2018高中数学（理）黄金100题系列第77题+直线与圆锥曲线的位置关系的应用

第77题 直线与圆锥曲线的位置关系的应用
I．题源探究·黄金母题
【例1】已知经过椭圆的右焦点做垂直于轴的直线，交椭圆于两点，是椭圆的左焦点．
求的周长；
如果不垂直于轴，的周长有变化吗？
【解析】（1）根据椭圆定义，由于，，所以的周长为20；
（2）如果不垂直于轴，的周长没有变化，仍保持为一个定值．
精彩解读
【试题来源】人教版A版选修2-1P42T3．
【母题评析】本题根据椭圆的定义说明三角形的周长是定值，主要考查圆锥曲线的定义．本类考题是近几年高考试题解答题第二步常常采用的命题形式．
【思路方法】圆锥曲线中的定点、定值问题是一种常见的解答题，它几乎涵盖了解析几何的所有知识，综合性强，方法灵活，对运算和思维能力都有要求，因此备受高考命题者的青睐．解题策略是“大处着眼，小处着手”，从整体上把握问题给出的信息，借助函数与方程、数形结合以及分类研究与化归思想，巧妙利用巧设点、设而不求、联立方程组、韦达定理、巧用定义、代点相减等手段，使问题得以解决．
【例2】已知直线与双曲线没有公共点，求的取值范围．
【解析】联立方程组，代入整理得：
，若，直线与双曲线只有1个公共点，所以，由于直线与双曲线无公共点，所以，即，则的取值范围是或．
【例3】已知双曲线，过点能否作一条直线，与双曲线交于两点，且点是线段的中点？
【答案】不能
【解析】设点在双曲线上，且线段的中点为。
设经过点的直线方程为，即。把代入双曲线的方程，得
。①
。
由题意，得，解得。当时，方程①成为。根的判别式，方程①没有实数解。
所以不能作一条直线与双曲线交于两点，且点是线段的中点。
【试题来源】【例2】人教版选修2-1第80页复习参考题A组第5题
【例3】人教版A版选修1-1P42习题2．1A组T7．
人教版A版选修2-1P62习题2．3B组T4．
【母题评析】本题是借助直线与双曲线的位置关系求斜率的取自范围，主要考查直线与圆锥曲线的位置关系．对范围、最值问题的考查是近几年高考试题的热点之一，范围、最值问题的考查形式很多，灵活多变．
【思路方法】圆锥曲线中常见的最值问题及其解法
（1）两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．
（2）两种常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．
解决圆锥曲线中的取值范围问题的五方面考虑：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
II．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考新课标I】已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为 （ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【解析】解法一：设，直线方程为。联立方程得，
∴，同理直线与抛物线的交点满足。由抛物线定义可知
，
当且仅当（或）时，取最小值16．
解法二：如图，设直线的倾斜角为，则，则，
当且仅当，即或时，取最小值16．
【命题意图】此类问题定中有动，动中有定，考查直线与圆锥曲线的有关知识，本类题通常主要考查数形结合、分类讨论、化归与转哈、函数与方程等数学思想．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度较大．
【难点中心】本类题大多需要联立方程组，借助判别式、根与系数关系等，根据题目的已知条件进行计算，特别是要选中一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的量，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果．解题时有一定的运算量，要注意解题变形过程的准确度．
（1）解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．
（2）设直线与椭圆的交点坐标为，，则
，为直线斜率．
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
【例2】【2017高考新课标I】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点．
【解析】
试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点．另外知，C不经过点P1，所以点P2在C上．因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，在设直线l的方程，当l与x轴垂直，通过计算，不满足题意，再设设l：（），将代入，写出判别式，韦达定理，表示出，根据列出等式表示出和的关系，判断出直线恒过定点．
试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点．
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上．
因此，解得．
故C的方程为．
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）．
则，得，不符合题设．
从而可设l：（）．将代入得，
由题设可知．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．
而
．
由题设，故．
即．解得．
当且仅当时，，欲使l：，即，所以l过定点（2，）。
【例3】【2017高考新课标II】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。
求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
【答案】（1） 。
（2）证明略。
【解析】
试题分析：（1）设出点P的坐标，利用得到点P与点，M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为。
（2）利用可得坐标关系，结合（1）中的结论整理可得，即，据此即可得出题中的结论。
试题解析：（1）设，设，。
由得。
