2018高中数学（文）黄金100题系列第02题+命题真假的判断

I．题源探究·黄金母题
【例1】将下列命题改成“若，则”的形式，并判断真假
（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；
（2）负数的立方是负数；
（3）对顶角相等.
【解析】（1）若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行.它是假命题．
（2）若一个数是负数，则这个数的立方是负数．它是真命题．
（3）若两个角是对顶角，则这两个角相等．它是真命题．
精彩解读
【试题来源】人教版A版选修1-1，2-1第4页例3.
【母题评析】本题考查了假言命题的形式及其真假的判定.作为基础题，命题的四种形式及其真假的判定，是历年来高考的一个常考点.
【思路方法】可以借助相关的基础知识判定一个命题是真命题，而判断假命题只要举一个反例即可！
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2017山东，文5】已知命题：；命题：若，则．下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由时成立知是真命题，由可知是假命题，所以是真命题，故选B．
【命题意图】本题考查或、且、非命题真假的判断，属容易题．它考查学生的逻辑推理能力，考查学生分析问题与解决问题的能力.
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易.
【难点中心】解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断．
【例3】【2017高考北京，文13】能够说明“设是任意实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为______________________________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】相矛盾，所以验证是假命题.
【命题意图】本题主要考查不等式的性质. 本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力等.
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．
【难点中心】解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合题意，通过举反例应用“排除法”解题.
III．理论基础·解题原理
考点一 四种命题及其真假的判断
（1）命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫做命题.其中，判定为真的命题叫真命题，判定为假的命题叫假命题. 常用小写的拉丁字母，，，，……表示命题．
（2）四种命题及其关系
①四种命题及其关系
②四种命题的真假关系
同一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，互为逆否命题的两个命题同真假；互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系．因此任何一个命题的原命题、否命题、逆命题和逆否命题这四个命题中，真命题与假命题的个数总是偶数．
考点二 含有逻辑联结词命题真假的判断
逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；
简单命题：不含逻辑联结词的命题；
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题．
（1）复合命题有三种形式：或（）；且（）；非（）．
（2）复合命题的真假判断：“或”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；“且”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；“非”形式复合命题的真假判断方法：真假相对．
（3）含逻辑联结词命题真假的等价关系：
①真至少一个真假；
②假都假真；
③真都真假；
④假至少一个假真；
⑤真假；假真．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解．若为新定义题，则难度加大．
【技能方法】
（1）写出命题的四种形式中的某种时，要注意分清原命题的条件和结论，再比较每个命题的条件和结论与原命题之间的关系．判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题等价简化，再进行判断．判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．要判断一个命题是假命题只需举出反例．
（2）从集合的角度认识“或、且、非”：
“或”是具有“选择性”的逻辑联结词，“或”的符号是“”，与集合的并集符号“”含义一致；“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，“且”的符号是“”，与集合的交集符号“”含义一致；“非”是具有“否定性”的逻辑联结词，“非”的符号是“”，与集合的补集符号“”含义一致．因此常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个逻辑联结词构成的命题问题．
【易错指导】
（1）在四种命题的构造中，否命题和逆否命题都涉及对一些词语的否定，要特别注意下表中常见词语的否定．
词语
是
都是
大于
小于
至少一个
至多一个
至少个
至多有个
成立
成立
词语的否定
不是
不都是
不大于
不小于
一个也没有
至少两个
至多有个
至少有个
不成立
不成立
（2）含逻辑联结词的命题的判断易错点有两处：一是对构成它的命题的真假的判断出错；二是对构成它的命题的真假的判断对，但是对含有逻辑联结词的命题的真值表中的“且”与“或”搞混，应注意“”是两真才真，一假必假；“”是一真必真，两假才假，应注意区别．
（3）否命题与命题的否定是两个不同的概念，它们的区别如下表：
否命题
命题的否定
区别
否命题是既否定其条件，又否定其结论
命题的否定只是否定命题的结论
否命题与原命题的真假无必然联系
命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假
V．举一反三·触类旁通
考向1 四种命题及其真假的判断
【例4】【2017甘肃兰州一诊】下列命题中，真命题为（ ）
A. ，
B. ，
C. 已知为实数，则的充要条件是
D. 已知为实数，则，是的充分不必要条件
【答案】D
【解析】A. ，，故A不正确；B.当，时 ，故B不正确；C.充分性：当时，可能，此时不成立，所以充分性不成立，故C不正确；D.当，时，成立，所以充分性成立；当时，可能为复数，故必要性不成立.正确，故选D.
【例5】【2017吉林二调】下列关于命题的说法错误的是（ ）
A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；
B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；
C. 若命题：，，则，；
D. 命题“，”是真命题
【答案】D
【例6】【2017江西师大附中、临川一中联考】下列说法中错误的是_______（填序号）
①命题“有”的否定是“有”；
②已知 ，则的最小值为；
③设，命题“若，则”的否命题是真命题；
④已知，，若命题为真命题，则的取值范围是.
【答案】①④
【例7】【2017山东淄博3月模拟】下列命题为真命题的是（ ）.
A. 若，则
B. “”是“函数为偶函数”的充要条件
C. ，使成立
D. 已知两个平面，若两条异面直线满足且，则
【答案】D
【解析】对于A：令，，则不成立，故排除A；
对于B：“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件，故排除B；
对于C：根据幂函数，当时，函数单调递减，故不存在，使成立，故排除C；
对于D：已知两个平面，若两条异面直线满足且，可过作一个平面与平面相交于，由线面平行的性质定理可得，再由线面平行的判断定理可得，，由面面平行的判断定理可得，所以D正确；故选D.
考向2 含有逻辑联结词命题真假的判断
【例8】【2017安徽蚌埠3月质检】在射击训练中，某战士射击了两次，设命题是“第一次射击击中目标”，命题是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件 （ ）
A. 为真命题 B. 为真命题
C. 为真命题 D. 为真命题
【答案】A
【例9】【2017山西五校联考】给出下列两个命题：
命题：若在边长为1的正方形内任取一点，则的概率为.
命题：若函数，则在区间上的最小值为4,.
那么，下列命题为真命题的 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【例10】【2017广东梅州一检】已知命题:，命题:，使，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为命题为假命题，命题为假命题，所以为真命题，选D．