2018版高中数学北师大版必修三学案打包25份

[学习目标]　1.了解普查与抽样调查的概念.2.明确两种调查的优缺点．
知识点一　普查的概念
1．普查的定义
普查是指一个国家或一个地区专门组织的一次性大规模的全面调查，目的是为了详细地了解某项重要的国情、国力．
2．普查的主要特点
(1)所取得的资料更加全面、系统；(2)主要调查在特定时段的社会经济现象总体的数量；(3)当普查的对象很少时，普查无疑是一项非常好的调查方式．
思考　我国常进行的普查有哪些？(举例)
答　人口普查、工业普查、农业普查等．
知识点二　抽样调查
1．抽样调查的定义：通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查，其中，调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．
2．抽样调查最突出的优点
(1)迅速、及时；(2)节约人力、物力和财力．
知识点三　统计的相关概念
名称
定义
总体
调查对象的全体称为总体
样本
被抽取的一部分称为样本
个体
构成总体的每一个对象称为个体
样本容量
样本中个体的数目叫作样本容量
思考　样本与样本容量的区别？
答　样本与样本容量是两个不同的概念．样本是从总体中抽取的个体组成的集合，是对象；样本容量是样本中个体的数目，是一个数．
题型一　抽样调查与普查辨析
例1　下列调查中哪些是用普查方式，哪些是用抽样方法收集数据的？
(1)为了了解我们班级的每个学生穿几号鞋，向全班同学做调查；
(2)为了了解我们学校高一年级学生穿几号鞋，向我们所在班的全体同学做调查；
(3)为了了解我们班的同学们每天睡眠时间，在每个小组中各选取2名学生做调查；
(4)为了了解我们班的同学们每天的睡眠时间，选取班级中学号为双数的所有学生做调查．
解　(1)因为调查的是班级的每个学生，所以用的是普查．(2)通过我们班的全体同学穿几号鞋来了解学校高一年级学生穿几号鞋，这是抽样调查，样本是我们班的全体同学所穿的鞋号，总体是学校高一年级学生所穿的鞋号．(3)、(4)也都是抽样调查，样本分别是每小组中选取的2名学生的睡眠时间，学号为双数的所有学生的睡眠时间；总体都是我们班的同学每天的睡眠时间．
反思与感悟　1.在抽样调查中要注意以下事项：
(1)样本抽取具有随机性：即在抽取样本时总体的每个个体被抽到的可能性相等．
(2)样本抽取具有代表性：当总体数目较大且个体有明显差异时，要特别注意样本的代表性．
2．普查与抽样调查的特点：
方式
抽样调查
普查
特点
节省人力、物力和财力
需要大量的人力、物力和财力
可以用于带有破坏性的检查
不能用于带有破坏性的检查
结果与实际情况之间有误差
在操作正确的情况下，能得到准确结果
跟踪训练1　下面的四个问题中，可以用抽样调查方法的是(　　)
A．检验10件产品的质量
B．银行对公司10万元存款的现钞的真假检验
C．跳伞运动员检查20个伞包及伞的质量
D．检验一批汽车的防碰撞性能
答案　D
解析　根据抽样调查与普查的概念可知A，B，C一般采用普查的方法，只有D是采用抽样调查的方法．
题型二　普查与抽样调查的选用
例2　一些期刊杂志社经常会请一些曾经高考落榜而在某方面的事业上取得成就的著名专家、学者，谈他们对高考落榜的看法，这些名人所讲的都是大同小异，不外乎“我也有过落榜的沮丧，但从长远看，它有益于我的人生”，“我是因祸得福，落榜使我走了另一条成功之路”等等．小明据此得出一条结论，上大学不如高考落榜，他的结论正确吗？
解　小明的结论是错误的，在众多的高考落榜生中，走出另外一条成功之路的是少数，小明通过研究一些期刊杂志社报道过的一些成功人士就得出结论是片面的，因为他的抽样不具有代表性．
反思与感悟　普查是专门组织的一次性的全面调查，用来调查属于一定时间上或一定时期内的社会现象总量．普查具有资料包括的范围全面、详尽、系统的优点，但是普查的工作量大，耗资也多，一般不宜经常举行．
抽样调查是一种非全面调查，它是按照随机原则从总体中抽取一部分单位作为样本进行观察研究，以抽样样本的指标去推算总体指标．
抽查既能节省人力物力财力，而且取得比较正确的资料，具有很多优点．
跟踪训练2　为了创建“和谐平安”校园，某校决定在开学前将学校的电灯电路使用情况进行检查，以便排除安全隐患，此检查能否进行普查，为什么？
解　由于一个学校的电灯电路数目不算大，且对创建“和谐平安”校园来说，必须排除任一潜在或已存在的安全隐患，故必须用普查的方式．
题型三　总体与样本
例3　为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量．下列说法正确的是(　　)
A．总体是240名 B．个体是每一个学生
C．样本是40名学生 D．样本容量是40
答案　D
解析　在这个问题中，总体是240名学生的身高，个体是每个学生的身高，样本是40名学生的身高，样本容量是40.因此选D.
反思与感悟　解决此类问题要注意区分以下几个概念：
(1)总体：在抽样调查中，调查对象的全体称为总体．
(2)样本：被抽取的一部分称为样本．
(3)个体：构成总体的每一个元素称为个体．
(4)样本容量：样本中个体的个数称为样本容量．
(5)总体容量：总体中个体的个数称为总体容量．
跟踪训练3　从某年级500名学生中抽取60名学生进行身高的统计分析，下列说法正确的是(　　)
A．500名学生是总体
B．每个被抽查的学生是个体
C．抽取的60名学生的身高是一个样本
D．抽取的60名学生的身高是样本容量
答案　C
解析　本题抽取的是60名学生的身高，因此500名学生的身高是总体，每个学生的身高是个体，这60名学生的身高构成一个样本，样本的容量为60.
不理解定义致错
例4　从某年级的1000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析．下列说法正确的是(　　)
A．1000名学生是总体
B．每个被抽查的学生是个体
C．抽查的125名学生的体重是一个样本
D．抽取的125名学生的体重是样本容量
错解　B
错因分析　不清楚抽样调查的是学生的体重而不是学生．
答案　C
解析　(1)正确理解总体、样本、样本容量、个体的定义．(2)仔细审题、分析好各个选项．
1．医生要检验病人血液中血脂的含量，采取的调查方法应该是(　　)
A．普查
B．抽样调查
C．既不能普查也不能抽样调查
D．普查与抽样调查都可以
答案　B
2．若要调查某城市家庭的收入情况，在该问题中，总体是(　　)
A．某城市 B．某城市的所有家庭的收入
C．某城市的所有人口 D．某城市的工薪阶层
答案　B
解析　因要调查的是某城市家庭的收入情况，所以总体是某城市的所有家庭的收入．
3．下列调查中属于抽样调查的是(　　)
①每隔5年进行一次人口数量调查；
②某商品的质量优劣；
③某报社对某个事情进行舆论调查；
④高考考生的查体．
A．②③ B．①④
C．③④ D．①②
答案　A
4．某学校共有36个班级，每班50人，现要求每班派3名代表参加会议，在这个问题中，样本容量是(　　)
A．36 B．50
C．108 D．150
答案　C
5．下列问题，适合抽样调查的是________．
①调查黄河的水质情况；
②调查某化工厂周围8个村庄的水质是否受到污染；
③调查某药品生产厂家一批药品的质量情况；
④进行某一项民意测验．
答案　①②③④
解析　①因为无法对所有的黄河水质进行全面调查，所以只能采取抽样调查的方式；②也是抽样调查的方式；③对药品的质量检验具有破坏性，所以只能采取抽样调查；④由于民意调查的特殊性，不可能也没必要对所有的人都进行调查，因此也是采用抽样调查的方式．
1.普查要对所有的对象进行调查．当普查的对象很少时，普查无疑是一项非常好的调查方式．
2．抽样调查是对部分对象的调查，适用于数量多的调查．

2．1　简单随机抽样
[学习目标]　1.理解并掌握简单随机抽样的概念、特点和步骤.2.掌握简单随机抽样的两种方法．
知识点一　简单随机抽样
1．简单随机抽样的定义
在抽取的过程中，要保证每个对象被抽到的概率相同，这样的抽样方法叫作简单随机抽样．
2．简单随机抽样的特点
特点
说明
个体数有限
要求总体的个体数有限，这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析
逐个抽取
从总体中逐个进行抽取，这样便于在抽取过程中进行操作
等可能抽样
在整个抽样过程中，各个个体被抽取的机会都相等，从而保证了这种抽样方法的公平性
知识点二　最常用的简单随机抽样的方法
1．抽签法
(1)先把总体中的N个个体编号，并把编号写在形状、大小相同的签上(签可以是纸条、卡片或小球等)，然后将这些号签放在同一个箱子里均匀搅拌．每次随机地从中抽取一个，然后将号签均匀搅拌，再进行下一次抽取．如些下去，直到抽到预先设定的样本数．
(2)抽签法的实施步骤：
①给调查对象群体中的每个对象编号；
②准备“抽签”的工具，实施“抽签”；
③对样本中每一个个体进行测量或调查．
2．随机数法
(1)随机数法：把总体中的N个个体依次编制上0,1…，N－1的号码，然后利用工具(转盘或摸球、随机数表、科学计算器或计算机)产生0,1…，N－1中的随机数，产生的随机数是几，就选几号个体，直至抽到预先规定的样本数．
(2)随机数表法的一般步骤：
①编号：将总体中的每个个体进行编号；
②选定初始值(数)；为保证所选数字的随机性，在面对随机数表之前就指出开始数字的位置；
③选号：从选定的数字开始按照一定的方向读下去，若得到的号码不在编号中或已被选用，则跳过，直到选满所需号码为止；
④确定样本：从总体中找出按步骤③选出的号码所对应的个体，组成样本．
3．抽签法与随机数法的异同点
抽签法
随机数表法
不同点
①抽签法比随机数法简单；②抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况
①随机数法要求编号的位数相同；②随机数法适用于总体中的个体数相对较多的情况
相同点
都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个数有限
题型一　简单随机抽样的判断
例1　下列5个抽样中，简单随机抽样的个数是(　　)
①从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
③某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴青海参加抗震救灾工作；
④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　B
解析　根据简单随机抽样的特点逐个判断．①不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．②不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．③不是简单随机抽样．因为50名官兵是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．④是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样．综上，只有④是简单随机抽样．
反思与感悟　简单随机抽样必须具备下列特点：
(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；
(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的；
(3)简单随机抽样是一种等可能的抽样．
如果3个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样．
跟踪训练1　在简单随机抽样中，某一个体被抽到的可能性(　　)
A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些
B．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些
D．与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一定
答案　B
解析　在简单随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性都相等，与第几次抽样无关，故A，C，D不正确，B正确．
题型二　抽签法的应用
例2　为迎接2016年里约热内卢奥运会，奥委会现从报名的某高校20名志愿者中选取5人组成奥运志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．
解　(1)将20名志愿者编号，号码分别是01,02，…，20；
(2)将号码分别写在20张大小、形状都相同的纸条上，揉成团儿，制成号签；
(3)将所得号签放在一个不透明的袋子中，并搅拌均匀；
(4)从袋子中依次不放回地抽取5个号签，并记录下上面的编号；
(5)所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．
反思与感悟　1.一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．
2．应用抽签法时应注意以下几点：(1)编号时，如果已有编号可不必重新编号；(2)号签要求大小、形状完全相同；(3)号签要均匀搅拌；(4)根据实际需要采用有放回或无放回抽取．
跟踪训练2　从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴．
解　第一步，将20架钢琴编号，号码是01,02，…，20.
第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签．
第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀．
第四步，从袋子中逐个不放回地抽取5个号签，并记录上面的编号．
第五步，所得号码对应的5架钢琴就是要抽取的对象．
题型三　随机数法
例3　为了检验某种药品的副作用，从编号为1,2,3，…，120的服药者中用随机数法抽取10人作为样本，写出抽样过程．
解　第一步，将120名服药者重新进行编号，分别为001,002,003，…，120；
第二步，在随机数表中任选一数作为初始数，如选第9行第7列的数2；
第三步，从选定的数2开始向右读，每次读取三位，凡不在001～120中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到055,035,093,177,094,034,050,073,139,072；
第四步，以上这10个号码所对应的服药者即是要抽取的对象．
反思与感悟　1.当总体容量较大，样本容量不大时，可用随机数法抽取样本．
2．用随机数法抽取样本，为了方便，在编号时需统一编号的位数．
3．将总体中的个体进行编号时，可以从0开始，也可以从1开始．
跟踪训练3　总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B．07
C．02 D．01
答案　D
解析　从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件；第二个数为72，不符合条件；第三个数为08，符合条件，以下符合条件的数字依次为02,14,07,01，故第5个数为01.故选D.
编号不一致致错
例4　某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数法抽取10件进行检查，对100件产品采用下面的编号方法：①1,2,3，…，100；②001,002,003，…，100；③00,01,02,03，…，99.其中最恰当的序号是________．
错解　因为是对100件产品进行编号，则编号为1,2,3，…，100，所以①最恰当．
错解分析　用随机数法抽样时，如果所编号码的位数不相同，那么无法在随机数表中读数，因此，所编号码的位数要相同．
自我矫正　只有编号时数字位数相同，才能达到随机等可能抽样，所以①不恰当．②③的编号位数相同，都可以采用随机数法．但②中号码是三位数，读数费时，所以③最恰当．
答案　③
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．某学校为了解高一800名新入学同学的数学学习水平，利用简单随机抽样随机抽取100名同学的中考数学成绩进行分析，在这个问题中，下列说法正确的是(　　)
A．800名同学是总体 B．100名同学是样本
C．每名同学是个体 D．样本容量是100
答案　D
解析　据题意，总体是指800名新入学同学的中考数学成绩，样本是指抽取的100名同学的中考数学成绩，个体是指每名同学的中考数学成绩，样本容量是100，故只有D正确．
2．抽签法确保样本代表性的关键是(　　)
A．制签 B．搅拌均匀
C．逐一抽取 D．抽取不放回
答案　B
解析　若样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等，故需要对号签搅拌均匀．
3．对于简单随机抽样，下列说法正确的是(　　)
①它要求总体中的个体数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；
②它是从总体中逐个地进行抽取，以便在抽取实践中进行操作；
③它是一种等可能抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的机会相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的机会也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
答案　A
解析　由简单随机抽样的概念，知①②③都正确．
4．从某批零件中抽取50个，然后再从50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则该产品的合格率约为(　　)
A．36% B．72%
C．90% D．25%
答案　C
解析　×100%＝90%.
5．某总体共有60个个体，并且编号为00,01，…，59. 现需从中抽取一个容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11、12列的18开始．依次向下读数，到最后一行后向右，直到取足样本为止(大于59及与前面重复的数字跳过)，则抽取样本的号码是__________________________．
95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39
90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 56 35 23 79 18 05 98 90 07 35
46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 79
20 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 70 80 60 47 18 97 63 49 30 21 30
71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60
答案　18,24,54,38,08,22,23,01
解析　由随机数法可得，抽取样本的号码是18,24,54,38,08,22,23,01.
　
1.要判断所给的抽样方法是不是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的特点：总体有限、逐个抽取、等可能抽取．
2．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制作号签是否方便，二是号签是否容易被搅拌均匀．一般地，当总体容量和样本容量都较少时可用抽签法．
3．利用随机数法抽取个体时，关键是先确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点，以哪个方向作为读数的方向．需注意读数时结合编号特点进行读取，编号为两位，则两位、两位地读取；编号为三位，则三位、三位地读取．
2．2　分层抽样与系统抽样
第1课时　分层抽样
[学习目标]　1.理解分层抽样的概念.2.会用分层抽样从总体中抽取样本.3.能用分层抽样解决实际问题．
知识点一　分层抽样的概念
将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．
分层抽样具有如下特点：
(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；
(2)按比例确定每层抽取个体的个数；
(3)在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样的方法；
(4)分层抽样能充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性；
(5)分层抽样也是等机会抽样，每个个体被抽到的可能性都是，而且在每层抽样时，可以根据个体情况采用不同的抽样方法．
知识点二　分层抽样的步骤
思考　分层抽样的总体具有什么特性？
答　分层抽样的总体由差异明显的几部分构成，也就是说当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样．
题型一　对分层抽样概念的理解
例1　有40件产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件．现从中抽出8件进行质量分析，则应采取的抽样方法是(　　)
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样 D．分层抽样
答案　D
解析　总体是由差异明显的几部分组成，符合分层抽样的特点，故采用分层抽样．
反思与感悟　判断抽样方法是分层抽样，主要是依据分层抽样的特点：
(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．
(2)样本能更充分地反映总体的情况．
(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．
跟踪训练1　在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．
方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00,01,02，…，99，用抽签法抽取20个．
方法2：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．
对于上述问题，下列说法正确的是(　　)
①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是；
②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；
③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征；
④在上述抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征．
A．①② B．①③
C．①④ D．②③
答案　B
解析　根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是，故①正确，②错误．由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，故方法③抽到的样本更有代表性，③正确，④错误．故①③正确．
题型二　分层抽样的应用
例2　一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
解　用分层抽样来抽取样本，步骤如下：
(1)分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．
(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为＝，则在不到35岁的职工中抽取125×＝25(人)；
在35岁至49岁的职工中抽取280×＝56(人)；
在50岁及50岁以上的职工中抽取95×＝19(人)．
(3)在各层分别按系统抽样或随机数法抽取样本．
(4)汇总每层抽样，组成样本．
反思与感悟　利用分层抽样抽取样本的操作步骤：
(1)将总体按一定属性特征进行分层；
(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；
(3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量；
(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)；
(5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本．
跟踪训练2　一个单位有职工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是________．
答案　8,16,10,6
解析　抽样比为＝，故各层抽取的人数依次为
160×＝8,320×＝16,200×＝10,120×＝6.
抽样方法
例3　某单位有老年人28人、中年人54人、青年人81人，为了调查他们的身体状况，从中抽取一个容量为36的样本，则最适合抽取样本的办法是(　　)
A．简单随机抽样
B．抽签法
C．分层抽样
D．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样
分析　根据题意结合各种抽样方法的特点进行选择．
解析　因为总体由差异明显的三部分组成，所以考虑用分层抽样．因为总人数为28＋54＋81＝163，样本容量为36，由于按抽样，无法得到整数解，因此考虑先剔除1人，将抽样比变为＝.若从老年人中随机地剔除1人，则老年人应抽取27×＝6(人)，中年人应抽取54×＝12(人)，青年人应抽取81×＝18(人)，从而组成容量为36的样本．
答案　D
解后反思　本题易错选C.已知总体是由差异明显的三部分组成，因而盲目选了C，却忽略了分层抽样过程中的取整要求．
1．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是(　　)
A．简单随机抽样 B．抽签法
C．随机数表法 D．分层抽样
答案　D
解析　从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层抽样．
2．为了保证分层抽样时，每个个体等可能地被抽取，必须要求(　　)
A．每层的个体数必须一样多
B．每层抽取的个体数相等
C．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n·(i＝1,2，…，k)个个体，其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层所包含的个体数，N是总体容量
D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制
答案　C
解析　
选项
正误
理由
A
×
每层的个体数不一定都一样多
B
×
由于每层的容量不一定相等，每层抽同样多的个体，从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性显然就不一样了
C
√
对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数i无关，即对于每个个体来说，被抽入样本的可能性是相同的
D
×
每层抽取的个体数是有限制的
3.甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生(　　)
A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人
C．20人，30人，10人 D．30人，50人，10人
答案　B
解析　先求抽样比＝＝，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取
3 600×＝30(人)，乙校抽取5 400×＝45(人)，丙校抽取1 800×＝15(人)，故选B.
4．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是(　　)
A．8,8 B．10,6
C．9,7 D．12,4
答案　C
解析　抽样比为＝，则一班和二班分别被抽取的人数是54×＝9,42×＝7.
5．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
答案　60
解析　根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为×300＝60.
　
1.对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式解：
(1)＝；
(2)总体中各层容量之比＝对应层抽取的样本数之比．
2．选择抽样方法的规律：
(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法．
(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法．
(3)当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样法．
第2课时　系统抽样
[学习目标]　1.理解和掌握系统抽样.2.会用系统抽样从总体中抽取样本.3.能用系统抽样解决实际问题．
知识点一　系统抽样的概念
当总体容量和样本容量都很大时，无论是采用分层抽样或简单随机抽样，都是非常麻烦的．系统抽样就是为了解决这个问题．
系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽样．
系统抽样具有如下特点：
项目
特点
个体数目
总体中个体无较大差异且个体数目较大
抽取方式
总体分成均衡的若干部分，分段间隔相等，在第一段内用简单随机抽样确定起始编号，其余依次加上间隔的整数倍
概率特征
每个个体被抽到的可能性相同，是等可能抽样
系统抽样的优劣：
(1)当总体中的个体数较大时，用系统抽样更易实施，更节约成本；
(2)系统抽样的效果与个体的编号有关，如果编号的特征随编号呈周期性变化，可能使样本的代表性很差
知识点二　系统抽样的步骤
一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：
(1)编号：先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；
(2)分段：确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝；
(3)确定第一个编号：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
(4)成样：按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．
知识点三　三种抽样方法的比较
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的比较如下表所示：
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等
从总体中逐个抽取
总体中的个体数较少
分层抽样
将总体分成几层，在各层中按同一抽样比抽取
在各层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
系统抽样
将总体均分成几部分，按预先确定的规则分别在各部分抽取
在起始部分抽样时，采用简单随机抽样
总体中的个体数较多
题型一　对系统抽样概念的理解
例1　下列抽样中，最适宜用系统抽样的是(　　)
A．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200名入样
B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样
C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样
D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样
答案　C
解析　根据系统抽样的定义和特点判断，A项中的总体有明显的层次，不适宜用系统抽样；B项中样本容量很小，适合用随机数法；D项中总体容量很小，适合用抽签法．
反思与感悟　系统抽样适用于个体数较大的总体，判断一种抽样是否为系统抽样，首先看在抽样前是否知道总体是由什么构成的．抽样的方法能否保证将总体分成几个均衡的部分，并保证每个个体等可能入样．
跟踪训练1　下列抽样方法不是系统抽样的是(　　)
A．从标有1～15号的15个球中，任选三个作样本，按从小号到大号的顺序，随机选起点i0，以后选i0＋5，i0＋10(超过15则从1再数起)号入选
B．工厂生产的产品用传送带将产品送入包装车间前，在一天时间内检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验
C．做某项市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到达到事先规定的调查人数为止
D．电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈
答案　C
解析　A编号间隔相同，B时间间隔相同，D相邻两排座位号的间隔相同，均满足系统抽样的特征．只有C项无明显的系统抽样的特征．
题型二　系统抽样的应用
例2　为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程．
解　(1)对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3，…，15000.
(2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100，所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体．
(3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码，比如是56.
(4)以56作为起始数，然后顺次抽取156,256,356，…，14956，这样就得到一个容量为150的样本．
反思与感悟　当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k＝；当用系统抽样抽取样本时，通常是将起始数l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．
跟踪训练2　现有60瓶牛奶，编号为1至60，若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽取的编号可能为(　　)
A．3,13,23,33,43,53 B．2,14,26,38,42,56
C．5,8,31,36,48,54 D．5,10,15,20,25,30
答案　A
解析　因为60瓶牛奶分别编号为1至60，所以把它们依次分成6组，每组10瓶，要从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法进行抽样．若在第一组抽取的编号为n(1≤n≤10)，则所抽取的编号应为n，n＋10，…，n＋50.对照4个选项，只有A项符合系统抽样．系统抽样的显著特点之一就是“等距抽样”．因此，对于本题只要求出抽样的间隔k＝＝10，就可判断结果．
题型三　系统抽样的设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．
解　(1)先把这253名学生编号000,001，…，252；
(2)用随机数法任取出3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生；
(3)把余下的250名学生重新编号1,2,3，…，250；
(4)分段．取分段间隔k＝5，将总体均分成50段，每段含5名学生；
(5)从第一段即1～5号中用简单随机抽样抽取一个号作为起始号，如l；
(6)从后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245这49个号．这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本．
反思与感悟　1.当总体容量不能被样本容量整除时，要先从总体中随机剔除整除后余数个个体且必须是随机的，即每个个体被剔除的机会均等．剔除个体后使总体中剩余的总体容量能被样本容量整除.2.剔除个体后需对样本重新编号.3.起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．
跟踪训练3　为了了解参加某次考试的2607名学生的成绩，决定用系统抽样的方法抽取一个容量为260的样本．请根据所学的知识写出抽样过程．
解　按下列步骤获取样本：
(1)将每一名学生编号，由0001到2607；
(2)利用随机数法从总体中剔除7人；
(3)将剩下的2600名学生重新编号(分别为0001,0002，…，2600)，并分成260段；
(4)在第一段0001,0002，…，0010这十个编号中用简单随机抽样法抽取一个号码(如0003)作为起始号码；
(5)将编号为0003,0013,0023，…，2593的个体抽出，即组成样本．
题型四　抽样方法的综合应用
例4　为了考察某校的教学水平，抽查了这个学校高三年级部分学生的本学年考试成绩进行考察．为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行(已知该校高三年级共有14个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同)．
①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的学习成绩；
②每个班都抽取1人，共计14人，考察这14名学生的成绩；
③把该校高三年级的学生按成绩分成优秀，良好，普通三个级别，从中抽取100名学生进行考查(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名)．
根据上面的叙述，试回答下列问题：
(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？
(2)上面三种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？
(3)试分别写出上面三种抽取方法各自抽取样本的步骤．
解　(1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第二种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.
(2)上面三种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法．
(3)第一种方式抽样的步骤如下：
第一步：在这14个班中用抽签法任意抽取一个班；
第二步：从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取14名学生，考察其考试成绩．
第二种方式抽样的步骤如下：
第一步：在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为x；
第二步：在其余的13个班中，选取学号为x＋50k(1≤k≤13，k∈Z)的学生，共计14人．
第三种方式抽样的步骤如下：
第一步：分层，因为若按成绩分，其中优秀生共105人，良好生共420人，普通生共175人，所以在抽取样本中，应该把全体学生分成三个层次；
第二步：确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总体数的比为100∶700＝1∶7，所以在每层抽取的个体数依次为，，，即15,60,25；
第三步：按层分别抽取，在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人，在良好生中用简单随机抽样法抽取60人，在普通生中用简单随机抽样法抽取25人．
第四步：将所抽取的个体组合在一起构成样本．
反思与感悟　1.简单随机抽样、系统抽样和分层抽样是三种常用的抽样方法，在实际生活中有着广泛的应用．
2．三种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切联系．在应用时要根据实际情况选取合适的方法．
3．三种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的．
跟踪训练4　下列问题中，宜采用的抽样方法依次为：
(1)________；(2)________；(3)________；(4)________．
(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；
(2)某社区有1200户家庭，其中高收入家庭420户，中等收入家庭470户，低收入家庭310户，为了调查该社区购买力的某项指标，要从所有家庭中抽取一个容量为120的样本；
(3)某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本；
(4)已知某校高一学生的学号后三位数字从001编至805，教育部门准备抽查该校80名高一学生的体育达标情况．
答案　抽签法　分层抽样　分层抽样　系统抽样
解析　
题号
判断
原因分析
(1)
抽签法
总体容量较小，宜采用抽签法
(2)
分层抽样
社区中家庭收入层次明显，宜采用分层抽样
(3)
分层抽样
由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，故宜采用分层抽样
(4)
系统抽样
总体容量较大，样本容量也较大，可以随机剔除5个个体后等距抽取，宜采用系统抽样
系统抽样的应用
例5　要从参加全运会某些项目比赛的1013名运动员中抽取100名进行兴奋剂检查，采用何种抽样方法较好？写出过程．
错解　应采用系统抽样．过程如下：
先将1013名运动员随机编号为1,2,3，…，1013，将这1013个号码分成100段，其中前87段每段10人，后13段每段11人，在第一段中用简单随机抽样确定起始编号L，将会得到编号L，L＋10，L＋20，…，L＋990的运动员抽出，从而获得整体样本．
错解分析　错误的根本原因在于前87段的个体中，每个个体被抽取的可能性为，而在后13段中，每个个体被抽取的可能性为，这是不公平的．
自我矫正　应采用系统抽样．过程如下：
第一步，将1013名运动员随机编号为0001,0002,0003，…，1013；
第二步，随机地从总体中抽取13个号码，并将编号相对应的运动员剔除；
第三步，将剩下的1000名运动员重新编号为1,2,3，…，1000，分成100段，每段10个号码，在第一段十个编号中用简单随机抽样确定第一个个体编号为L，则将编号为L，L＋10，L＋20，…，L＋990的运动员抽出，组成样本．
1．为了解1200名学生对学校食堂饭菜的意见，打算从中抽取一个样本容量为40的样本，考虑采用系统抽样，则分段间隔k为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．40
答案　C
解析　分段间隔k＝＝30.
2．为了了解参加某次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　A
解析　因为1252＝50×25＋2，所以应随机剔除2个个体，故选A.
3．要从160名学生中抽取容量为20的样本，用系统抽样法将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按抽签方法确定的号码是(　　)
A．7 B．5
C．4 D．3
答案　B
解析　由系统抽样知第一组确定的号码是125－15×8＝5.
4．某公司有52名员工，要从中抽取10名员工参加国庆联欢活动，若采用系统抽样，则该公司每个员工被抽到的机会是________．
答案　
解析　采用系统抽样，需先剔除2名员工，确定间隔k＝5，但每名员工被剔除的机会相等，即每名员工被抽到的机会也相等，故虽然剔除了2名员工，但这52名员工中每名员工被抽到的机会仍相等，且均为＝.
5．在1000个有机会中奖的号码(编号为000～999)中，公证部门用随机抽样的方法确定后两位数为88的号码为中奖号码，这种抽样方法是________，这10个中奖号码为__________________________________．
答案　系统抽样
088,188,288,388,488,588,688,788,888,988
解析　这里运用了系统抽样的方法来确定中奖号码，中奖号码依次为：088,188,288,388,488,588,688,788,888,988.
　
1.系统抽样的实质是“分组”抽样，适用于总体中的个体数较大的情况．
2．解决系统抽样问题的两个关键步骤为
(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．
(2)用系统抽样法抽取样本，当不为整数时，取k＝，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除(N－nk)个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．