因为在C上，所以。
因此点P的轨迹方程为。
（2）由题意知。设，则
，
。
由得，又由（1）知，故
。
所以，即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F。
【命题意图】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的周期性． 能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等偏易．
【难点中心】
1．椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简．
2．求轨迹方程的常用方法有：
（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0。
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程。
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。
（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程。
III．理论基础·解题原理
一、直线和圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即消去y，得ax2＋bx＋c＝0．
（1）当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0?直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0?直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0?直线与圆锥曲线C相离．
（2）当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
二、“弦”的问题
1．弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|＝·＝ ·|y1－y2|
＝·．
2．处理中点弦问题常用的求解方法
方法一——点差法：
即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
方法二——根与系数的关系：
即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
纵观近几年的高考试题，高考对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，一直是命题的热点。这类试题在考查题型上，可以是选择题、填空题或解答题的形式出现，难度较大，基本上属于压轴题，较多的考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题；有时，先求轨迹方程，再进一步研究直线与曲线的位置关系．命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题等．
【技能方法】
对于以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；对于以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等．
【易错指导】
（1）直线与双曲线（抛物线）有一个公共点是直线与双曲线（抛物线）相切的必要条件，但不是充分条件。直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点；直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．
（2）利用公式计算直线被圆锥曲线截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零。
V．举一反三·触类旁通
考向1 直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】【2018湖北武汉】已知双曲线：关于直线对称的曲线为，若直线与相切，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【例2】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】已知抛物线的焦点为，直线过点交抛物线于两点，且．直线分别过点，且与轴平行，在直线上分别取点（分别在点的右侧），分别作和的平行线且相交于点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【领悟技法】
1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．
3直线和圆锥曲线的位置关系利用代数方法判断，其中直线和双曲线的位置关系，还可以通过比较直线的斜率和渐近线斜率来判断．
【跟踪练习】
1．已知抛物线的准线与双曲线相交于A，B两点，双曲线的一条渐近线方程是，点F是抛物线的焦点，，且△是直角三角形，则双曲线的标准方程是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．【2018甘肃天水】直线：与双曲线：的右支交于不同的两点，则斜率的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 可得， ，因为直线与双曲线交于不同的两点，所以， 解得 ，所以斜率的取值范围是，故选C．
考向2 弦长问题和中点弦问题
【例3】在椭圆内，过点M(1，1)且被该点平分的弦所在的直线方程为(　　)
A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0 C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0
【答案】C
【解析】设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有， ，两式相减，又x1＋x2＝y1＋y2＝2，因此，即，所求直线的斜率是，弦所在的直线方程是y－1＝ (x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C．
