2018高中数学（文）黄金100题系列第08题+函数的解析式

第8题 函数的解析式
I．题源探究·黄金母题
【例1】如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，试求的解析式，并画出函数的图象．
【解析】当时，；当时，＝；当时，＝．综上知，
精彩解读
【试题来源】人教版A版必修一第13页复习参考题B组第2题
【母题评析】本题以平面几何图形为载体，考查函数解析式的求法，以及根据函数解析画函数的图象．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到对学生能力的考查．
【思路方法】此类试题是平面几何图中由于动点的运动引起了某些几何量的变化，由此也与函数有了紧密联系，也就产生了此类试题．解答此类试题通常要利用分类讨论的思想，同时要注意结合平面几何及三角知识进行求解．
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2017高考新课标II】已知函数，且．
求（节选）．
【解析】的定义域为．设，则等价于，，故，而，得．
若，则．当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增．所以x=1是的极小值点，故
综上，．
【例3】【2015高考新课标Ⅱ】如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动到两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为（ ）
【答案】B
【解析】由已知得，当点在边上运动时，即时，；当点在边上运动时，即时，，当时，；当点在边上运动时，即时，，综上可知由此可知函数的图象是非直线型的，排除A，C．又，排除D，故选B．
【命题意图】本类题通常主要考查函数解析式的求法与图象识别．．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题的形式出现，中等偏上难度，往往与平面几何知识、三角函数等知识有联系
【难点中心】此类试题的解答通常结合图形的具体特点，首先明确哪个是自变量？哪个是因变量，它们对应于几何图形中哪些线段或角，然后结合分类讨论的思想进行求解．
III．理论基础·解题原理
考点一 函数解析式概念
（1）函数解析式定义：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．
（2）解析式优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．
考点二 基本初等函数的解析式
（1）一次函数：；
（2）反比例函数：；
（3）二次函数：；
（4）指数函数：；
（5）对数函数：；
（7）幂函数：；
（8）三角函数：．
Ⅳ．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常在选择题、填空题中均可能出现考查，在解答题常常伴随函数在实际问题的应用、涉及函数的导数问题应用．
【技能方法】
求函数解析式常用方法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、消元法（方程法）、图象法、性质法等，这些方程的选择都要根据所给有关函数的具体信息进行分析，如已知函数模型时，常用待定系数法．
【易错指导】
（1）因为解析具有定义域、对应法则、值域，而定义域是函数的灵魂，因此一定要注意在求得解析后要注意函数的定义域；
（2）利用换元法（或凑配法）求函数解析式时，确定函数的定义域是一个难点，同时也是一个易错点，因为这类题主要涉及到复合函数问题；
（3）利用性质法求函数解析式时，常常在自变量的转换上或函数名称变换上犯糊涂，因为这类题实质上是涉及到分段函数问题．
（4）求实际应用问题的函数模型问题，确定函数定义域时，除函数解析式本身要求有意义外，自变量的取值还必须符合实际意义．
Ⅴ．举一反三·触类旁通
考向1　利用待定系数法求解析式
【例1】已知二次函数满足条件，及，则求___________．
【例2】【改编题】已知函数在点处的切线方程为，则函数___________．
【解析】因为，则由题意，则，解得，所以．
【点评】待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，适用于已知或能确定函数的解析式的构成形式(如一次函数、二次函数、反比例函数、函数图象等)，求函数解析式．其解法是根据条件写出它的一般表达式，然后由已知条件，主要通过系数的比较，列出等式，确定待定系数．
【跟踪练习】
1．【2017河南安阳一模】已知是定义在上的函数的导函数，若方程无解，且， ，设， ， ，则， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
点睛：此题意主要考查了函数的导数、单调性在函数值大小的比较中的应用，以及真数相同底数不同的对数值的比较等方面的知识，属于中高档题型，亦是高频考点．有三个关键点：
（1）由方程无解，可知函数在上为单调函数；
（2）由，可知是定值；
（3）对于对数函数，在真数相同底数不同的函数值中，当时，底数越小，函数值越大；当时，底数越大，函数值越小．
2．【2018山西运城康杰中学高一上学期第一次月考】已知， 是二次函数，且为奇函数，当时， 最小值为1，求的解析式．
【答案】或
【解析】试题分析：令，而为奇函数，故，解得， ．其对称轴为，根据对称轴和区间的位置关系，分成类讨论当为何值时取得最小值，由此求得函数的解析式．
【试题解析】
设　
则为奇函数
对任意恒成立，即
对任意恒成立 　
的图象的对称轴为直线
当时， 的最小值为1
或或
或或
即或或（舍）
综上可知： 或
点睛：本题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查了二次函数的图象与性质，考查了函数的奇偶性与单调性．由于已知函数为二次函数，故可设出二次函数的一般式，然后利用函数的奇偶性可求得的值，在利用对称轴和定义域，结合最小值可求得的值．
