；
（2）在用表②的正方形框任意圈出2×2个数中，将它们先交叉相乘，再相减，若设左上角的数字为n，用含n的式子表示其他三个位置的数字，列出算式并算出结果（选择其中一个算式即可）；
（3）若选择用如表③那样3×3的正方形方框任意圈出3×3个数，将正方形方框四个角位置上的4个数先交叉相乘，再相减，你发现了什么？请说明理由．
第十四章 整式的乘法与因式分解
课堂练习：
1．已知则（ ）
A、 B、 C、 D、52
【答案】A
考点：同底数幂的计算
2．已知，，化简的结果为( )
A. 1 B. 2 C.－1 D.－2
【答案】A
【解析】
试题分析：原式=ab-2a-2b+4=ab-2(a+b)+4=1-2×2+4=1.
考点：整体思想求解
3．若n是正整数，有理数x、y满足x＋ ＝0，则一定成立的是（ ）
A.x2n+1＋（）n = 0 B. x2n+1＋（）2n+1 = 0
C.x2n ＋（）2n = 0 D. xn ＋（）2n = 0
【答案】B．
【解析】
试题解析：∵有理数x、y满足x+=0，
∴x与互为相反数．
∴x2n+1+（）2n+1=0，x2n+（）2n=2x2n或2×（）2n；
故选B．
考点：幂的乘方与积的乘方．
4．设，，则a、b的大小关系是（ ）
A．a=b B． a＞b C． a＜b D．以上三种都不对
【答案】A．
考点：实数大小比较．
5．如图，矩形ABCD的面积为__________________（用含x的代数式表示）．
【答案】
【解析】
试题分析：根据面积的计算法则可得：S=(x+3)(x+2)=+5x+6.
考点：多项式的乘法计算
6.计算：（3×105）×（7×104）＝______ __________；（结果写成科学记数法）
【答案】2．1×
【解析】
试题分析：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．原式=21×=2．1×
考点：同底数幂的乘法、科学计数法．
7．按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是 ．
【答案】xy=z．
【解析】
试题分析：观察数列可发现所以这一列数据所揭示的规律是前两个数的积等于第三个数．根据规律x、y、z表示这列数中的连续三个数，则x、y、z满足的关系式是xy=z．
考点：规律探究题．
8．某化工厂使用一种球形储气罐储存气体，现在要制造一个新的球形储气灌，如果新储气罐的体积是原来的8倍，那么它的半径是原来的________倍．（已知球的体积）
【答案】2
【解析】设新的球形储气罐的半径为R，原来的储气罐的半径为r，
则，∴R＝2r．
9．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿化面积．
【答案】5a2+3ab（平方米）；63平方米
考点：整式的混合运算．
10．若=4,=5，求的值
【答案】-359
【解析】
试题分析：将所求的代数式通过幂的乘方计算法则将各式转化成和的形式，然后代入进行计算.
试题解析：原式=
=
=
=16+25-400
=－359
考点：幂的计算
11．一个长方形草坪的的长是2x米，宽比长少4米，
（1）如果将这块草坪的长和宽增加3米，那么面积会增加多少平方米？
（2）求出当x=2时面积增加的值。
【答案】（1）（12x-3）平方米；（2）21平方米.
考点：1.列代数式；2.代数式求值．
12．某同学在计算一个多项式A乘以时,因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是.
（1）、这个多项式A是多少？
（2）、正确的计算结果是多少？
【答案】（1）、4-3x；（2）、
【解析】
试题分析：（1）、根据多项式的减法计算法则得出代数式A的值；（2）、根据多项式的乘法计算法则得出正确的计算结果.
试题解析：（1）、依题意有
所以
（2）、
考点：多项式的计算
课后练习：
1．已知多项式ax+b与2x2﹣x+1的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为-2，则ab的值为（ ）
A.﹣4 B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
试题分析：（ax+b）（2x2﹣x+1）=，因为展开式中不含x的一次项，且常数项为-2，所以b= -2，a-b=0，所以a= -2，所以ab=，故选：B.
考点：多项式的乘法.
2．要使成立，且M是一个多项式，N是一个整数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C.
考点：1多项式的乘法；2多项式相等的含义.
3．如果（x﹣2）（x+3）=x2+px+q，那么p、q的值为（ ）
A．p=5，q=6 B．p=1，q=﹣6 C．p=1，q=6 D．p=5，q=﹣6
【答案】B
考点：多项式乘多项式．
4．若2m=3，2n=4，则23m﹣2n等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析:根据同底数幂的除法的性质的逆用和幂的乘方的性质计算即可．
解：23m﹣2n=23m÷22n=（2m）3÷（2n）2=33÷42=．
故选D．
考点：同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
5．下列各式
（1）b5×b5=2b5
（2）（﹣2a2）2=﹣4a4
（3）（an﹣1）3=a3n﹣1
（4）2m+3n=6m+n
（5）（a﹣b）5（b﹣a）4=（a﹣b）20
（6）﹣a3×（﹣a）5=a8
其中计算错误的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【解析】
试题分析:原式各项计算得到结果，即可作出判断．
解：（1）b5×b5=b10，错误；
（2）（﹣2a2）2=﹣4a4，正确；
（3）（an﹣1）3=a3n﹣3，错误；
（4）2m+3n为最简结果，错误；
（5）（a﹣b）5（b﹣a）4=（a﹣b）9，错误；
（6）﹣a3×（﹣a）5=a8，正确，
则其中计算错误的有4个．
故选B
考点：整式的混合运算．
6．比较大小： （填>、=、<）．
【答案】＜．
【解析】
试题分析：∵，，又∵9＞8，∴＜．故答案为：＜．
考点：幂的乘方与积的乘方．
7．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
根据前面各式的规律，则（a+b）6= ．
【答案】a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．
考点：完全平方公式；规律型：数字的变化类．
8．观察下列运算并填空：1×2×3×4＋1＝24＋1＝25＝52 ；2×3×4×5＋1＝120＋1＝121＝112 ； 3×4×5×6＋1＝360＋1＝361=192；试猜想= 2.
