2018高中数学（文）黄金100题系列第19题+函数与方程问题的分析
文档属性
| 名称 | 2018高中数学（文）黄金100题系列第19题+函数与方程问题的分析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-04-15 07:25:23 | ||
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文档简介
第19题 函数与方程问题的分析
I．题源探究·黄金母题
【例1】已知，求证：
（1）；
（2）．
【证明】
（1）．
（2）．
精彩解读
【试题来源】人教版A版必修1第82页复习参考题A组第7题．
【母题评析】本题考查了指数幂运算的性质．
【思路方法】逆用指数幂运算的性质解题．
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2017高考江苏卷】设是定义在且周期为1的函数，在区间上， 其中集合，则方程的解的个数是 ．
【答案】8
【解析】由于 ，则需考虑 的情况
在此范围内， 且 时，设，且互质．
若，则由，可设，且互质，因此，则，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此，因此 不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．
【例3】【2014高考辽宁卷】已知定义在上的函数满足：
①；
②对所有，且，有．
若对所有，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨令，则．
解法一：
，
即得，另一方面，当时，，符合题意，
当时，，故．
解法二：当时， ，
当时，
，故．
【命题意图】本题属于能力题，中等难度．在考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等基础知识的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大．
【难点中心】解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，逐步转化成不含绝对值的式子，得出结论．
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
III．理论基础·解题原理
1．函数方程：含有未知函数的等式叫做函数方程，例如：都可称为函数方程．在高中阶段，涉及到函数方程有以下几个类型：
（1）表示函数的某种性质：例如体现是偶函数；体现是周期为1的周期函数（可详见“函数对称性与周期性”一节）．
（2）可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式：例如：，可用代替得，即．
（3）函数方程也是关于变量的恒等式，所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值．
2．双变量函数方程的赋值方法：
（1）对均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如，在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域．
（2）其中某一个变量不变，另一个赋特殊值，可得到单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，考查对基本初等函数及超越函数性质的理解，一般难度较大．
【技能方法】
常见函数所符合的函数方程：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程．
抽 象 函 数
具 体 模 型
比例函数：正
指数函数：
当时，
当时，
幂函数：
三角函数：
【易错指导】
由于抽象函数没有具体的函数解析式，构造时容易顾此失彼，忽略性质的背后可能还蕴涵着其他性质，结论背后可能还推论出其他结论．所以，在解题时一定要反复推敲，不断假设验证，或者索性先构造一个具体函数，然后隐去解析式来叙述这个函数的性质，那么出现错题的可能性就小了许多．
V．举一反三·触类旁通
考向1 求抽象函数的解析式（值）
【例1】【2017东北三省三校第二次联合模拟考试】已知偶函数的定义域为，若为奇函数，且，则的值为（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【答案】D
【例2】已知函数满足：，对任意实数都有，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】由所求出发可考虑判断是否具备周期性，令，可得，即，∴，两式相加可得，则可判定的周期为6，由可得：，即，由可得，则，从而，∴，且．
【例3】设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为 ．
【答案】．
【例4】设函数的定义域为，，且对，都有，则的解析式为________．
【答案】．
【解析】观察到右边的结构并非的轮换对称式，考虑其中一个变量不变，另一个变量赋值为1，则时， ①，时， ②，则求是关键，结合，可令，则，代入到①②可得：，即，消去解得：．
【跟踪练习】
1．已知函数y=f(x)是偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是( )
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【解析】偶函数图像关于y轴对称，所以与x轴四个交点横坐标，两两关于y轴对称，即两两之和为零，所有实根之和为零，选D．
2．【2017重庆第一次调研抽测】奇函数的定义域为．若为偶函数，且，则（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】B
3．已知是定义在上的函数，，且对任意的，都有，那么_________．
【答案】．
【解析】函数方程为“和→积”的特点，抓住，可发现令，则，∴可得：自变量间隔，，其函数值的和为0，∴将求和的式子两两一组，即：
．
4．【2017西省实验中学高三下学期模拟热身】已知定义在上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，（），当时，的最小值为3，则a的值等于 （ ）
A． B．e C．2 D．1
【答案】A
【解析】因为函数是偶函数，所以，即．
当时，．
，有，函数在函数单减，在(单调递增．，解得，故选A．
