2018年高考数学（文）之高频考点解密06+三角函数的图象与性质

高考考点
命题分析
三年高考探源
考查频率
三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式和诱导公式
三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下.
2017课标全国Ⅲ6
2016课标全国Ⅰ14
★★★★
三角函数的图象
2016课标全国Ⅰ6
★★★★★
三角函数的性质
2017课标全国Ⅱ3
2015课标全国Ⅰ8
★★★★★
考点1 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式和诱导公式
题组一 利用三角函数的定义求三角函数的值
调研1 已知角的终边经过点,则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为角的终边经过点,所以,则,
即.故选D．
☆技巧点拨☆
任意角的三角函数值的求解策略
（1）确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及该点到原点的距离；
（2）若已知角的大小，只需确定出角的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点的坐标，即可求出该角的三角函数值；
（3）检验时，注意各象限三角函数值的正号规律：一全二正弦，三切四余弦.
题组二 利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式化简求值
调研2 已知,且=,则的值为??????????? .
【答案】
【解析】因为,所以，
又，所以,则.
因为,所以=.
调研3 若=,则的值等于
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为,所以.所以=.故选C．
☆技巧点拨☆
1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．
2．巧用相关角的关系能简化解题的过程．
常见的互余关系有与，与，与等；
常见的互补关系有与，与等.
考点2 三角函数的图象
题组一 已知三角函数的图象求函数的解析式
调研1 某函数的部分图象如图所示,则它的函数解析式可能是
A．y=sin(-x+) B．y=sin(x-)
C．y=sin(x+) D．y=-cos(x+)
【答案】C
【解析】方法一：不妨令该函数解析式为y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),
由题图知A=1,-,于是,即ω=,
又是函数的图象递减时经过的零点,于是+φ=2kπ+π,k∈Z,所以φ可以是.
方法二：由图象知过点，代入选项可排除A、D．又过点，代入B，C知C正确．
题组二 三角函数的图象变换
调研2 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,为了得到g(x)=-Acos ωx的图象,可以将f(x)的图象
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】B
【解析】由题图知A=1,-,所以T==π,所以ω=2.故f(x)=sin(2x+φ).
因为f()=0,0<φ<π,所以2×+φ=π,解得φ=,
所以f(x)=sin(2x+).
又g(x)=-cos 2x=sin(2x-)=sin[ 2(x-,所以要想得到g(x)的图象,只需将函数f(x)的图象向右平移个单位长度.故选B.
调研3 若将函数y=3sin(2x+)+的图象向右平移个单位长度,则平移后图象的对称中心为
A．(+,)(k∈Z) B．(+,0)(k∈Z)
C．(,)(k∈Z) D．(,0)(k∈Z)
【答案】C
【解析】y=3sin(2x+)+的图象向右平移个单位长度得到y=3sin[2(x-)+]+=3sin 2x+的图象,
由2x=kπ,k∈Z得x=,k∈Z,所以对称中心为(,)(k∈Z),故选C．
☆技巧点拨☆
作三角函数图象左右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x的变化量，因此由y＝sin ωx(ω＞0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位，而非|φ|个单位．
考点3 三角函数的性质
题组一 三角函数的单调性
调研1 已知函数()的图象中相邻两条对称轴间的距离为，且点是它的一个对称中心.
(1)求的表达式；
(2)求的单调递增区间；
(3)若在上是单调递减函数，求的最大值.
【解析】(1)由题意得的最小正周期为，
∴∴∴.
又是它的一个对称中心，∴，，
∴，，
∵, ∴.
∴.
(2)由,得,
∴的单调递增区间为
(3)∵又在上是减函数,
∴?，又，∴?，即的最大值为.
☆技巧点拨☆
1．求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性“同增异减”的规律.
2．对于三角函数的定义域有范围限制时，在求单调区间时应给予关注，一定要在定义域范围内研究其单调区间．
3．已知三角函数的单调区间求参数的问题，一般先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
题组二 三角函数的值域与最值
调研2 求函数f(x)=2sin2x+2sin x-,x∈[,]的值域.
【解析】令t=sin x,因为x∈[,],所以≤sin x≤1,即≤t≤1.
则g(t)=2t2+2t-=2(t+)2-1,t∈[,1],且该函数在[,1]上是增加的,所以g(t)的最小值为g()=1,最大值为g(1)=.
即函数f(x)的值域为[1,].
☆技巧点拨☆
求解三角函数的值域（最值）的类型与方法：
（1）形如的三角函数，可先化为的形式，再求解；
（2）形如的三角函数，可先设sin x=t，转化为关于t的二次函数求解.
（3）形如的三角函数,可先设得,把原解析式化为关于t的二次函数，再求解.
题组三 三角函数的奇偶性、周期性、对称性
调研3 已知函数f(x)=sin(ωx+)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,将的图象向左平移|φ|个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的一个值是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由最小正周期为π得ω=2,于是f(x)=sin(2x+),其图象向左平移|φ|个单位长度后所对应的函数的解析式为y=sin(2x++2|φ|),
由于该函数的图象关于y轴对称,所以它是偶函数,所以+2|φ|=kπ+,k∈Z,所以|φ|=+,k∈Z,故选D．
调研4 已知函数f(x)＝2sin2 x＋bsin xcos x满足f＝2.
(1)求实数b的值以及函数f(x)的最小正周期；
(2)记g(x)＝f(x＋t)，若函数g(x)是偶函数，求实数t的值．
【解析】(1)由f＝2，得2×＋b××＝2，
解得b＝2.
则f(x)＝2sin2 x＋2sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝1＋2sin，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)得，所以g(x)＝2sin＋1，
又函数g(x)是偶函数，则对于任意的实数x，均有g(－x)＝g(x)成立．
所以sin＝sin，整理得cossin 2x＝0.
则cos＝0，解得2t－＝kπ＋，k∈Z，
所以t＝＋，k∈Z.
☆技巧点拨☆
1．整体思想在三角函数性质中的应用
在求解y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、单调性、对称性及已知区间上的最值问题时往往将ωx＋φ看作整体，利用y＝Asin x的图象与性质进行求解．
2．三角函数最小正周期的变化仅与自变量x的系数有关，与其他因素无关.
3．研究三角函数性质时注意数形结合思想的运用．