考向2　利用换元法（或配凑法）求解析式
【例3】【改编题】（1）若，则（ ）
A．　　　B．　　　C．　　　D．
（2）已知，则___________．
【点评】已知复合函数的表达式，要求的解析式时，可考虑令，反解出，将其代入的表达式中，再用替换便可得到函数的表达式；（2）已知复合函数的表达式，要求的解析式时，若的表达式右边易配成的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时要注意定义域的变化．
【跟踪练习】
1．【四川省双流中学2017-2018学年高一上学期期中考试】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则，所以，故选B．
2．【山西省实验中学2017-2018学年高一上学期10月月考】若，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
考向3　利用函数性质求解析式
【例4】已知为奇函数，为偶函数，且，则函数___________，___________．
【解析】∵为奇函数，为偶函数，∴．又 ①，故，即 ②．
由①②得：，＝，．
【例5】 函数是上的奇函数，满足，当时，，则当时，___________．
【解析】因为，所以函数的图象关于直线对称，即成立．又为奇函数，所以．设，则，则，所以，即当时，．
【点评】已知函数的某些性质(奇偶性、周期性、对称性等)，可利用这些性质求解．常常涉及到两个转换过程：（1）自变量的转换，即将所求解析式的定义域范围转移到已知函数的定义域内；（2）函数名称的转换，如将转换为、（为常数）转化为等．
【跟踪练习】
1．【2018江西六校第五次联考】设函数是定义在上的奇函数，且=，则（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【答案】A
2．【2017河南南阳、信阳等六市第一次联考】已知是定义在上的偶函数，且恒成立，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：，，，即是最小正周期为的函数，令，则，当时，，，，是定义在上的偶函数，，令，则，，，，当时，函数的解析式为:．所以B选项是正确的．
考点：利用函数的性质求解析式．
【思路点睛】根据将换为，再将换为，得到函数的最小正周期为，由当时，，求出的解析式，再由是定义在上的偶函数，求出的解析式，再将的图象向左平移个单位即得的图象，合并并用绝对值表示的解析式．
考向4　利用方程法（消元法）求函数解析式
【例6】【改编2016届湖北龙泉中学等校9月联考】定义在上的函数满足: ，则___________．
【例7】【改编题】定义在上的函数及二次函数满足：，则___________．
【解析】（1）∵　　①，，即　　　②．由①②联立解得．
【点评】消元法适用的范围是：题设条件有若干复合函数与原函数混合运算，则充分利用变量代换，然后联立方程消去其余部分可求得函数的表达式．
【跟踪练习】
1．【2018江西樟树中学高一上学期第一次月考】若函数对于任意实数恒有，则等于
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵对任意实数恒有，∴用代替式中的可得，联立可解得，故选A．
点睛：本题主要考查了函数解析式的求法，属基础题；常见的函数解析式方法：①待定系数法，已知函数类型（如一次函数、二次函数）；②换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；③配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式；④消去法：已知与或之间的关系，通过构造方程组得解．
2．【2017河南新乡三模】若 对恒成立，则曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】（或）
考向5　根据图象确定解析式
【例8】【2018山东枣庄模拟】函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是（ ）
A．　　B． 　C．　　D．
【解析】根据已知条件可知，函数为奇函数，所以应排除；函数的图象过原点，所以应排除；图象过，所以排除；故选．
【点评】根据给出函数的图象确定函数的解析式，主要有两种题型：（1）根据函数图象求函数的解析式，解答时常常根据图象特征及图象上的特殊点，求出具体的相关的量的值；（2）根据函数图象，同时给出了多个函数解析式，从中进行选择，解答时通常结合函数的性质，结合排除法进行解决．
【例9】【2017安徽江南十校高三3月联考】若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ )
A． B． C． D．
【答案】B
点睛：本题在求解时，充分利用题设中提供的函数的图象信息，没有直接运用所学知识分析求解，而是巧妙借助单项选择题的问题特征，独出心裁的运用了答案排除法使得问题的求解简捷、巧妙而获解．
【跟踪练习】
【2017四川成都七中6月1日高考热身考试】如图，在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，给出下列结论：
①；②；③；④
其中正确的结论是：__________．（填上你认为所有正确的结论序号）
【答案】②③④
考向6　建立解析式识别图象
【例10】如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的函数，则在上的图象大致为(　　)
A　　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　　　D
