19.1 多边形内角和同步练习
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19.1 多边形内角和同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．在平面内,由若干条不在同一条直线上的线段 首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
２．在顶点处一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角．
３．正多边形:多边形中,各条边都相等,各个内角都相等的多边形．
４．多边形的内角和与外角和
(１)多边形的内角和定理:n边形的内角和等于 (n－２)·１８０° (n为不小 于３的整数)．
(２)多边形的外角和定理:n边形的外角和等于 ３６０° (n为不小于３的整 数)．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．下列说法错误的是( )
A. 多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形
B. 四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形
C. 多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形
D. 封闭的平面图形一定是多边形
2．将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形
3．如图，，，，是五边形的外角，且，则的度数是（ ）．
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A. B. C. D.
4．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形
5．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 无法确定
6．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是( )
A. 27 B. 35 C. 44 D. 54
7．从五边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把五边形分割成几个三角形( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
8．设一个多边形的一个内角为x°，其余内角之和为1740°，则x的值为（ ）
A. 30 B. 60 C. 90 D. 120
二、填空题
9．如图，小兰在操场上散步。她从O点出发 ( http: / / www.21cnjy.com )，面向正东方向走5m，然后向左转45°，再向前走5m，又向左转45°，再向前走5m.这样一直走下去，第一次回到出发点O时，她共走了_______ m
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10．若两个多边形的边数相差2，那么内角和相差_______________.
11．十二边形的内角和是________度，若n边形的内角和1080°是则n= ___________
12．如图，在△ABC中剪去∠C得到四边形ABDE，且∠1+∠2=230°.纸片中∠C的度数为________.
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13．凸n边形的对角线的条数记作an(n≥ ( http: / / www.21cnjy.com )4)，例如：a4=2，那么：①a5=__________；②a6-a5=__________；③an+1-an=__________(n≥4，用含n的代数式表示).
三、解答题
14．某同学在求多边形的内角和时，多算了一个内角的度数，求得内角和为1 560°，问这个内角是多少度？这个多边形的边数是多少？
15．过n边形的一个顶点有7条对角线，m边形有m条对角线，p边形没有对角线，q边形的内角和与外角和相等，求q(n－m)p的值．
16．如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数.
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17．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，CF∥AB.
(1)求∠FCD的度数；
(2)求证：AF∥CD.
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18．探究与发现：
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△A ( http: / / www.21cnjy.com )DC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系为：____________________（直接写出结果）．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图2，在△ADC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系为：____________________（直接写出结果）．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图3，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．
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参考答案
1．D
【解析】试题解析：A、平面图形除多边形外，还有圆等等，故本选项正确；
B、,由四条线段首尾顺次相接组成的平面 ( http: / / www.21cnjy.com )图形叫作四边形.它需要四条线段、首尾顺次相接、平面图形这三个条件,而不仅仅是四条线段这一个条件，如果四条线段相交就不是四边形了，. 故本选项正确；
C、封闭图形除多边形外，还可能是圆等等，故本选项正确；
D、封闭图形除多边形外，还可能是圆等等，故本选项错误；
故选D.
2．A
【解析】试题解析：当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；
当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；
当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；
∴剩余图形不可能是六边形，
故选A.
3．D
【解析】如下图，∵凸多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
又∵
∴∠5=360°-70°×4=80°，
∴∠AED=180°-∠5=100°.故选D.
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点睛：本题的解题要点是：任何凸多边形的外角和都是360°.
4．C
【解析】试题解析：设这个多边形是n边形，由题意知，
（n﹣2）×180°=1080°，
∴n=8，
所以该多边形的边数是八边形．
故选C．
5．C
【解析】设这个多边形为n边形，根据题意得（n-2）×180°=720°，解得n=6，即这个多边形为六边形，故选C.
6．C
【解析】设这个内角度数为x，边数为n，
∴(n 2)×180° x=1510，
180n=1870+x，
∵n为正整数，
∴n=11，
∴=44，
故选：C.
点睛：此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识.
7．B
【解析】试题解析：∵从n边形的一个顶点有（n-3）条对角线，分成了（n-2）个三角形．
∴当n=5时，则有5-2=3个．
故选B．
8．B
【解析】解：设多边形的边数为n，则：（n-2）×180°-x=1740°
（n-2）×180°-x=10×180°－60°
∵n为正整数，0＜x＜180°，∴n-2=10，x=60°，∴n=12，x=60°．故选B．
9．40
【解析】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×5=40 m．故答案为：40．
点睛：本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．
10．360
【解析】因为多边形的内角和满足18 ( http: / / www.21cnjy.com )0×(n-2) 所以如果边数相差1,内角和相差180度,所以边数相差2,内角和相差360度,故答案为: 360 .