[学习目标]　1.进一步理解统计图表的作用与意义.2.掌握茎叶图的概念与应用.3.会利用合适的统计图表研究生活中的实例．
知识点一　统计图表的作用及分类
知识点二　茎叶图
定义：顾名思义，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，中间的数字表示十位数，旁边的数字表示个位数．
题型一　条形统计图与扇形统计图
例1　据2014年4月份的《生活报》报道，某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的条形统计图．请结合统计图回答下列问题：
(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？
(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？
(3)若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
解　(1)由图1知4＋8＋10＋18＋10＝50(名)．
即该校对50名学生进行了抽样调查．
(2)本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，
×100%＝36%.
即最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%.
(3)1－(30%＋26%＋24%)＝20%，
200÷20%＝1 000(人)，
×1 000＝160(人)．
即估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人．
反思与感悟　1.条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的矩形条，然后把这些矩形条按照一定的顺序排列起来．其特点是便于看出和比较各种数量的多少，即条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
2．扇形统计图是用整个圆面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各部分所占总数的百分数．总之，用统计图来表示数量关系更生动形象、具体，使人一目了然．
跟踪训练1　某班计划开展一些课外活动，全班有40名学生报名参加，他们就乒乓球、足球、跳绳、羽毛球4项活动的参加人数做了统计，绘制了条形统计图(如图所示)，那么参加羽毛球活动的人数的频率是________．
答案　0.1
解析　参加羽毛球活动的人数是4，则频率是＝0.1.
题型二　折线统计图
例2　下表给出了2014年A、B两地的降水量(单位：mm)：
1月
2月
3月
4月
5月
6月
A
9.2
4.9
5.4
18.6
38.0
106.3
B
41.4
53.3
178.8
273.5
384.9
432.4
7月
8月
9月
10月
11月
12月
A
54.4
128.9
62.9
73.6
26.2
10.6
B
67.5
228.5
201.4
147.3
28.0
19.1
根据统计表绘制折线统计图．
解　建立直角坐标系，用横坐标上的点表示月份，用纵坐标上的点表示降水量，描出每个月份对应的点，然后用线段顺次连接相邻点，得到折线统计图如图表示．
反思与感悟　在绘制折线统计图时，可以先整理和观察数据统计表，建立直角坐标系，用两坐标轴上的点分别表示数据，再描出数据的相应点，顺次连接相邻的点，得到一条折线．特别注意，画折线统计图时，横轴、纵轴表示的实际含义要标明确．
跟踪训练2　如图是某市2014年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这7天中，日温差最大的一天是(　　)
A．4月1日 B．4月2日
C．4月3日 D．4月5日
答案　D
解析　由折线图可以看出，该市日温差最大的一天是4月5日．
题型三　茎叶图及其应用
例3　某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下：
甲的得分：95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107；
乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．
解　甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示．
从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是98分；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是88分，但分数分布相对于甲来说，趋向于低分阶段．因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好．
反思与感悟　1.画茎叶图时，用中间的数表示数据的十位和百位数，两边的数分别表示两组数据的个位数．要先确定中间的数取数据的哪几位，填写数据时边读边填．比较数据时从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几方面来比较．
2．绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，一般地说数据是两位数时，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；如果是小数的，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶．
跟踪训练3　如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为(　　)
A.2,5 B．5,5
C．5,8 D．8,8
答案　C
解析　由于甲组数据的中位数为15＝10＋x，∴x＝5.又乙组数据的平均数为＝16.8，∴y＝8，故选C.
1．当收集到的数据量很大或有多组数据时，用哪种统计图表示较合适(　　)
A．茎叶图 B．条形统计图
C．折线统计图 D．扇形统计图
答案　B
解析　当收集到的数据量很大或有多组数据时条形统计图较为合适．
2．如图所示是某校高一年级学生到校方式的条形统计图，根据图形可得出骑自行车人数占高一年级学生总人数的(　　)
A．20% B．30%
C．50% D．60%
答案　B
解析　某校高一年级学生总数为60＋90＋150＝300(人)，骑自行车人数为90人．骑自行车人数占高一年级学生总数的百分比为×100%＝30%.
3．把过期的药品随意丢弃，会造成对土壤和水体的污染，危害人们的健康．如何处理过期药品，有关机构随机对若干家庭进行调查，调查结果如图，其中对过期药品处理不正确的家庭达到(　　)
A．79% B．80%
C．18% D．82%
答案　D
4．一次选拔运动员，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图如图，测得平均身高为177 cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值是(　　)
17
0 3 8 9 x
18
0 1
A.5 B．6
C．7 D．8
答案　D
解析　180＋181＋170＋173＋178＋179＋(170＋x)＝177×7，即1 231＋x＝1 239，解得x＝8.
5．如图是华联商厦某个月甲、乙、丙三种品牌彩电的销售量统计图，则甲、丙两种品牌彩电该月的销售量之和为________台．
答案　75
解析　由图可知，甲品牌该月的销售量为45台，丙品牌该月的销售量为30台，所以甲、丙两种品牌彩电该月的销售量之和为75台．
　1.条形统计图及折线统计图的优点是数据量很大时，能够清晰反映数据分布的大致情况，缺点是损失了数据的部分信息．扇形统计图优点是能表示出总体的各个部分所占比例，缺点是不适用于总体分成部分较多的问题．
2．茎叶图表示数据有两个突出优点：(1)统计图上没有原始信息的损失；(2)茎叶图可以随时记录，方便表示与比较．
缺点：当数据量很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．

4．1　平均数、中位数、众数、极差、方差
4．2　标准差
[学习目标]　1.掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的特点.2.要重视数据的计算，体会统计思想．
知识点一　众数、中位数、平均数
1．众数、中位数、平均数定义
(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数．
(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数称为这组数据的中位数．
(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)称为这n个数的平均数．
2．三种数字特征与频率分布直方图的关系
众数
众数是最高长方形的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值
中位数
(1)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；(2)表示样本数据所占频率的等分线
平均数
(1)平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和；(2)平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点
知识点二　标准差、方差
1．标准差
(1)平均距离与标准差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．
假设样本数据是x1，x2，…，xn，表示这组数据的平均数．xi到的距离是|xi－|(i＝1,2，…，n)，
则用如下公式来计算标准差：
s＝
(2)计算标准差的步骤
①求样本数据的平均数；
②求每个样本数据与样本平均数的差xi－(i＝1,2，…，n)；
③求(xi－)2(i＝1,2，…，n)；
④求s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]；
⑤求s＝，即为标准差．
2．方差
标准差的平方s2叫作方差．
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，
其中，xi(i＝1,2，…，n)是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．
题型一　众数、中位数、平均数的简单运用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表：
职务
董事长
副董
事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5 500
5 000
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．
解　(1)平均数是：＝1 500＋
≈1 500＋591＝2 091(元)，
中位数是1 500元，众数是1 500元．
(2)新的平均数是＝1 500＋
≈1 500＋1 788＝3 288(元)，
新的中位数是：1 500元，新的众数是1 500元．
(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．
反思与感悟　1.众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题.2.在求平均数时，可采用新数据法，即当所给数据在某一常数a的左右摆动时，用简化公式：＝＋a.
跟踪训练1　在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
成绩(单位：m)
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．
解　在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表格里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是＝(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69(m)．
答　17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m,1.69 m.
题型二　平均数和方差的运用
例2　甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
解　(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，
又s＞s，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
反思与感悟　1.极差、方差与标准差的区别与联系：
数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．
(1)极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．
(2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离．
2．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．
跟踪训练2　某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)：
甲：102　101　99　98　103　98　99
乙：110 115 90 85 75 115 110
(1)这种抽样方法是哪一种方法？
(2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定．
解　(1)采用的抽样方法是：系统抽样．
(2)甲＝(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；
乙＝(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100；
x＝[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2]
＝(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43；
s＝[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]
＝(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)
≈228.57.
所以s＜s，故甲车间产品较稳定．
题型三　数据的数字特征的综合应用
例3　在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
分数
50
60
70
80
90
100
人
数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
解　(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．
(2)甲＝(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)
＝×4 000＝80，
乙＝(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝
×4 000＝80.
s＝[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，
s＝[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.
∵s(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．
(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．
反思与感悟　要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．
跟踪训练3　甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件．为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下(单位：mm)：
甲
25．46　25.32　25.45　25.39　25.36
25．34　25.42　25.45　25.38　25.42
25．39　25.43　25.39　25.40　25.44
25．40　25.42　25.35　25.41　25.39
乙
25．40　25.43　25.44　25.48　25.48
25．47　25.49　25.49　25.36　25.34
25．33　25.43　25.43　25.32　25.47
25．31　25.32　25.32　25.32　25.48
从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？(结果保留小数点后3位)
解　用计算器计算可得
甲≈25.405，乙≈25.406；
s甲≈0.037，s乙≈0.068.
从样本平均数看，甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40mm)，差异很小；从样本标准差看，由于s甲分类讨论思想
例4　某班有四个学习小组，各小组人数分别为10,10，x,8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．
分析　由于x未知，因此中位数不确定，需讨论．
解　该组数据的平均数为(10＋10＋x＋8)＝(28＋x)，中位数是这4个数按从小到大的顺序排列后处在最中间两个数的平均数．
(1)当x≤8时，原数据从小到大排序为x,8,10,10，中位数是9，由(28＋x)＝9，得x＝8，符合题意，此时中位数是9；
(2)当8＜x≤10时，原数据从小到大排序为8，x,10,10，中位数是(x＋10)，由(28＋x)＝(10＋x)，得x＝8，与8＜x≤10矛盾，舍去；
(3)当x＞10时，原数据从小到大排序为8,10,10，x，中位数是10，由(28＋x)＝10，得x＝12，符合题意，此时中位数是10.
综上所述，这组数据的中位数是9或10.
解后反思　当题目中含有参数，且参数的不同取值影响求解结果时，需对参数的取值分类讨论．
1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是(　　)
A．平均数 B．中位数
C．方差 D．众数
答案　C
解析　由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．
2．一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x等于(　　)
A．21 B．22
C．20 D．23
答案　A
解析　根据题意知，中位数22＝，则x＝21.
3．一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示．记录的平均身高为177 cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，则x等于(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
答案　D
解析　由题意知，10＋11＋0＋3＋x＋8＋9＝7×7，解得x＝8.
4．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________．
答案　0.1
解析 ＝＝5.1，则方差s2＝[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.
5．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8，7,9,5,4,9,10,7,4
则：(1)平均命中环数为________；
(2)命中环数的标准差为________．
答案　(1)7　(2)2
解析　(1)＝＝7.
(2)∵s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.
1.一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序．
2．利用直方图求数字特征：
(1)众数是最高的矩形的底边的中点．
(2)中位数左右两边直方图的面积应相等．
(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
3．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．

