2018高中数学（文）黄金100题系列第06题+函数定义域

第6题 函数的定义域
I．题源探究·黄金母题【例1】求函数的定义域．【解析】要使式子有意义，则，即，根据对数函数的单调性，则，解得，所以函数的定义域为． 精彩解读【试题来源】人教版A版必修一第74页习题2．2 A组第7题【母题评析】本题以求函数定义域为载体，考查根式的概念及利用对数函数的性质解简单对数不等式．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到一箭双雕的目的．【思路方法】由函数式有意义得到关于自变量的不等式，利用有关函数的性质或不等式性质，解出自变量的取值范围，即为函数的定义域．
II．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考山东卷】设函数的定义域，函数的定义域为，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，由得，故，选D．【例3】【2016高考新课标2】下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，定义域与值域均为，只有D满足，故选D． 【命题意图】本类题通常主要考查函数定义域的求法．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与特殊函数的图像与性质、值域、解不等式、集合运算有联系．【难点中心】对求函数定义域问题，首项要确定使函数式子有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），其次利用有关不等式性质和相关函数的性质解不等式（组），注意：①函数解析式含有几个式子，这几个式子都必须有意义，其交集即为函数的定义域；②解不等式时要等价变形；③抽象函数的定义域是难点．本题是简单函数定义域的求法，是基础题．
III．理论基础·解题原理
考点一 函数定义域的概念
1．在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
考点二 常见函数的定义域
1．一次函数的定义域为；
2．二次函数的定义域为；
3．指数函数（且）定义域为；
4．对数函数（且）的定义域为；
5．幂函数（互质且），
（1）当，为奇数且时，定义域为；
（2）当为奇数为偶数且时，定义域为；
（3)当，为奇数且时，定义域为；
（4）当是奇数，为偶数且时，定义域为；
6．正弦函数、余弦函数定义域都为；
7．正切函数的定义域为．
考点三 函数定义域的求法
1．已知函数解析式，求定义域
紧扣“函数定义域是函数自变量的取值范围”这一概念．
（1）若的解析式是整式，则其定义域为R；
（2）若的解析式是分式，则其定义域是使分母不为0的实数的集合；
（3）若的解析式是偶次根式或可化为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
（4）若的解析式是指数式，若指数为负指数或0指数，则其底数不为0，若指数含变量，则其底数应为大于0且不等于1；
（5）若的解析式是对数式，则真数应大于0，若底数含未知数，则底数大于0且不等于1；
（6）若的解析式是正切函数，则正切后部分不为；
（7）若是有限个函数四则运算得到，则其定义域为这几个函数定义域的交集（若含除法，则除式不为0）．
2．实际问题的定义域使实际问题有意义的集合；
3．已知已知定义域为A求定义域
紧扣“函数定义域是函数自变量的取值范围”这一概念，定义域就是自变量的取值范围，因中的作用对象是，而中的作用对象为，故，解得的范围就是的定义域．
4．已知定义域求定义域
函数的定义域是的作用对象的取值范围，故的值域就是定义域．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与集合运算、解不等式、研究函数图象与性质有联系．
【技能方法】
解决此类问题一般确定问题类型，若是已知解析式求定义域，则列出关于自变量的不等式组，通过解不等式组解出函数的定义域；若是抽象函数的定义域，紧扣定义域是自变量的取值范围，利用换元法求解；若是已知定义域求参数范围问题，从求函数定义域入手，化为不等式组在定义域上恒成立问题，常用参变分离方法求解；若涉及到实际问题，要考虑所涉及量的实际意义．
【易错指导】
（1）若函数解析式有意义涉及到多个条件，则主要定义域是是这多个条件成立的交集；
（2）在研究函数的图象与性质时，特别是利用导数求函数的单调区间，定义域一定要优先；
（3）函数定义域一定要表示成集合形式；
（4）在抽象函数定义域中注意定义域与定义域的区别．
V．举一反三·触类旁通
考向1 求给定函数解析式的定义域
【例4】【2018安徽滁州9月联合质量检测】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【例5】【2018浙江名校协作体】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，解得，选A．
【例6】函数的定义域为_____________．
【答案】
【解析】根据二次根式与对数函数有意义的条件可得，解之可得， ， 时，不等式解集为 ，故的定义域为，故答案为．
【例7】【2017辽宁鞍山一中最后一卷】函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】令，则，由导函数与原函数的关系可得：当时．函数的定义域等价于： ，或，求解不等式组可得函数的定义域为．
【跟踪练习】
1．【2017广东揭阳4月月考】函数的定义域为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】要使函数有意义需满足，则函数的定义域为，故选C．
2．【2017上海普陀区二模】函数的定义域为 ．
【答案】
考向2 求抽象函数的定义域