【名师点睛】弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k，方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程．
【例4】【2018广西钦州钦州模拟】已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且MN的中点在抛物线上，则实数m的值为 （ ）
A．4 B．-4 C．0或4 D．0或-4
【答案】D
【例5】【2016高考新课标3理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（I）若在线段上，是的中点，证明；
（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】由题设．设，则，且
．
记过两点的直线为，则的方程为． ．．．．．3分
（Ⅰ）由于在线段上，故．
记的斜率为，的斜率为，则，
所以． ．．．．．．5分
（Ⅱ）设与轴的交点为，则．
由题设可得，所以（舍去），．
设满足条件的的中点为．
当与轴不垂直时，由可得．而，所以．
当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为． ．．．．12分
【综合点评】处理直线与圆锥曲线相交时候的相交弦长和中点问题时，利用根与系数的关系或者中点坐标公式，涉及弦的中点，还可以利用点差法．
【领悟技法】
1．直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．
2．涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
【跟踪练习】
1．【2018湖北华师一附中高三9月调研】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【名师点睛】在涉及圆锥曲线的中点弦时，往往利用“点差法“”进行求解，可减少运算量．
2．【2018海南（海南中学、文昌中学、海口一中、农垦中学）等八校高三上学期新起点联盟考试】直线过点且与双曲线交于两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
3．【2018重庆巴蜀中学模拟】已知双曲线上有不共线三点，且的中点分别为，若满足的斜率之和为，则 （ ）
A．2 B． C．-2 D．3
【答案】C
【解析】设，将两点坐标代入双曲线方程，作差并化简得，即，同理可得，依题意有，即．
【名师点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查有关圆锥曲线中点弦问题的点差法，考查化归与转化的数学思想方法．由于题目涉及圆锥曲线弦的中点，故可用点差法解决．点差法的操作是，先设出两点的坐标，代入曲线的方程，然后作差，化简成斜率和中点的关系式，再结合题目所给已知条件来解题．
4．【2018重庆一中模拟】已知，若在斜率为的直线上存在不同的两点，满足： 且线段的中点为，则的值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【点睛】本题考查了双曲线的定义和点差法，考查了转化与化归能力，本题的题干比较新颖，根据条件能判断出点在以为焦点的双曲线上，直线与圆锥曲线相交，涉及中点弦问题时，经常利用点差法求有关量，或是直线与圆锥曲线方程联立，得到根与系数的关系，利用中点坐标求相关量．
考向3 与圆锥曲线有关的最值、范围问题
【例6】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】已知为椭圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，点满足．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若两点分别为椭圆的左右顶点，为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于点，直线的斜率分别为，求的取值范围．
【答案】（I）；（II）。
【解析】（Ⅰ）设依题意，且，∵，即，
则有．又∵为椭圆上的点，可得，即，即动点的轨迹的方程为．
（Ⅱ）依题意，设，
∵为圆的直径，则有，故的斜率满足，
，
∵点不同于两点且直线的斜率存在，故且，在和都是单调减函数，的范围为，故．
【例7】【2018广西陆川】设点，动圆经过点且和直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设曲线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．
【答案】（1） ；（2） ．
（2）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为．则，当，则．联立方程，整理得： ．即： ，解得或．∴，而，∴直线斜率为．∴ ，
联立方程，整理得： ，
即： ， ，
解得：，或．∴
∴ ．
而抛物线在点处切线斜率： ，
是抛物线的切线， ∴，整理得，
∴，解得 (舍去)，或，∴．
【例8】如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点．的最大值是，的最小值是，满足．
（1） 求该椭圆的离心率；
（2） 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点．记的面积为，的面积为，求的取值范围．
易错分析：目标函数难以转化为一个变量的函数．

（2） 由（1）可知，，椭圆的方程为．
根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，
并设则由消去并整理得
从而有，
所以．
因为，所以，．
由与相似，所以
．
令，则，从而，即的取值范围是．
【例9】【2017届四川省成都市第三次诊断】已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
试题解析：（Ⅰ）∵点在线段的垂直平分线上，∴．
又，∴．