5．1　估计总体的分布
5．2　估计总体的数字特征
[学习目标]　1.学会列频率分布表，会画频率分布直方图.2.会用频率分布表或频率分布直方图估计总体分布，并作出合理解释.3.在解决问题过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，认识统计的实际作用，初步经历收集数据到统计数据的全过程．
知识点一　频率分布表与频率分布直方图
1．用样本估计总体的两种情况
(1)用样本的频率分布估计总体的分布．
(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征．
2．作频率分布直方图的步骤
(1)求极差：即一组数据中最大值和最小值的差；
(2)决定组距与组数：将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．这时应注意：①一般样本容量越大，所分组数越多；②为方便起见，组距的选择应力求“取整”；③当样本容量不超过120时，按照数据的多少，通常分成5～12组．
(3)将数据分组：按组距将数据分组，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间．
(4)列频率分布表：一般分四列：分组、频数累计、频数、频率，最后一行是合计．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1.
(5)画频率分布直方图：画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示频率/组距．其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积．即每个小长方形的面积＝组距×＝频率．
思考　为什么要对样本数据进行分组？
答　不分组很难看出样本中的数字所包含的信息，分组后，计算出频率，从而估计总体的分布特征．
知识点二　频率折线图
在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图．
随着样本量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线．
题型一　频率分布直方图的绘制
例1　调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如下：
171　163　163　166　166　168　168　160　168　165
171　169　167　169　151　168　170　168　160　174
165　168　174　159　167　156　157　164　169　180
176　157　162　161　158　164　163　163　167　161
(1)作出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图．
解　(1)最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是180－151＝29，即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下：
分组
频数
频率
[149.5,153.5)
1
0.025
[153.5,157.5)
3
0.075
[157.5,161.5)
6
0.15
[161.5,165.5)
9
0.225
[165.5,169.5)
14
0.35
[169.5,173.5)
3
0.075
[173.5,177.5)
3
0.075
[177.5,181.5]
1
0.025
合计
40
1
(2)频率分布直方图如图所示．
反思与感悟　1.组数的决定方法是：设数据总数目为n，一般地，当n≤50，则分为5～8组；当50≤n≤120时，则分为8～12组较为合适．
2．分点数的决定方法是：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是小数点后一位的数，则分点减去0.05，以此类推．
3．画频率分布直方图小长方形高的方法是：假设频数为1的小长方形的高为h，则频数为k的小长方形高为kh.
跟踪训练1　美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是里根，他于1981年就任，当时69岁．下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马，共44任)给出了历届美国总统就任时的年龄：
57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48
(1)将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．
(2)用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况．
解　(1)以4为组距，列表如下：
分组
频数
频率
[41.5,45.5)
2
0.045 5
[45.5,49.5)
7
0.159 1
[49.5,53.5)
8
0.181 8
[53.5,57.5)
16
0.363 6
[57.5,61.5)
5
0.113 6
[61.5,65.5)
4
0.090 9
[65.5,69.5]
2
0.045 5
合计
44
1.00
(2)从频率分布表中可以看出60%左右的美国总统就任时的年龄在50岁至60岁之间，45岁以下以及65岁以上就任的总统所占的比例相对较小．
题型二　频率分布直方图的应用
例2　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率约是多少？
解　(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，
因此第二小组的频率为＝0.08.
因为第二小组的频率＝，
所以样本容量＝＝＝150.
(2)由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率约为×100%＝88%.
反思与感悟　1.频率分布直方图的性质：
(1)因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．
(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
(3)＝样本容量．
2．频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性．
跟踪训练2　如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15,18)内频数为8.
(1)求样本在[15,18)内的频率；
(2)求样本容量；
(3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06，求在[18,33)内的频数．
解　由样本频率分布直方图可知组距为3.
(1)由样本频率分布直方图得样本在[15,18)内的频率等于×3＝.
(2)样本在[15,18)内频数为8，
由(1)可知，样本容量为＝8×＝50.
(3)∵在[12,15)内的小矩形面积为0.06，∴样本在[12,15)内的频率为0.06，故样本在[15,33)内的频数为50×(1－0.06)＝47，又在[15,18)内频数为8，故在[18,33)内的频数为47－8＝39.
题型三　频率分布与数字特征的综合应用
例3　已知一组数据：125　121　123　125　127　129　125　128　130　129　126　124　125　127　126　122 124　125　126　128
(1)填写下面的频率分布表：
分组
频数
频率
[121,123)
[123,125)
[125,127)
[127,129)
[129,131]
合计
(2)作出频率分布直方图；
(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．
解　(1)
分组
频数
频率
[121,123)
2
0.1
[123,125)
3
0.15
[125,127)
8
0.4
[127,129)
4
0.2
[129,131]
3
0.15
合计
20
1
(2)
(3)在[125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126，事实上，众数的精确值为125.(2)图中虚线对应的数据是125＋2×＝126.25，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：＝122×0.1＋124×0.15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0.15＝126.3，平均数的精确值为＝125.75.
反思与感悟　1.利用频率分布直方图估计数字特征：
(1)众数是最高的矩形的底边的中点；
(2)中位数左右两侧小矩形的面积相等；
(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致．
跟踪训练3　某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.
求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数．
(2)高一参赛学生的平均成绩．
解　(1)由图可知众数为65，
又∵第一个小矩形的面积为0.3，
∴设中位数为60＋x，
则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，
∴中位数为60＋5＝65.
(2)依题意，
＝55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05
＝67，
∴平均成绩约为67分．
1．用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．总体容量越大，估计越精确
B．总体容量越小，估计越精确
C．样本容量越大，估计越精确
D．样本容量越小，估计越精确
答案　C
解析　由用样本估计总体的性质可得．
2．频率分布直方图中，小矩形的面积等于(　　)
A．组距 B．频率
C．组数 D．频数
答案　B
解析　根据小矩形的宽及高的意义，可知小矩形的面积为一组样本数据的频率．
3．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(　　)
A．56 B．60
C．120 D．140
答案　D
解析　设所求人数为N，则N＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140，故选D.
4．某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀(含80分)．现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组，绘制成频率分布直方图如下图所示．
已知图中从左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为0.30、0.15、0.10、0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数是________，成绩优秀的频率是________．
答案　100　0.15
解析　设参赛的人数为n，第二小组的频率为1－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.4，
依题意＝0.4，
∴n＝100，优秀的频率是0.10＋0.05＝0.15.
　
1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律，通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布．
2．用同样的方法先后从总体中抽取两个大小相同的样本，但两次得到的样本频率分布表、样本频率分布直方图、样本的平均数和标准差仍然可能互不相同．如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，样本容量越大，越接近总体的真实情况．

[学习目标]　1.掌握收集数据的方式.2.体会收集数据的过程.3.本节意义在于通过实践活动，验证前面学习知识的科学性与合理性．
知识点一　进行统计活动所依据的基本思想
用样本估计总体．故要设计一个统计活动，首先要确定调查对象，并从中抽取一个合理的样本，也就是收集数据，然后分析整理数据，并得出科学合理的推断，进而估计总体的情况．
知识点二　搞好统计活动的方法步骤
要搞好统计活动，需明确以下几个方法步骤：
1．确定调查对象.2.收集数据.3.整理数据.4.分析数据.5.作出推断．
题型一　统计活动中数据的收集
例1　中央电视台主办的“开学第一课”已成为全国中小学生最喜爱的节目，2013年央视又推出了“开学第一课”，再次引起了共鸣．
问题：设计步骤，估计你所在的县市的中学生中，喜欢这个节目的学生所占比例的大小．
解　可以按照如下的步骤来进行这个统计活动：
(1)确定调查的对象：该县市的全体中学生；
明确调查的目的：是否喜欢“开学第一课”这个节目．
(2)利用随机抽样抽取样本，收集数据．
由于中学生太多，只能进行抽样调查．由于学校之间存在差别，采用分层抽样在各个中学抽取样本．为了统计的方便，设计如下的调查表，记录下来.
所在学校
喜欢
不喜欢
一般
最好和同学一起完成收集数据的任务．
(3)整理数据，用表格来表示数据．
把所收集到的数据汇总成一个表格，如表：
喜欢
不喜欢
一般
总计
人数
(4)分析数据．
由于是调查喜欢“开学第一课”的学生占多大的百分比，所以选用扇形统计图来表示．
(5)作出推断．
根据扇形统计图作出推断．
反思与感悟　统计活动中作出推断结论的准确性，决定于抽取的样本是否具有代表性，以及样本容量的大小，一般来说，用科学的抽样方法抽取样本，并且样本容量足够大，这样的统计活动得到的结论准确性高，可信度大，可以作为决策依据．
跟踪训练1　请设计一个测量全班同学身高的试验．
解　试验的操作步骤设计如下：
(1)准备身高测量仪(为了多次测量求平均值，可以准备多架身高测量仪，比如用3架测量仪)；
(2)安排负责仪器的人，一般每架仪器两人，一人测量一人记录；
(3)组织学生排队依次测量．用每架测量仪各测量一次，将所得数据填入下表；
(4)整理数据，用求平均值的方法算出每位同学的身高.
学生姓名
用仪器1所测数据
用仪器2所测数据
用仪器3所测数据
平均以后的数据
题型二　统计活动中的决策
例2　某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：
每人销
售件数
1 800
510
250
210
150
120
人数
1
1
3
5
3
2
(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数、众数；
(2)假设销售部负责人把每位营销人员的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如果不合理，请你制定一个较合理的销售定额．
解　(1)平均数＝(1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320，中位数为210，众数为210.
(2)不合理．因为15人中有13人的销售额达不到320件，也就是说320件虽是这一组数据的平均数，但它却不能反映营销人员的一般水平，销售额定为210件要合理些，这是由于210件既是中位数，又是众数，是绝大部分人都能达到的定额．
反思与感悟　实际问题要先选用有代表性的数据，然后通过整理数据，选用多种方式分析数据，做出正确、合理的决策．
跟踪训练2　为了寻求发展，某公司新开发了10个项目，其中一个项目投资为200万，另外9个项目均在2万与20万之间．经分析，中位数是30万，平均数是35万，众数是4万，你会选择哪种数字特征表示这批项目的投资？为什么？
解　选择平均数较合适．平均数描述了数据的平均水平，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平，从而使总投资资金更有代表性、更有说服力．
题型三　统计活动中的数据分析
例3　某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变，有关数据如表所示：
景点
A
B
C
D
E
原价/元
10
10
15
20
25
现价/元
5
5
15
25
30
日平均人数/103人
1
1
2
3
2
(1)该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，日平均总收入持平，问风景区是怎样计算的？
(2)另一方面，游客认为调整收费后风景区的日平均总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%，问游客是怎样计算的？
(3)你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？
解　(1)调整前的平均价格为＝16(元)．
调整后的平均价格为＝16(元)．
因为调整前后的平均价格不变，日平均人数不变，所以日平均总收入不变．
(2)游客是这样计算的，原日平均总收入：
10×1 000＋10×1 000＋15×2 000＋20×3 000＋25×2 000＝160 000(元)．
现在日平均总收入：5×1 000＋5×1 000＋15×2 000＋25×3 000＋30×2 000＝175 000(元)．
日平均总收入增加了≈9.4%.
(3)游客的说法较能反映整体实际．
反思与感悟　1.统计活动中的数据分析，可以分析数据中的平均值、方差、标准差、中位数、众数等数字特征数，从而全面把握总体情况．
2．统计活动中的数据分析，可以采取图表来分析，如条形图、扇形图、折线图、直方图以及茎叶图等，这样得到的结果更直观，更能体现出各部分数据所占的份量．
跟踪训练3　从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位：mm)，结果如下：
甲品种：
271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352
乙品种：
284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327
329 331 333 336 337 343 356
由以上数据设计了如下茎叶图：
根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
(1)________________________________________________________________________
(2)________________________________________________________________________
答案　(1)乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度)
(2)甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散(或乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中．或甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大)
1．为了调查某市高中学生中喜欢数学的同学所占的比例，收集数据后，整理数据的方式是(　　)
A．画频率分布直方图 B．茎叶图
C．计算平均数和标准差 D．扇形统计图
答案　D
2．某中学人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，两班平均分和方差分别为甲＝82，乙＝82，s＝245，s＝190，那么成绩较为整齐的是(　　)
A．甲班 B．乙班
C．两班一样齐 D．无法确定
答案　B
解析　甲＝乙，说明甲、乙两班学生的平均成绩一样，但s>s，所以乙班的成绩比甲班稳定、整齐．
3．期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M.如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均数为N，那么M∶N为(　　)
A. B．1
C. D．2
答案　B
解析　N＝＝M，∴M∶N＝1.
4．在甲、乙两个总体中各抽取一个样本，甲的样本平均数为15，乙的样本平均数为17，甲的样本方差为3，乙的样本方差为2，则________的总体波动小．
答案　乙
解析　样本方差越大，对应的总体波动越大，样本方差越小，对应的总体波动越小．
5．下列收集数据方式中：
①某市教育部门为了了解全市初中学生的视力情况，选择城区的一所初中和农村的一所初中，对这两所学校的全体学生进行检查；
②某厂的一台车床每天加工3 000个零件．为了掌握零件的质量，每天选取其中的100个进行相关项目的质量测试；
③某校为了调查本校高中学生的数学应用能力，对全校的高中学生进行书面和实践两方面测试；
④某工厂为了掌握全厂工人的身体健康状况，请一家医院对全厂工人进行体检；
⑤为了测定一种铜丝的最大控断力，在一批铜丝中取50根进行测试．
其中________是抽样调查，________是普查(填序号)．
答案　①②⑤　③④
在评价中应主要考虑以下几个方面：
(1)求解过程和结果要合理、清楚、简洁、正确；
(2)独到的思考和发现；
(3)提出有价值的求解设计和有见解的新问题；
(4)发挥组员的特长，合作学习．
更重要的一条是，评价的意识将有助于客观地认识统计的过程、统计分析的方法，有助于理性思维的培养．

[学习目标]　1.掌握相关关系的判断.2.会作散点图.3.体会化归思想的应用．
知识点一　变量间的相关关系
1．变量之间常见的关系
函数关系
变量之间的关系可以用函数表示
相关关系
变量之间有一定的联系，但不能完全用函数表示
2.相关关系与函数关系的区别与联系
类别
区别
联系
函数关系
①函数关系中两个变量间是一种确定性关系；②函数是一种因果关系，有这样的因，必有这样的果．例如，圆的半径由1增大为2，其面积必然由π增大到4π
①在一定的条件下可以相互转化，对于具有线性相关关系的两个变量来说，当求得其线性回归方程后，可以用一种确定性的关系对这两个变量间的取值进行评估；
相关关系
①相关关系是一种非确定性关系．例如，吸烟与患肺癌之间的关系，两者之间虽然没有确定的函数关系，但吸烟多的人患肺癌的风险会大幅增加，两者之间即是一种非确定性的关系；②相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系②相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况
知识点二　散点图及相关的概念
1．散点图
在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．
2．曲线拟合
从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合．
3．相关关系的分类
(1)线性相关：若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的．
(2)非线性相关：若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非线性相关的．此时，可以用一条曲线来拟合．
4．不相关
如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．
思考　任意两个统计数据是否均可以作出散点图？
答　可以，不管这两个统计量是否具备相关性，以一个变量值作为横坐标，另一个作为纵坐标，均可画出它的散点图．
题型一　变量间相关关系的判断
例1　在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？
①正方形边长与面积之间的关系；
②作文水平与课外阅读量之间的关系；
③农作物产量与施肥量之间的关系；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
解　两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③一块农田的农作物产量与施肥量之间的关系是一种不确定的相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．
综上，②③④中的两个变量具有相关关系．
反思与感悟　函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
跟踪训练1　下列两个变量间的关系不是函数关系的是(　　)
A．正方体的棱长与体积
B．角的度数与它的正弦值
C．单产为常数时，土地面积与粮食总产量
D．日照时间与水稻的单位产量
答案　D
解析　函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系，但是这两种关系是不同的，函数关系是指当自变量一定时，函数值是确定的，是一种确定性的关系．因为A项V＝a3，B项y＝sinα，C项y＝ax(a＞0，且a为常数)，所以这三项均是函数关系．D项是相关关系．
题型二　散点图
例2　5名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：
　　学生
成绩　　
A
B
C
D
E
数学成绩
80
75
70
65
60
物理成绩
70
66
68
64
62
判断它们是否具有线性相关关系．
解　以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示．
由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系．
反思与感悟　1.判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．
2．画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．
跟踪训练2　(1)如图是两个变量统计数据的散点图，判断两个变量之间是否具有相关关系？
(2)某男孩的年龄与身高的统计数据如下.
年龄(岁)
1
2
3
4
5
6
身高(cm)
78
87
98
108
115
120
画出散点图，并判断它们是否有相关关系？
解　(1)不具有相关关系，因为散点图散乱地分布在坐标平面内．
(2)散点图如图：
由图可见，具有线性相关关系．
题型三　散点图的应用
例3　下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：
施化肥量
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量
320
330
360
410
460
470
480
(1)将上述数据制成散点图；
(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？
解　(1)散点图如下：
(2)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增加，不会一直随施化肥量的增加而增加．
反思与感悟　利用散点图判断不同变量的相关性时，其关键是正确画出散点图，然后观察分布规律：是在一条直线附近波动还是在一条曲线附近波动，还是没有任何规律，从而得出线性相关、非线性相关或不相关的结论．
跟踪训练3　对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断(　　)
A．变量x与y，u与v都有线性相关关系
B．变量x与y，u与v都没有线性相关关系
C．变量x与y有线性相关关系，u与v没有线性相关关系
D．变量x与y没有线性相关关系，u与v有线性相关关系
答案　A
数形结合思想
例4　以下是在某地搜集到的不同楼盘房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据：
房屋面积x
115
110
80
135
105
销售价格y
49.6
43.2
38.8
58.4
44
判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有线性相关关系．如果有线性相关关系，是正相关还是负相关？
分析　作出散点图，利用散点图进行判断．
解　数据对应的散点图如图所示．
通过以上数据对应的散点图可以判断，房屋的销售价格和房屋面积之间具有线性相关关系，且是正相关．
解后反思　判断两个变量x和y是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就具有线性相关关系．注意不要受个别点的位置的影响．
1．下列所给出的两个变量之间存在相关关系的为(　　)
A．学生的座号与数学成绩
B．学生的学号与身高
C．曲线上的点与该点的坐标之间的关系
D．学生的身高与体重
答案　D
解析　A与B中的两个变量之间没有任何关系；C中的两个变量之间具有函数关系．
2．下列各图中所示两个变量具有相关关系的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．①② B．①③
C．②④ D．②③
答案　D
解析　具有相关关系的两个变量的数据所对应的图形是散点图，②③能反映两个变量的变化规律，它们之间是相关关系．
3．下面是四个散点图中的点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是(　　)
答案　C
解析　散点图A中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；B中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；C中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；D中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故选C.
4．下列变量之间的关系是函数关系的是(　　)
A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4ac
B．果树剪枝和果树产量
C．闯红灯和交通事故发生率
D．每亩施用肥料量和粮食的亩产量
答案　A
5．命题：①路程与时间、速度的关系是相关关系；
②同一物体的加速度与作用力是函数关系；
③产品的成本与产量之间的关系是函数关系；
④圆的周长与面积的关系是相关关系；
⑤广告费用与销售量之间的关系是相关关系．
其中正确的命题序号是________．
答案　②⑤
两个变量间的关系有两种：一种是函数关系，另一种是相关关系．另外要会画散点图，并会根据散点图判断两个变量间是何种关系．