【答案】.
考点：数字的变化规律类问题.
9．若，则代数式= ．
【答案】1
【解析】
试题分析：根据=81可得a=9，根据=81可得b=4，则a－2b=9－8=1．
考点：幂的计算．
10.阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘记为an，记为an．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．
（1）计算以下各对数的值：
log24= ，log216= ，log264= ．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
logaM+logaN= ；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
（4）根据幂的运算法则：an?am=an+m以及对数的含义说明上述结论成立．
【答案】（1）2；4；6；（2）log24+log216=log264；（3）logaM+logaN=loga（MN）；（4）见解析．
【解析】
试题分析：根据幂的计算法则得出答案；根据数字之间的规律得出一般性的规律，然后利用同底数幂的乘法法则进行证明．
考点：同底数幂的计算、规律题．
11．已知（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2，如图是正方形和长方形卡片（各有若干张），你能用拼图的方法说明上式吗？
【答案】如图所示，大正方形2个，小正方形2个，长方形5个，构成图形的面积为（a+2b）（2a+b），面积也可以为2a2+5ab+2b2，则（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2．
【解析】
由2a2+5ab+2b2可知大正方形2个，小正方形2个，长方形5个，拼成图形，如图所示，即可做出验证．
考点：多项式乘多项式．
12.一天，小明和小玲玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式。比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
（1）图③可以解释为等式：
（2）要使拼出的矩形面积为3a2+8ab+4b2，则此矩形的长为 ，宽为 ．
（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x>y），观察图案，指出以下关系式
Ⅰ. Ⅱ.x-y=n Ⅲ. Ⅳ
Ⅴ. 其中正确的有几个（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（4）如图5，是将两个边长分别为和的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=6，ab=6，你能求出阴影部分的面积S阴 吗？
【答案】（1）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；（2）长（3a+2b），宽（a+2b）；（3）D；
（4）9.
【解析】
（4）阴影部分的面积可以看做是一个长a+b，宽a得矩形减去长b，宽a-b的矩形，再减去直角边长为a的等腰直角三角形，再减去直角边为a+b和b的直角三角形的面积.再利用因式分解整体代入求值.
试题解析： （1）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；（2）长（3a+2b），宽（a+2b）；（3）D；
S阴影=a（a+b）-b（a-b）-a2-b（a+b）=a2+ab-ab+b2-a2-b2-ab=（a2+b2）-ab
=[（a+b）2-2ab] -ab=·（62-12）-×6=12-3=9.答：阴影部分的面积为9.
考点：1因式分解；2数形结合；3整体代入.
13．已知，求的值；
【答案】27.
【解析】
试题分析：先对进行化简为，又2x+3y=3，即可求得答案.
试题解析：原式=.
考点：同底数幂的乘法
14．在通常的日历牌上，可以看到一些数所满足的规律，表①是2015年9月份的日历牌．
（1）在表①中，我们选择用如表②那样2×2的正方形框任意圈出2×2个数，将它们线交叉相乘，再相减，如：用正方形框圈出4、5、11、12四个数，然后将它们交叉相乘，再相减，即4×12﹣5×11=﹣7或5×11﹣4×12=7，请你用表②的正方形框任意圈出2×2个数，将它们先交叉相乘，再相减．列出算式并算出结果（选择其中一个算式即可）；
（2）在用表②的正方形框任意圈出2×2个数中，将它们先交叉相乘，再相减，若设左上角的数字为n，用含n的式子表示其他三个位置的数字，列出算式并算出结果（选择其中一个算式即可）；
（3）若选择用如表③那样3×3的正方形方框任意圈出3×3个数，将正方形方框四个角位置上的4个数先交叉相乘，再相减，你发现了什么？请说明理由．
【答案】（1）1×9﹣2×8=﹣7；
（2）﹣7；
（3）发现：它们最后的结果是28或﹣28，理由见解析；结论：它们的结果与n的取值无关，最终结果保持不变，是28或﹣28．
【解析】
解：（1）如图所示：
1×9﹣2×8=﹣7；
（2）其它三个数为n+1，n+7，n+8，
n（n+8）﹣（n+1）（n+7）
=n2+8n﹣n2﹣8n﹣7
=﹣7；
（3）3×19﹣5×17=﹣28，
5×17﹣3×19=28，
发现：它们最后的结果是28或﹣28，
理由是：设左上角的数为m，则其它三个位置的数分别为n+14，n+2，n+16，
则n?（m+16）﹣（n+14）?（n+2）
=n2+16n﹣n2﹣16n﹣28
=﹣28；
（n+14）?（n+2）﹣n?（n+16）
=28；
结论：它们的结果与n的取值无关，最终结果保持不变，是28或﹣28．
考点：整式的混合运算．