1．（2017-2018学年安徽省六安市第一中学高三上学期第二次月考）若，且，则角的终边位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
2．（2017-2018学年福建省德化一中、永安一中、漳平一中高三上学期三校联考）已知,则=
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为,所以.
3．（2017-2018学年广东省广州市华南师范大学附属中学高三综合测试）为了得到函数的图象,只要把图象上所有的点
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】C
4．（2017-2018学年广西柳州市高三毕业班上学期摸底联考）同时具有以下性质:“①最小正周期是;②图象关于直线对称;③在上是增函数;④一个对称中心为”的一个函数是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由最小正周期可排除A;把代入,函数值为0的只有C,排除B,D．故选C．
5．(2017河西五市联考)将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】y＝sin x＋cos x＝2sin(x＋)，将其图象向左平移m个单位后，得到的图象对应的函数解析式为y＝2sin(x＋m＋)，由题意得m＋＝＋kπ，k∈Z，则m＝＋kπ，k∈Z，故取k＝0时，mmin＝，
故选B．
6．（2017-2018学年辽宁省大连市旅顺中学、旅顺第二高级中学、大连市第三中学高三第二次联考）若函数的部分图象如图所示,则关于的描述中正确的是
A．在上是减函数 B．在上是减函数
C．在上是增函数 D．在上是增函数
【答案】C
7．（2018届江苏省泰州中学高三10月月考）已知角的终边过点且则的值为__________.
【答案】
【解析】依题意,，得.
8．（2017-2018学年上海市师范大学附属中学高三上学期期中考试）化简:__________．
【答案】
【解析】.
9．（2017-2018学年江苏省苏州市高三上学期期中调研）函数图象的一条对称轴是,则的值是__________．
【答案】
10．（2017-2018学年河北省衡水中学高三上学期二调考试）已知,则 __________.
【答案】
【解析】∵,∴,
∴.
11．（2017-2018学年天津市南开中学高三上学期第一次月考）已知函数与,它们的图象有一个横坐标为的交点,则的值是__________.
【答案】
【解析】由题可得，所以,所以,解得的值是.
12．（2017-2018学年江苏省南京市多校高三上学期第一次段考）函数(是常数,)的部分图象如图所示,则 __________．
【答案】

13．（2017-2018学年河北省邢台市高三上学期第二次月考）设函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)当时,求的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
从而.
14．（2017-2018学年天津市南开中学高三上学期第一次月考）已知函数.
(1)求函数的最小正周期和函数的单调递增区间;
(2)若函数的对称中心为,求的所有的和.
【答案】(1) 最小正周期为，单调递增区间为. (2).

15．（2017-2018学年黑龙江省佳木斯市第一中学高三上学期第五次调研）已知函数.
(1)若,求函数图象的对称轴方程;
(2)若的最小值是2,最大值是4,求实数的值.
【答案】(1)；(2)或

16．（2017-2018学年广东省中山市第一中学高三第二次统测）已知函数.
(1)当时,求函数的取值范围;
(2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象,求的单调递增区间.
【答案】(1);(2).
【解析】(1),
因为时,,
所以,
所以函数的取值范围为.
(2)因为,
所以令,得，
故的单调递增区间为.
17．（2017-2018学年江苏省苏州市高三上学期期中调研）已知函数的图象与x轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为．
(1)求的值;
(2)求在上的最大值和最小值．
【答案】(1)，；(2) 最大值为，最小值为0．

(2)由(1)可得,
∵,∴,
∴当,即时,取得最大值，为;
当,即时,取得最小值，为0．

1．（2017新课标全国Ⅱ文科）函数的最小正周期为
A． B．
C． D．
【答案】C

2．（2017新课标全国Ⅲ文科）函数的最大值为
A． B．1
C． D．
【答案】A
【解析】由诱导公式可得，
则,
函数的最大值为.所以选A.
3．（2016新课标全国I文科）若将函数y=2sin (2x+)的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为
A．y=2sin(2x+) B．y=2sin(2x+)
C．y=2sin(2x–) D．y=2sin(2x–)
【答案】D
4．（2015新课标全国I文科）函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为
A． B．
C． D．
【答案】D
5．（2016新课标全国Ⅰ文科）已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ–)= .
【答案】
【解析】由题意得,
因为,所以,
从而,
因此．故填．