[学习目标]　1.了解最小二乘法.2.理解线性回归方程的求法.3.掌握线性回归方程的意义．
知识点一　最小二乘法
1．定义：如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：
[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2.
使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
2．应用：利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图．如果散点图呈现出线性关系，可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合．
知识点二　回归直线的求法
1．回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
2．回归方程与最小二乘法
我们用yi－i来刻画实际观察值yi(i＝1,2，…，n)与i的偏离程度，yi－i越小，偏离越小，直线就越贴近已知点．我们希望yi－i的n个差构成的总的差量越小越好，这才说明所找的直线是最贴近已知点的．由于把yi－i这个差量作和会使差量中的正负值相互抵消，因此我们用这些差量的平方和即Q＝(yi－a－bxi)2作为总差量，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条．因为平方又叫二乘方，所以这种使“差量平方和最小”的方法叫做最小二乘法．
用最小二乘法求回归方程中的，有下面的公式：
其中＝i，＝i.
这样，回归方程的斜率为，截距为，即回归方程为＝x＋.
思考　任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗？
答　用最小二乘法求回归方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的回归方程是无意义的．
题型一　变量间相关关系的判断
例1　某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)画出散点图；
(2)求回归方程．
解　(1)散点图如图所示．
(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.
i
1
2
3
4
5
xi
2
4
5
6
8
yi
30
40
60
50
70
xiyi
60
160
300
300
560
x
4
16
25
36
64
＝5，＝50，＝145，iyi＝1 380
于是可得，＝＝＝6.5，
＝－＝50－6.5×5＝17.5.
于是所求的回归方程是＝6.5x＋17.5.
反思与感悟　1.求回归方程的步骤
(1)列表xi，yi，xiyi.
(2)计算，，，，iyi.
(3)代入公式计算，的值．
(4)写出回归方程＝＋x.
2．求回归方程的适用条件
两个变量具有线性相关性，若题目没有说明相关性，则必须对两个变量进行相关性判断．
跟踪训练1　某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
已知记忆力x和判断力y是线性相关的，求线性回归方程．
解　＝＝9，＝＝4，
x＝62＋82＋102＋122＝344，
xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
b＝＝＝0.7，
a＝－b＝4－0.7×9＝－2.3.
则所求的线性回归方程为y＝0.7x－2.3.
题型二　利用线性回归方程对总体进行估计
例2　有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：
摄氏温
度/℃
－5
0
4
7
12
15
19
23
27
31
36
热饮
杯数
156
150
132
128
130
116
104
89
93
76
54
(1)画出散点图；
(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；
(3)求回归方程；
(4)如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数．
解　(1)散点图如图所示：
(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此气温越高，卖出去的热饮杯数越少．
(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归方程的系数．利用计算器容易求得回归方程y＝－2.352x＋147.772.
(4)当x＝2时，y＝143.068.因此，某天的气温为2 ℃时，这天大约可以卖出143杯热饮．
反思与感悟　用线性回归方程进行数据拟合的一般步骤是：(1)把数据列成表格；(2)作散点图；(3)判断是否线性相关；(4)若线性相关，求出系数b，a的值(一般也列成表格的形式，用计算器或计算机计算)；(5)写出回归直线方程y＝a＋bx.
跟踪训练2　2014年元旦前夕，某市统计局统计了该市2013年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：
年收入x(万元)
2
4
4
6
6
6
7
7
8
10
年饮食支出y(万元)
0.9
1.4
1.6
2.0
2.1
1.9
1.8
2.1
2.2
2.3
(1)如果已知y与x是线性相关的，求线性回归方程；
(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．
(参考数据：iyi＝117.7，＝406)
解　(1)依题意可计算得：＝6，＝1.83，2＝36，
　＝10.98，又∵iyi＝117.7，＝406，
∴b＝≈0.17，a＝－b＝0.81，
∴y＝0.17x＋0.81.
∴所求的线性回归方程为y＝0.17x＋0.81.
(2)当x＝9时，y＝0.17×9＋0.81＝2.34.
可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．
1．炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间有(　　)
A．确定性关系 B．相关关系
C．函数关系 D．无任何关系
答案　B
解析　炼钢时钢水的含碳量除了与冶炼时间有关外，还受冶炼温度等的影响，故为相关关系．
2．设有一个回归方程为＝－1.5x＋2，则变量x增加一个单位时(　　)
A．y平均增加1.5个单位 B．y平均增加2个单位
C．y平均减少1.5个单位 D．y平均减少2个单位
答案　C
解析　∵两个变量线性负相关，∴变量x增加一个单位，y平均减少1.5个单位．
3．某商品的销售量y(单位：件)与销售价格x(单位：元/件)负相关，则其回归方程可能是(　　)
A.＝－10x＋200 B.＝10x＋200
C.＝－10x－200 D.＝10x－200
答案　A
解析　结合图象(图略)，知选项B，D为正相关，选项C不符合实际意义，只有选项A正确．
4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　)
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
答案　D
解析　当x＝170时，＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg.
5．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y(kg)对身高x(cm)的回归方程为＝0.72x－58.2，张明同学(20岁)身高178 cm，他的体重应该在________kg左右．
答案　69.96
解析　用回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测，当x＝178时，＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．
　1.判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关．
2．求回归直线的方程时应注意的问题
(1)知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．
(2)用公式计算、的值时，要先算出，然后才能算出.
3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归方程为＝x＋，则x＝x0处的估计值为0＝x0＋.

1．关于抽样方法
(1)用随机数法抽样时，对个体所编号码位数要相同，当问题所给位数不同时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数．
(2)用系统抽样法时，如果总体容量N能被样本容量n整除，抽样间隔为k＝；如果总体容量N不能被样本容量n整除，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为k＝(其中K＝N－多余个体数)．
(3)三种抽样方法的异同点
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同
从总体中逐个抽取
总体中的个体数较少
系统抽样
将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取
在起始部分抽样时，采用简单随机抽样
总体中的个体数较多
分层抽样
将总体分成几层，按各层个体数之比抽取
各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
2.关于用样本估计总体
(1)用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据进行列表、作图处理，作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方法步骤．
(2)茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有信息都可以从图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，便于记录和表示．
(3)平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据的波动程度．
3．变量间的相关关系
(1)除了函数关系这种确定性的关系外，还大量存在因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系——相关关系，对于一元线性相关关系，通过建立回归方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解，主要是作出散点图，写出回归方程．
(2)求回归方程的步骤：
①先把数据制成表，从表中计算出，，，iyi；
②计算回归系数，.公式为
③写出回归方程＝x＋.
题型一　抽样方法的运用
1．抽样方法有：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．
2．三种抽样方法比较
例1　(1)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为(　　)
A．6 B．8
C．10 D．12
(2)问题：①某小区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了了解有关家用轿车购买力的某个指标，要从中抽取一个容量为100的样本；②从10名学生中抽取3人参加座谈会．方法：(1)简单随机抽样；(2)系统抽样；(3)分层抽样．则问题与方法配对正确的是(　　)
A．①(1)，②(2) B．①(3)，②(2)
C．①(2)，②(3) D．①(3)，②(1)
答案　(1)B　(2)D
解析　(1)分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本．设从高二年级抽取的学生数为n，
则＝，得n＝8.
(2)问题①中的总体是由差异明显的几部分组成的，故可采用分层抽样方法；问题②中总体的个数较少，故可采用简单随机抽样．故匹配正确的是D.
跟踪训练1　某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为(　　)
A．11 B．12
C．13 D．14
答案　B
解析　抽样间隔为＝20.设在1,2，…，20中抽取号码x0(x0∈[1,20])．在[481,720]之间抽取的号码记为20k＋x0，则481≤20k＋x0≤720，k∈N＋.
所以24≤k＋≤36.
因为∈，所以k＝24,25,26，…，35，
所以k的值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.
题型二　用样本的频率分布估计总体分布
此类问题通常要对样本数据进行列表、作图处理．这类问题采取的图表主要有：条形图、直方图、茎叶图、频率折线图、扇形图等．它们的主要优点是直观，能够清楚表示总体的分布走势．除茎叶图外，其他几种图表法的缺点是原始数据信息有丢失．
例2　如图所示的是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为(　　)
A．20 B．30
C．40 D．50
答案　C
解析　前3组的频率之和等于1－(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.75，第2小组的频率是0.75×＝0.25，设样本容量为n，则＝0.25，则n＝40.故选C.
跟踪训练2　有1个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[12.5,15.5)，6；[15.5,18.5)，16；[18.5,21.5)，18；
[21.5,24.5)，22；[24.5,27.5)，20；[27.5,30.5)，10；
[30.5,33.5]，8.
(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计小于30的数据约占多大百分比．
解　(1)样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
累积频率
[12.5,15.5)
6
0.06
0.06
[15.5,18.5)
16
0.16
0.22
[18.5,21.5)
18
0.18
0.40
[21.5,24.5)
22
0.22
0.62
[24.5,27.5)
20
0.20
0.82
[27.5,30.5)
10
0.10
0.92
[30.5,33.5]
8
0.08
1.00
合　计
100
1.00
(2)频率分布直方图如图．
(3)小于30的数据约占90%.
题型三　用样本的数字特征估计总体的数字特征
为了从整体上更好地把握总体的规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体相应的数字特征作出估计．众数就是样本数据中出现次数最多的那个值；中位数就是把样本数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，处于中间位置的数，如果数据的个数是偶数，中间两个的数据的平均数；平均数就是所有样本数据的平均值，用表示；标准差是反映样本数据离散程度大小的最常用统计量，其计算公式是
s＝ .有时也用标准差的平方(s2－方差)来代表标准差．
例3　(1)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(单位：分)(　　)
A．91.5和91.5 B．91.5和92
C．91和91.5 D．92和92
(2)从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为(　　)
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A.3 B.
C．3 D.
答案　(1)A　(2)B
解析　(1)将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96(单位：分)．故平均数＝×(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5(分)，中位数为＝91.5(分)．故选A.
(2)∵＝＝3，
∴s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
＝(20×22＋10×12＋30×12＋10×22)
＝＝?s＝.
跟踪训练3　为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图．
(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；
(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1，2，估计1－2的值．
解　(1)设甲校高三年级学生总人数为n.
由题意，知＝0.05，解得n＝600.
样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格的人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－＝.
(2)设甲、乙两校样本平均数分别为，.
根据样本茎叶图知，30(－)＝30－30
＝2＋49－53－77＋2＋92
＝15.
因此－＝0.5，所以－的估计值为0.5分．
题型四　变量间的相关关系
1．分析两个变量间的相关关系时，我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘法求出回归方程．把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，构成的图叫做散点图．从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系．如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线称为回归直线，直线方程称为回归方程．
2．回归方程的应用
利用回归方程可以对总体进行预测，虽然得到的结果不是准确值，但我们是根据统计规律得到的，因而所得结果的正确率是最大的，所以可以大胆地利用回归方程进行预测．
例4　某地连续十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2006
2008
2010
2012
2014
需求量(万吨)
236
246
257
276
286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归方程＝x＋；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量．
解　(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归方程．为此对数据预处理如下：
年份－2010
－4
－2
0
2
4
需求量－257
－21
－11
0
19
29
对预处理后的数据，容易算得＝0，＝3.2，
＝
＝＝6.5，＝－＝3.2.
由上述计算结果，知所求回归方程为
－257＝ (x－2 010)＋＝6.5(x－2 010)＋3.2.
即＝6.5(x－2 010)＋260.2.①
(2)利用直线方程①，可预测2016年的粮食需求量为
6．5×(2 016－2 010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈299(万吨)．
跟踪训练4　理论预测某城市2020到2024年人口总数与年份的关系如下表所示：
年份202x(年)
0
1
2
3
4
人口数y(十万)
5
7
8
11
19
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)指出x与y是否线性相关；
(3)若x与y线性相关，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程＝b＋；
(4)据此估计2025年该城市人口总数．
(参数数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，02＋12＋22＋32＋42＝30)
解　(1)数据的散点图如图：
(2)由散点图可知，样本点基本上分布在一条直线附近，故x与y呈线性相关．
(3)由表知＝×(0＋1＋2＋3＋4)＝2，
＝×(5＋7＋8＋11＋19)＝10.
∴＝＝3.2，
＝－＝3.6，
∴回归方程为＝3.2x＋3.6.
(4)当x＝5时，＝19.6(十万)＝196万．
故2025年该城市人口总数约为196万．
题型五　数形结合思想
名称
数
形
结合
频率分布直方图
数据分组及频数：
[40,50)，2；
[50,60)，3；
[60,70)，10；
[70,80)，15；
[80,90)，12；
[90,100]，8
①可求众数：最高小长方形的中点所对应的数据；
②可求中位数：中位数左边和右边的直方图面积相等；
③可求平均数：每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和；
④可求落在各个区域内的频率
茎叶图
甲的数据：
95,81,75,89,71,65,76,
88,94；
乙的数据：
83,86,93,99,88,103,98,114,98
①茎是十位和百位数字，叶是个位数字；
②可以帮助分析样本数据的大致频率分布；
③可用来求数据的一些数字特征，如中位数、众数等
散点图
n个数据点(xi，yi)
可以判断两个变量之间有无相关关系
例5　甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次， 每次射靶成绩(单位：环)如下图所示．
(1)填写下表：
平均数
方差
中位数
命中9环及以上
甲
7
1.2
1
乙
5.4
3
(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：
①从平均数和方差结合分析偏离程度；
②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些；
④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力．
解　(1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.
所以乙＝(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7；乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位数是＝7.5；
甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7.
于是填充后的表格如下表所示：
平均数
方差
中位数
命中9环及以上
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
(2)①甲、乙的平均数相同，均为7，但s②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶环数的优秀次数比甲多．
③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好．
④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．
跟踪训练5　甲、乙两名同学在五次数学测试中的成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分别用X甲，X乙表示，则下列结论正确的是(　　)
A．X甲>X乙，甲比乙成绩稳定
B．X甲>X乙，乙比甲成绩稳定
C．X甲D．X甲答案　A
解析　由茎叶图知，X甲＝×(68＋69＋70＋71＋72)＝70，X乙＝×(63＋68＋69＋69＋71)＝68，∴X甲>X乙，且甲比乙成绩稳定．
1.对于频率分布直方图，要记住以下几点：(1)每个小矩形面积＝这组的频率；(2)所有小矩形面积的和为1；(3)纵轴表示的数为.
2．在研究两个变量是否存在某种关系时，必须从散点图入手，通过散点图，可以做出判断．
1．1　频率与概率
[学习目标]　1.了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性.2.正确理解概率的含义，理解频率与概率的区别与联系.3.会初步列举出重复试验的结果．
知识点一　必然事件、不可能事件与随机事件
事件类型
定义
必然事件
在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的必然事件，简称必然事件
不可能事件
在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件
确定事件
必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件
随机事件
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的随机事件，简称随机事件
事件
确定事件与随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C……表示
知识点二　随机事件的频率
1．随机试验
(1)试验可以在相同的条件下重复进行；
(2)试验的结果都明确可知，但不止一种；
(3)每次试验总是出现这些结果中的一种，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一种结果．
称这样的试验是一种随机试验，简称试验．
2．随机事件的频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
思考　两位同学在相同的条件下，都抛掷一枚硬币100次，得到正面向上的频率一定相同吗？
答　不一定相同．
知识点三　随机事件的概率
对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，则P(A)称为事件A的概率，简称为A的概率．
思考　频率和概率可以相等吗？
答　可以相等．但因为每次试验的频率是多少是不固定的，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的．
题型一　必然事件、不可能事件与随机事件的判断
例1　指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：
(1)中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军；
(2)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯；
(3)若x∈R，则x2＋1≥1；
(4)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意拿出一本，是漫画书．
解　(1)(2)中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件．
(3)中的事件一定会发生，所以是必然事件．
(4)小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件．
反思与感悟　要判断事件是何种事件，首先要看清条件，因为事件都是相对于一定条件而言的，然后看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
跟踪训练1　下列事件中的随机事件为(　　)
A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)c
B．没有水和空气，人也可以生存下去
C．抛掷一枚硬币，反面向上
D．在标准大气压下，温度达到60℃时水沸腾
答案　C
解析　A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件．在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件．抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件．在标准大气压的条件下，只有温度达到100℃，水才会沸腾，当温度是60℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．
题型二　试验与重复试验的结果分析
例2　下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果．
(1)抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集．
解　(1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．
反思与感悟　1.准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是求概率的基础．
2．在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．
跟踪训练2　袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．
(1)从中任取1球；(2)从中任取2球．
解　(1)条件为：从袋中任取1球．结果为：红、白、黄、黑4种．
(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种．
题型三　频率与概率的关系及求法
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据.
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”区域的频率
(1)计算并完成表格；
(2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？
(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？
解　(1)
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”区域的频率
0.68
0.74
0.68
0.69
0.705
0.701
(2)当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.
(3)获得铅笔的概率约是0.7.
反思与感悟　1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．
2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
跟踪训练3　一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5544
9607
13520
17190
男婴数m
2883
4970
6994
8892
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？
解　(1)计算即得男婴出生的频率依次约是0.5200,0.5173, 0.5173,0.5173.
(2)由于这些频率非常接近0.5173，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.5173.
设计程序框图
例4　一个袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球．从中先后取出2个球，共有多少种不同的结果？
分析　利用列举法将所有可能结果一一列举出来．
解　方法一　从袋中先后取出2个球，如记(红，白)表示从袋中先取出红球，再取出白球，则所有的结果为：
红
白
黄
黑
红
(红，白)
(红，黄)
(红，黑)
白
(白，红)
(白，黄)
(白，黑)
黄
(黄，红)
(黄，白)
(黄，黑)
黑
(黑，红)
(黑，白)
(黑，黄)
共有12种不同的结果．
方法二　如图．
共有12种不同的结果．
解后反思　(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件，比如题目中强调了“先后取出”，故与顺序有关．
(2)为将随机试验的所有可能结果一一列举出来，可利用画树状图、列表等方法解决．
1．下列事件：①明天下雨；②3＞2；③某国发射航天飞机成功；④x∈R，x2＋2＜0；⑤某商船航行中遭遇海盗；⑥任给x∈R，x＋2＝0.
其中随机事件的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　D
解析　①③⑤⑥是随机事件，②是必然事件，④是不可能事件．
2．从6名男生、2名女生中任选3人，则下列事件中，必然事件是(　　)
A．3人都是男生 B．至少有1名男生
C．3人都是女生 D．至少有1名女生
答案　B
解析　由于女生只有2人，而现在选择3人，故至少要有1名男生．
3．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的(　　)
A．概率为 B．频率为
C．频率为8 D．概率接近于8
答案　B
解析　做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为.如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率．故＝为事件A的频率．
4．一个家庭中先后有两个小孩，则他(她)们的性别情况可能为(　　)
A．男女、男男、女女 B．男女、女男
C．男男、男女、女男、女女 D．男男、女女
答案　C
解析　用列举法知C正确．
5．从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个．
①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．
其中必然事件是________，不可能事件是________，
随机事件是________．
答案　⑥　④　①②③⑤
解析　从100个产品(其中2个次品)中任取3个可能结果是：“三个全是正品”，“两个正品一个次品”，“一个正品两个次品”．
　1.辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
2．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．
3．写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．
1．2　生活中的概率
[学习目标]　1.通过实例，进一步理解概率的意义.2.会用概率的意义解释生活中的实例．
知识点一　对概率的正确理解
1．随机事件的发生都有随机性．例如，尽管每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都为0.5，但连续两次抛掷硬币的结果不一定恰好是正面朝上、反面朝上各一次，可以有三种可能的结果：“两次正面朝上”“两次反面朝上”“一次正面朝上，一次反面朝上”．
2．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性．认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．例如，做连续抛掷两枚硬币的试验1 000次，可以预测：“两枚正面朝上”大约出现250次；“两枚反面朝上”大约出现250次；“正面朝上、反面朝上各一枚”大约出现500次．
3．概率值表示每次试验中随机事件发生的可能性的大小，它反映的是一种规律，而不是试验总次数中某事件一定发生的比例．
思考　(1)随机事件A的概率P(A)能反映事件A发生的确切情况吗？
答　不能，只能反映事件A发生的可能性的大小．
(2)随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系？
答　随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定发生，概率小的事件一定不发生．
知识点二　生活中的概率
游戏的公平性
(1)裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的．
(2)在设计某种游戏规则时，一定要考虑“这种规则对每个人都是公平的”这一重要原则．
题型一　概率含义的正确理解　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，对此有人解释为其投篮100次一定有90次命中，10次不中，你认为这种解释正确吗？说说你的理由．
解　这种解释不正确．理由如下：
因为“投篮命中”是一个随机事件，90%是指“投篮命中”这个事件发生的概率．概率为90%的事件也可能不发生，所以这种解释不正确．
反思与感悟　1.概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
2．由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
3．正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
跟踪训练1　某种疾病治愈的概率是30%，有10个人来就诊，如果前7个人没有治愈，那么后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是30%?
解　不一定．如果把治疗一个病人当作一次试验，治愈的概率是30%，是指随着试验次数的增加，大约有30%的病人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的．因此，前7个病人没有治愈是有可能的，而对后3个病人而言，其结果仍是随机的，即有可能治愈，也有可能不能治愈．
题型二　概率的应用
例2　山东某家具厂为游泳比赛场馆生产观众座椅，质检人员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有5套次品，估计该厂所生产的2 500套座椅中大约有多少套次品？
解　设有n套次品，由概率的统计定义可知≈，解得n≈125.
所以该厂所生产的2 500套座椅中大约有125套次品．
反思与感悟　1.由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．
2．实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．
跟踪训练2　某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况，在校门口按系统抽样的方法：每2分钟随机抽取一名学生，登记佩带胸卡的学生的名字．结果在150名学生中有60名佩带胸卡．第二次检查，调查了初中部的所有学生，有500名学生佩带胸卡．据此估计该中学初中部共有多少名学生．
解　设初中部有n名学生，依题意得＝，解得n＝1 250.∴该中学初中部共有学生大约1 250名．
游戏公平性的判断
例3　下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和1个白球
1个黑球和1个白球
2个黑球和2个白球
取1个球，再取1个球
取1个球
取1个球，再取1个球
取出的两个球同色→甲胜
取出的球是黑球→甲胜
取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜
取出的球是白球→乙胜
取出的两个球不同色→乙胜
问其中不公平的游戏是(　　)
A．游戏1 B．游戏1和游戏3
C．游戏2 D．游戏3
错解　游戏1中取2个球的所有可能情况有：
(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)，所以甲胜的概率为，所以游戏1是不公平的．游戏2中，显然甲胜的可能性是0.5，游戏是公平的．游戏3中取2个球的所有可能情况有(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白1)，(黑2，白2)，(白1，白2)，所以甲胜的可能性为，所以游戏3是不公平的．
错解分析　分析解题过程，错误的根本原因是对试验发生的所有可能情况列举不全，从而导致结果错误．
自我矫正　D
1．下列说法正确的是(　　)
A．某事件发生的概率为P(A)＝1.1
B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
答案　B
解析　∵事件发生的概率0≤P(A)≤1，∴A错；小概率事件是指这个事件发生的可能性很小，几乎不发生，大概率事件发生的可能性较大，但并不是一定发生，∴C错；某事件发生的概率为一个常数，不随试验的次数变化而变化，∴D错；B正确．
2．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数可能为(　　)
A．160 B．7 840
C．7 998 D．7 800
答案　B
解析　次品率为2%，故次品约8 000×2%＝160(件)，故合格品的件数可能为7 840.
3．某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是(　　)
A．明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水
B．明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水
C．明天本地降水的可能性是80%
D．以上说法均不正确
答案　C
解析　选项A，B显然不正确，因为明天本地降水的概率为80%不是说有80%的区域降水，也不是说有80%的时间降水，而是指降水的可能性是80%.故选C.
4．给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是.
其中正确命题有________．
答案　④
解析　①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的．②③混淆了频率与概率的区别．④正确．
5．公元1053年，大元帅狄青奉旨率兵征讨侬智高，出征前狄青拿出100枚“宋元天宝”铜币，向众将士许愿：“如果钱币扔在地上，有字的一面会全部向上，那么这次出兵一定可以打败敌人！”在千军万马的注目之下，狄青用力将铜币向空中抛去，奇迹发生了：100枚铜币，枚枚有字的一面向上．顿时，全军欢呼雀跃，将士个个认为是神灵保佑，战争必胜无疑．事实上铜币有可能是________(填序号)．
①铜币两面均有字；
②铜币质量不均匀；
③神灵保佑；
④铜币质量均匀．
答案　①②
　1.概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个度量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大．
2．概率与频率的关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，频率则随试验次数的变化而变化，次数越多频率越接近其概率.

