2018高中数学（文）黄金100题系列第09题+函数的单调性

第9题 函数的单调性
I．题源探究·黄金母题
【例1】已知函数，求函数的最大值和最小值．
【答案】
【解析】设是上的任意两个实数，且，则
由，得，
所以，即，
故在区间上是增函数．因此，函数在区间的左端点处取得最小值，右端点处取得最大值，即最小值是，最大值是．
精彩解读
【试题来源】人教版A版必修一第31页例4．
【母题评析】本题通过对函数的单调性的判断或证明，进而利用函数的单调性求出函数在某一闭区间上的最大值和最小值．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式．
【思路方法】利用函数的单调性的定义或借助函数的图象判断函数的单调性，借助函数的单调性研究函数的极值与最值或比较大小或解不等式等．
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2017高考天津卷】已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，则，所以即，，所以，故选C．
【例3】【2017高考山东卷】若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质．下列函数中所有具有性质的函数的序号为 ．
①；②；③；④
【答案】①④
【解析】试题分析：①在上单调递增，故具有性质；②在上单调递减，故不具有性质；③，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；
④，令，则，在上单调递增，故具有性质．
【例4】【2017高考课标2卷】函数的单调递增区间是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则，解得：或，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为．故选D．
【例5】【2016高考新课标I卷】若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 对于选项A：由于，所以函数在上单调递增．由，得．故A错误．
又，即．故B错误．
对于选项B：要比较与的大小，只需比较与的大小．构造函数，因为，所以，因此函数在上单调递增．又，对于选项C:要比较与的大小关系，只需比较与的大小，即比较与的大小．构造辅助函数，．令得．函数在上单调递增，因此，若，得，故．又，所以，即，得．
故选项C正确．
对于选项D：比较与的大小，只需比较与的大小，即比较与的大小．又，得
，所以．又，得，即．故选项D不正确．综上可得选C．
【命题意图】本类题通常主要考查一些常见函数的图象与性质，主要利用函数的单调性比较大小．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往 与不等式的性质同时考查．
【难点中心】
（1）对于比较大小问题，简单问题可直接借助一个的常见函数的单调性，利用自变量的大小关系，推出函数值的大小关系，复杂一点的，有时需要把式子适当变形，然后再构造一个适当的函数，同样借助这个函数的单调性，利用自变量的大小关系，推出函数值的大小关系．是基础题．
（2）新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．
（3）求函数单调区间的常用方法：
①定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；
②图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；
③利用复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性．
III．理论基础·解题原理
一、函数的单调性的基本概念
1．函数的单调性
一般地，设函数的定义域为，区间，如果对于任意，当时，
若，则函数在区间上是增函数；
若，则函数在区间上是减函数；
2．函数的单调区间
若函数单调在区间上是增函数（或减函数），则称函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．
二、辨明两个易误点
(1)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
(2)注意函数的定义域为不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如函数在(－∞，0)、(0，＋∞)上递减，而不能说在定义域上递减．
三、判断函数单调性的四种方法
(1)定义法： 取值、作差、变形、定号、下结论；
(2)复合法：“同增异减”，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；
(3)图象法： 如果f(x)是以图象形式给出的，或者的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性．
(4)导数法： 利用导函数的正负判断函数单调性．
四、认识反应函数单调性的陌生函数符号
定义在R上的函数对任意都有，说明函数为减函数；同样若，说明函数为增函数；类似呢？
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数的奇偶性、周期有联系，主要考查求值、比较大小、解不等式等．
【技能方法】
解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的单调性．研究函数的单调性时，可灵活采用定义法、复合法、图象法、导数法，了解函数再定义域内的区间上的单调性，在此基础上再借助函数的奇偶性、周期性、特殊值等，模拟画出函数的图象，最后利用数形结合思想，达到求最值、比较大小、解不等式的目的．
【易错指导】
(1)求函数的单调区间，必须先求出函数的定义域，函数的单调区间是函数定义域的子集．
(2)利用函数单调性解不等式时，要注意函数的定义域，特别是函数为偶函数时，注意使用“绝对值”
V．举一反三·触类旁通
考向1 判断函数的单调性（求函数的单调区间）
【例1】【2018安徽滁州9月联合质量检测】下列函数在上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【例2】【2017高考北京卷】已知函数，则 （ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【解析】，所以该函数是奇函数，并且是增函数， 是减函数，根据增函数?减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A．
【名师点睛】本题属于基础题型，根据与的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数?减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性．
【例3】【2018辽宁鞍山一中一模】已知函数，则的增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
点睛：求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质．
【跟踪练习】
1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)
A．y＝　　　　　　B．y＝x3　 C．y＝ln x D．y＝|x|
