2018年高考数学（文）之高频考点解密03+函数图象及性质

高考考点
命题分析
三年高考探源
考查频率
函数的定义域与值域
从近三年高考情况来看，本节内容是高考中的热点内容，常以基本初等函数为载体，与其他知识相结合进行考查，其中函数的奇偶性、单调性和值域(最值)问题依然是命题的重点.
本节内容在高考中往往是以选择题、填空题的形式考查函数的基础知识和基本方法，与导数相结合以解答题的形式考查函数的性质.
2016课标全国Ⅱ10
★★★
分段函数
2017课标全国Ⅲ16
★★★
函数的图象
2017课标全国Ⅰ8
2017课标全国Ⅲ7
★★★★
函数的性质
2017课标全国Ⅰ9
2017课标全国Ⅱ14
2015课标全国Ⅱ12
★★★★
指数函数、对数函数、幂函数
2017课标全国Ⅱ8
2016课标全国Ⅲ7
★★★★
考点1 函数的定义域与值域
题组一 求函数的定义域
调研1 函数的定义域是
A．(0,1] B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，则函数的定义域是.故选D.
调研2 已知函数=的定义域是,则的定义域是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为=的定义域是,所以,
由,解得,
故的定义域为.选A．
☆技巧点拨☆
求函数的定义域
求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．
对于抽象函数，
（1）若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
（2）若已知函数f(g(x))的定义域为 [a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
题组二 求函数的值域
调研3 函数的值域是
A．?????? ? B．
C．????????? ???? D．
【答案】A
【解析】依题意，令，则，得，
由，得，，则，
即函数的值域是，故选A．
调研4 函数的最小值为????????? .
【答案】
【解析】,
当时,取得最小值，为，故填.
☆技巧点拨☆
求函数值域的常用方法
求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：
①观察法：对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到；
②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法.求值域时一定要注意定义域的影响；
③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x仅出现在分母上，这样x对函数的影响就比较清晰了；
④换元法：对于一些无理函数(如)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域；
⑤利用常见函数的值域；
⑥数形结合法：作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域；
⑦单调性法；
⑧基本不等式法；
⑨判别式法；
⑩导数法.
题组三 由函数的值域求参
调研5 设函数的值域为，若，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为a,所以则.
考点2 分段函数
题组一 求函数值
调研1 已知函数，其中，则
A． B．
C． D．或
【答案】A
【解析】因为函数，，所以，故选A．
题组二 由函数值求参
调研2 设函数，若，则__________．
【答案】-3或-2
【解析】由题意得，故可得．
①当时，可得，即，解得或（舍去）．
②当时，可得，即，解得或（舍去）．
综上，可得或．
☆技巧点拨☆
解决分段函数问题的注意事项
分段函数易被误认为是多个函数，其实质是一个函数，其定义域为各段的并集，其最值是各段函数最值中的最大者与最小者，处理分段函数问题时，首先确定自变量的取值属于哪个区间，再选取相应的对应关系，离开分段区间讨论分段函数是毫无意义的.
考点3 函数的图象
题组一 函数图象的辨识
调研1 已知函数，则函数的大致图象是

A B C D
【答案】B
【解析】令，则，化简得，因此在上都是减函数.
又，故选B．
☆技巧点拨☆
函数图象的识别与判断技巧
1．方法1：特殊点法
用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正确的选项．在求函数值的过程中运算一定要认真，从而准确进行判断．
2．方法2：性质检验法
已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破．
3．方法3：导数法
判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．
4．方法4：图象变换法
有关函数y＝f(x)与函数y＝af(bx＋c)＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可顺利破解此类问题．
题组二 函数图象的应用
调研2 已知函数的图象如图所示,则函数的解析式可能是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】易知函数的图象关于轴对称,则函数为偶函数,故排除选项B,
又,故排除选项D,
又,故排除选项C.故选A．
考点4 函数的性质
题组一 函数的单调性
调研1 =的单调递增区间是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令得x>2或x<0,且在上是减函数,
而是减函数,由复合函数的单调性可知,=的单调递增区间是.选C．
调研2 已知函数=是上的减函数,那么的取值范围是
A．(0,3) B．
C．(0,2) D．
【答案】D
【解析】∵为上的减函数，∴时，单调递减，即，则；
时，单调递减，即,
且,即.
综上，的取值范围是,故选D.
题组二 函数的奇偶性和周期性
调研3 已知函数f(x)＝的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则logab＝
A．1 B．－1
C．－ D．
【答案】B
【解析】由题意得f(0)＝0，∴a＝2.
∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln(＋1)＋b，∴b＝，
∴log2 ＝－1.故选B．
调研4 已知f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2015)＝
A．－2 B．
C．2 D．5
【答案】A
【解析】因为f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，所以＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，f(1)＝21＋log21=2，∴f(2015)＝f(-1)＝－f(1)＝－2，故选A．
题组三 函数性质的综合应用
调研5 已知奇函数在上单调递减,且,则不等式的解集为________.
【答案】
【解析】因为奇函数在上单调递减,且,所以函数在上单调递减,且,
由得或,解得或,即不等式的解集为.故填.
调研6 函数y＝f(x)在区间[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是
A．f(1)C．f()【答案】B
【解析】因为函数f(x＋2)是偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，即函数f(x)的图象关于x＝2对称，
又因为函数y＝f(x)在区间[0,2]上单调递增，所以函数y＝f(x)在区间[2,4]上单调递减．
因为f(1)＝f(3)，>3>，所以f()☆技巧点拨☆
将函数的周期性与奇偶性、单调性综合在一起考查逐渐成为高考的一个热点，解决此类问题需掌握：
1．判断函数单调性的一般规律
对于选择、填空题，若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．
2．函数的奇偶性
(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．
(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
3．记住几个周期性结论
(1)若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．
(2)若函数f(x)满足(a＞0)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．
考点5 指数函数、对数函数、幂函数
题组一 指数函数
调研1 已知函数的定义域和值域都是,则????????? .
【答案】4
【解析】当时,单调递减,此时,解得,即;
当时,单调递增,此时,无解.
所以.
题组二 对数函数
调研2 已知,则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】,即.
又=,所以.选B．
题组三 幂函数与二次函数
调研3 已知幂函数在上是增函数,则实数m的值是_________．
【答案】1
【解析】因为幂函数在上是增函数,所以,解得,又因为,所以.故填1.
调研4 已知（）.
（1）若，且的解集为，求函数的解析式；
（2）若关于x的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由的解集为可知且.
则.
（2）的解集为R.
当时，满足题意；
当时，由.
综上，.
☆技巧点拨☆
1．利用指数函数与对数函数的性质比较大小
（1）底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．
（2）底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较．
2．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次利用性质求解．