点睛：本题的难点是对于函数是偶函数的正确转化，应该得到．如果说是是偶函数，则应得到．
考向2 抽象函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值等）
【例5】定义在的函数满足关系，当时，，若，则的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
虑，，则，因为，∴，从而，即，得到在单调递增，∴．
【评注】本题在证明单调性时，因为考虑了中自变量的取值，所以只需考虑的单调性，缩小的范围使得判断的范围较容易．但也可将在中任取，但是在判断的范围会比较复杂，可利用不等式的等价变形来证：假设，因为，且，由可得成立，从而．
【例6】【2017山东聊城模拟】已知定义域为的函数，若函数的图象如图所示，给出下列命题：
①；
②函数在区间上单调递增；
③当时，函数取得极小值；
④方程与均有三个实数根．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
所以方程 均有三个实数根．不正确；故选：C．
【例7】【2018河北衡水模拟】定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于（1，0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【例8】【2018陕西西安长安区高三上学期质量检测】已知定义在区间上的函数满足，且当时， ．
（1）求的值；
（2）证明： 为单调增函数；
（3）若，求在上的最值．
【答案】（1）f（1）=0．（2）见解析（3）最小值为﹣2，最大值为3．
【解析】试题分析：（1）利用赋值法进行求 的值；（2）根据函数的单调性的定义判断在上的单调性，并证明．（3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值．
试题解析：（1）∵函数f（x）满足f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
（2）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，∴f（）＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2?）﹣f（x2）=f（x2）+f（）﹣f（x2）=f（）＞0，
即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．
（3）∵f（x）在（0，+∞）上的是增函数．
若，则f（）+f（）=f（）=﹣2，即f（?5）=f（1）=f（）+f（5）=0，
即f（5）=1，则f（5）+f（5）=f（25）=2，f（5）+f（25）=f（125）=3，
即f（x）在上的最小值为﹣2，最大值为3．
【点睛】本题主要考查函数单调性的定义和性质，以及抽象函数的求值，其中利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，而利用函数的单调性的定义和单调性的应用是解决本题的关键．
【跟踪练习】
1．定义在上的函数满足：对于任意的，有，且时，有，设的最大值和最小值分别为，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【分析】由最值联想到函数的单调性，从而先考虑证明单调，令（其中），则可证明为增函数，从而，再利用函数方程求出的值即可
2．已知函数是定义在上不恒为的函数，且对于任意的实数满足，
，，考察下列结论：
①；②为奇函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列．
其中正确的个数为 ( )
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】考虑按照选项对函数方程中的进行赋值．
①计算，令，可得；令，则，∴，①正确；② 使等式中出现，令，则，需要计算出，结合方程可令，则有，即，∴，为奇函数，②正确；③从等差数列定义出发，考虑递推公式，因为，所以可得：，从而判定为等差数列，③正确；④若按照等比数列定义，考虑，则不易于进行化简．可由③出发得到的表达式：，∴，即，∴，从而可判定是一个等比数列，④正确．
3．【2017上海闵行二模】设函数的定义域是，对于以下四个命题：
(1) 若是奇函数，则也是奇函数；
(2) 若是周期函数，则也是周期函数；
(3) 若是单调递减函数，则也是单调递减函数；
(4) 若函数存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点．
其中正确的命题共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
4．已知函数对任意的均有，且当时，
（1）求证：为奇函数；
（2）求证：为上的增函数．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．
【分析】
试题分析：（1）要证明奇函数，则需要出现在同一等式中，所以考虑令，则有，再通过代入特殊值计算出即可；（2）思路：要证明单调递增，则需任取，且，去证明与的大小，结合等式，则需要让与分居等号的两侧，才能进行作差．所以考虑，进而．只需判断的符号即可．
试题解析：（1）令，则 ．令，则解得，，为奇函数．
（2）任取，且，令，代入方程可得：，，，，依题意可得：，即，为增函数．
【评注】第（2）问将拆分为是本题证明的亮点，达到了让与分居等号的两侧的目的．
5．设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有．
（1）设，求；
（2）证明是周期函数．
【答案】（1）；（2）答案见解析．
（2）证明：依题设关于直线对称，．
又是偶函数，将上式中以代换，得．这表明是R上的周期函数，且2是它的一个周期．
考向3 解不等式
【例9】【2017广西教育质量诊断性联合考试】已知定义在上的奇函数在上递减，若对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【点睛】本题关键步骤有：1．利用奇函数的性质可得 在 上是减函数；2．将原命题等价转化为 在 上恒成立；3．利用导数工具求得，从而求得正解．
【例10】【2017四川南充高级中学4月检测】已知函数在定义域上的导函数为，若方程无解，且，当在上与在上的单调性相同时，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为方程无解，所以函数为单调函数，因此由，得=m(m为常数)， 即 为单调增函数，因此 在在上恒成立．，因此，选A．
