2018高中数学（文）黄金100题系列第04题+充要条件判定

I．题源探究·黄金母题【例1】求圆经过原点的充要条件．【解析】当圆经过原点时，则，化简得，；当时，则，所以经过原点．综上所述，圆经过原点的充要条件是． 精彩解读【试题来源】人教版A版选修2-1第12页A组第4题【母题评析】本题以圆为为载体，考查充要条件的判定问题．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到一箭双雕的目的．【思路方法】常利用命题真假与充要条件关系、集合间关系与充要条件关系转化为命题真假与集合间关系的判定问题求解，但需要注意：①分析清楚谁是条件谁是结论；②还要分析清楚由条件能否推出结论还是由结论能否推出条件！
II．考场精彩·真题回放【例2】【2017天津，文2】设，则“”是“”的 （ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】【解析】，则，，则， ，据此可知：“”是“”的的必要的必要不充分条件，本题选择B选项． 【命题意图】本类题通常主要考查充要条件的判定．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与数列、不等式性质、函数性质、集合运算、平面向量、立体几何等数学知识有联系．【难点中心】对充要条件判定问题，首项要确定集谁是条件谁是结论，其次确定适合那类判定方法．常用的判定方法的方法：1．根据定义，若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件，若，那互为充要条件，若，那就是既不充分也不必要条件，2．当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若，若，那么是的充分必要条件，同时是的必要不充分条件，若，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3．命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将是条件的判断，转化为是条件的判断．
III．理论基础·解题原理
考点一 充要条件的概念
1．如果，则是的充分条件，是的必要条件；
2．如果且，则是的充要条件．
考点二 充要条件的常用的判断方法
1．定义法：
（1）若，且，则 是的充分不必要条件；
（2）若，且，则是的必要不充分条件；
（3）若，且，则是的充分必要条件；
（4）若，且，则是的既不充分也不必要条件．
此法适合原命题与逆命题都容易判定真假的充要条件问题．
2．等价法：
根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．
此方法特别适合以否定形式给出的充要条件问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件；
3．集合法：
设满足条件的元素构成的集合为M，满足条件的元素构成的集合为N，则有下面结论：
（1）若MN，则是的充分不必要条件；
（2）若NM，则是的必要不充分条件；
（3）若M=N，则是的充要条件；
（4）若MN且NM，则是的既不充分也不必要条件．
此法适合，若满足条件的元素集合和满足条件的的元素的集合容易求出充要条件问题．
考点三 判断充分必要条件的步骤
先确定谁是条件谁是结论，再根据条件与结论的类型选择合适的判断方法，最后作出判断．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与数列、不等式性质、函数性质、集合运算、平面向量、立体几何等数学知识有联系．
【技能方法】
解决此类问题一般先确定谁是条件谁是结论，其次要确定充要条件问题的类型，若充要条件的判断问题，需要根据条件和结论选择合适方法判断，若是已知充要条件求参数范围问题，通常转化为集合间的包含关系，借助数组求解．
【易错指导】
（1）在处理充要条件问题时，要分清谁是条件谁是结论，注意A是B的充分不必要条件与A的充分不必要条件为B的区别；
（2）注意充分条件与充分不必要条件的区别：充分条件包括充分不必要条件与充要条件，条件集合是结论集合的子集，充分不必要条件则条件集合是结论集合的真子集；
（3）注意必要条件与必要不充分条件的区别：必要条件包括充要条件与必要不充分条件，结论集合是条件集合的子集，必要不充分条件，则结论集合是条件集合的真子集．
V．举一反三·触类旁通
考向1 充要条件的判断
【例3】【2017河北衡水中学下学期第三次摸底考】在中，“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立．这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考．有许多情况下可利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．
【例4】【2017黑龙江哈尔滨二模】对于常数，“关于的方程有两个正根”是“方程的曲线是椭圆”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】依题意，两个正根即，令，此时方程有两个正根，但是方程不是椭圆．反之，令，方程是椭圆，但是没有实数根．综上所述，应选既不充分也不必要条件．
考向2 根据充要条件求参数的值或范围
【例5】【2017炎德英才大联考】已知函数，且给定条件 “”，条件“”，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
当时， ，则，所以，又当时， ，若是的充分不必要条件，则，所以，故选择A．
【例6】【2017黑龙江双鸭山一中高三全真模拟四】已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．
【答案】
考向3 充要条件与集合
【例7】【2017河南郑州三模】若集合，，则“”是“”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，若，则，此时，反之，若，则，故选择A．
【例8】【2017辽宁庄河市高级中学四模】已知集合 ，则“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条
【答案】A
【解析】由题意可得：，则，则“”是“”的充分不必要条件．故选A．
考向4 充要条件与函数
【例9】【2017吉林大学附属中学第八次模考】已知是上的奇函数，则“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【例10】【2017湖南衡阳高三下学期第二次联考】已知函数的定义域为，且，设：函数是偶函数； ：函数是奇函数，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由函数是偶函数可得： ， ，所以函数是奇函数，充分条件成立，当函数是奇函数时，有，又=，可得函数，所以函数是偶函数，即必要条件也成立，所以是的充要条件．
【例11】【2017安徽省池州市届高三4月联考】已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，则命题“，且，”是命题：“， ”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件
【答案】B
【解析】构造函数 ，则
，
