2018高中数学（文）黄金100题系列第05题+含参数的简易逻辑问题

第5题 含参数的简易逻辑问题
I．题源探究·黄金母题
【例1】下列各题中，那些是的充要条件？（节选）
（1）：，：函数是偶函数；
【解析】是的充要条件．
精彩解读
【试题来源】人教A版选修1-1第11页例3．
【母题评析】本题考查充要条件的判断，容易题．
【思路方法】直接应用定义进行判断．
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2017天津，理4】设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】当时，有，即充分性成立．当时，有，得解得或，即必要性不成立，故选A．
【例3】【2014 福建理数】直线与圆相交于两点，则“”是“的面积为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】当时，，由题意不妨令，，则，所以充分性成立；当时，，也有，所以必要性不成立．
【例4】【2014四川理数】以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．例如，当，时，，．现有如下命题：
①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；
②函数的充要条件是有最大值和最小值；
③若函数，的定义域相同，且，，则；
④若函数有最大值，则．
其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）
【解析】依题意可直接判定①正确；令，显然存在正数2，使得的值域，但无最小值，②错误；假设，则存在正数，使得当在其公共定义域内取值时，有，则，又因为，则存在正数，使，
所以，即，所以，与矛盾，③正确；当时，，即，当时，因为的值域为，而，此时无最大值，故，④正确．
【命题意图】本类题通常主要考查充分条件与必要条件的判定．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与命题（特别是含有逻辑联结词的复合命题）真假的判断、充分条件与必要条件的判断以及全称命题、特称命题等联系紧密．
【难点中心】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“? ”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用? 与非?非， ? 与非?非， ? 与非?非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若? ，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的必要条件；若＝，则是的充要条件；若是的真子集，则是的充分不必要条件；若是的真子集，则是的必要不充分条件．
III．理论基础·解题原理
考点一 与充分条件、必要条件有关的参数问题
充分条件和必要条件的理解，可以翻译成“若则”命题的真假，或者集合与集合之间的包含关系，尤其转化为集合间的关系后，利用集合知识处理．
考点二 与逻辑联接词有关的参数问题
逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关，由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关，其中往往会涉及参数的取值范围问题．
考点三 与全称命题、特称命题真假有关的参数问题
全称命题和特称命题从逻辑结构而言，是含义相反的两种命题，利用正难则反的思想互相转化，达到解题的目的．
考点四 与全称量词、特称量词有关的参数问题
全称量词“”表示对于任意一个，指的是在指定范围内的恒成立问题，而特称量词“”表示存在一个，指的是在指定范围内的有解问题，上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与命题（特别是含有逻辑联结词的复合命题）真假的判断、充分条件与必要条件的判断以及全称命题、特称命题等联系紧密．
【技能方法】
解决与简易逻辑问题有关的参数问题，需要正确理解充分条件和必要条件的定义，弄懂逻辑联接词的含义以及全称量词、特称量词包含的数学理论
【易错指导】
（1）参数的边界值即是否取等号，容易出错；
（2）判断充分条件和必要条件时，容易将方向弄错．
V．举一反三·触类旁通
考向1 与充分条件、必要条件有关的参数问题
【例1】【2018安徽滁州高三9月联合质检】“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【例2】【2017湖南邵阳第二次联考】“”是“函数在区间无零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数在区间无零点，则
故选A．
【例3】【2017黑龙江哈尔滨第三中学高三二模】对于常数，“关于的方程有两个正根” 是“方程的曲线是椭圆” 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】依题意，两个正根即，令，此时方程有两个正根，但是方程不是椭圆．反之，令，方程是椭圆，但是没有实数根．综上所述，应选既不充分也不必要条件．
【例4】【2017江苏无锡模拟】若，则复数 在复平面内对应的点在第三象限是的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】∵，∴由题设可得，因此不充分；反之，当，则复数对应的点在第三象限，是必要条件，故应选答案B．
【例5】【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】[－2，5]
【解析】
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“? ”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用? 与非?非， ? 与非?非， ? 与非?非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若? ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
【跟踪练习】
1．【2017湖北七市（州）3月联考】已知圆．设条件，条件圆上至多有个点到直线的距离为，则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵圆心到定直线的距离为，若半径，如上图，则恰有三个点到定直线的距离都是1．由于，故圆上最多有两个点到直线的距离为1；反之也成立，应选答案C．