点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题．
【例11】【2017陕西西安铁一中学高三上学期第五次模拟考试】已知偶函数在上为增函数，在不等式恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由偶函数可知，可知不等式 恒成立，即恒成立，则可得 恒成立．即 且 恒成立．由根的判别式可得．故本题选C ．
点睛：本题主要考查函数的奇偶性与单调性．对于抽象函数不等式，一般根据函数的奇偶性将它转化为的形式，然后利用函数的单调性将抽象函数不等式转化成具体的不等式，但不能改变变量的定义域．对于奇函数，其图像关于原点中心对称，由图知其在关于原点对称的区间单调性相同；偶函数的图像关于 轴对称，偶函数在关于原点对称的区间单调性相反．
【例12】【2017江西南昌三模】定义域为的函数满足，当时， ．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【点睛】本题考查函数的解析式、抽象函数、函数与不等式，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．先利用已知条件求，再利用数形结合思想观察图像求解不等式．
【跟踪练习】
1．【2017重庆一中5月考】已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，所以函数是奇函数， ，所以函数是单调递增函数，那么不等式等价于 ，故选B．
【点睛】本题考查了利用函数性质，包括奇偶性，单调性，解抽象不等式，本题的出题意图比较明显，重点是分析函数的性质，如果不用导数分析函数的单调性，也可以利用奇函数的性质，奇函数在对称区间的单调性一致，很明显，函数在为增函数，那在定义域内也是增函数，这样判断起来会更快，简便．
2．函数的定义域为，满足，在区间上单调递增，若满足，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
3．【2017衡水金卷】定义域为R的偶函数满足对任意的，有且当时，，若函数在上恰有六个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，所以，所以，即函数的周期为，由此可画出函数和的图像如下图所示．由图可知，，故．
4．【2017云南昆明下学期第二次统测】定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期．若是上的级类周期函数，且，当时， ，且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
5．已知定义在上的函数，对于任意实数都满足，且，当时，．
（1）求的值；
（2）求证：在上是增函数；
（3）求不等式：的解集．
【分析】（1）采用赋值法；（2）考虑证明单调递增，则需构造出，即可设且令，则有，从而，由和已知条件可得：，所以需要证明，即，，可考虑结合题目条件和，令，则有，从而单调性可证；（3）本题并没有的解析式，所以考虑利用函数的单调性求解．由（1）（2）问可得，从而，再根据单调性即可得到关于的不等式，解出不等式即可．
由已知可得当时，所以只需证明时，．令，．，，，，，即，在上单调递增．
（3）解：，．
，且，
．由（2）可得单调递增，，解得．
I．题源探究·黄金母题
【例1】已知，求证：
（1）；
（2）．
【证明】
（1）．
（2）．
精彩解读
【试题来源】人教版A版必修1第82页复习参考题A组第7题．
【母题评析】本题考查了指数幂运算的性质．
【思路方法】逆用指数幂运算的性质解题．
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2017高考江苏卷】设是定义在且周期为1的函数，在区间上， 其中集合，则方程的解的个数是 ．
【答案】8
【解析】由于 ，则需考虑 的情况
在此范围内， 且 时，设，且互质．
若，则由，可设，且互质，因此，则，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此，因此 不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．
【例3】【2014高考辽宁卷】已知定义在上的函数满足：
①；
②对所有，且，有．
若对所有，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨令，则．
解法一：
，
即得，另一方面，当时，，符合题意，
当时，，故．
解法二：当时， ，
当时，
，故．
【命题意图】本题属于能力题，中等难度．在考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等基础知识的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大．
【难点中心】解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，逐步转化成不含绝对值的式子，得出结论．
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
III．理论基础·解题原理
1．函数方程：含有未知函数的等式叫做函数方程，例如：都可称为函数方程．在高中阶段，涉及到函数方程有以下几个类型：
（1）表示函数的某种性质：例如体现是偶函数；体现是周期为1的周期函数（可详见“函数对称性与周期性”一节）．
（2）可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式：例如：，可用代替得，即．
（3）函数方程也是关于变量的恒等式，所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值．
2．双变量函数方程的赋值方法：
（1）对均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如，在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域．
（2）其中某一个变量不变，另一个赋特殊值，可得到单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，考查对基本初等函数及超越函数性质的理解，一般难度较大．
【技能方法】