【解析】如图所示，作，垂足为，当时，在中，．在中，；当时，在中，，在中，＝．综上可知，所以当时，的图象大致为C．
【例11】【2017福建厦门双十中学下期热身】如图，半径为2的圆与直线切于点，射线从出发，绕点逆时针旋转到，旋转过程中与圆交于，设，旋转扫过的弓形的面积为，那么的图象大致为（ 　　　）
【点评】此类试题比较灵活，是近几年考查的热点之一．解答时从已知条件出发，根据图形结构，结合三角函数知识、勾股定理、正弦定理、余弦定理、距离公式等知识建立函数的解析式，然后作出选择，有时也要根据函数的性质（奇偶性、单调性、定义域与值域），利用动态过程中涉及的界点情况作出判断．
【跟踪练习】
1．【2017广西5月份考前模拟】函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
点睛：本题旨在考查函数的图象的识读和分析推断能力的综合运用．解答本题的关键是借助函数的图象和基本性质，综合运用所学知识分析判断答案的正确与错误，求解时先运用函数的奇偶性的定义判断函数是奇函数，进而通过函数的取值推断该函数的零点所在和单调变化，进而获得正确答案．
2．【2018贵州遵义航天中学一模】已知P是圆上异于坐标原点O的任意一点，直线OP的倾斜角为，若，则函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】 ，所以对应图象是D
点睛：(1)运用函数性质研究函数图象时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向．(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究．如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系．
考向7　建立解析式解决实际问题
【例12】【2018湖北宜昌一中、龙泉中学联考】如图所示，桶1中的水按一定规律流入桶2中，已知开始时桶1中有升水，桶2是空的，分钟后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线（其中是常数，是自然对数的底数）．假设在经过5分钟时，桶1和桶2中的水恰好相等．求：
（1）桶2中的水（升）与时间（分钟）的函数关系式；
（2）再过多少分钟，桶1中的水是升?
【点评】在函数应用题中，建立函数的解析式常常设置在解答题的第（1）题的位置上，只有进行正确的建模，才能解答第（1）题后面的其它小题．而建立函数解析时，一定要注意结合实际应用的要求与题设条件确定函数的定义域．
【例13】【2018福建三明一中高一上学期第一次月考】楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0．1万元/辆．根据市场调查，月销售辆不会突破30台．
（1）设当月该型号汽车的销售量为辆（，且为正整数），实际进价为万元/辆，求与的函数关系式；
（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价-进价）
【答案】（1）（2）该月需售出10辆汽车．
试题解析：解：（1）由题意，
当时， ．
当时， ．
∴；
当时，
，不符合题意，
当时，
，
解得： （舍去），．
答：该月需售出10辆汽车．
【例14】【2018江苏南京上学期期初学情调研】某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时．
设f(x)＝t1＋t2．
（Ⅰ）求f(x)的解析式，并写出其定义域；
（Ⅱ）当x等于多少时，f(x)取得最小值？
【答案】（1） 定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}（2）当x＝75时，f(x)取得最小值．
试题解析：解：（1）因为 所以
定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}．
（2）f(x)＝＝， 因为1≤x≤99，x∈N*，所以＞0， ＞0，
所以≥2＝6，
当且仅当＝，即当x＝75时取等号．
答：当x＝75时，f(x)取得最小值．
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
【跟踪练习】
1．【2017湖南株洲一模】某市家庭煤气的使用量和煤气费(元)满足关系
已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：

若四月份该家庭使用了的煤气，则其煤气费为____元．
【答案】11．5；
点睛：解答本题的难点在于不知道函数的解析式的对应关系，需要进行分析和推断，然后运用题设条件建立方程组从而求出函数解析式中的参数，确定函数的解析式，求出了问题燃气的燃气费中而获解．
2．【2018江苏高邮一中高一上学期第一次学情调研】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图(1)；投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图(2)．（注：收益与投资额单位：万元）
(1)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
【答案】（1）； （2），万元
【解析】试题分析：（1）根据图象写出函数 ，分别将点 代入对应函数即可求得 的值，得到函数关系式（2）根据已知条件写出总投资收益的方程 ，将其转化为方程，通过 的取值范围求出 的取值范围，进而可求出 的最大值．

(2)设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，
依题意得： ，
令 ，则 ，
所以当，即万元时，收益最大， 万元．
【点睛】
本题（1）采用的的“待定系数法”求函数的解析式．要使用这种方法需要知道函数的类型，根据类型写出 的解析式，再结合其它已知条件确定函数的系数即可．