【答案】B
【解析】首先为上的减函数，排除A；的定义域为，排除A；在上为减函数，排除D；则本题选B．
2．【2017江西六校联考】下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A:函数在递减，不合题意；
对于B : 是偶函数且在递增，符合题意；
对于C： 是周期函数，在不单调，不合题意；
对于D：此函数不是偶函数，不合题意；故选B．
3．【2018河北邢台模拟】函数的单调递增区间是　(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
考向2 函数的单调性与比较大小
【例4】已知，且，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 选项A错误：因为；选项B错误：三角函数在上不是单调的，所以不一定有．举反例如，当时，；选项C正确：由指数函数是减函数，可得；；选项D错误：举一个反例如，，．满足，但．故选C．
【点评】利用函数的单调性比较大小是函数的最基本问题，选择一个适当的函数，利用函数在一个单调区间上的单调性，根据自变量的大小关系，判断函数值的大小关系，显然，掌握所学的基本函数的单调性就显得非常必要了．
【例5】【2018河南天一大联考】已知，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】为减函数，所以
为增函数，所以 ，选D．
【跟踪练习】
1．【2018河北省衡水模拟】已知函数为内的奇函数，且当时， ，记， ， ，则， ， 间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2．【2018河北武邑中学第二次调研】已知， ， ， ，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，，，且，又，，∴，∴，故选A．
3．【201天津滨海八校联考】已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，记， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则，所以函数 在 上单调递减，因为是定义在上的奇函数，所以是定义在上的偶函数，因此 ，，，即，选A．
点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行
考向3 函数的单调性与解不等式
【例6】【2017高考新课标I卷】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】函数的奇偶性、单调性
【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题，若在R上为单调递增的奇函数，且，则，反之亦成立．
【例7】【2017江苏，11】已知函数，其中e是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是 ▲ ．
【答案】
【考点】利用函数性质解不等式
【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内．
【例8】【2018河南林州一中10月调研】设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数为奇函数，则，，化为，等价于，当时，解得，当时，，不等式的解集为，故选D．
【跟踪练习】
1．【2018河北邢台模拟】函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数在上为增函数，且， ，解得，故选A．
【方法点晴】本题主要考查抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题．根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组．
2．【2016高考天津卷】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增．若实数a满足，则a的取值范围是______．
【答案】

【点评】利用函数的单调性解不等式就是根据函数值的大小判断自变量的大小关系，进而解出不等式，解答时也要注意函数的定义域的要求．另外解不等式时经常利用数形结合思想，在解题时既要想形又要以形助数．
3．【2018南宁摸底联考】已知函数，，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意可得f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，又==，所以原不等式可化为，即，
又x>0时，>0，所以f(x)在上单调递增，上式转化为解得，填．
【点睛】
对于复合函数值构造的不等式题型时，我们常对所给函数性质进行研究，如定义域，奇偶性，单调性，再进行不等式中的比较．如本题，f(x)是偶函数且在在上单调递增，所以可以利用偶函数与单调性解不等式．
考向4 利用导数判断函数的单调性
【例9】【例2018辽宁凌源三校联考】已知函数为内的奇函数，且当时， ，记， ， ，则间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【跟踪练习】
已知函数的图象关于对称，当，有成立，则（ ?）
B．
C． D．的大小不确定
【答案】A
【解析】函数的图象关于对称，说明函数的图象关于原点对称，令，由于当，有成立，说明时，，在上为减函数，函数的图象关于原点对称，则在上为减函数，由于，，则，即，有，选A
【点评】导数是解决函数问题的锐利武器，利用对函数求导，借助导数的正负，判断函数的增减，是解决函数问题常用的方法，构造函数利用导数解题也是常用技巧．
考向5 函数的单调性性与函数的零点
【例10】【2018广东广州模拟】已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
点睛：本题主要考查函数的零点的存在性定理，函数的单调性的应用，一般地，如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=O，这个c也就是f（x）=0的根．
【例11】【2016高考天津卷】已知函数f（x）=（a>0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
（A）（0，] （B）[，] （C）[，]{}（D）[，）{}
【答案】C
【解析】由在上递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又∵时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的去范围是[，]{}，故选C．
【点评】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【跟踪练习】
1．【2017湖北七校联考】已知是奇函数并且是R上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．【2017广东广州模拟】已知函数 则函数的零点个数为 个．
【答案】2
【解析】的零点个数，即是方程的根的个数，也就是与的图象的交点个数，分别作出与的图象，如图所示，由图象知与的图象有两个交点，所以函数有2个零点．