11． 1800° 8；
【解析】由题意可得：（12-2）×180°=1800°，
(n 2)×180°=1080°，
解得n=8.
故答案为：1800°，8.
12．50°
【解析】已知∠1+∠2=230°， ( http: / / www.21cnjy.com )根据四边形的内角和为360°可得∠A+∠B=360°-230°=130°，再由三角形的内角和定理可得∠C的度数是：180°-130°=50°．故答案为：50°.
点睛：本题主要考查了四边形的内角和是360度的实际运用及三角形内角和定理，熟知这两个定理是解题的关键.．
13． 5 4 n-1
【解析】①a5=；
②a6-a5=；
③an+1-an=
.
故答案为：① 5；② 4；③ n-1
点睛：本题考查了凸n边形的对角线的条数计算公式，熟练掌握凸n边形的对角线的条数=是解答本题的关键.
14．这个内角是120°，这个多边形的边数是10.
【解析】试题分析：设这个多边形的边数为n，多 ( http: / / www.21cnjy.com )算的这个内角为α，根据多边形的内角和公式可得(n-2)·180°+α=1 560°，然后根据多边形每个内角的取值范围0°＜α＜180°列不等式，即可求出多边形的边数，进而求出这个内角的度数．
解：设这个多边形的边数为n，多算的这个内角为α，则有：
(n-2)·180°+α=1 560°.
∴α=1 560°-(n-2)·180°.
显然：0°＜α＜180°，
∴0°＜1 560°-(n-2)·180°＜180°.解得9∴n=10.
∴α=1 560°-(10-2)·180°=120°.
答：这个内角是120°，这个多边形的边数是10.
15．500
【解析】分析：若过n边形的一个顶点有7条对角线，则n=10；m边形有m条对角线，即得到方程m(m-3)=m，解得m=5；P边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而P=3；q边形的内角和与外角和相等，内角和与外角和相等的只有四边形，因而q=4．代入代数式就可以求出代数式的值．
本题解析：
∵n边形从一个顶点发出的对角线有n－3条， ∴n=7+3=10，
∵m边形有m条对角线 , ∴m(m-3)=m，解之得：m=5；
∵ P边形没有对角线 ,∴P=3
∵q边形的内角和与外角和相等 ,∴q=4
∴q(n-m)p=4×=4×=500
故答案为：500
16．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°.
【解析】试题分析：连接AB ( http: / / www.21cnjy.com )，由多边形的内角和公式可得，五边形ABCDE的内角和等于540 ，由三角形的内角和可得，∠1+∠2=∠8+∠9，从而可求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数.
解：如图，连接AB，
∵∠1+∠2+∠GHF=∠8+∠9+∠AHB，∠GHF=∠AHB，
∴∠1+∠2=∠8+∠9.
∵∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9＝540°.
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°.
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点睛：本题考查了多边形的 ( http: / / www.21cnjy.com )内角和、三角形的内角和，正确添加辅助线把求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数转化成五边形ABCDE的内角和是解答本题的关键.
17．（1）60°（2）证明见解析
【解析】试题分析：（1）先求六边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CDEF的每个内角的度数，根据平行线的性质可求∠B+∠BCF=180°，再根据四边形的内角和是360°，求∠FCD的度数，从而求解．
（2）先根据四边形内角和求出∠AFC=60°，再根据平行线的判定即可求解．
试题解析：(1)解：∵六边形ABCDEF的内角相等，∴∠B＝∠A＝∠BCD＝120°.
∵CF∥AB，∴∠B＋∠BCF＝180°，∴∠BCF＝60°，∴∠FCD＝60°.
(2)证明：∵CF∥AB，∴∠A＋∠AFC＝180°，∴∠AFC＝180°－120°＝60°，∴∠AFC＝∠FCD，∴AF∥CD.
