2018年高考数学（文）之高频考点解密05+导数及其应用

高考考点
命题分析
三年高考探源
考查频率
导数的概念及计算
从近三年高考情况来看，导数的概念及计算一直是高考中的热点，对本知识的考查主要是导数的概念及其运算法则、导数的几何意义等内容，常以选择题或填空题的形式呈现，有时也会作为解答题中的一问．解题时要掌握函数在某一点处的导数定义、几何意义以及基本初等函数的求导法则.
导数的应用也一直是高考的热点，尤其是导数与函数的单调性、极值、最值问题是高考考查的重点内容，一般以基本初等函数为载体，考查导数的相关知识及应用，题型有选择题、填空题，也有解答题中的一问，难度一般较大，常以把关题的位置出现．解题时要熟练运用导数与函数单调性、极值与最值之间的关系，理解导数工具性的作用，注重数学思想和方法的应用.
2017课标全国I 14
2015课标全国I 14
2016课标全国III 16
2015课标全国II 16
2016课标全国II 20（I）
★★★★★
导数的应用
2017课标全国I、II、III 21
2016课标全国I 12、21
2016课标全国II 20、III 21
2015课标全国I、II 21
★★★★★
考点1 导数的概念及计算
题组一 导数的计算
调研1 已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(1)＋ln x，则f ′(1)＝
A．?e B．?1
C．1 D．e
【答案】B
【解析】∵f(x)＝2xf ′(1)＋ln x，∴f ′(x)＝[2xf ′(1)]′＋(ln x)′＝2f ′(1)＋，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，即f ′(1)＝?1.故本题选B．
☆技巧点拨☆
1．导数计算的原则和方法
（1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．
（2）方法：
①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.
2．运用基本初等函数求导公式和运算法则求函数在开区间(a，b)内的导数的基本步骤：
（1）分析函数的结构和特征；
（2）选择恰当的求导公式和运算法则求导；
（3）整理得结果.
3．求较复杂函数的导数的方法
对较复杂的函数求导数时，先化简再求导.如对数函数的真数是根式或分式时，可用对数的性质将真数转化为有理式或整式求解更为方便；对于三角函数，往往需要利用三角恒等变换公式，将函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导.
题组二 导数的几何意义
调研2 曲线y＝在点(1，0)处的切线方程为________．
【答案】y＝x?1
【解析】设f(x)＝，则f ′(x)＝，所以f ′(1)＝1.所以曲线y＝在点(1，0)处的切线方程为y＝x?1.
调研3 若在曲线y＝e?x上的点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
【答案】(?ln 2，2)
【解析】设P(x0，y0)，∵，∴y′＝?e?x，∴点P处的切线斜率为k＝?e?x0＝?2，
∴?x0＝ln 2，∴x0＝?ln 2，∴y0＝eln 2＝2，∴点P的坐标为(?ln 2，2)．
调研4 已知点P在曲线上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵，∴.
∵ex>0，∴，当且仅当，即x＝0时等号成立．
∴y′∈[?1，0)，∴tanα∈[?1，0)．又α∈[0，π)，∴α∈.
调研5 已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x?ln x存在与直线x＋y?1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是
A． B．
C．[?1，＋∞) D．(?∞，?1]
【答案】A
【解析】由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y′＝2ax＋3?＝1有正根，即2ax2＋2x?1＝0有正根．当a≥0时，显然满足题意；当a<0时，需满足Δ≥0，解得?≤a<0.综上，a≥?.
☆技巧点拨☆
导数的几何意义是每年高考的重点内容，考查题型多为选择题或填空题，有时也会作为解答题中的第一问，难度一般不大，属中低档题型，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，常见的类型及解法如下：
（1）已知切点P(x0，y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；
（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；
（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．
（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0，y0)，最后写出切线方程．
（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.
②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．
考点2 导数的应用
题组一 利用导数研究函数的单调性
调研1 已知函数f(x)＝x2＋2ax?lnx，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_________．
【答案】
【解析】由题意知f ′(x)＝x＋2a?≥0在上恒成立，即2a≥?x＋在上恒成立，
∵＝，∴2a≥，即a≥.