常见函数所符合的函数方程：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程．
抽 象 函 数
具 体 模 型
比例函数：正
指数函数：
当时，
当时，
幂函数：
三角函数：
【易错指导】
由于抽象函数没有具体的函数解析式，构造时容易顾此失彼，忽略性质的背后可能还蕴涵着其他性质，结论背后可能还推论出其他结论．所以，在解题时一定要反复推敲，不断假设验证，或者索性先构造一个具体函数，然后隐去解析式来叙述这个函数的性质，那么出现错题的可能性就小了许多．
V．举一反三·触类旁通
考向1 求抽象函数的解析式（值）
【例1】【2017东北三省三校第二次联合模拟考试】已知偶函数的定义域为，若为奇函数，且，则的值为（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【答案】D
【例2】已知函数满足：，对任意实数都有，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】由所求出发可考虑判断是否具备周期性，令，可得，即，∴，两式相加可得，则可判定的周期为6，由可得：，即，由可得，则，从而，∴，且．
【例3】设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为 ．
【答案】．
【例4】设函数的定义域为，，且对，都有，则的解析式为________．
【答案】．
【解析】观察到右边的结构并非的轮换对称式，考虑其中一个变量不变，另一个变量赋值为1，则时， ①，时， ②，则求是关键，结合，可令，则，代入到①②可得：，即，消去解得：．
【跟踪练习】
1．已知函数y=f(x)是偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是( )
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【解析】偶函数图像关于y轴对称，所以与x轴四个交点横坐标，两两关于y轴对称，即两两之和为零，所有实根之和为零，选D．
2．【2017重庆第一次调研抽测】奇函数的定义域为．若为偶函数，且，则（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】B
3．已知是定义在上的函数，，且对任意的，都有，那么_________．
【答案】．
【解析】函数方程为“和→积”的特点，抓住，可发现令，则，∴可得：自变量间隔，，其函数值的和为0，∴将求和的式子两两一组，即：
．
4．【2017西省实验中学高三下学期模拟热身】已知定义在上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，（），当时，的最小值为3，则a的值等于 （ ）
A． B．e C．2 D．1
【答案】A
【解析】因为函数是偶函数，所以，即．
当时，．
，有，函数在函数单减，在(单调递增．，解得，故选A．
点睛：本题的难点是对于函数是偶函数的正确转化，应该得到．如果说是是偶函数，则应得到．
考向2 抽象函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值等）
【例5】定义在的函数满足关系，当时，，若，则的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
虑，，则，因为，∴，从而，即，得到在单调递增，∴．
【评注】本题在证明单调性时，因为考虑了中自变量的取值，所以只需考虑的单调性，缩小的范围使得判断的范围较容易．但也可将在中任取，但是在判断的范围会比较复杂，可利用不等式的等价变形来证：假设，因为，且，由可得成立，从而．
【例6】【2017山东聊城模拟】已知定义域为的函数，若函数的图象如图所示，给出下列命题：
①；
②函数在区间上单调递增；
③当时，函数取得极小值；
④方程与均有三个实数根．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
所以方程 均有三个实数根．不正确；故选：C．
【例7】【2018河北衡水模拟】定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于（1，0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【例8】【2018陕西西安长安区高三上学期质量检测】已知定义在区间上的函数满足，且当时， ．
（1）求的值；
（2）证明： 为单调增函数；
（3）若，求在上的最值．
【答案】（1）f（1）=0．（2）见解析（3）最小值为﹣2，最大值为3．
【解析】试题分析：（1）利用赋值法进行求 的值；（2）根据函数的单调性的定义判断在上的单调性，并证明．（3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值．
试题解析：（1）∵函数f（x）满足f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
（2）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，∴f（）＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2?）﹣f（x2）=f（x2）+f（）﹣f（x2）=f（）＞0，
即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．
（3）∵f（x）在（0，+∞）上的是增函数．
若，则f（）+f（）=f（）=﹣2，即f（?5）=f（1）=f（）+f（5）=0，
即f（5）=1，则f（5）+f（5）=f（25）=2，f（5）+f（25）=f（125）=3，
即f（x）在上的最小值为﹣2，最大值为3．
【点睛】本题主要考查函数单调性的定义和性质，以及抽象函数的求值，其中利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，而利用函数的单调性的定义和单调性的应用是解决本题的关键．
【跟踪练习】
1．定义在上的函数满足：对于任意的，有，且时，有，设的最大值和最小值分别为，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【分析】由最值联想到函数的单调性，从而先考虑证明单调，令（其中），则可证明为增函数，从而，再利用函数方程求出的值即可
2．已知函数是定义在上不恒为的函数，且对于任意的实数满足，
，，考察下列结论：
