2018高中数学（文）黄金100题系列第03题+量词的应用

I．题源探究·黄金母题
【例1】写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
（1）任意两个等边三角形都是相似的；
（2）．
【解析】（1）存在两个等边三角形，它们不相似．是假命题．
（2）．是真命题．
精彩解读
【试题来源】人教版A版选修1-1，2-1第25页例5．
【母题评析】本题考查了全称命题与特称命题的否定及真假的判断．作为基础题，全称命题与特称命题的否定以及真假的判断，是历年来高考的一个常考点．
【思路方法】（1）对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．
（2）命题与真假性恰好相反．
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2017山东，文5】已知命题：；命题：若，则．下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由时成立知是真命题，由可知是假命题，所以是真命题，故选B．
【命题意图】本题考查或、且、非命题真假的判断，属容易题．它考查学生的逻辑推理能力，考查学生分析问题与解决问题的能力．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易．
【难点中心】解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断．
【例3】【2016高考浙江文数】命题“，使得”的否定形式是 （ ）
A．，使得 B．，使得
C．，使得 D．，使得
【答案】D
【解析】的否定是，的否定是，的否定是，故选D．
【命题意图】本类型主要考查全称的否定．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度一般不大；从考查的数学知识上看，能涉及高中数学的全部知识．
【难点中心】解答此类问题，关键在于熟记全称命题和特称命题的概念，以及全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．
III．理论基础·解题原理
高考对全称命题、特称命题的考查主要有以下三个命题角度：
（1）全称命题、特称命题的否定；
（2）判断全称命题、特称命题的真假性；
（3）根据含有量词的命题的真假求参数的取值或范围．
考点一 全称命题、特称命题的否定
1．全称量词与全称命题：
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．含有全称量词的命题，叫做全称命题．
2．存在量词与特称命题：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．含有存在量词的命题，叫做特称命题．
3．全称命题与特称命题的结构：
命题
全称命题“?x∈A，p(x)”
特称命题“?x∈A，p(x)”
表述方法
①对所有的x∈A，p(x)成立；
②对一切x∈A，p(x)成立；
③对每一个x∈A，p(x)成立；
④任选一个x∈A，p(x)成立；
⑤任意x∈A，都有p(x)成立
①存在x∈A，使p(x)成立；
②至少有一个x∈A，使p(x)成立；
③对有些x∈A，p(x)成立；
④对某个x∈A，p(x)成立；
⑤有一个x∈A，使p(x)成立
4．全称命题与特称命题的符号表示及否定
全称命题，它的否定．全称命题的否定是特称命题．
特称命题，它的否定．特称命题的否定是全称命题．
全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可．
注意：
（1）全称命题(特称命题)的否定与命题的否定是不同的．全称命题(特称命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定是只否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
（2）含有逻辑联结词的命题的否定是一个难点，其原理是：，．
考点二 判断全称命题、特称命题的真假性
全称命题与特称命题真假的判断方法：
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
考点三 根据含有量词的命题的真假求参数的取值或范围
1．与全称命题相关的“恒成立” 问题；
2．与特称命题相关的“存在” 或“是否存在”问题：
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小；从考查的数学知识上看，能涉及高中数学的全部知识．
【技能方法】
（1）对含有量词的命题进行否定的方法：
全称命题，它的否定．特称命题，它的否定．
（2）全称命题与特称命题真假的判断方法：
要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合中的每一个元素，证明都成立；要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合中的一个特殊元素，使不成立即可．
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合中，找到一个特殊元素，使都成立即可否则这一特称命题就是假命题．
无论是全称命题还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，都可先判断其否定的真假．
（3）与全称命题相关的“恒成立” 问题解题方法：
常以二次函数、对数函数等函数为载体，解题时应注意函数思想、数形结合思想以及赋值法的应用．
（4）与特称命题相关的“存在” 或“是否存在”问题解题方法：
可假设存在，然后找出符合条件的元素得出肯定结论，或推出矛盾，从而得出否定结论．
【易错指导】
写全称命题（特称命题）的否定，常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．
V．举一反三·触类旁通