2．1　古典概型的特征和概率计算公式
[学习目标]　1.了解基本事件的特点.2.理解古典概型的定义.3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题．
知识点一　基本事件
1．基本事件的定义
试验的每一个可能结果称为基本事件，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件．
一次试验中只能出现一个基本事件．
如在掷一枚质地均匀的骰子试验中，出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个结果，这就是这一随机试验的6个基本事件．
2．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
如在掷一枚质地均匀的骰子试验中，随机事件“出现奇数点”可以由基本事件“出现1点”“出现3点”“出现5点”共同组成．
思考　“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件吗？
答　不是．“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上，两枚正面向上，所以不是基本事件．
知识点二　古典概型
1．古典概型的定义
(1)试验的所有可能结果只有有限个每次试验只出现其中的一个结果；
(2)每一个试验结果出现的可能性相同．
我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典模型(古典的概率模型)．
2．古典概型的特点
(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件．
(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是相等的．
3．古典概型的概率公式
对于任何事件A，P(A)＝.
思考　若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？
答　不是，还必须满足每一个试验结果出现的可能性相等．
题型一　基本事件的定义及特点
例1　一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个基本事件？
(2)2个都是白球包含几个基本事件？
解　方法一　(1)采用列举法．
分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个(其中(1,2)表示摸到1号、2号)．
(2)“2个都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三个基本事件．
方法二　(1)采用列表法．
设5个球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．
列表如下：
a
b
c
d
e
a
(a，b)
(a，c)
(a，d)
(a，e)
b
(b，a)
(b，c)
(b，d)
(b，e)
c
(c，a)
(c，b)
(c，d)
(c，e)
d
(d，a)
(d，b)
(d，c)
(d，e)
e
(e，a)
(e，b)
(e，c)
(e，d)
由于每次取2个球，因此每次所得的2个球不相同，而事件(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件．
(2)“2个都是白球”包含(a，b)，(b，c)，(c，a)三个基本事件．
反思与感悟　1.求基本事件的基本方法是列举法．
基本事件具有以下特点：(1)不可能再分为更小的随机事件；(2)两个基本事件不可能同时发生．
2．当基本事件个数较多时还可应用列表法或树形图法求解．
跟踪训练1　做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数．写出：
(1)试验的基本事件；　(2)事件“出现点数之和大于8”；
(3)事件“出现点数相等”；　(4)事件“出现点数之和等于7”．
解　(1)这个试验的基本事件共有36个，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．
(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)．
题型二　利用古典概型公式求概率
例2　从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：
(1)事件A＝{三个数字中不含1和5 }；
(2)事件B＝{三个数字中含1或5}．
解　这个试验的基本事件为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以基本事件总数n＝10.
(1)因为事件A＝{(2,3,4)}，
所以事件A包含的事件数m＝1.
所以P(A)＝＝.
(2)因为事件B＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，
所以事件B包含的基本事件数m＝9.
所以P(B)＝＝.
反思与感悟　1.古典概型概率求法步骤：
(1)确定等可能基本事件总数n；
(2)确定所求事件包含基本事件数m；
(3)P(A)＝.
2．使用古典概型概率公式应注意：(1)首先确定是否为古典概型；(2)事件A是什么，包含的基本事件有哪些．
跟踪训练2　抛掷两枚骰子，求：
(1)点数之和是4的倍数的概率；
(2)点数之和大于5小于10的概率．
解　如图，基本事件与所描点一一对应，共36种．
(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个，即(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)．
所以P(A)＝.
(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)．所以P(B)＝.
题型三　较复杂的古典概型的概率计算
例3　有A、B、C、D四位贵宾，应分别坐在a、b、c、d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐．
(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；
(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．
解　将A、B、C、D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：
如上图所示，本题中的等可能基本事件共有24个．
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A)＝.
(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B)＝＝.
(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C)＝＝.
跟踪训练3　用三种不同的颜色给如图所示的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色．
(1)求3个矩形颜色都相同的概率；
(2)求3个矩形颜色都不相同的概率；
(3)求3个矩形颜色不都相同的概率．
解　设3个矩形从左到右依次为矩形1、矩形2、矩形3.用三种不同的颜色给题目中所示的3个矩形随机涂色，可能的结果如图所示．
由图知基本事件共有27个．
(1)记“3个矩形颜色都相同”为事件A，由图，知事件A的基本事件有3个，故P(A)＝＝.
(2)记“3个矩形颜色都不相同”为事件B，由图，知事件B的基本事件有6个，故P(B)＝＝.
(3)记“3个矩形颜色不都相同”为事件C.
方法一　由图，知事件C的基本事件有24个，
故P(C)＝＝.
方法二　事件C与事件A互为对立事件，
故P(C)＝1－P(A)＝1－＝.
古典概型的应用
例4　(12分)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一所学校的概率．
审题指导　(1)要求2名教师性别相同的概率，应先写出所有可能的结果，可以采用列举法求解．
(2)要求选出的2名教师来自同一所学校的概率，应先求出2名教师来自同一所学校的基本事件．
规范解答　(1)甲校2名男教师分别用A，B表示，1名女教师用C表示；乙校1名男教师用D表示，2名女教师分别用E，F表示．………………………………………1分
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：
共9种．…………………………………………………3分
从中选出2名教师性别相同的结果有：
(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，………………5分
所以选出的2名教师性别相同的概率为P＝.……6分
(2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名的所有可能的结果为：
共15种．…………………………………………………8分
从中选出2名教师来自同一所学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种，……10分
1．抛掷一枚骰子，出现偶数的基本事件个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　因为抛掷一枚骰子出现数字的基本事件有6个，它们分别是1,2,3,4,5,6，故出现偶数的基本事件是3个．
2．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有：(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有：(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率P＝＝.
3．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，则这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　可看作分成两次抽取，第一次任取一张有5种方法，第二次从剩下的4张中再任取一张有4种方法，因为(B，C)与(C，B)是一样的，故试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是按字母顺序相邻的有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(D，E)4种，故两字母恰好是按字母顺序相邻的概率为P＝＝.
4．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为，故选C.
5．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是________．
答案　0.2
解析　两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，所以P＝＝0.2.
　1.古典概型是一种最基本的概型．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m、n.
2．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．
3．对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，再求所求概率．
2.2　建立概率模型
[学习目标]　1.根据需要会建立合理的概率模型，解决一些实际问题.2.理解概率模型的特点及应用．
知识点　古典概率模型
1．在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的，如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．
2．从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果越少，问题的解决就变得越简单．
3．在求古典概型的概率时，我们往往要列举基本事件，树状图法是进行列举的一种常用方法．
题型一　用树状图求概率
例1　 甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：
(1)甲在边上；
(2)甲和乙都在边上；
(3)甲和乙都不在边上．
解　利用树状图来列举基本事件，如图所示．
由树状图可看出共有24个基本事件．
(1)甲在边上有12种情形：
(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，
(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，
(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，(丙，乙，丁，甲)，
(丙，丁，乙，甲)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，乙，甲)．
故甲在边上的概率为P＝＝.
(2)甲和乙都在边上有4种情形：(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，故甲和乙都在边上的概率为P＝＝.
(3)甲和乙都不在边上，有4种情形：
(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙，丙)，(丁，乙，甲，丙)，故甲和乙都不在边上的概率为P＝＝.
反思与感悟　对于一些比较复杂的古典概型问题，一般可以通过分类，有序地把事件包含的情况分别罗列出来，从而清晰地找出满足条件的情况，在列举时一定要注意合理分类，才能做到不重不漏，结果明了，而树状图则是解决此类问题的较好方法．
跟踪训练1　甲、乙两同学下棋，胜一盘得2分，和一盘各得1分，负一盘得0分．连下三盘，得分多者为胜，求甲获胜的概率．
解　甲同学的胜负情况画树状图如下：
每盘棋都有胜、和、负三种情况，三盘棋共有3×3×3＝27种情况．设“甲获胜”为事件A，甲获胜的情况有：三盘都胜，得6分有1种情况，两胜一和得5分有3种情况，两胜一负得4分有3种情况，一胜两和得4分有3种情况，共10种情况．故甲获胜的概率为P(A)＝.
题型二　由列表法求概率
例2　某乒乓球队有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名，现要选一男一女两名运动员组成混合双打组合参加某项比赛，试列出全部可能的结果；若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？
解　由于男运动员从4人中任意选取，女运动员从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男运动员为A，B，C，D，女运动员为1,2,3，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果．如(A,1)表示：第一次随机选取从男运动员中选取的是男运动员A，从女运动员中选取的是女运动员1，可用列表法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件E.
　　　　女
　结果　　
男　　　　
1
2
3
A
(A,1)
(A,2)
(A,3)
B
(B,1)
(B,2)
(B,3)
C
(C,1)
(C,2)
(C,3)
D
(D,1)
(D,2)
(D,3)
由上表可知，可能的结果总数是12个．设女运动员1为国家一级运动员，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为P(E)＝＝.
反思与感悟　列表法的优点是准确、全面、不易漏掉，对于试验的结果不是太多的情况，都可以采用此方法．
跟踪训练2　在一次数学研究性实践活动中，兴趣小组做了两个均匀的正方体玩具，组长同时抛掷2个均匀的正方体玩具(各个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6)后，让小组成员求：
(1)两个正方体朝上一面数字相同的概率是多少？
(2)两个正方体朝上一面数字之积为偶数的概率是多少？
解　两个玩具正面向上的情况如下表：
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
(1)事件“两个正方体朝上一面数字相同的情况”只有6种，故它的概率是＝.
(2)事件“两个正方体朝上一面数字之积为偶数的情况”有27种，如表中有下划线的情况，即两个正方体朝上一面数字之积为偶数的概率为＝.
题型三　“有无放回”的古典概型
例3　从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
解　每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．
用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
因为事件A由4个基本事件组成，
所以P(A)＝＝.
反思与感悟　“有放回”与“不放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．
跟踪训练3　一个盒子里装有完全相同的四个小球，分别标上1,2,3,4这4个数字，今随机地抽取两个小球，如果：
(1)小球是不放回的；
(2)小球是有放回的．
求两个小球上的数字为相邻整数的概率．
解　设事件A：两个小球上的数字为相邻整数．
则事件A包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共6个．
(1)不放回取球时，基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共12种．
故P(A)＝＝.
(2)有放回取球时，基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16种．
故P(A)＝＝.
1．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　先确定甲不输包含的基本事件，再根据概率公式计算．事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为＋＝.
2．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由题意知，基本事件个数有12个，满足条件的基本事件就一个，故所求概率为P＝.
3．甲乙两人随意入住两间空房，则两人各住一间房的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　设两间房分别为A，B，则基本事件有(A，A)，(A，B)，(B，A)，(B，B)共计4种，则两人各住一间房包含(A，B)，(B，A)两个基本事件，故选C.
4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设Ω＝{(a，b)|a∈{1,2,3,4,5}，b∈{1,2,3}}，包含的基本事件总数n＝15，事件“b>a”为{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，包含的基本事件数m＝3.其概率P＝＝.
5．三张卡片上分别写上字母E，E，B.将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．
答案　
解析　三张卡片的排列方法有EEB，EBE，BEE共3种，则恰好排成英文单词BEE的概率为.
　1.建立概率模型的要求：把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的，它要求每次试验有一个并且只有一个基本事件出现．
2．建立概率模型的作用：一方面，对于同一个实际问题，我们有时可以通过建立不同的“模型”来解决，即“一题多解”，在这“多解”的方法中，再寻求较为“简捷”的解法；另一方面，我们又可以用同一种“模型”去解决很多“不同”的问题，即“多题一解”．
3．建立概率模型的一般原则：建立概率模型时，注意选择恰当的观察角度，把问题转化为易于解决的古典概型．
2．3　互斥事件
[学习目标]　1.理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型.2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用.3.正确理解互斥、对立事件的关系，并能正确区分判断．
知识点一　集合间的基本关系
描述关系
文字语言
符号语言
集合间的基本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A＝B
子集
A中任意一元素均为B中的元素
A?B或B?A
空集
空集是任何集合的子集
??B
知识点二　集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为?UA
图形表示
意义
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x?A}
知识点三　互斥事件与对立事件
定义
公式
互斥事件
在一个随机试验中，我们把一次试验下不可能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件.
(1)若A与B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；
(2)若A1，A2，…，An中任意两个事件互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
对立事件
事件“A不发生”称为A的对立事件，记作，对立事件也称为逆事件，在每一次试验中，相互对立的事件A与不会同时发生，并且一定有一个发生.
P()＝1－P(A)
给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．
思考　(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？
答　因为1为奇数，所以A?B.
(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？
答　①看两个事件是不是互斥事件；②看两个事件是否必有一个发生．若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是．
知识点四　概率的几个基本性质
1．概率的取值范围
(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率为1.
(3)不可能事件的概率为0.
2．互斥事件的概率加法公式
当事件A与事件B互斥时，A＋B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A＋B的频率fn(A＋B)＝fn(A)＋fn(B)，则概率的加法公式为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
3．对立事件的概率公式
若事件A与事件B互为对立事件，则A＋B为必然事件，P(A＋B)＝1.再由互斥事件的概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，得P(A)＝1－P(B)．
题型一　互斥事件、对立事件的概念
例1　从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
解　(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
反思与感悟　1.要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．
2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．
跟踪训练1　从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是(　　)
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有两个红球
答案　D
解析　根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件．
题型二　和事件的概念
例2　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
解　(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4＋C5＋C6.
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
反思与感悟　事件间运算方法：(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
跟踪训练2　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．则：
(1)事件D与事件A、B是什么样的运算关系？
(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？
解　(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A＋B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故C∩A＝A.
题型三　对立事件、互斥事件的概率
例3　同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．
解　方法一　设“至少有一个5点或6点”为事件A，同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
共有36种不同的结果，其中至少有一个5点或6点的结果有20个，
所以P(A)＝＝.
方法二　设“至少有一个5点或6点”为事件A，“至少有一个5点或6点”的对立事件是“既没有5点又没有6点”，记为.
如上表，“既没有5点又没有6点”的结果共有16个，
则“既没有5点又没有6点”的概率为P()＝＝.
所以“至少有一个5点或6点”的概率为P(A)＝1－P)＝1－＝.
反思与感悟　1.互斥事件的概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．
3．当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．
跟踪训练3　某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手一次射击中射中的环数低于7环的概率．
解　设“低于7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”，而事件“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥，
故P()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，
从而P(E)＝1－P()＝1－0.97＝0.03.
所以射中的环数低于7环的概率为0.03.
求复杂事件的概率
例4　玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”．已知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率；
(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率．
分析　事件A，B，C，D为互斥事件，A＋B与C＋D为对立事件，A＋B＋C与D为对立事件，因此可用两种方法求解．
解　方法一　(1)因为事件A，B，C，D彼此为互斥事件，
所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为
P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
方法二　(1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”，即A＋B的对立事件为C＋D，所以P(A＋B)＝1－P(C＋D)＝1－P(C)－P(D)＝1－－＝，
即“取出1个球为红球或黑球”的概率为.
(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”，即A＋B＋C的对立事件为D，
所以P(A＋B＋C)＝1－P(D)＝1－＝，
即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为.
解后反思　求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率，即P(A)＝1－P(B)(B是A的对立事件)．
1．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．其中正确命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　C
解析　对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A＋B＝A时，P(A＋B)＝P(A)，∴④错；只有事件A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错．
2．对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是(　　)
A．互斥不对立 B．对立不互斥
C．互斥且对立 D．不互斥、不对立
答案　C
解析　必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立．
3．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是(　　)
A．A?D B．B∩D＝?
C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D
答案　D
解析　“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件；“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D.
4．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a，b，c}的子集的概率是，则该子集恰是集合{a，b，c}的子集的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　该子集恰是{a，b，c}的子集的概率为P＝1－＝.
5．从几个数中任取实数x，若x∈(－∞，－1]的概率是0.3，x是负数的概率是0.5，则x∈(－1,0)的概率是________．
答案　0.2
解析　设“x∈(－∞，－1]”为事件A，“x是负数”为事件B，“x∈(－1,0)”为事件C，由题意知，A，C为互斥事件，B＝A＋C，∴P(B)＝P(A)＋P(C)，P(C)＝P(B)－P(A)＝0.5－0.3＝0.2.
　1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系．互斥未必对立，对立一定互斥．
2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
3．求复杂事件的概率通常有两种方法：
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．
一、选择题
1．已知P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A＋B)等于(　　)
A．0.3 B．0.2
C．0.1 D．不确定
答案　D
解析　由于不能确定A与B是否互斥，所以P(A∪B)的值不能确定．
2．若A、B是互斥事件，则(　　)
A．P(A＋B)<1 B．P(A＋B)＝1
C．P(A＋B)>1 D．P(A＋B)≤1
答案　D
解析　∵A、B是互斥事件，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)≤1.(当A、B是对立事件时，P(A＋B)＝1)．
3．某产品分甲、乙、丙三级，其中丙级为次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为(　　)
A．0.09 B．0.97
C．0.99 D．0.96
答案　C
解析　因为抽到次品的概率为0.01，所以抽到正品的概率是1－0.01＝0.99.
4．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)
A．“至少有1个白球”和“都是红球”
B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”
C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”
D．“至多有1个白球”和“都是红球”
答案　C
解析　该试验有三种结果：“恰有1个白球”、“恰有2个白球”、“没有白球”，故“恰有1个白球”和“恰有2个白球”是互斥事件且不是对立事件．
5．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是(　　)
A．① B．②④
C．③ D．①③
答案　C
解析　从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数．故选C.
6．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．其中错误命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　D
解析　对立事件首先是互斥事件，故①正确；只有互斥事件的和事件的概率才适合概率加法公式，故②不正确；概率加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，故③不正确；对立事件和的概率公式逆用不正确．比如在掷骰子试验中，设事件A＝{正面为奇数}，B＝{正面为1,2,3}，则P(A)＋P(B)＝1.而A，B不互斥，故④不正确．
7．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意知，表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝＝.
二、填空题
8．若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A＋B)＝0.7，则P(B)＝________.
答案　0.3
解析　因为A，B为互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．所以P(B)＝P(A＋B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.
9．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有________人．
答案　120
解析　可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－＝.再由题意，知n－n＝12，解得n＝120.
10．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．
答案　0.45
解析　由图可知，抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.
11．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为，则5点或6点至少出现一个的概率是________．
答案　
解析　记“既不出现5点也不出现6点”的事件为A，则P(A)＝，“5点或6点至少出现一个”的事件为B.
因为A∩B＝?，A＋B为必然事件，所以A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
故5点或6点至少出现一个的概率为.
三、解答题
12．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．
解　从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D显然是两两互斥的．
由题意，得
即
解得
故取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是.
13．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示．
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例
0.28
0.29
0.08
0.35
已知同种血型的人互相可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，则：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解　(1)对任一个人，其血型为A，B，AB，O的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
由于B，O型血可以输给B型血的人，
因此“可以输血给B型血的人”为事件B′＋D′，
根据互斥事件的概率加法公式，得：
P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，
因此“不能输血给B型血的人”为事件A′＋C′，
所以P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.