【例8】【2018河北唐山一中十月月考】已知函数的定义域为，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的定义域为，所以，要使有意义，则，解得，故选B．
【例9】【2017安徽淮北一中最后一卷】已知函数的定义域为，则函数的定义域是__________．
【答案】(-1，1)
【解析】由题意，解得，即定义域为．
【跟踪练习】
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，则．故选B．
2．已知函数定义域是，则的定义域是 ．
【答案】
考向3 已知定义域确定参数问题
【例10】已知函数的定义域为，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时符合题意；当时，要使函数的定义域为，则且，可得．综上，实数的取值范围为，故选C．
【例11】【重庆市巴蜀中学2017-2018学年高一上学期10月月考数学试题】若已知函数的定义域为，则可求得函数的定义域为，问实数的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】函数的定义域为， ，令，则，由题意知，当时， ，作出函数的图象，如图所示，由图可得，当或时， ，当时， ，时， 实数的取值范围是，故答案为．
【跟踪练习】
1．已知函数=的定义域是R，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，只需分母不为即可，所以或 ，可得，故选A．
2．已知函数的定义域是（为整数），值域是，则所有满足条件的整数数对组成的集合为 ．
【答案】
根据图象可知满足整数数对的有共5个，故填．
考向4 定义域与指数、对数不等式
【例12】【2018广东佛山三水区实验中学一模】函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
【例13】【2017江苏南京师范大学附属中学模拟考试】函数的定义域是______________
【答案】
【解析】由题意得 ，即定义域是
【例14】【2017广东湛江二模】函数的定义域是__________．
【答案】
【解析】 ，则函数的定义域是
【点睛】函数的定义域是使函数有意义的自变量 的取值范围，常用集合或区间表示，求函数的定义域常见的要求有三点：①分式要求分母不为零，②偶次根式被开方式不小于零，③对数真数大于零，④零指数幂的底数不为零等．
【跟踪练习】
函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由已知得即或，解得或，故选．
考向5 定义域与一元二次不等式
【例15】【2017江西南昌三模】函数的定义域为__________．
【答案】
【例16】【2014江西高考理第2题】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得：解得或，所以选C．
【跟踪练习】
函数的定义域是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
【解析】由解得或，故选D．
考向6 定义域与函数单调性
【例17】函数的单调递增区间是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】函数的定义域为，由于外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，只要求的单调递减区间，结合函数的定义域，得单调递增区间为，故选D．
【例18】下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于选项A，在R上是减函数；选项C的定义域为；选项D，在上是减函数，故选B．
【跟踪练习】
函数的单调递减区间是________．
【答案】
考向7 定义域与集合
【例19】【2017安徽亳州二中高三下学期教学质量检测】设全集，函数的定义域为，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】， ，所以，故选A．
【例20】【2018江苏南京上学期期初学情调研】记函数的定义域为D．若在区间[－5，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率为__________．
【答案】
【解析】由，得，因为，所以由几何概型概率公式得，在区间上随机取一个数，则的概率，故答案为．
【方法点睛】本题題主要考查“区间型”的几何概型，属于中档题．解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，区间型，求与区间有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总区间以及事件的区间；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 ，忽视验证事件是否等可能性导致错误．
【跟踪练习】
1．设全集为R，函数的定义域为M，则为（ ）
A．[－1，1] B．(－1，1) C． D．
【答案】D
2．【2017四川师范大学附属中学5月模拟考试】设集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，故选C．
考向8 定义域与函数图像
【例21】【黑龙江牡丹江第一高级中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学试题】已知函数的图象如图所示，设函数，则函数的定义域是___________．
【答案】(1，7］；
【解析】 ，因此定义域是(1，7］
【跟踪练习】
【2015高考安徽理9】函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C