考点1 全称命题、特称命题的否定
【例4】【2017黑龙江大庆一模】设命题p: ；则为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】命题p: ，则为，故选C．
【例5】【2017山东日照】命题“”的否定是 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【名师点睛】对于全(特)称命题，在写出其否定时，都要从两个方面进行：一是对量词或量词符号进行改写．二是对命题的结论进行否定，两者都缺一不可．要搞清命题的否定与否命题的区别，命题的否定是否定这个命题的结论，而否命题是否定条件当条件，否定结论当结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真．
考点2 判断全称命题、特称命题的真假性
【例6】【2017湖南株洲一模】下列命题中假命题的是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【名师点睛】本题主要考查全称命题、特称命题命题真假的判断，属于易错题．全称命题真假的判断方法： ，对于范围M内的每一个值，都能使 成立，则为真命题，若在范围M内存在一个数，使不成立，则为假命题；特称命题真假判断的方法： ，在范围M内，至少有一个数 ，使 成立，则为真命题，当使得 成立的，则为假命题．
【例7】【2017辽宁沈阳大东区一模文数】以下四个命题中，真命题是 （ ）
A．，
B．“， ”的否定是“， ”
C．，函数都不是偶函数
D．条件： ，条件:则是的必要不充分条件
【答案】D
【解析】A．不正确， 时， ， 时， ；B．不正确，应为“”；C．不正确，当 时， 是偶函数；D．正确．故选D．
【例8】【2017江西赣州二模文数】对于下列说法正确的是 （ ）
A．若是奇函数，则是单调函数
B．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”
C．命题，则，
D．命题“”是真命题
【答案】D
【例9】【2017福建厦门一中高考考前模拟】不等式组的解集记为，命题， ，命题， ，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】D为可行域，如图，其中 ，因为直线 过点B时取最小值5，所以命题为真；因为直线 过点A时取最小值3，所以命题为假；因此 为真，选C．
【例10】【2017四川眉山中学高三5月月考】下列4个命题中正确命题的个数是（ ）
①对于命题，使得，则，都有；
②已知；
③已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为，则回归直线方程为；
④“”是“”的充分不必要条件
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【例11】【2017百校大联考全国名校联盟届高三联考六】已知命题直线与相交但不垂直；命题 ， ，则下列命题是真命题的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】命题 ，即直线和直线互相垂直，故命题错误；命题当时不等式成立，故命题正确；综上可知，正确，故选A．
【例12】【2017河南洛阳三模文数】已知命题： ，都有；命题： ，使得，则下列复合命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时， ，所以命题是假命题； 和有交点，所以命题是真命题，那么复合以后是真命题，故选B．
【例13】【2017黑龙江大庆三模数学文】已知命题若是实数，则是的充分不必要条件；命题 “”的否定是“”，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】“”是“”的既不充分也不必要条件，所以为假命题；“”的否定是“”，所以为假命题；因此为真命题．故选择D．
考点3 根据含有量词的命题的真假求参数的取值或范围
【例14】【2017北京西城区二模数学文】函数．若存在，使得，则k的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
当 时： ，解得： ，此时：；
当 时： ，解得： ，此时： ，
综合以上两种情况可得k的取值范围是 ．
【名师点睛】无论参数出现在什么类型 的题目中，只要根据解题要求，即参数的存在对解题造成了怎样的阻碍，通过分类讨论，消除这种阻碍，使问题得到解决．但需要注意一点，不能形成定势思维：有参数就一定要分类讨论．
【例15】【2017山东淄博二模数学文】已知，函数，（是自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数；
（Ⅱ）若，且命题“，”是假命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）当时，没有极值点，当时，有一个极小值点．（2）
试题解析：（Ⅰ）因为，所以，
当时，对，，
所以在是减函数，此时函数不存在极值，
所以函数没有极值点；
当时，，令，解得，
若，则，所以在上是减函数，
若，则，所以在上是增函数，
当时，取得极小值为，
函数有且仅有一个极小值点，
所以当时，没有极值点，当时，有一个极小值点．
（Ⅱ）命题“，”是假命题，则“，”是真命题，即不等式在区间内有解．
若，则设 ，
所以 ，设 ，
则，且是增函数，所以
当时，，所以在上是增函数，
，即，所以在上是增函数，
所以，即在上恒成立．
当时，因为在是增函数，
因为， ，
所以在上存在唯一零点，
当时，，在上单调递减，
从而，即，所以在上单调递减，
所以当时，，即．
所以不等式在区间内有解
综上所述，实数的取值范围为．
【例16】【2017湖北黄冈中学高三5月第三次模考文科数学】若命题“”是假命题，则的取值范围是__________．
【答案】
【例17】【2017江苏盐城三模】若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】 为真命题，所以