[学习目标]　1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系．
知识点一　几何概型的含义
1．几何概型的定义
向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1?G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝，则称这种模型为几何概型．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
思考　几何概型与古典概型有何区别？
答　几何概型与古典概型的异同点
异同　
类型　
古典概型
几何概型
不同点(基本事件的个数)
一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有有限个
一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个
相同点(基本事件发生的等可能性)
每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小相等
知识点二　几何概型的概率公式
P(A)＝.
思考　计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？
答　首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．
题型一　与长度有关的几何概型
例1　取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？
解　如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.
把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中间一段的长度为1 m，所以事件A发生的概率为P(A)＝.
反思与感悟　在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找区域d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．
跟踪训练1　平面上画了一组彼此平行且相距2a的平行线．把一枚半径r＜a的硬币任意投掷在平行线之间，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．
解　设“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A.
如图，在两条相邻平行线间画出与平行线间距为r的两条平行虚线，则当硬币中心落在两条虚线间时，与平行线不相碰．
故P(A)＝＝＝.
题型二　与面积有关的几何概型
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　如图，射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？
解　记“射中黄心”为事件B.
因为中靶点随机地落在面积为cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为cm2的黄心内时，事件B发生，
所以事件B发生的概率P(B)＝＝0.01.
反思与感悟　解此类几何概型问题的关键：
(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．
跟踪训练2　一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．
解　如图所示，区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形．
图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．
由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2)．
所以P(A)＝＝≈0.31.
即海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率约为0.31.
题型三　与体积有关的几何概型
例3　已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于的概率．
解　如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA，SB，SC的中点，则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于.
设△ABC的面积为S，由△ABC∽△A1B1C1，且相似比为2，得△A1B1C1的面积为.
由题意，知区域D(三棱锥S－ABC)的体积为Sh，
区域d(三棱台ABC－A1B1C1)的体积为Sh－··＝Sh·.
所以点M到底面的距离小于的概率P＝.
反思与感悟　如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积．其概率的计算公式为
P(A)＝.
跟踪训练3　一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．
解　依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P＝＝.
题型四　与角度有关的几何概型
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例4　如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率．
解　以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件．
于是，记事件B＝{射线OA落在∠xOT内}．
因为∠xOT＝60°，所以P(B)＝＝.
反思与感悟　当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．
跟踪训练4　如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM＜AC的概率．
解　因为CM是∠ACB内部的任意一条射线，而总的基本事件是∠ACB的大小，即为90°，
所以作AC′＝AC，且∠ACC′＝＝67.5°.
如图，当CM在∠ACC′内部的任意一个位置时，皆有AM＜AC′＝AC，即P(AM＜AC)＝＝.

转化与化归思想
例5　把长度为a的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率．
分析　将长度为a的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可．
解　设将长度为a的木棒任意折成三段的长分别为x，y，a－x－y，则(x，y)满足的条件为它所构成的区域为图中的△AOB.
设事件M＝{能构成一个三角形}，
则当(x，y)满足下列条件时，事件M发生．
即
它所构成的区域为图中的阴影部分，
故P(M)＝＝＝.
故满足条件的概率为.
解后反思　解决本题的关键是将之转化为与面积有关的几何概型问题．一般地，有一个变量可以转化为与长度有关的几何概型，有两个变量可以转化为与面积有关的几何概型，有三个变量可以转化为与体积有关的几何概型.
1．在区间[0,3]上任取一个数，则此数不大于2的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　此数不大于2的概率P＝＝.
2．在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|＞1的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　问题相当于在以O为球心，1为半径的球外，且在以O为球心，2为半径的球内任取一点，
所以P＝＝.
3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影区域的面积是(　　)
A. B.
C. D．无法计算
答案　C
解析　在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A，则事件A构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P(A)＝＝＝，解得S＝.
4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P＝＝.
5．在1 000 mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________．
答案　
解析　由几何概型知，P＝.
　1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．
2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．
3．注意理解几何概型与古典概型的区别．
4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为
P(A)＝.

[学习目标]　1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系．
知识点一　几何概型的含义
1．几何概型的定义
向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1?G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝，则称这种模型为几何概型．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
思考　几何概型与古典概型有何区别？
答　几何概型与古典概型的异同点
异同　
类型　
古典概型
几何概型
不同点(基本事件的个数)
一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有有限个
一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个
相同点(基本事件发生的等可能性)
每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小相等
知识点二　几何概型的概率公式
P(A)＝.
思考　计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？
答　首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．
题型一　与长度有关的几何概型
例1　取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？
解　如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.
把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中间一段的长度为1 m，所以事件A发生的概率为P(A)＝.
反思与感悟　在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找区域d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．
跟踪训练1　某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　如图所示，画出时间轴：
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝，故选B.
题型二　与面积有关的几何概型
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　如图，射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？
解　记“射中黄心”为事件B.
因为中靶点随机地落在面积为cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为cm2的黄心内时，事件B发生，
所以事件B发生的概率P(B)＝＝0.01.
反思与感悟　解此类几何概型问题的关键：
(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．
跟踪训练2　一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．
解　如图所示，区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形．
图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．
由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2)．
所以P(A)＝＝≈0.31.
即海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率约为0.31.
题型三　与体积有关的几何概型
例3　已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于的概率．
解　如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA，SB，SC的中点，则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于.
设△ABC的面积为S，由△ABC∽△A1B1C1，且相似比为2，得△A1B1C1的面积为.
由题意，知区域D(三棱锥S－ABC)的体积为Sh，
区域d(三棱台ABC－A1B1C1)的体积为Sh－··＝Sh·.
所以点M到底面的距离小于的概率P＝.
反思与感悟　如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积．其概率的计算公式为
P(A)＝.
跟踪训练3　一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．
解　依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P＝＝.
题型四　与角度有关的几何概型
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例4　如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率．
解　以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件．
于是，记事件B＝{射线OA落在∠xOT内}．
因为∠xOT＝60°，所以P(B)＝＝.
反思与感悟　当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．
跟踪训练4　如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM＜AC的概率．
解　因为CM是∠ACB内部的任意一条射线，而总的基本事件是∠ACB的大小，即为90°，
所以作AC′＝AC，且∠ACC′＝＝67.5°.
如图，当CM在∠ACC′内部的任意一个位置时，皆有AM＜AC′＝AC，即P(AM＜AC)＝＝.

转化与化归思想
例5　把长度为a的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率．
分析　将长度为a的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可．
解　设将长度为a的木棒任意折成三段的长分别为x，y，a－x－y，则(x，y)满足的条件为它所构成的区域为图中的△AOB.
设事件M＝{能构成一个三角形}，
则当(x，y)满足下列条件时，事件M发生．
即
它所构成的区域为图中的阴影部分，
故P(M)＝＝＝.
故满足条件的概率为.
解后反思　解决本题的关键是将之转化为与面积有关的几何概型问题．一般地，有一个变量可以转化为与长度有关的几何概型，有两个变量可以转化为与面积有关的几何概型，有三个变量可以转化为与体积有关的几何概型.
1．在区间[0,3]上任取一个数，则此数不大于2的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　此数不大于2的概率P＝＝.
2．在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|＞1的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　问题相当于在以O为球心，1为半径的球外，且在以O为球心，2为半径的球内任取一点，
所以P＝＝.
3．从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意得：(xi，yi)(i＝1，2，…，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知＝，∴π＝，故选C.
4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P＝＝.
5．在1 000 mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________．
答案　
解析　由几何概型知，P＝.
　1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．
2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．
3．注意理解几何概型与古典概型的区别．
4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为
P(A)＝.

1．本章涉及的概念比较多，要真正理解它们的实质，搞清它们的区别与联系．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，要进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别．
2．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定事件彼此是否互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．求较复杂的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()(事件A与互为对立事件)求解．
3．对于古典概型概率的计算，关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A)＝求出概率．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏．
4．对于几何概型事件概率的计算，关键是求得事件A所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式求解．
5．学习本章的过程中，要重视教材的基础作用，重视过程的学习，重视基本数学思想和数学方法的形成和发展，注意培养分析问题和解决问题的能力．
题型一　随机事件的概率
1．有关事件的概念
(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的必然事件，简称必然事件．
(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件．
(3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．
(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的随机事件，简称随机事件．
(5)事件的表示方法：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．
2．对于概率的定义应注意以下几点
(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验．
(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫作事件A的概率．
(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值．
(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小．
(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.
例1　对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品频率
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘？
解　(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2000，因为x是正整数，
所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘．
跟踪训练1　某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心
次数m
8
19
44
92
178
455
(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
解　(1)由题意得，击中靶心的频率分别为0.8,0.95，0.88，0.92,0.89,0.91，当射击次数越来越多时，击中靶心的频率在0.9附近摆动，故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)．
(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定．
(4)不一定．
题型二　古典概型及其应用
古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点，即有限性和等可能性．另外，在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有基本事件一一列举出来，以便确定基本事件总数及事件所包含的基本事件数．这就是我们常说的穷举法．在列举时应注意按一定的规律、标准，不重不漏．
例2　海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解　(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本包含三个地区的个体数量分别是
50×＝1,150×＝3,100×＝2.
所以这6件样品中来自A，B，C三个地区的数量分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2，
则从这6件样品中抽取的2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝，
即这2件商品来自相同地区的概率为.
跟踪训练2　甲、乙、丙3个盒中分别装有大小相等、形状相同的卡片若干张．甲盒中装有2张卡片，分别写有字母A和B；乙盒中装有3张卡片，分别写有字母C，D和E；丙盒中装有2张卡片，分别写有字母H和I.现要从3个盒中各随机取出1张卡片，求：
(1)取出的3张卡片中恰好有1张、2张、3张写有元音字母的概率各是多少？
(2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率．
解　根据题意画出如图所示的树状图．
由树状图可以得到，所有可能出现的基本事件有12个，它们出现的可能性相等．
(1)只有1个元音字母的结果有5个，
所以P(1个元音字母)＝；
有2个元音字母的结果有4个，
所以P(2个元音字母)＝＝；
有3个元音字母的结果有1个，
所以P(3个元音字母)＝.
(2)全是辅音字母的结果有2个，
所以P(3个辅音字母)＝＝.
题型三　互斥事件与对立事件
1．对互斥事件与对立事件的概念的理解
(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．
(2)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝?，则两事件是互斥的，此时A＋B的概率就可用概率加法公式来求，即为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A∩B≠?，则可考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式．
(3)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝?，A＋B＝U，则两事件是对立的，此时A＋B就是必然事件，可由P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1来求解P(A)或P(B)．
2．互斥事件概率的求法
(1)若A1，A2，…，An互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
(2)利用这一公式求概率的步骤：①要确定这些事件彼此互斥；②先求出这些事件分别发生的概率，再求和．值得注意的是：①是公式的使用条件，如不符合，是不能运用互斥事件的概率加法公式的．
3．对立事件概率的求法
P(Ω)＝P(A＋)＝P(A)＋P()＝1，由公式可得P(A)＝1－P()(这里是A的对立事件，Ω为必然事件)．
4．互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂的概率问题转化为较为简单的概率或转化为其对立事件的概率求解．
例3　某人在如图所示的直角边长为4m的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X(单位：株)之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1m.
(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量，
Y
51
48
45
42
频数
4
(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．
解　(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为
＝
＝＝46.
(2)由(1)，知P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.
跟踪训练3　向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.2，炸中第二个军火库的概率为0.12，炸中第三个军火库的概率为0.28，三个军火库中，只要炸中一个另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．
解　设A、B、C分别表示炸弹炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件，事件D表示军火库爆炸，已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.12，P(C)＝0.28.又因为只投掷了一枚炸弹，故不可能炸中两个及以上军火库，所以A、B、C是互斥事件，且D＝A＋B＋C，所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.12＋0.28＝0.6，即军火库发生爆炸的概率为0.6.
题型四　几何概型及其应用
若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特点，则此试验为几何概型．由于其结果的无限性，概率就不能应用P(A)＝求解，故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．
几何概型同古典概型一样，是概率中最具代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例4　节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4s内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4s为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2s的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x，y，则0≤x≤4,0≤y≤4，而事件A“它们第一次闪亮的时刻相差不超过2s”，即|x－y|≤2，其表示的区域为如图所示的阴影部分．
由几何概型概率公式，得P(A)＝＝.
跟踪训练4　如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为(　　)
A.B.C.D.
答案　C
解析　设阴影小正方形边长为x，则在直角三角形中有22＋(x＋2)2＝()2，解得x＝1或x＝－5(舍)，∴阴影部分面积为1，∴飞镖落在阴影部分的概率为.
　1.关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题：
(1)试验结果是否有限且是等可能的；
(2)试验的基本事件有多少个；
(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件．
只有回答好了这三方面的问题，解题才不会出错．
2．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件A1，A2，A3，…，An彼此互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
3．几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．

[学习目标]　1.通过几个具体问题的求解过程，体会算法的基本思想.2.了解算法的含义和特征.3.会用自然语言描述简单的具体问题的算法．
知识点一　算法的含义及特征
1．算法的概念
在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作的或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法．
2．算法的特征
(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限的操作之后停止，不能是无限的．
(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当模棱两可．
(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题．
(4)不唯一性：求解某一问题的解法不一定是唯一的，对于同一个问题可以有不同的算法．
(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决．
3．算法与计算机
计算机解决任何问题都要依赖于算法．只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．
知识点二　算法的设计
1．设计算法的目的
设计算法的目的实际上是寻求一类问题的算法，它可以通过计算机来完成．设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到让计算机执行的目的．
2．设计算法的要求
(1)写出的算法必须能解决一类问题．
(2)要使算法尽量简单、步骤尽量少．
(3)要保证算法步骤有效，且计算机能够执行．
思考　一次青青草原园长包包大人带着灰太狼、懒羊羊和一捆青草过河．河边只有一条船，由于船太小，只能装下两样东西．在无人看管的情况下，灰太狼要吃懒羊羊，懒羊羊要吃青草，请问包包大人如何才能带着他们平安过河？
答　包包大人采取的过河的算法可以是
第一步，包包大人带懒羊羊过河；
第二步，包包大人自己返回；
第三步，包包大人带青草过河；
第四步，包包大人带懒羊羊返回；
第五步，包包大人带灰太狼过河；
第六步，包包大人自己返回；
第七步，包包大人带懒羊羊过河．
题型一　算法的概念
例1　下列关于算法的说法，正确的个数有(　　)
①求解某一类问题的算法是唯一的；
②算法必须在有限步操作之后停止；
③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；
④算法执行后一定产生确定的结果．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　由于算法具有有限性、确定性等特点，因而②③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，从而①错．
反思与感悟　算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或某一类问题，在用算法解决问题时，体现了特殊与一般的数学思想．
跟踪训练1　下列说法中是算法的有________(填序号)．
①从上海到拉萨旅游，先坐飞机，再坐客车；
②解一元一次不等式的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1；
③求以A(1,1)，B(－1，－2)两点为端点的线段AB的中垂线方程，可先求出AB中点坐标，再求kAB及中垂线的斜率，最后用点斜式方程求得线段AB的中垂线方程；
④求1×2×3×4的值，先计算1×2＝2，再计算2×3＝6,6×4＝24，得最终结果为24；
⑤x＞2x＋4.
答案　①②③④
解析　①说明了从上海到拉萨的行程安排．
②给出了解一元一次不等式这类问题的解法．
③给出了求线段的中垂线的方法及步骤．
④给出了求1×2×3×4的值的过程并得出结果．
故①②③④都是算法．
题型二　算法的设计
例2　所谓正整数p为素数是指：p的所有约数只有1和p.例如，35不是素数，因为35的约数除了1,35外，还有5与7；29是素数，因为29的约数就只有1和29.试设计一个能够判断一个任意正整数n(n＞1)是否为素数的算法．
解　算法如下：
第一步，给出任意一个正整数n(n＞1)．
第二步，若n＝2，则输出“2是素数”，判断结束．
第三步，令m＝1.
第四步，将m的值增加1，仍用m表示．
第五步，如果m≥n，则输出“n是素数”，判断结束．
第六步，判断m能否整除n，
①如果能整除，则输出“n不是素数”，判断结束；
②如果不能整除，则转第四步．
反思与感悟　设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：
(1)认真分析问题，找出解决该问题的一般数学方法；
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；
(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．
跟踪训练2　判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？
解　第一步，给定大于2的整数n.
第二步，令i＝2.
第三步，用i除n，得到余数r.
第四步，判断“r＝0”是否成立．若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示．
第五步，判断“i>n－1”是否成立．若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步．
题型三　算法的应用
例3　一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平(无砝码)将假银元找出来吗？
解　方法一　算法如下．
第一步，任取2枚银元分别放在天平的两边，若天平左、右不平衡，则轻的一枚就是假银元，若天平平衡，则进行第二步．
第二步，取下右边的银元放在一边，然后把剩下的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元．
方法二　算法如下．
第一步，把9枚银元平均分成3组，每组3枚．
第二步，先将其中两组放在天平的两边，若天平不平衡，则假银元就在轻的那一组；否则假银元在未称量的那一组．
第三步，取出含假银元的那一组，从中任取2枚银元放在天平左、右两边称量，若天平不平衡，则假银元在轻的那一边；若天平平衡，则未称量的那一枚是假银元．
反思与感悟　对于查找、变量代换、文字处理等非数值型计算问题，设计算法时，首先建立过程模型，然后根据过程设计步骤，完成算法．
跟踪训练3　“韩信点兵”问题：韩信是汉高祖手下的大将，他英勇善战，谋略超群，为汉朝的建立立下了不朽功勋．据说他在一次点兵的时候，为保住军事秘密，不让敌人知道自己部队的军事实力，采用下述点兵方法：①先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2；②又令士兵从1～5报数，结果最后一个士兵报3；③又令士兵从1～7报数，结果最后一个士兵报4.这样韩信很快算出自己部队里士兵的总数．请设计一个算法，求出士兵至少有多少人．
解　第一步，首先确定最小的满足除以3余2的正整数：2；
第二步，依次加3就得到所有除以3余2的正整数：2,5,8,11,14,17,20，…
第三步，在上列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：8.
第四步，然后在自然数内，在8的基础上依次加上15的倍数，得到8,23,38,53，….
第五步，在上列数中确定最小的满足除以7余4的正整数应为53.
对算法的含义及特征的理解
例4　计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是________________．
(1)S＝1＋2＋3＋…＋100；
(2)S＝1＋2＋3＋…＋100＋…；
(3)S＝1＋2＋3＋…＋n(n∈N*)．
错解　算法是为解决某一类问题而设计的一系列操作或可计算的步骤，也就是说在实际的算法中的值是具体的，因此(1)正确；而(3)中的值不具体，错误；对于(2)显然不符合算法的有限性，故只有(1)正确．
错解分析　错识的根本原因在于对算法的理解不透彻．
自我矫正　算法是为解决某一类问题而设计的一系列操作或可计算的步骤，也就是说在实际的算法中n的值是具体确定的，因此(1)(3)是正确的，而算法又是具有有限性的，即执行有限步操作后一定能解决问题，而(2)显然不符合算法的有限性，所以(2)不正确．
答案　(1)(3)
1．下列关于算法的说法中正确的是(　　)
A．算法是某个具体的解题过程
B．算法执行后可以不产生确定的结果
C．解决某类问题的算法不是唯一的
D．算法可以无限地操作下去不停止
答案　C
解析　算法与一般意义上具体问题的解法，既有区别，又有联系，算法的获得要借助一类问题的求解方法，而这一类具体问题都可以用这种方法来解决，因此A不对；算法中的每一步都应该是确定的，并且能有效执行，得到确定的结果，而不能含糊其辞或有歧义，所以B不正确；算法的操作步骤必须是有限的，必须在有限的步骤内完成，因此D不对；算法具有不唯一性，C正确．
2．下列四种自然语言叙述中，能称为算法的是(　　)
A．在家里一般是妈妈做饭
B．做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤
C．在野外做饭叫野炊
D．做饭必须要有米
答案　B
解析　算法是做一件事情或解决一个问题等的程序或步骤，故选B.
3．在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是(　　)
A．这个算法可以求所有的零点
B．这个算法可以求任何方程的零点
C．这个算法能求所有零点的近似解
D．这个算法可以求变号零点近似解
答案　D
解析　二分法的理论依据是函数的零点存在定理．它解决的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值．
4．已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：
(1)计算c＝；
(2)输入直角三角形两直角边长a，b的值；
(3)输出斜边长c的值．
其中正确的顺序是________．
答案　(2)(1)(3)
解析　算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算．
5．下面是解决一个问题的算法：
第一步：输入x.
第二步：若x≥4，转到第三步；否则转到第四步．
第三步：输出2x－1.
第四步：输出x2－2x＋3.
当输入x的值为________时，输出的数值最小值为________．
答案　1　2
解析　所给算法解决的问题是求分段函数f(x)＝的函数值问题，当x≥4时，f(x)＝2x－1≥2×4－1＝7；
当x＜4时，f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以f(x)min＝2，此时x＝1.即输入x的值为1时，输出的数值最小，最小值为2.
1.算法的特点：有限性、确定性、顺序性与正确性、不唯一性、普遍性．
2．算法设计的要求：
(1)写出的算法必须能够解决一类问题，并且能够重复使用．
(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少．
(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，在有限步后能得到结果．