2．【2017高三百校联盟】已知，，若的一个充分不必要条件是 ，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
3．已知，若p是q的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ．
【答案】[-1，6]
【解析】∵p是q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件．又∵，∴，解得： ．
考向2 与逻辑联接词有关的参数问题
【例6】【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点联考】已知命题 若为假命题，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由为假命题可得p假q真，若p为假，则无解，可得；
若q为真则，∴答案为C．
【例7】【2017四川资阳4月模拟】设命题：函数的定义域为R；命题：当时， 恒成立，如果命题“p∧q”为真命题，则实数的取值范围是________．
【答案】；
【解析】解：由题意可知，命题 均为真命题，
为真命题时： ，解得： ，
为真命题时： 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， ，故：，综上可得，实数的取值范围是：．
【例8】【2017贵州校级联考】已知函数，命题：实数满足不等式；命题：实数满足不等式，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【例9】【2018辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学联考】已知命题指数函数在上单调递减，命题关于的方程 的两个实根均大于3．若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．
【答案】．
【解析】试题分析：根据指数函数的单调性求出命题p为真命题时a的范围，利用二次方程的实根分布求出命题q为真命题时a的范围；据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系将“p或q为真，p且q为假”转化为p， q的真假，列出不等式组解得．
试题解析：若p真，则在R上单调递减，∴0＜2a-6＜1，∴3＜a＜．
若q真，令f（x）=x2-3ax+2a2+1，则应满足
，又由已知“或”为真，“且”为假；应有p真q假，或者p假q真．
①若p真q假，则， a无解．
②若p假q真，则．
综上①②知实数的取值范围为．
考点：１．复合命题的真假与简单命题真假的关系；２．二次方程实根分布．
【例10】【2018安徽滁州9月联考】已知； 函数有两个零点．
(1)若为假命题，求实数的取值范围；
(2)若为真命题， 为假命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
若为真，则， 或 ．
(1)若为假命题，则均为假命题，实数的取值范围为．
(2)若为真命题， 为假命题，则一真一假．
若真假，则实数满足，即；
若假真，则实数满足，即．
综上所述，实数的取值范围为．
【例11】设命题p：函数的定义域为R；命题q：对一切的实数恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
【分析】首先分别将命题翻译成实数的取值范围，若命题“p且q”为假命题，则至少有一个假，分类讨论．
【解析】，．
“且”为假命题，，至少有一假:
（1）若真假，则且；
（2）若假真，则且；
（3）若假假，则且，．
【点评】复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关，故先分别将简单命题翻译，根据其真假关系，转化为集合间的运算．
【跟踪练习】
已知命题函数的值域为，命题方程在上有解，若命题“或”是假命题，求实数的取值范围．
考向3 与全称命题、特称命题真假有关的参数问题
【例12】【2017吉林三模】函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间”．下列结论错误的是
A．函数（）存在级“理想区间”
B．函数不存在级“理想区间”
C．函数存在级“理想区间”
D．函数不存在级“理想区间”
【答案】D
【例13】【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【点评】已知命题为假命题，则其否定是真命题，故将该题转化为恒成立问题处理．
【跟踪练习】
已知命题p：“?x∈R，?m∈R，使4x＋2x·m＋1＝0”．若命题p为真命题，则实数m的取值范围是______________．
【答案】(－∞，－2]
考向4 与全称量词、特称量词有关的参数问题
【例14】【2017北京西城区二模】函数．若存在，使得，则k的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，
函数 是R上的单调递增函数，则 也是R上的单调递增函数，则满足题意时： 只需当 时 成立，分类讨论：
当 时： ，解得： ，此时： ，
当 时： ，解得： ，此时： ，
综合以上两种情况可得k的取值范围是 ．
点睛：无论参数出现在什么类型 的题目中，只要根据解题要求，即参数的存在对解题造成了怎样的阻碍，通过分类讨论，消除这种阻碍，使问题得到解决．但需要注意一点，不能形成定势思维：有参数就一定要分类讨论．
【例15】【2018江苏横林高级中学模拟】若命题“， ”是真命题，则实数的取值范围是____．
【答案】
【解析】，由于，命题“，”是真命题，则，实数的取值范围是．
【例16】【2017湖北省黄冈模拟】若命题“”是假命题，则的取值范围是__________．
【答案】
【例17】【2017江苏盐城三模】若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】 为真命题，∴
【例18】已知命题：“”，命题：“”．
若命题“且”是真命题，则实数的取值范围为_______________．
【分析】若命题“且”是真命题，则命题都是真命题，首先将命题对应的参数范围求出来，求交集即可．
【点评】命题是恒成立问题，命题是有解问题．
【例19】【泰州中学2017届高三上学期期中考试】已知命题是真命题，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由题设方程有解，故，即，故应填答案．
【跟踪练习】
已知函数，(a>0)，若，，使得f(x1)= g(x2)，则实数a的取值范围是___________________．
【答案】