所以 ，但，所以命题P不能推出命题Q；由导数的定义， ，所以当有，故命题不能推出命题P，P是Q的必要不充分条件．选B．
【名师点睛】本题主要考查了充分必要条件，涉及导数的定义与曲线上割线的斜率，属于中档题．注意当判断命题为假时，可以举出反例．
考向5 充要条件、函数与方程
【例12】【2017“超级全能生”浙江高三3月联考】“函数存在零点”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分不用必要条件
【答案】B
【例13】【2017北京西城区二模】已知函数，其中．
（Ⅰ）求函数的零点个数；
（Ⅱ）证明： 是函数存在最小值的充分而不必要条件．
【答案】（I）详见解析；（II）详见解析．
【解析】试题分析：（Ⅰ）对函数求导有 ，令，求出根，得到 的零点个数，注意分情况讨论；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的分类讨论，分别利用导数与函数最值的关系以及充分不必要条件的定义即可证明．
试题解析：
（Ⅰ）由，
得
令，得，或．所以当时，函数有且只有一个零点： ；当时，函数有两个相异的零点： ， ．
②当时， ， 的变化情况如下表：
所以， 时， 的极小值为．又时，，所以，当时， 恒成立．
所以为的最小值．故是函数存在最小值的充分条件．
③当时， ， 的变化情况如下表：
因为当时， ，又，所以，当时，函数也存在最小值．所以，不是函数存在最小值的必要条件．
综上，是函数存在最小值的充分而不必要条件．
点睛；本题注意考查了导数与函数的极值、最值的关系，属于中档题．涉及的考点有：用导数研究函数的极值、最值，充分不必要条件的判断，根的存在及个数判断．考查了学生分析问题和转化的能力以及分类讨论思想．
考向6 充要条件与三角函数
【例14】【2017山东日照三模】命题，命题的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【例15】【2017陕西西安长安区一中高三4月模拟】
设函数，则“”是“为偶函数”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】若，即，所以，所以
，即为偶函数；当时， 也为偶函数；所以 “”是 “为偶函数” 的充分而不必要条件；故选A．
考向7 充要条件与平面向量
【例16】【2017河北武邑中学高三下学期第四次模拟】设向量，，则“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若“”，则，则或；若“”，则，即“”，所以“”是“”的必要不充分条件．故选B．
考向8 充要条件与数列
【例17】【2017青海西宁二模】在中，成等差数列是的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】(1)若A，B，C成等差数列：2B=A+C，所以3B=180°，B=60°；
∴由余弦定理得，b2=a2+c2 ac，∴a2+c2 b2=ac，∴(b+a c)(b a+c)=b2 (a c)2=b2 a2 c2+2ac= ac+2ac=ac，
即(b+a c)(b a+c)=ac，∴A，B，C成等差数列是(b+a c)(b a+c)=ac的充分条件．
(2)若(b+a c)(b a+c)=ac，则：b2 (a c)2=b2 a2 c2+2ac=ac，∴a2+c2 b2=ac，由余弦定理：a2+c2 b2=2ac cosB，
∴，∴B=60°，∴60° A=180° (A+60°) 60°，即B A=C B，∴A，B，C成等差数列，
∴A，B，C成等差数列是(b+a c)(b a+c)=ac的必要条件．
综上得，A，B，C成等差数列是(b+a c)(b a+c)=ac的充要条件，故选C．
【例18】【2017北京西城区4月统一测试】数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【名师点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法： ①充分不必要条件：如果，且，则说p是q的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果，且，则说p是q的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果，且，则说p是q的既不充分也不必要条件．
考向9 充要条件与不等式
【例19】【2017北京朝阳区二模】“”是“”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，由均值不等式成立．但时，只需要，不能推出．所以是充分而不必要条件．选A．
【例20】【2017辽宁实验中学高三下学期第六次模拟】设命题实数满足，命题实数满足，则命题是命题的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【名师点睛】对于点集（x，y）的集合或命题关系时，我们可以画出两个集合或命题的的图像，再根据小范围推大范围来判断两个集合或命题关系，但是要注意两集合相等或命题等价的情况．
考向10 充要条件与立体几何
【例21】【2017湖北黄冈高三5月三模】设是空间两条直线， 是空间两个平面，则下列命题中不正确的是 （ ）
A．当时，“”是“”的充要条件
B．当时，“”是“”的充分不必要条件
C．当时，“”是“”的必要不充分条件
D．当时，“”是“”的充分不必要条件
【答案】C
【例22】【2017安徽合肥一模】祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等，设为两个同高的几何体， 的体积不相等， 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知， 是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】如果在等高处的截面积恒相等，则的体积相等，因此有，但不一定成立，把两个相同的锥体放在一个平面上，再把其中一个锥体翻转底向上，顶点在在原底面所在平面，虽然在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，故是的充分不必要条件．故选A．
考向11 充要条件与解析几何
【例23】【2017福建莆田高三下学期质量检查】设为实数，直线，则“”是的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 ，但不能推出．故是充分不必要条件．故选A．
【例24】【2017河南洛阳高三5月考】“”是“直线与直线垂直”的_________条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选取一个填入）．
【答案】充分不必要
考向12 充要条件与复数
【例25】【2017北京丰台区一模】已知，则“”是“复数是纯虚数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意得，当时，复数为纯虚数，所以是复数为纯虚数的必要而不充分条件，故选B．
【例26】【2017江西鹰潭二模】“（其中是虚数单位）是纯虚数”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，则，则z为纯虚数，则，
即 或，结合题意可知：“（其中是虚数单位）是纯虚数”是“”的必要不充分条件，故选B．