2．1　顺序结构与选择结构
[学习目标]　1.掌握算法框图中的两种算法结构——顺序结构、选择结构及其特点.2.通过具体的实例体会用算法框图表示算法的优点.3.会用算法框图表示简单的算法．
知识点一　算法框图
1．算法框图
在算法设计中，算法框图(也叫算法框图)可以准确、清晰、直观地表达解决问题的思路和步骤．
2．基本框图及其表示的功能
图形符号
名称
功能
终端框(起止框)
表示一个算法的起始和结束
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息
处理框
赋值、计算
判断框
判断某一条件是否成立
3.画算法框图的规则
(1)使用标准的框图符号．
(2)框图一般按从上到下，从左到右的方向画．
(3)除判断框外，其他框图符号只有一个进入点和一个退出点．判断框是具有超过一个退出点的唯一符号．
(4)一种判断框是二选一形式的判断，有且仅有两个可能结果；另一种是多分支判断，可能有几种不同的结果．
(5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚．
知识点二　顺序结构与选择结构
1．顺序结构：按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构．顺序结构是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构．
2．选择结构：在算法的流程中，需要对条件进行判断，判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称作选择结构．
题型一　算法框图的认识和理解
例1　下列关于算法框图中图形符号的理解正确的有(　　)
①任何一个流程图必须有起止框；
②输入框只能放在开始框后，输出框只能放在结束框前；
③判断框是唯一的具有超过一个退出点的图形符号；
④对于一个算法框图来说，判断框内的条件是唯一的．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案　B
解析　①任何一个算法必须有开始和结束，从而流程图必须有起止框，正确．②输入、输出框可以用在算法中任何需要输入、输出的位置，错误．③正确．④判断框内的条件不是唯一的，错误．故选B.
反思与感悟　(1)理解算法框图中各框图的功能是解此类题的关键，用算法框图表示算法更直观、清晰、易懂；
(2)起止框用“”表示，是任何流程不可少的，表明程序的开始和结束；
(3)输入、输出框用“”表示，可用在算法中任何需要输入、输出的位置，需要输入的字母、符号、数据都填在框内；
(4)处理框用“”表示，算法中处理数据需要的算式、公式等可以分别写在不同的用以处理数据的处理框内，另外，对变量进行赋值时，也用到处理框；
(5)判断框用“”表示，是唯一具有超过一个退出点的图形符号．
跟踪训练1　下列说法正确的是(　　)
A．算法框图中的图形符号可以由个人来确定
B.也可以用来执行计算语句
C．算法框图中可以没有输出框，但必须要有输入框
D．用算法框图表达算法，其优点是算法的基本逻辑结构展现得非常直接
答案　D
解析　一个完整的算法框图至少要有起止框和输入、输出框，输入、输出框只能用来输入、输出，不能用来执行计算．故选D.
题型二　利用顺序结构表示算法
例2　已知f(x)＝x2－1，求f(2)，f(－3)，f(3)，并计算f(2)＋f(－3)＋f(3)的值，设计出解决该问题的一个算法，并画出算法框图．
解　算法　第一步：x＝2.
第二步：y1＝x2－1.
第三步：x＝－3.
第四步：y2＝x2－1.
第五步：x＝3.
第六步：y3＝x2－1.
第七步：y＝y1＋y2＋y3.
第八步：输出y1，y2，y3，y.
算法框图：
跟踪训练2　利用梯形的面积公式计算上底为2，下底为4，高为5的梯形面积，设计出该问题的算法及算法框图．
解　算法如下：
第一步，a＝2，b＝4，h＝5.
第二步，S＝(a＋b)h.
第三步，输出S.
该算法的算法框图如图所示：
题型三　简单选择结构的设计
例3　求过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率．设计该问题的算法并画出算法框图．
解　算法如下：
1．输入x1，y1，x2，y2.
2．如果x1＝x2，输出“斜率不存在”；
否则，k＝.
3．输出k.
算法框图如下图所示．
跟踪训练3　设计求一个数的绝对值的算法并画出算法框图．
解　算法如下：
1．输入实数x.
2．若x≥0，则y＝x；若x<0，则y＝－x.
3．输出y.
算法框图如下：
设计算法框图
例4　设计算法框图，求半径为10的圆的面积．
错解　算法框图如图：
错解分析　错误的根本原因在于算法框图中缺少终端框，不是完整的，因漏掉终端框而致误．
自我矫正　算法框图如图：
1．任何一种算法都离不开的基本结构为(　　)
A．逻辑结构
B．选择结构
C．循环结构
D．顺序结构
答案　D
2．下列图形符号属于判断框的是(　　)
A　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D
答案　C
解析　判断框用菱形表示．
3．算法框图符号“”可用于(　　)
A．输出a＝10
B．赋值a＝10
C．判断a＝10
D．输入a＝1
答案　B
解析　图形符号“”是处理框，它的功能是赋值、计算，不是输入、输出框和判断框，故选B.
4．如图所示的算法框图，其功能是(　　)
A．输入a，b的值，按从小到大的顺序输出它们的值
B．输入a，b的值，按从大到小的顺序输出它们的值
C．求a，b的最大值
D．求a，b的最小值
答案　C
解析　输入a＝1，b＝2，运行算法框图可得输出2.根据执行过程可知该算法框图的功能是输入a，b的值，输出它们的最大值，即求a，b的最大值.
5．阅读如图所示的算法框图，写出它表示的函数是________．
答案　y＝
解析　由算法框图知，当x＞3时，y＝2x－8；当x≤3时，y＝x2，故本题框图的功能是输入x的值，求分段函数y＝的函数值．
1.顺序结构描述的是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．
2．对需要按给定的条件进行分析、比较和判断，并按判断的不同情况进行不同的操作的问题，设计算法时就要用到选择结构．
3．选择结构要先根据指定的条件进行判断，再由判断的结果决定选取执行两条分支路径中的某一条．
2.2　变量与赋值
[学习目标]　1.掌握赋值语句的概念及表示形式.2.会用变量和赋值语句将具体问题的框图转化为算法语句.3.体会变量与赋值语句在算法中的重要作用．
知识点一　常量与变量的概念
1．在算法过程中，其值不能被改变的量称为常量．
2．在研究问题的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，变量的名称一般要用一个或几个英文字母组成，或一个或几个英文字母后面跟着一个数字组成．
知识点二　赋值语句
1．赋值语句和算法框图中表示赋值的处理框对应，用来给变量赋值．
2．赋值语句的格式及功能
赋值语句
变量＝表达式
将表达式所代表的值赋给变量，一般先计算“＝”右边表达式的值，然后把这个值赋给“＝”左边的变量
思考　赋值号与等号的区别是什么？
答　(1)赋值号与等号意义不同，若把“＝”看作等号，则N＝N＋1不成立，若看作赋值号，则成立．
(2)赋值号两边内容不能对调．
(3)虽然赋值语句具有计算和赋值双重功能，但不能利用它进行代数式的演算．
题型一　赋值语句的判断
例1　判断下列赋值语句是否正确：
(1)1＝m；(2)x－y＝3；(3)A＝B＝2；(4)N＝M.
解　由赋值语句中的“＝”左边是变量，右边是表达式知(1)(2)错误；由赋值语句只能给一个变量赋值，不能出现两个或多个“＝”知(3)错误；(4)是正确的．故(1)错误；(2)错误；(3)错误；(4)正确．
反思与感悟　1.赋值语句的格式：变量＝表达式，先计算右边表达式的值，然后把这个值赋给“＝”左边的变量．
2．赋值号左边只能是变量名称，如：X＋Y＝3是不正确的，3＝X也是不正确的．
3．在一个赋值语句中，不能出现两个或多个“＝”．
跟踪训练1　下列赋值语句中正确的是(　　)
A．4＝M B．x＋y＝10
C．A＝B＝2 D．N＝N2
答案　D
题型二　赋值语句的应用
例2　(1)下列给出的赋值语句正确的有________个．
①x＝2*y+z;②x=3; ③x+y=7;④y=3.14*4
(2)下列程序的运行结果为________.
x＝1
x＝x*2
x＝x*3
x＝x*4
输出　x*5
答案　(1)3　(2)120
解析　(1)赋值语句的格式是：变量＝表达式，故①②④正确，③错误．
(2)由赋值语句的特点，可知结果为1×2×3×4×5，故答案为120.
反思与感悟　赋值号与数学中的等号的意义是不完全相同的，是以赋值号右边表达式的值代替该变量的原值，即将原值“冲掉”．如：N＝N＋1，是将N的原值加1再赋给N.
跟踪训练2　设计一种算法，从5个不同的数中找出最大数，并用框图描述这个算法．
解　设这5个不同的数分别为：a1，a2，a3，a4，a5；
1．b＝a1；
2．比较b与a2，如果b3．比较b与a3，如果b4．比较b与a4，如果b5．比较b与a5，如果b6．输出b，b就是这5个数中的最大数．
算法框图如下：
1．在输入语句中，如果同时输入多个变量，变量之间的分隔符是(　　)
A．逗号 B．分号
C．空格 D．引号
答案　A
解析　输入语句中同时输入多个变量时，变量间要用“，”隔开．
2．赋值语句M＝M＋3表示的意义是(　　)
A．将M的值赋给M＋3
B．将M的值加3后再赋给M
C．M和M＋3的值相等
D．以上说法都不对
答案　B
解析　赋值语句是将“＝”右边的一个确定值赋给它左边的一个变量．
3．下面的程序输出的结果a，b分别等于(　　)
a＝2
b＝5
c＝a＋b
a＝c＋4
输出　a，b.
A．2,5 B．4,5
C．11,5 D．7,5
答案　C
解析　第三句给c赋值后c＝7，第四句给a赋值后a＝11，故最后输出11,5.
4．下列程序执行后结果为3，则输入的x值为(　　)
输入　x；
y＝x*x＋2*x
输出 y
A．1 B．－3
C．－1 D．1或－3
答案　D
解析　由题意得：x2＋2x＝3，解方程得x＝1或x＝－3.
5．如图所示的一段程序执行后的结果是________．
A＝2
A＝A*2
A＝A＋6
输出　A
答案　10
解析　先把2赋给A，然后把A*2赋给A，即A的值为4，再把4＋6＝10赋给A，所以输出的结果为10.
　1.赋值语句是最重要的一种基本语句，也是一个算法必不可少的重要组成部分，使用赋值语句，一定要注意其格式要求，如：赋值号左边只能是变量而不能是表达式；赋值号左右两边不能对换；不能利用赋值语句进行代数式计算等．
2．利用赋值语句可以实现两个变量值的互换，方法是引进第三个变量，用三个赋值语句完成．
2．3　循环结构
[学习目标]　1.掌握循环结构的有关概念.2.理解循环结构的基本模式，会用循环结构描述算法.3.体会循环结构在重复计算中的重要作用．
知识点一　常量与变量的概念
1．循环结构的定义
在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构．反复执行的步骤称为循环体．
2．循环结构的特点
(1)重复性：在一个循环结构中，总有一个过程要重复一系列的步骤若干次，而且每次的操作完全相同．
(2)判断性：每个循环结构都包含一个判断条件，它决定这个循环的执行与终止．
(3)函数性：循环变量在构造循环结构中起了关键作用，蕴含着函数的思想．
3．设计一个算法的算法框图的步骤
(1)用自然语言表述算法步骤；
(2)确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相应的算法框图表示，得到该步骤的算法框图；
(3)将所有步骤的算法框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到表示整个算法的算法框图．
思考　(1)循环结构的算法框图中一定含有判断框吗？
(2)任何一个算法的算法框图中都必须含有三种基本逻辑结构吗？
答　(1)循环结构的算法框图中一定含有判断框．
(2)不一定．但必须会有顺序结构．
知识点二　循环结构的设计过程
循环结构的算法框图的基本模式，如图所示．
题型一　循环结构的识别与解读
例1　(1)当m＝7，n＝3时，执行如图所示的算法框图，输出S的值为(　　)
A．7 B．42
C．210 D．840
(2)如图所示，算法框图(算法框图)的输出结果是(　　)
A．34 B．55 C．78 D．89
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)算法框图的执行过程如下：
m＝7，n＝3时，m－n＋1＝5，
k＝m＝7，S＝1，S＝1×7＝7；
k＝k－1＝6>5，S＝6×7＝42；
k＝k－1＝5＝5，S＝5×42＝210；
k＝k－1＝4<5，输出S＝210.故选C.
(2)当输入x＝1，y＝1，执行z＝x＋y及z≤50，x＝y，y＝z后，
x，y，z的值依次对应如下：
x＝1，y＝1，z＝2；
x＝1，y＝2，z＝3；
x＝2，y＝3，z＝5；
x＝3，y＝5，z＝8；
x＝5，y＝8，z＝13；
x＝8，y＝13，z＝21；
x＝13，y＝21，z＝34；
x＝21，y＝34，z＝55.
由于55≤50不成立，故输出55.故选B.
反思与感悟　高考中对算法框图的考查类型之一就是读图，解决此类问题的关键是根据算法框图理解算法的功能．考查的重点是算法框图的输出功能、算法框图的补充，以及算法思想和基本的运算能力、逻辑思维能力，试题难度不大，大多可以按照算法框图的流程逐步运算而得到．
跟踪训练1　阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，若输入m的值为2，则输出的结果i＝________.
答案　4
解析　m＝2，A＝1，B＝1，i＝0.
第一次：i＝0＋1＝1，A＝1×2＝2，B＝1×1＝1，A＞B；
第二次：i＝1＋1＝2，A＝2×2＝4，B＝1×2＝2，A＞B；
第三次：i＝2＋1＝3，A＝4×2＝8，B＝2×3＝6，A＞B；
第四次：i＝3＋1＝4，A＝8×2＝16，B＝6×4＝24，A＜B；
终止循环，输出i＝4.
题型二　用循环结构解决累加、累乘问题
例2　设计一个计算1＋2＋…＋100的值的算法，并画出算法框图．
解　方法一　第一步，令i＝1，S＝0.
第二步，若i≤100成立，则执行第三步；否则，输出S，结束算法．
第三步，S＝S＋i.
第四步，i＝i＋1，返回第二步．
算法框图：
方法二　第一步，令i＝1，S＝0.
第二步，S＝S＋i.
第三步，i＝i＋1.
第四步，若i＞100不成立，则返回第二步；否则，输出S，结束算法．
算法框图：
反思与感悟　循环结构分为两种：一种循环结构是先执行一次循环体，然后再判断是否继续执行循环体，是在条件不满足时执行循环体，另一种循环结构是先判断是否执行循环体，是在条件满足时执行循环体．
跟踪训练2　设计一个算法，求13＋23＋33＋…＋1003的值，并画出算法框图．
解　算法如下：
第一步，使S＝0.
第二步，使I＝1.
第三步，使S＝S＋I3.
第四步，使I＝I＋1.
第五步，若I ＞100，则输出S，算法结束；否则，返回第三步．
算法框图如图所示：
题型三　确定循环变量最值的框图
例3　写出一个求满足1×3×5×7×…×i＞50 000的最小正整数i的算法，并画出相应的算法框图．
解　算法如下：
1．S＝1.
2．i＝3.
3．如果S≤50 000，那么S＝S×i，i＝i＋2，重复第3步；否则，执行第4步．
4．i＝i－2；
5．输出i.
算法框图如图所示：
反思与感悟　1.在使用循环结构时，需恰当地设置累加(乘)变量和计数变量，在循环体中要设置循环体终止的条件．
2．在最后输出结果时，要避免出现多循环一次或少循环一次的情况出现．
跟踪训练3　求使1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＞100成立的最小自然数n的值，只画出算法框图．
解　算法框图如下：
题型四　循环结构的实际应用
例4　某工厂2013年生产小轿车200万辆，技术革新后预计每年的生产能力比上一年增加5%，问最早哪一年该厂生产的小轿车数量超过300万辆？写出解决该问题的一个算法，并画出相应的算法框图．
解　算法如下：
1．令n＝0，a＝200，r＝0.05.
2．T＝ar(计算年增量)．
3．a＝a＋T(计算年产量)．
4．如果a≤300，那么n＝n＋1，
返回第2步；否则执行第5步．
5．N＝2 014＋n.
6．输出N.
算法框图如图所示．
反思与感悟　这是一道算法的实际应用题，解决此类问题的关键是读懂题目，建立合适的模型，找到解决问题的计算公式．
跟踪训练4　电脑游戏中，“主角”的生命机会往往被预先设定，如某枪战游戏中，“主角”被设定生命机会5次，每次生命承受射击8枪(被击中8枪则失去一次生命机会)．假设射击过程均为单发发射，试将“主角”耗用生命机会的过程设计成一个算法框图．
解　方法一　“主角”所有生命机会共能承受8×5＝40(枪)(第40枪被击中则生命结束)．设“主角”被击中枪数为i(i＝0,1,2，…，39)，算法框图可设计为如图1.
方法二　与方法一相对，电脑中预先共承受枪数40，“主角”生命机会以“减法”计数，算法框图可设计为如图2.
累加变量和计数变量的应用
例5　画出求满足12＋22＋32＋…＋n2＞2 0152的最小正整数n的算法框图．
错解　如图(1)．
错解分析　累加变量的初始值为1，第一次运算为S＝1＋12导致错误．一般把计数变量的初始值设为1，累加变量的初始值设为0，本例中S＝0，i＝1.
自我矫正　
算法框图如图(2)所示：
　　　
　　　　图(1)　　　　　　图(2)
1．下列关于循环结构的说法正确的是(　　)
A．循环结构中，判断框内的条件是唯一的
B．判断框中的条件成立时，要结束循环向下执行
C．循环体中要对判断框中的条件变量有所改变才会使循环结构不会出现“死循环”
D．循环结构就是无限循环的结构，执行程序时会永无止境地运行下去
答案　C
解析　由于判断框内的条件不唯一，故A错；由于循环结构中，判断框中的条件成立时可能和执行循环体，故B错；由于循环结构不是无限循环的，故C正确，D错．
2．阅读如图所示的算法框图，则输出的S等于(　　)
A．14 B．30
C．20 D．55
答案　B
解析　第一次循环，S＝1，i＝2；第二次循环，S＝1＋22＝5，i＝3；第三次循环，S＝5＋32＝14，i＝4；第四次循环，S＝14＋42＝30，i＝5，满足条件，输出S＝30.
　　　
第2题图　　　　　　　第3题图
3．如图所示的算法框图输出的S是126，则①应为(　　)
A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8
答案　B
解析　2＋22＋23＋24＋25＋26＝126，所以应填“n≤6”．
4．执行如图的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
答案　C
解析　第一次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，i＝6，n＝1；
第二次循环a＝－6＋4＝－2，b＝4－(－2)＝6，a＝6－2＝4，i＝10，n＝2；
第三次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，i＝16，n＝3；
第四次循环a＝4－6＝－2，b＝4－(－2)＝6，a＝6－2＝4，i＝20，n＝4，满足题意，结束循环．
　　　　
第4题图　　　 　第5题图
5．如图所示的算法框图，当输入x的值为5时，则其输出的结果是________．
答案　2
解析　∵x＝5>0，∴x＝5－3＝2，
∵x＝2>0，∴x＝2－3＝－1.
∴y＝0.5－1＝2.
1.(1)循环结构是指在算法中需要重复执行一条或多条指令的控制结构；
(2)在循环结构中，通常都有一个起循环计数作用的变量；
(3)循环变量、循环体、循环终止条件称为循环结构的三要素．
2．画算法框图要注意：
(1)使用标准的框图符号；
(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画；
(3)除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；
(4)一种判断是“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果，另一种是多分支判断，有几种不同的结果；
(5)在图形符号内描述的语言要非常简练、清楚．