调研2 已知函数f(x)＝x·ln x，g(x)＝ax3?x?.
（1）求f(x)的单调递增区间；
（2）若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点处存在公共切线，求实数a的值．
【答案】（1）f(x)的单调递增区间为；（2）.
【解析】（1）∵f ′(x)＝ln x＋1，由f ′(x)>0，得x>，
∴f(x)的单调递增区间为.
（2）f ′(x)＝ln x＋1，g′(x)＝3ax2?，
设公切点的横坐标为x0，则与f(x)的图象相切的直线方程为：y＝(ln x0＋1)x?x0，
与g(x)的图象相切的直线方程为：y＝x?2ax?，
∴，解之得x0ln x0＝?，
易求得x0＝，
∴a＝.
☆技巧点拨☆
函数的单调性及应用是高考中的一个重点内容，题型多以解答题的形式呈现.常见的题型及其解法如下：
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：
（1）求f ′(x)；
（2）确认f ′(x)在(a，b)内的符号；
（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.
3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.
4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.
题组二 利用导数研究函数的极值与最值
调研3 已知函数f(x)＝?x3＋ax2?4在x＝2处取得极值，若m，n∈[?1，1]，则f(m)＋f ′(n)的最小值是________．
【答案】?13
【解析】f ′(x)＝?3x2＋2ax，根据已知得，即a＝3，所以f(x)＝?x3＋3x2?4.
根据函数f(x)的单调性，可得函数f(m)在[?1，1]上的最小值为f(0)＝?4，
又f ′(n)＝?3n2＋6n在[?1，1]上单调递增，所以f ′(n)的最小值为f ′(?1)＝?9.
所以[f(m)＋f ′(n)]min＝f(m)min＋f ′(n)min＝?4?9＝?13.
调研4 已知f(x)＝ex(x3＋mx2?2x＋2)．
（1）假设m＝?2，求f(x)的极大值与极小值；
（2）是否存在实数m，使f(x)在[?2，?1]上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）f(x)的极大值为2，极小值为?37e?3和?2e2；（2）存在，m∈(?∞，4].
【解析】（1）当m＝?2时，f(x)＝ex(x3?2x2?2x＋2)，其定义域为(?∞，＋∞)．
则f ′(x)＝ex(x3?2x2?2x＋2)＋ex(3x2?4x?2)＝xex(x2＋x?6)＝(x＋3)x(x?2)ex，
∴当x∈(?∞，?3)或x∈(0，2)时，f ′(x)<0；当x∈(?3，0)或x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0，
又f ′(?3)＝f ′(0)＝f ′(2)＝0，
∴f(x)在(?∞，?3)上单调递减，在(?3，0)上单调递增；在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴当x＝?3或x＝2时，f(x)取得极小值；当x＝0时，f(x)取得极大值，
∴f(x)极小值＝f(?3)＝?37e?3，f(x)极小值＝f(2)＝?2e2，f(x)极大值＝f(0)＝2.
（2）f ′(x)＝ex(x3＋mx2?2x＋2)＋ex(3x2＋2mx?2)＝xex[x2＋(m＋3)x＋2m?2]．
∵f(x)在[?2，?1]上单调递增，
∴当x∈[?2，?1]时，f ′(x)≥0.
又∵当x∈[?2，?1]时，xex<0，
∴当x∈[?2，?1]时，x2＋(m＋3)x＋2m?2≤0，
∴，解得m≤4，
∴当m∈(?∞，4]时，f(x)在[?2，?1]上单调递增．
☆技巧点拨☆
1．函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
（2）求函数极值的方法：
①确定函数的定义域．
②求导函数．
③求方程的根．
④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．
（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.
2．求函数f (x)在[a，b]上最值的方法
（1）若函数f (x)在[a，b]上单调递增或递减，则f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．
（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．
注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.
（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.