点睛：此题主要考查了多边形内角与外角和 ( http: / / www.21cnjy.com )平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
18．探究一：∠FDC+∠ECD=∠A+180°；探究二：∠P=90°+∠A；探究三：∠P=（∠A+∠B）．
【解析】试题分析：探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得再根据三角形内角和定理整理即可解；
探究二：根据角平分线的定义可得 然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
探究三：根据四边形的内角和定理表示出然后同理探究二解答即可；
试题解析：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，
故答案为：
探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
故答案为：
探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
试卷第2页，总2页
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班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．在平面内,由若干条不在同一条直线上的线段 首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
２．在顶点处一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角．
３．正多边形:多边形中,各条边都相等,各个内角都相等的多边形．
４．多边形的内角和与外角和
(１)多边形的内角和定理:n边形的内角和等于 (n－２)·１８０° (n为不小 于３的整数)．
(２)多边形的外角和定理:n边形的外角和等于 ３６０° (n为不小于３的整 数)．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．下列说法错误的是( )
A. 多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形
B. 四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形
C. 多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形
D. 封闭的平面图形一定是多边形
2．将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形
3．如图，，，，是五边形的外角，且，则的度数是（ ）．
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A. B. C. D.
4．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形
5．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 无法确定
6．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是( )
A. 27 B. 35 C. 44 D. 54
7．从五边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把五边形分割成几个三角形( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
8．设一个多边形的一个内角为x°，其余内角之和为1740°，则x的值为（ ）
A. 30 B. 60 C. 90 D. 120
二、填空题
9．如图，小兰在操场上散步。她从O点出发 ( http: / / www.21cnjy.com )，面向正东方向走5m，然后向左转45°，再向前走5m，又向左转45°，再向前走5m.这样一直走下去，第一次回到出发点O时，她共走了_______ m
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10．若两个多边形的边数相差2，那么内角和相差_______________.
11．十二边形的内角和是________度，若n边形的内角和1080°是则n= ___________
12．如图，在△ABC中剪去∠C得到四边形ABDE，且∠1+∠2=230°.纸片中∠C的度数为________.
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13．凸n边形的对角线的条数记作an(n≥ ( http: / / www.21cnjy.com )4)，例如：a4=2，那么：①a5=__________；②a6-a5=__________；③an+1-an=__________(n≥4，用含n的代数式表示).
三、解答题
14．某同学在求多边形的内角和时，多算了一个内角的度数，求得内角和为1 560°，问这个内角是多少度？这个多边形的边数是多少？
15．过n边形的一个顶点有7条对角线，m边形有m条对角线，p边形没有对角线，q边形的内角和与外角和相等，求q(n－m)p的值．
16．如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数.
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17．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，CF∥AB.
(1)求∠FCD的度数；
(2)求证：AF∥CD.
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18．探究与发现：
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△A ( http: / / www.21cnjy.com )DC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系为：____________________（直接写出结果）．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图2，在△ADC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系为：____________________（直接写出结果）．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图3，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．
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参考答案
1．D
【解析】试题解析：A、平面图形除多边形外，还有圆等等，故本选项正确；
B、,由四条线段首尾顺次相接组成的平面 ( http: / / www.21cnjy.com )图形叫作四边形.它需要四条线段、首尾顺次相接、平面图形这三个条件,而不仅仅是四条线段这一个条件，如果四条线段相交就不是四边形了，. 故本选项正确；
C、封闭图形除多边形外，还可能是圆等等，故本选项正确；
D、封闭图形除多边形外，还可能是圆等等，故本选项错误；
故选D.
2．A
【解析】试题解析：当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；
当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；
当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；
∴剩余图形不可能是六边形，
故选A.
3．D
【解析】如下图，∵凸多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
又∵
∴∠5=360°-70°×4=80°，
∴∠AED=180°-∠5=100°.故选D.
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点睛：本题的解题要点是：任何凸多边形的外角和都是360°.
4．C
【解析】试题解析：设这个多边形是n边形，由题意知，
（n﹣2）×180°=1080°，
∴n=8，
所以该多边形的边数是八边形．
故选C．
5．C
【解析】设这个多边形为n边形，根据题意得（n-2）×180°=720°，解得n=6，即这个多边形为六边形，故选C.
6．C
【解析】设这个内角度数为x，边数为n，
∴(n 2)×180° x=1510，
180n=1870+x，
∵n为正整数，
∴n=11，
∴=44，
故选：C.
点睛：此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识.
7．B
【解析】试题解析：∵从n边形的一个顶点有（n-3）条对角线，分成了（n-2）个三角形．
∴当n=5时，则有5-2=3个．
故选B．
8．B
【解析】解：设多边形的边数为n，则：（n-2）×180°-x=1740°
（n-2）×180°-x=10×180°－60°
∵n为正整数，0＜x＜180°，∴n-2=10，x=60°，∴n=12，x=60°．故选B．
9．40
【解析】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×5=40 m．故答案为：40．
点睛：本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．
10．360
【解析】因为多边形的内角和满足18 ( http: / / www.21cnjy.com )0×(n-2) 所以如果边数相差1,内角和相差180度,所以边数相差2,内角和相差360度,故答案为: 360 .