3．1　条件语句
[学习目标]　1.掌握条件语句的含义、格式.2.会利用条件语句将具体问题的框图转化为算法语句.3.会利用条件语句解决实际生活中的应用问题．
知识点一　条件语句
1．条件语句：条件语句是表达选择结构最常用的语句．
2．两种条件语句的算法框图及格式
If语句
复合If语句
算法框图
语句格式
If　条件　Then
语句1
Else
语句2
EndIf
If　条件1　Then
语句1
Else
If　条件2　Then
语句2
Else
语句3
End　If
End　If
思考　一般在什么条件下才需要用到条件语句？使用条件语句的关键是什么？
答　一般在分类处理问题时需要用到条件语句；使用条件语句的关键是明确分类的对象和标准．
题型一　应用If语句描述算法
例1　已知函数f(x)＝编写一个程序，对每输入的一个x值，都得到相应的函数值．
解　用变量x，y分别表示自变量和函数值．步骤如下：
1．输入x值．
2．判断x的范围，若x≥0，则用函数y＝x2－1求函数值，否则用y＝3x2－8求函数值．
3．输出y的值．
算法框图如图所示，
程序如下：
输入x；
Ifx＞＝0　Then
y＝x^2－1
Else
y＝3*x^2－8
End If
输出y
反思与感悟　利用条件语句解决算法问题的步骤：
跟踪训练1　根据下面的算法语句，画出其对应的算法框图．
输入x；
If　x＞0　Then
y＝1
Else
y＝0
EndIf
输出y.
解　算法框图为
题型二　条件结构的复合
例2　已知分段函数y＝编写程序，要求输入自变量x的值，输出相应的函数值，并画出算法框图．
解　算法框图如图所示：
程序如下：
输入x；
If　x<0　Then
y＝－x＋1
Else
If　x＝0　Then
　y＝0
Else
　y＝x＋1
EndIf
EndIf
输出y.
反思与感悟　1.适用范围：
已知分段函数的解析式求函数值的问题，须用条件语句书写程序，当条件的判断有两个以上的结果时，可以选择条件结构嵌套去解决．
2．解此类问题的步骤：
(1)构思出解决问题的一个算法(可用自然语言)．
(2)画出算法框图，形象直观地描述算法．
(3)根据框图编写程序，即逐步把框图中的算法步骤用算法语句表达出来．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝试编写程序，根据输入的x值输出对应的y值．
解　程序如下：
输入x；
If　x＞0　Then
y＝2*x^2－1
Else
If　x＝0　Then
　y＝－2*^x+1
Else
　y＝2* x ^2 +4
End　If
End　If
输出y.
题型三　条件语句的实际应用
例3　到某银行办理个人异地汇款，银行收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5000元，按汇款额的1%收取；超过5000元，一律收取50元手续费，画出描述汇款额为x元，银行收取手续费y元的算法框图，并写出相应的程序．
解　由题意，知y＝
算法框图如图所示．
程序如下：
输入　x
If　x＜＝100　Then
　y＝1
Else
　If　x＜＝5000　Then
y＝0.01*x
Else
y=50
End If
End If
输出y
反思与感悟　解决实际应用问题，应先建立函数模型，由于对应函数为分段函数，可考虑用条件语句对算法进行描述．应用多个条件语句的嵌套时，要明确各种条件与相应语句之间的对应关系，一般先由算法框图直观地弄清这些关系之后再编写程序．
跟踪训练3　某商场购物实行优惠措施，若购物金额x在800元以上(包括800元)，打8折；若购物金额x在500元以上(包括500元)，但不足800元，则打九折，否则不打折．设计算法框图，并编写程序，要求输入购物金额x，能输出实际交款额y.
解　由题意建立函数模型为
y＝
算法框图如图所示．
程序如下：
输入　x；
If　x＞＝800　Then
y＝0.8*x
Else
IF x>=500 Then
y=0.9*x
Else
y= x
End If
End If
输出y.
程序的编写
例4　已知函数y＝编写一个程序，对每一个输入的x值，求出相应的函数值．
解　方法一　程序如下：
输入　x；
If　x＜＝－1　Then
y＝(x＋1)^2
Else
　If　x＜1　Then
　y＝2*x+2
Else
y=　1/x－1　
End If
End If
输出y
方法二　程序如下：
输入　x；
If　x＜＝－1　Then
y＝(x＋1)^2
Else
　If　x＞＝1　Then
　y＝1/x－1
　Else
　y＝2*x+2
End If
End If
输出y
1．给出以下四个问题：
①输入一个正数x，输出它的算术平方根；
②求函数f(x)＝的函数值；
③求周长为6的正方形的面积；
④求三个数a，b，c中的最小值．
其中需要用条件语句来描述其算法的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　对于②，当x取不同范围时，f(x)的解析式不同，因此需分情况讨论，要用到条件语句；对于④，要求出最小值，需分情况讨论，要用到条件语句．
2．阅读下面程序：
输入　x；
If　x＜0　Then
x＝－x
EndIf
输出　x.
若输入x＝5，则输出结果x为(　　)
A．－5 B．5
C．0 D．不确定
答案　B
解析　当x≥0时，不符合条件，执行ENDIF之后的语句，直接输出x的值，即为5.
3．如图所示程序的算法功能是：判断任意输入的数x是不是正数，若是，则输出它的平方值；若不是，则输出它的相反数．
输入x；
If　　　　Then
　y＝－x
Else
　y＝x*x
EndIf
输出　y.
则横线处填入的条件应该是(　　)
A．x＞0 B．x＜0
C．x＞＝0 D．x＜＝0
答案　D
解析　条件成立时，执行y＝－x；条件不成立时，执行y＝x*x.由程序的算法功能，知条件应为x＜＝0，故选D.
4．阅读下面程序：
输入　a；
If　a＞5　Then
b＝4
Else
　If　a＜3　Then
b＝5
　Else
b＝9
End　If
End　If
输入　a，b.
如果在运行时，输入2，那么输出a，b的结果分别是(　　)
A．2,5 B．2,4
C．2,3 D．2,9
答案　A
解析　输入a的值2，首先判断是否大于5，显然2不大于5，然后判断2与3的大小，显然2小于3，所以结果是b＝5，因此结果应当输出2,5.
5．下面程序的运行结果是________．
x＝5
If　x＜＝0　Then
y＝x－3
Else
y＝x＋3
EndIf
输出　y
答案　8
解析　∵5＞0，∴执行Else后的语句，∴y＝5＋3＝8.
　1.使用条件语句时应注意的问题
(1)条件语句是一个语句，If，Then，Else，EndIf都是语句的一部分．
(2)条件语句必须是以If开始，以EndIf结束，一个If必须与一个EndIf相对应．
(3)如果程序中只需对条件为真的情况作出处理，不用处理条件为假的情况时，Else分支可以省略，此时条件语句就由双支变为单支．
(4)为了程序的可读性，一般If、Else与EndIf顶格书写，其他的语句体前面则空两格．
2．对于三段或三段以上的分段函数求函数值时，需要条件语句的嵌套结构．在编写条件语句的嵌套中的“条件”时，要注意“If”与“EndIf”的配对，通常可以利用文字的缩进来表示嵌套的层次，以帮助我们对程序的阅读和理解．
3．条件语句的嵌套，其一般形式是
外层条件语句
3.2　循环语句
[学习目标]　1.理解两种结构的循环语句——For语句和Do Loop语句.2.掌握两种循环语句的一般形式并会应用.3.通过具体实例明确两种循环语句的区别和联系．
知识点一　For语句
1．循环结构是算法中的基本结构，For语句是表达循环结构最常见的语句之一，它适用于预先知道循环次数的循环结构．
2．For语句的一般形式是：
For　循环变量＝初始值 To 终值
循环体
Next
知识点二　Do Loop语句
1．在一些循环结构中，预先不知道循环的次数，一般用Do_Loop语句来描述．
2．Do Loop语句的一般形式为：
Do
循环体
Loop_While_条件为真
题型一　For语句的应用
例1　 编写一个计算12＋32＋52＋…＋9992的算法，画出算法框图，并用For语句描述这个算法．
解　For语句描述算法为：
S＝0
For　i＝1 to 999
S＝S＋i^2
i＝i＋2
Next
输出S
算法框图如图所示．
反思与感悟　1.For语句是表达循环结构最常见的语句之一，它适用于预先知道循环次数的循环结构，有些循环中如果不能直接看出循环次数，则可通过题目中的规律先求出循环次数再写循环语句．
2．用For语句设计程序的一般思路：①确定循环次数；②把反复要做的工作，作为循环体放在For与Next之间．
跟踪训练1　请阅读下列用For语句给出的算法，画出算法框图并说明该算法的处理功能．
S＝0
For　i＝1 To 20
S＝S＋i
i＝i＋2
Next
输出S
解　算法的框图如图所示，
因此，这个算法实际上处理的是求和S＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19.
题型二　Do Loop语句的应用
例2　 设计一个求满足1＋3＋5＋…＋i＞500的最小自然数i的算法框图，并用Do Loop语句描述这个算法．
解　算法框图如下：
Do Loop语句描述算法为
i＝1
S＝0
Do
S＝S＋i
i＝i＋2
Loop While　S<＝500
i＝i－2
输出i
反思与感悟　Do Loop语句，先执行一次循环体，若符合条件，继续执行循环体；当不符合条件时，跳出循环，执行Do Loop语句后的语句．
跟踪训练2　根据下面的算法语句，绘制算法框图，指出输出的最后结果是什么？并将它改为另一种循环，画出相应的算法框图．
算法如下：
S＝0
For　i＝3 To 99
S＝S＋i^3
i＝i＋2
Next
输出S
解　算法语句对应的算法框图如图1所示，
图1
它用的是“For”语句，最终输出的结果是33＋53＋…＋993，利用“Do Loop语句”可以改为如下
S＝0
i＝3
Do
S＝S＋i^3
i＝i＋2
Loop While　i＜＝99
输出S
相应算法框图如图2所示：
图2
题型三　循环语句与条件语句的综合应用
例3　 某高中男子体育小组的100 m赛跑的成绩(单位：s)如下：
12．1,13.2,12.7,12.8,12.5,12.4,12.7,11.5,11.6，11.7.
从这些成绩中搜索出小于12.1 s的成绩，画出算法框图，并用相应的算法语句描述该算法．
解　算法框图如下：
用算法语句描述如下：
For　i＝1　To　10
输入gi
　If　gi<12.1　Then
　输出gi
　End If
　i＝i＋1
Next
反思与感悟　1.本题是循环语句和条件语句的综合运用，在执行循环体的过程中嵌套着条件语句，即判断gi＜12.1是否成立，在编写这样的含有条件语句和循环语句的混合语句时，应明确循环体与条件之间的关系．
2．Do Loop语句能表达不知循环次数的循环结构，常与选择结构综合考查，在读程序时，要注意用列表法把循环体中的变量的值列出来，从中观察规律，检验While后的条件是否被满足，一旦不满足条件，循环停止．
跟踪训练3　高一(1)班共60人，市青少年保护中心抽样检测同学们的身体素质，要求学号被3整除的同学参加体检，已知学员是从1到60号，请编写输出参加体检的同学学号的一个算法及算法框图．
解　算法框图为
算法如下：方法一　运用For语句：
For　S＝0 To 60
S＝S＋3
输出S
Next　
方法二　运用Do Loop语句：
S＝0
Do
　S＝S＋3
输出S
Loop While　S<＝60
应用循环语句设计程序
例4　对任意正整数n，设计一个程序求S＝1＋＋＋…＋的值．
错解　程序如下：
输入　n；
i＝1
s＝0
Do
　i＝i＋1
　S＝S＋1/i
Loop While　i＜n
输出　S.
错解分析　错误的根本原因是第一次执行S＝S＋1/i时，i的初始值经i＝i＋1后，已经变为2，则S＝0＋，这样所求的S＝＋＋…＋，而不是S＝1＋＋＋…＋，因为后执行S＝S＋1/i，所以要把i的初始值变为0才行．
自我矫正　程序如下：
输入n；
i＝0
s＝0
Do
　i＝i＋1
　s＝s＋1/i
Loop　While　i＜n
输出 S.
1．关于Do Loop循环语句叙述正确的是(　　)
A．总是执行循环体
B．先执行一次循环体
C．不满足条件时执行循环体
D．遇到Do Loop就结束
答案　B
解析　对于Do Loop循环语句，先执行循环体，再根据条件是否成立来确定执行循环体．
2．下列问题可以设计成循环语句计算的有(　　)
①求1＋3＋32＋…＋39的和；
②比较a，b两个数的大小；
③对于分段函数，要求输入自变量，输出函数值；
④求平方值小于100的最大整数．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案　C
解析　①和④用到循环语句；②③用不到．故选C.
3．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为(　　)
A．1 　　　　　　B．2
C．3 　　　　　　D．4
答案　B
解析　k＝0，b＝a＝1，
第一次循环：a＝＝－≠1，
k＝0＋1＝1；
第二次循环：a＝＝－2≠1，
k＝1＋1＝2；
第三次循环：a＝＝1，满足a＝b，输出k＝2.
4．下列程序输出的结果是(　　)
i＝1
S＝0
Do
S＝S*2＋1
i＝i＋1
Loop　While　i<＝4
输出S
A．3 B．7
C．15 D．19
答案　C
解析　由算法语句可知，该循环体共循环4次，分别为S＝2×0＋1＝1，S＝2×1＋1＝3，S＝2×3＋1＝7，S＝2×7＋1＝15.
5．下面是求1×2×3×4×5×6×7×8×9×10的一个算法语句，将其补充完整．
a＝10
b＝1
Do
b＝a*b
a＝________
Loop While ________
输出b
答案　a－1　a>＝1
解析　a的初始值为10，故循环体中的值应该递减，即a从10减小到1，循环体的条件应为a≥1.
　1.循环语句与条件语句的关系：
循环语句中一定有条件语句，条件语句是循环语句的一部分，离开条件语句，循环语句无法循环；但条件语句可以脱离循环语句单独存在，可以不依赖循环语句独立地解决问题．
2．应用循环语句描述算法应注意的问题：
(1)循环语句中的循环变量，一般要合理设置初始值；
(2)在循环过程中需要有“结束”的语句；
(3)要注意For语句和Do Loop语句各自的适用条件与执行步骤的区别．

1．算法
算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或看成按要求设计好的有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题．
2．算法框图
算法框图，是一种用规定的图形、流程线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形．
通常，算法框图由程序框和流程线组成．一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤：流程线是带方向箭头的指向线，按照算法进行的顺序将程序框连接起来．
3．程序设计
自然语言表述的算法和算法框图是程序设计的基础，算法框图侧重于直观性，而程序则倾向于计算机执行的实用性．
编写程序的基本方法是“自上而下，逐步求精”，即首先把一个复杂的大问题分解成若干个相对独立的小问题，如果小问题仍较复杂，则可以把这些小问题再继续分解成若干个子问题，这样不断分解，便可使得小问题或子问题简单到能够直接用程序的三种基本结构表达为止，然后，对应每一个小问题或子问题编写出一个功能上相对独立的程序模块来．每个模块各个击破，最后再统一组装，问题便可得到解决．
4．算法在实际生活中的应用
算法的基本思想在我们的日常生活中是很有用的，随着计算机技术的发展，计算机技术在实际生活中的应用越来越广泛，特别是尖端科学技术更离不开它，算法在计算机科学和数学领域都有非常重要的地位．为此，我们在理解算法的基础上，要有意识地将算法思想应用到日常生活中，这样有利于提高解决具体问题的能力．
题型一　算法设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　
算法的设计与一般意义上的解决问题并不相同，它是对一类问题一般解法的抽象与概括．我们将一般问题划分为数值问题和非数值型问题两类；对于数值型问题，我们可以采用数值分析的方法进行处理，数值分析中许多现成的固定算法，我们可以直接使用，当然我们也可以根据问题的实际情况设计算法；对于非数值型问题，可以根据过程模型分析算法并进行处理，也可以选择一些成熟的办法进行处理，如排序、递推等．
例1　求两底面直径分别为2和4，且高为4的圆台的表面积及体积，写出解决该问题的算法．
解　算法如下：第一步，取r1＝1，r2＝2，h＝4.
第二步，计算l＝.
第三步，计算S＝πr＋πr＋π(r1＋r2)l与V＝π(r＋r＋r1r2)h.
第四步，输出计算结果．
跟踪训练1　已知函数y＝2x4＋8x2－24x＋30，写出连续输入自变量的11个取值，分别输出相应的函数值的算法．
解　算法为：
第一步，输入自变量x的值；
第二步，计算y＝2x4＋8x2－24x＋30；
第三步，输出y；
第四步，记录输入次数；
第五步，判断输入的次数是否大于11.若是，则结束算法；否则，返回第一步．
题型二　算法框图的应用
算法框图是用规定的图形和流程线来准确、直观、形象地表示算法的图形．画算法框图之前应先对问题设计出合理有效的算法．然后分析算法的逻辑结构，画出相应的算法框图，算法的逻辑结构有三种：顺序结构、选择结构和循环结构．
(1)选择结构是一种重要的逻辑结构．比如比较两个数的大小、对一组数进行排序筛选等问题都要用到选择结构．(2)在利用循环结构画算法框图前，常确定三件事：一是确定循环变量的初始条件；二是确定算法中反复执行的部分，即循环体；三是循环终止的条件．
例2　设计一个计算10＋11＋12＋…＋200的值的算法，并画出算法框图．
解　算法如下：第一步，使i＝10.
第二步，使p＝0.
第三步，使p＝p＋i.
第四步，使i＝i＋1.
第五步，若i≤200.则返回第三步；否则，输出p，算法结束．
算法框图如图．
跟踪训练2　执行如图所示的算法框图，若输入n＝3，则输出T＝______.
答案　20
解析　按照算法框图的流程写出前n次循环的结果，直到不满足判断框中的条件，输出结果．
初始值：i＝0，S＝0，n＝3.
①i＝1，S＝1，T＝1；
②i＝2，S＝3，T＝4；
③i＝3，S＝6，T＝10；
④i＝4，S＝10，T＝20，
由于此时4≤3不成立，停止循环，故输出T＝20.
题型三　程序的编写
基本算法语句有输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句五种，它们对应于算法的三种逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．用基本语句编写程序时要注意各种语句的格式要求，特别是条件语句和循环语句，应注意这两类语句中条件的表达以及循环语句中有关变量的取值范围．
例3　用砖砌一堵墙，第一层用了全部砖的一半多一块；第二层用了剩下砖的一半又多一块，以后每层都用了前一层砌完后剩下砖的一半多一块，到第二十层时恰好剩下一块砖，将其砌上，这堵墙也就砌完了．画出计算这堵墙用砖块数的算法框图并编写程序．
解　第二十层砌前有砖：S20＝1(块)；
第十九层砌前有砖：S19＝(1＋1)×2＝4(块)；
第十八层砌前有砖：S18＝(1＋4)×2＝10(块)；
……
第一层砌前有砖：S1＝(S2＋1)×2(块)．
所以递推关系式是：
S20＝1，Sn＝(Sn＋1＋1)×2，n＝1,2，…，19.
故可用循环结构设计算法．
算法框图如图所示．
程序如下：
S＝1
i＝1
Do
S＝2*(s+1)
i＝1
Loop While i<20
输出 s
跟踪训练3　高一(2)班共有54名学生参加数学竞赛，现已有他们的竞赛分数，请设计一个将竞赛成绩优秀的学生的平均分输出的算法(规定90分以上为优秀，画出算法框图，并设计程序)．
解　算法框图如图所示．
　
程序如下：
i＝1
S＝0
M＝0
Do
　输入　x
　If　x＞90　Then
S＝S＋x
M＝M＋1
　End If
　i＝i＋1
Loop While　i＜＝54
P＝S/M
输出　P
题型四　分类讨论思想
在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，需对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得结论，这就是分类讨论思想．在具体问题的算法设计中，往往需要根据条件进行逻辑判断，并进行不同的处理(如选择结构和循环结构)，这实际上运用了分类讨论的数学思想方法．
例4　已知函数f(x)＝写出求f(f(x))的程序，并画出选择框图．
解　算法的选择框图如图所示．
程序如下：
输入x；
If　x＜2　Then
　y1＝x＋5
　If　y1＜2　Then
y＝y1＋5
Else
y＝(y1)^2－2*y1
End If
Else
y=( y1) ^2-2*y1
End If
Else
y2=x^2－2*x
If y2<2 Then
y=y2+5
Else
y=(y2) ^2-2*y2
End If
End If
输出 y
跟踪训练4　阅读如图所示的程序，当分别输入x＝2，x＝1，x＝0时，输出的y值分别为________，________，________.
输入 x；
If　x>1　Then
　y＝1/?x－1?
Else
　If　x＝1　Then
y＝1
　Else
y＝x^2＋1/?x－1?
　End If
End If
输出　y.
答案　1　1　－1
解析　该算法框图描述的函数为y＝
所以当x＝2时，y＝1；当x＝1时，y＝1；当x＝0时，y＝－1.
　从近三年高考各省市试题中可以看出，本部分命题呈现以下特点：
(1)考题以选择题、填空题为主，属中低档题．
(2)考查内容是算法框图，或者要求补充完整框图，或者要求求出按算法框图执行后的结果．算法框图中主要以条件结构和循环结构为主，其中循环结构是重点．