①；②为奇函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列．
其中正确的个数为 ( )
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】考虑按照选项对函数方程中的进行赋值．
①计算，令，可得；令，则，∴，①正确；② 使等式中出现，令，则，需要计算出，结合方程可令，则有，即，∴，为奇函数，②正确；③从等差数列定义出发，考虑递推公式，因为，所以可得：，从而判定为等差数列，③正确；④若按照等比数列定义，考虑，则不易于进行化简．可由③出发得到的表达式：，∴，即，∴，从而可判定是一个等比数列，④正确．
3．【2017上海闵行二模】设函数的定义域是，对于以下四个命题：
(1) 若是奇函数，则也是奇函数；
(2) 若是周期函数，则也是周期函数；
(3) 若是单调递减函数，则也是单调递减函数；
(4) 若函数存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点．
其中正确的命题共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
4．已知函数对任意的均有，且当时，
（1）求证：为奇函数；
（2）求证：为上的增函数．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．
【分析】
试题分析：（1）要证明奇函数，则需要出现在同一等式中，所以考虑令，则有，再通过代入特殊值计算出即可；（2）思路：要证明单调递增，则需任取，且，去证明与的大小，结合等式，则需要让与分居等号的两侧，才能进行作差．所以考虑，进而．只需判断的符号即可．
试题解析：（1）令，则 ．令，则解得，，为奇函数．
（2）任取，且，令，代入方程可得：，，，，依题意可得：，即，为增函数．
【评注】第（2）问将拆分为是本题证明的亮点，达到了让与分居等号的两侧的目的．
5．设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有．
（1）设，求；
（2）证明是周期函数．
【答案】（1）；（2）答案见解析．
（2）证明：依题设关于直线对称，．
又是偶函数，将上式中以代换，得．这表明是R上的周期函数，且2是它的一个周期．
考向3 解不等式
【例9】【2017广西教育质量诊断性联合考试】已知定义在上的奇函数在上递减，若对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【点睛】本题关键步骤有：1．利用奇函数的性质可得 在 上是减函数；2．将原命题等价转化为 在 上恒成立；3．利用导数工具求得，从而求得正解．
【例10】【2017四川南充高级中学4月检测】已知函数在定义域上的导函数为，若方程无解，且，当在上与在上的单调性相同时，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为方程无解，所以函数为单调函数，因此由，得=m(m为常数)， 即 为单调增函数，因此 在在上恒成立．，因此，选A．
点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题．
【例11】【2017陕西西安铁一中学高三上学期第五次模拟考试】已知偶函数在上为增函数，在不等式恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由偶函数可知，可知不等式 恒成立，即恒成立，则可得 恒成立．即 且 恒成立．由根的判别式可得．故本题选C ．
点睛：本题主要考查函数的奇偶性与单调性．对于抽象函数不等式，一般根据函数的奇偶性将它转化为的形式，然后利用函数的单调性将抽象函数不等式转化成具体的不等式，但不能改变变量的定义域．对于奇函数，其图像关于原点中心对称，由图知其在关于原点对称的区间单调性相同；偶函数的图像关于 轴对称，偶函数在关于原点对称的区间单调性相反．
【例12】【2017江西南昌三模】定义域为的函数满足，当时， ．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【点睛】本题考查函数的解析式、抽象函数、函数与不等式，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．先利用已知条件求，再利用数形结合思想观察图像求解不等式．
【跟踪练习】
1．【2017重庆一中5月考】已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，所以函数是奇函数， ，所以函数是单调递增函数，那么不等式等价于 ，故选B．
【点睛】本题考查了利用函数性质，包括奇偶性，单调性，解抽象不等式，本题的出题意图比较明显，重点是分析函数的性质，如果不用导数分析函数的单调性，也可以利用奇函数的性质，奇函数在对称区间的单调性一致，很明显，函数在为增函数，那在定义域内也是增函数，这样判断起来会更快，简便．
2．函数的定义域为，满足，在区间上单调递增，若满足，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
3．【2017衡水金卷】定义域为R的偶函数满足对任意的，有且当时，，若函数在上恰有六个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，所以，所以，即函数的周期为，由此可画出函数和的图像如下图所示．由图可知，，故．
4．【2017云南昆明下学期第二次统测】定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期．若是上的级类周期函数，且，当时， ，且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
5．已知定义在上的函数，对于任意实数都满足，且，当时，．
（1）求的值；
（2）求证：在上是增函数；
（3）求不等式：的解集．
【分析】（1）采用赋值法；（2）考虑证明单调递增，则需构造出，即可设且令，则有，从而，由和已知条件可得：，所以需要证明，即，，可考虑结合题目条件和，令，则有，从而单调性可证；（3）本题并没有的解析式，所以考虑利用函数的单调性求解．由（1）（2）问可得，从而，再根据单调性即可得到关于的不等式，解出不等式即可．
由已知可得当时，所以只需证明时，．令，．，，，，，即，在上单调递增．
（3）解：，．
，且，
．由（2）可得单调递增，，解得．
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