11． 1800° 8；
【解析】由题意可得：（12-2）×180°=1800°，
(n 2)×180°=1080°，
解得n=8.
故答案为：1800°，8.
12．50°
【解析】已知∠1+∠2=230°， ( http: / / www.21cnjy.com )根据四边形的内角和为360°可得∠A+∠B=360°-230°=130°，再由三角形的内角和定理可得∠C的度数是：180°-130°=50°．故答案为：50°.
点睛：本题主要考查了四边形的内角和是360度的实际运用及三角形内角和定理，熟知这两个定理是解题的关键.．
13． 5 4 n-1
【解析】①a5=；
②a6-a5=；
③an+1-an=
.
故答案为：① 5；② 4；③ n-1
点睛：本题考查了凸n边形的对角线的条数计算公式，熟练掌握凸n边形的对角线的条数=是解答本题的关键.
14．这个内角是120°，这个多边形的边数是10.
【解析】试题分析：设这个多边形的边数为n，多 ( http: / / www.21cnjy.com )算的这个内角为α，根据多边形的内角和公式可得(n-2)·180°+α=1 560°，然后根据多边形每个内角的取值范围0°＜α＜180°列不等式，即可求出多边形的边数，进而求出这个内角的度数．
解：设这个多边形的边数为n，多算的这个内角为α，则有：
(n-2)·180°+α=1 560°.
∴α=1 560°-(n-2)·180°.
显然：0°＜α＜180°，
∴0°＜1 560°-(n-2)·180°＜180°.解得9
∴α=1 560°-(10-2)·180°=120°.
答：这个内角是120°，这个多边形的边数是10.
15．500
【解析】分析：若过n边形的一个顶点有7条对角线，则n=10；m边形有m条对角线，即得到方程m(m-3)=m，解得m=5；P边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而P=3；q边形的内角和与外角和相等，内角和与外角和相等的只有四边形，因而q=4．代入代数式就可以求出代数式的值．
本题解析：
∵n边形从一个顶点发出的对角线有n－3条， ∴n=7+3=10，
∵m边形有m条对角线 , ∴m(m-3)=m，解之得：m=5；
∵ P边形没有对角线 ,∴P=3
∵q边形的内角和与外角和相等 ,∴q=4
∴q(n-m)p=4×=4×=500
故答案为：500
16．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°.
【解析】试题分析：连接AB ( http: / / www.21cnjy.com )，由多边形的内角和公式可得，五边形ABCDE的内角和等于540 ，由三角形的内角和可得，∠1+∠2=∠8+∠9，从而可求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数.
解：如图，连接AB，
∵∠1+∠2+∠GHF=∠8+∠9+∠AHB，∠GHF=∠AHB，
∴∠1+∠2=∠8+∠9.
∵∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9＝540°.
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°.
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点睛：本题考查了多边形的 ( http: / / www.21cnjy.com )内角和、三角形的内角和，正确添加辅助线把求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数转化成五边形ABCDE的内角和是解答本题的关键.
17．（1）60°（2）证明见解析
【解析】试题分析：（1）先求六边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CDEF的每个内角的度数，根据平行线的性质可求∠B+∠BCF=180°，再根据四边形的内角和是360°，求∠FCD的度数，从而求解．
（2）先根据四边形内角和求出∠AFC=60°，再根据平行线的判定即可求解．
试题解析：(1)解：∵六边形ABCDEF的内角相等，∴∠B＝∠A＝∠BCD＝120°.
∵CF∥AB，∴∠B＋∠BCF＝180°，∴∠BCF＝60°，∴∠FCD＝60°.
(2)证明：∵CF∥AB，∴∠A＋∠AFC＝180°，∴∠AFC＝180°－120°＝60°，∴∠AFC＝∠FCD，∴AF∥CD.
点睛：此题主要考查了多边形内角与外角和 ( http: / / www.21cnjy.com )平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
18．探究一：∠FDC+∠ECD=∠A+180°；探究二：∠P=90°+∠A；探究三：∠P=（∠A+∠B）．
【解析】试题分析：探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得再根据三角形内角和定理整理即可解；
探究二：根据角平分线的定义可得 然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
探究三：根据四边形的内角和定理表示出然后同理探究二解答即可；
试题解析：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，
故答案为：
探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
故答案为：
探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
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