题组三 （导）函数图象与单调性、极值、最值的关系
调研5 已知定义在R上的函数f(x)满足f(?3)＝f(5)＝1，f ′(x)为f(x)的导函数，且导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<1的解集是
A．(?3，0)　　　　　　 B．(?3，5)
C．(0，5) D．(?∞，?3)∪(5，＋∞)
【答案】B
【解析】依题意得，当x>0时，f ′(x)>0，f(x)是增函数；当x<0时，f ′(x)<0，f(x)是减函数．又f(?3)＝f(5)＝1，因此不等式f(x)<1的解集是(?3，5)，选B．
☆技巧点拨☆
1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.
2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.
题组四 生活中的优化问题和导数与方程、不等式等的综合问题
调研6 已知f(x)＝lnx?x＋a＋1.
（1）若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，求a的取值范围；
（2）求证：在（1）的条件下，当x>1时，x2＋ax?a>xlnx＋成立．
【答案】（1）[0，＋∞)；（2）见解析.
【解析】（1）原题即为存在x>0，使得lnx?x＋a＋1≥0成立，
∴a≥?lnx＋x?1，
令g(x)＝?lnx＋x?1，则g′(x)＝?＋1＝.
令g′(x)＝0，解得x＝1.
∵当01时，g′(x)>0，g(x)为增函数，
∴g(x)min＝g(1)＝0，a≥g(1)＝0.
故a的取值范围是[0，＋∞)．
（2）原不等式可化为x2＋ax?xlnx?a?>0(x>1，a≥0)．
令G(x)＝x2＋ax?xlnx?a?，则G(1)＝0.
由（1）可知x?lnx?1>0，则G′(x)＝x＋a?lnx?1≥x?lnx?1>0，
∴G(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴G(x)>G(1)＝0成立，
∴x2＋ax?xlnx?a?>0成立，即x2＋ax?a>xlnx＋成立．
【思路分析】（1）原题即为存在x>0，使得a≥?lnx＋x?1成立，即该不等式有解，求函数g(x)＝?lnx＋x?1的单调性和最小值即可；
（2）原不等式转化为G(x)＝x2＋ax?xlnx?a?>0，研究这个函数的单调性，求得这个函数的最值大于0即可.
调研7 将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．
（1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面
半径；
（2）在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．
【答案】（1）底面半径为分米，母线长为分米；（2）立方分米．
【解析】（1）设圆锥的母线长及底面半径分别为，则解得
（2）设被完全覆盖的长方体底面边长为，宽为，高为，
则解得
则长方体的体积：
，
所以．
令，得或（舍去）．
列表：
所以，当时，．
【思路分析】（1）设圆锥母线长为l，圆锥底面圆半径为r，则有，，从而可解得l，r.
（2）设长方体的棱长分别为x，y，z，则有从而可得所以长方体的体积，利用导数可求得其最大值．
☆技巧点拨☆
1．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
2．生活中的优化问题
（1）实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值.
（2）实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．
3．利用导数研究函数综合问题的一般步骤：
（1）确定函数的定义域，审清题意，确定解题方向，明确出发点．
（2）进行合理转化，构造函数关系，进行求导．
（3）利用导数研究函数的单调性，确定极值或最值，有参数时进行分类讨论．
（4）利用极值或最值，判断函数的零点，得出正确结论．
（5）反思回顾，查看关键点、易错点及解题过程的规范性．
1．（江西省重点中学盟校2018届高三第一次联考）函数的图象在原点处的切线方程为
A． B．
C． D．不存在
【答案】C
【解析】函数的导数为，在原点处的切线斜率为，则在原点处的切线方程为，即为，故选C．
2．（齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第一次调研）已知函数，则的值为
A． B．0
C． D．
【答案】D

3．（河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第三次模拟考试（期中））正项等比数列中的是函数的极值点，则的值为
A． B．
C． D．与的值有关
【答案】C
【解析】，则，，，
，故选C．
4．（广州市2018届高三上学期第一次调研测试）已知直线与曲线相切，则实数的值为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得，设切点为，则，，
，，对比，，，故选D．
5．（河南省林州市第一中学2018届高三12月调研考试）设曲线上任一点处的切线斜率为，则函数的部分图象可以为
A． B．
C． D．
【答案】D

6．（广西贵港市2018届高三上学期12月联考）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即恒成立，当时，，所以，故选D．
7．（河南省豫南豫北2018届高三第二次联考联评试卷）若关于的方程有唯一的实数解，则正数
A． B．
C． D．
【答案】A
8．（四川省成都市龙泉第二中学2018届高三高考模拟考试）已知函数的定义域为，对任意，都有成立，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令函数，则，则函数是单调递减函数，且满足，故不等式可化为，即原不等式的解集为，应选C．
【名师点睛】本题求解时，充分运用题设条件中的有效信息，巧妙构造函数，借助导数与函数的单调性之间的关系先断定函数的单调 性，再将原不等式进行等价转化，依据函数的单调性建立不等式，通过解不等式使得问题巧妙获解.