【点评】函数的零点就是方程的根，就是函数的图象与轴交点的横坐标；若函数形如的形式，则函数的零点为函数与两个图象交点的横坐标，函数零点的个数就是两图象的交点的个数．因此问题就转化为研究函数图象问题．
考向6 函数的单调性与方程
【例12】【2017北京丰台一模】已知函数，下列命题正确的有_______．（写出所有正确命题的编号）
①是奇函数；
②在上是单调递增函数；
③方程有且仅有1个实数根；
④如果对任意，都有，那么的最大值为2．
【答案】①②④
，令可得，，即方程有一根，，则方程有一根之间， 所以是错误的；对于④中，如果对于任意，都有，即恒成立，令，且，若恒成立，则必有恒成立，若，即恒成立，而，若有，所以是正确的，综上可得①②④正确．
【例13】【2017河北保定二模】已知定义在上的函数的导函数是连续不断的，若方程无解，且，，设，，，则的大小关系是__________．
【答案】
【跟踪练习】
【2016高考山东卷】已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
试题分析：
画出函数图象如下图所示：

由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得
【点评】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念．解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式．本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等．
考向7 利用函数的单调性求参数范围
【例14】【2018豫南九校第二次质量检测】已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【例15】【2017湖北浠水模拟】若在区间上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，令，则，由于在区间上是增函数，故，结合在区间上是增函数，可得在上单调递增，由于二次函数的图象的对称轴为，∴，∴，故选D．
点睛：本题主要考查了复合函数的单调性，三角函数的单调性，含有参数的一元二次函数的单调性，属于中档题；利用二倍角公式及诱导公式首先把函数变形成标准型的二次函数，进一步利用复合函数的单调性求出结果．
【例16】【2017云南昆明第二次统测】定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期．若是上的级类周期函数，且，当时， ，且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法．
【例17】【2017广西高三上学期教育质量检测】已知定义在上的奇函数在上递减，若对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得 在 上是减函数，故原命题等价于，即
在 上恒成立，设，令，当 时 ，当 时 ，因此 ，故选C．
【点睛】本题关键步骤有：1．利用奇函数的性质可得 在 上是减函数；2．将原命题等价转化为 在 上恒成立；3．利用导数工具求得，从而求得正解．
【跟踪练习】
1．【2018江苏扬州模拟】已知函数，若，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【点睛】有关利用函数的奇偶性和单调性解不等式的问题有两类，一是根据函数的奇偶性把所解的不等式化为两个函数值之间的大小问题，在借助函数的单调性比较两个自变量的大小，求出不等式的解，另一种是需要构造函数，需要借助导数判断函数的单调性，借助已知函数的奇偶性判断构造函数的奇偶性，模拟函数图象，再解出不等式．前者要求学生掌握一些常见的函数的奇偶性和单调性，如， ， 等，后者要求学生掌握一些常见的构造函数的方法，如， ， 等．
2．【2017江西四校联考】已知函数，其在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，在区间上单调递增，转化为在上单调递增，又，当时， 在恒成立，必有，可求得；当时， 在恒成立，必有，与矛盾，所以此时不存在．故选C
3．【2017河北衡水模拟】定义在R上的函数对任意都有，且函数的图象关于（1，0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【点评】认识反应函数单调性的陌生函数符号“”或“”很有必要，这对迅速理解题意很有好处．
4．【2017山东济宁3月模拟考】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意得，因为函数在上单调递减，则且，综合可得实数的取值范围是．
【点睛】本题考查了分段函数的单调性的应用，属于中档题，分段函数在定义域上单调递减时，每段函数都要递减，但要注意分界点处函数值的处理，在分界点处函数是可以连续的，即两个函数值是可以相等的，因此在处理分界处的函数值是容易出现错误的，做题时要注意考虑完全．
考向8 函数的单调性与实际应用问题
【例18】【2016高考江苏卷】（本小题满分14分）
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高的四倍．
（1）若则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱柱的侧棱长为6m，则当为多少时，仓库的容积最大？
【答案】（1）312（2）
(2)设A1B1=a(m)，PO1=h(m)，则0因为在直角中，
所以，即
于是仓库的容积，
从而．
令，得 或（舍）．
当时， ，V是单调增函数；
当时，，V是单调减函数．
故时，V取得极大值，也是最大值．
因此，当 时，仓库的容积最大．
【点评】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言能力，强化构建数学模型的几种方法．而江苏应用题，往往需结合导数知识解决相应数学最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握．
【跟踪练习】
1．某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）
（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10
万元投资，才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？．
【答案】（1）=，=，
（2）当A产品投入3．75万元，B产品投入6．25万元时，企业获得最大利润约为4万元
【解析】（1）投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，
由题设=，=．
由图知，又，从而=，=，
2．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，求出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
【答案】解：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，BC=2，tan∠CFB=，即tan60=，解得BF=2，即3﹣t=2，t=1，∴当边FG恰好经过点C时，t=1；
（2）当0≤t＜1时，S=2t+4；当1≤t＜3时，S=﹣t2+3t+；
当3≤t＜4时，S=﹣4t+20；当4≤t＜6时，S=t2﹣12t+36．