1． （山东省济宁市2017-2018学年度高三上学期期末考试）已知函数的图象经过定点，若幂函数的图象过点，则的值等于
A． B．
C．2 D．3
【答案】B

2．（2017-2018学年山西省康杰中学高三上学期第一次月考）定义在R上的函数满足,且时,,则=
A．1 B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，则时，，
∴，
∵，∴，即，
∵，∴，故选C.
3．（2017-2018学年甘肃省天水市第一中学高三上学期第二学段期中考试）函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
【答案】C

4．（重庆市巴蜀中学2017届高三上学期第一次月考）函数的最大值为,最小值为,则
A．2 B．3
C．6 D．12
【答案】C
【解析】函数的定义域为,得,得,则时，y取得最大值或时,取得最小值.
故,故选C．
5．（2017-2018学年上海市师范大学附属中学高三上学期期中考试）已知函数，则
A．是奇函数,且在上是增函数 B．是偶函数,且在上是增函数
C．是奇函数,且在上是减函数 D．是偶函数,且在上是减函数
【答案】A
【解析】因为函数,所以该函数是R上的增函数,
又,所以函数是奇函数,故选A．
6．（宁夏银川一中2018届高三第五次月考数学）已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】A
7．（江西省K12联盟2018届高三教育质量检测）函数的图象大致为

A B

C D
【答案】B
【解析】∵，∴为奇函数，排除A，C；
∵，，且，∴排除D，故选B.
8．（2017-2018学年山东省曲阜市高三上学期期中考试）已知函数,,若,使得,则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
9．（2017-2018学年安徽省六安市第一中学高三上学期第二次月考）计算:_____________.
【答案】26
【解析】==,故填.
10．（2017-2018学年福建省德化一中、永安一中、漳平一中高三上学期三校联考数学）若函数,则函数的值域是_____________.
【答案】

11．（2018届江苏省泰州中学高三10月月考）已知函数若对任意的都有则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】构造函数,则函数为奇函数且单调递增,
由得即,
由奇函数得,由单调性得恒成立,
利用得,故填.
12．（北京市丰台区2018届高三上学期期末考试数学）设函数的周期是3，当时， ．
①_____________；
②若有最小值，且无最大值，则实数的取值范围是_____________．
【答案】①；②
【解析】①函数的周期是3，所以;
②当时，为增函数，所以,
当时，为减函数，所以.
若有最小值，且无最大值，则，解得.
故实数的取值范围是.
13．（2017-2018学年四川省成都外国语学校高三11月月考）已知函数.
(1)若的值域为,求实数的取值范围;
(2)若在内为增函数,求实数的取值范围
【答案】(1)；(2)

14．（2017-2018学年广东省深圳市高级中学高三11月月考）若二次函数满足,且.
(1)求的解析式;
(2)设,求在上的最小值的表达式．
【答案】(1)；(2).
15．（2017-2018学年湖北省咸宁市高三重点高中联考）设函数且是定义域为的奇函数.
(1)求的值;
(2)若不等式对恒成立,求实数的最小值.
【答案】(1)1；(2) 2
【解析】(1)因为是定义在上的奇函数,所以解得.
(2)由(1)知
因为所以解得或舍去),
故
则易知函数是上的减函数,
因为,所以
即在上恒成立,则
即实数的最小值是2.
16．（2017-2018学年安徽省六安市第一中学高三上学期第二次月考）已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)若函数的图象与直线没有交点,求的取值范围;
(3)若函数,是否存在实数使得的最小值为0,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)；(2)；(3) 存在，使得的最小值为0.
任取,且,则,∴,
∴,
∴在上是单调递减函数.
∵,∴,∴，
∴的取值范围是.
(3)由题意知,
令,则,,其图象开口向上,且对称轴为,
当,即时，；
当,即时,(舍去)；
当,即时，(舍去),
∴存在，使得的最小值为0.

1．（2017新课标全国Ⅱ文科）函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
【答案】D
【名师点睛】求函数单调区间的常用方法：（1）定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；（2）图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；（3）利用复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.
2．（2016新课标全国Ⅱ文科）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是
A．y=x B．y=lg x
C．y=2x D．
【答案】D
3．（2016新课标全国Ⅰ文科）若,,则
A．logacC．accb
【答案】B
【解析】对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
4．（2015新课标全国Ⅱ文科）设函数,则使得成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
5．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．y=的图像关于直线x=1对称 D．y=的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【解析】由题意知，，所以的图像关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图像有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图像有对称中心．
6．（2017新课标全国Ⅱ文科）已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则 .
【答案】12
7．（2017新课标全国Ⅲ文科）设函数则满足的x的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意得：当时，恒成立，即；当时，恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.