9．（安徽省蒙城县第一中学、淮南第一中学等2018届高三上学期“五校”联考）已知定义在上的函数是它的导函数，恒有成立，则
A． B．
C． D．
【答案】B
10．（四川省成都市第七中学2018届高三上学期一诊）已知函数若成立，则的最小值为
A． B．
C． D．
【答案】B
11．（江西省南昌市2018届高三第一轮复习训练题）若曲线在点处切线的倾斜角为，则等于________．
【答案】1
【解析】由，得所以故答案为1.
12．（2017?2018学年度第一学期江苏省南通如皋市高三年级第一次联考）已知函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵，∴题中问题等价于，即，解得，故答案为.
13．（广东省五校（阳春一中、肇庆一中、真光中学、深圳高级中学、深圳二高）2018届高三12月联考）
已知函数．
（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的最大值；
（2）若对任意，都有，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【思路分析】（1）由曲线在处的切线与轴垂直，可得，即，再求出的导函数可得的单调性，从而可得．
（2）易知等价于函数
在上单调递减，即在上恒成立，再利用导数研究函数的单调性，求出的最大值即可得结果.
【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
(1)已知切点求斜率，即求该点处的导数；
(2)已知斜率求切点参数，即解方程；
(3)已知切线过某点(不是切点)求切点，设出切点利用求解.
14．（陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期第七次模拟考试）已知函数．
（1）试讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，，且，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
设，
因为，
所以，
所以，，
因此只需证明当时，不等式成立即可，即不等式成立．
设函数，由（1）可知，在上单调递增，
故，
即证得当时，，亦即证得，
所以，即证得．
【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论的思想，考查了利用导数研究函数极值点，采用变量集中的方法证明不等式，对式子的变形处理能力要求较高，属于中档题.

1．（2016新课标全国Ⅰ文科）若函数在上单调递增，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
2．（2017新课标全国Ⅰ文科）曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．
【答案】
【解析】设，则，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其具体求法为：
设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
3．（2016新课标全国Ⅲ文科）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是______________．
【答案】
【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则，所以切线方程为，即．
4．（2015新课标全国Ⅰ文科）已知函数的图象在点处的切线过点，则 .
【答案】1
【解析】∵，∴，即切线斜率，
又∵，∴切点为，∵切线过(2，7)，∴，解得.
5．（2015新课标全国Ⅱ文科）已知曲线在点(1，1)处的切线与曲线相切，则a=　　　　.
【答案】8
2ax+a+2=2，得x=，代入，得，∴点在y=ax2+(a+2)x+1的图象上，故，∴a=8.
【名师点睛】本题主要考查利用导数求曲线的切线，直线与抛物线的位置关系的问题，意在考查考生的运算求解能力，对数形结合思想与分类讨论思想的应用也有较高要求.
6．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知函数=ex(ex?a)?a2x．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：
（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间；
（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值．
7．（2016新课标全国Ⅰ文科）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
存在两个零点；若，则由（1）知，在单调递减，在单调递增.又当时<0，故不存在两个零点.
综上，a的取值范围为.
【名师点睛】本题第（1）问是用导数研究函数单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（2）问是求参数取值范围，由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解.
8．（2016新课标全国II文科）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若当时，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）

(2)求导数y′＝f ′(x)；
(3)解不等式f ′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f ′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
9．（2015新课标全国I文科）设函数.
（1）讨论的导函数,零点的个数；
（2）证明：当时，.
【答案】（1）当时，没有零点；当时，存在唯一零点；（2）见解析.