∴曲线是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为的椭圆．
设曲线的方程为．∵，∴．∴曲线的方程为．
（Ⅱ）设．联立消去，得．
此时有．由一元二次方程根与系数的关系，得，．
∴ ．
∵原点到直线的距离，∴ ．
由，得．又，∴据基本不等式，得．
当且仅当时，不等式取等号，∴面积的最大值为．
【综合点评】研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．
【领悟技法】
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．]
【跟踪练习】
1．设F是椭圆的右焦点，椭圆上的点与点F的最大距离为M，最小距离是m，则椭圆上与点F的距离等于的点的坐标是 (　　)
A．(0，±2) B．(0，±1) C． D．
【答案】B
2．【2018浙江金华】连结双曲线与的四个顶点的四边形面积为，连结四个焦点的四边形面积为，则的最大值是 （ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的右顶点为，其坐标是，由焦点为，坐标为；设双曲线的上顶点为，坐标是，上焦点为，坐标为， 为坐标原点，则， ，，故选C．
3．【2018甘肃天水】直线 与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线与直线联立可 ，因为直线 与双曲线交于不同的两点，所以 可得 ，斜率的取值范围是，故选C．
4．【2017届浙江省台州市高三4月调研】如图，在椭圆中，过坐标原点作两条互相垂直的射线与分别交于两点．
（1）已知直线的斜率为，用表示线段的长度；
（2）过点作于点，点为椭圆上一动点，求线段长度的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
试题解析：（1）由题意，可设．
由，得，于是 （*）
则，又由，知，即，将（*）代入化简得，
所以．
（2）若设直线，则，可设，由（1）可知，（**）
由，得，再代入，得，代入（**），有，即，因，故有．
当直线的斜率为0或不存在时，显然符合．故点的轨迹方程为．
所以，．
而的最大值为，最小值为，所以，的取值范围为．
5．【江苏省南京市2017届高三上学情调研】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设＝λ．
（1）若点P的坐标为 (1，)，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；
（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[，]，求实数λ的取值范围．

【答案】（1）＋＝1；（2）[，5]．
【解析】
试题解析：（1）因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，
所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，从而△PQF2的周长为4a．
由题意，得4a＝8，解得a＝2． …………………… 2分
因为点P的坐标为 (1，)，所以＋＝1，
解得b2＝3．
所以椭圆C的方程为＋＝1． …………………… 5分
因为点Q在椭圆上，所以()2e2＋＝1，
即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1，
因为λ＋1≠0，
所以(λ＋3)e2＝λ－1，从而λ＝＝－3． …………………… 14分
因为e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．
所以λ的取值范围为[，5]． …………………… 16分
方法二：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0．
因为P在椭圆上，所以＋＝1，解得y0＝，即P(c，)． …………………… 7分
因为F1(－c，0)，故直线PF1的方程为y＝(x＋c)．
由得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0．
因为直线PF1与椭圆有一个交点为P(c，)．设Q(x1，y1)，
则x1＋c＝－，即－c－x1＝． …………………… 11分
因为＝λ，
所以λ＝＝＝＝＝＝－3． …………………… 14分
因为e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．
所以λ的取值范围为[，5]． …………………… 16分
【综合点评】圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．
考向4 圆锥曲线中的存在性问题
【例10】【2018福建模拟】设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
，即．圆心为，由得，所以，即点M必在直线上．将代入得．因为点M在圆上，所以．
又（由于斜率不存在，故，所以不取等号），
所以．选D．
【例11】【2018河南郑州】已知点，关于原点对称，恰为抛物线： 的焦点，点在抛物线上，且线段的中点恰在轴上，的面积为8．若抛物线上存在点使得，则实数的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
∴ (x1?x2)(x1+x2+2p)=0，∵x1>0，x2>0，2p>0，∴x1=x2，即A，B关于x轴对称。
∴直线OA的方程为：y=xtan45=x，与抛物线联立，故AB=4p，
∴S△OAB=×2p×4p=4p2．∵△AOB的面积为16，∴p=2；
焦点F(，0)，设P(m，n)，则n2=2m，m>0，设P?到准线x=? 的距离等于d，则m的最大值为 ，故选C．
【名师点睛】本题考查抛物线的简单性质，求得A，B关于x轴对称是关键，考查抛物线的定义，基本不等式的应用，体现了换元的思想，正确运用抛物线的定义是关键，属于难题．
【例12】【2018北京西城模拟】已知点，抛物线的焦点是，若抛物线上存在一点，使得最小，则最小值为__________；此时点的坐标为__________．
【答案】3
【解析】
如图，过作于，则由抛物线的定义得，所以，
由图形得当、、三点共线时， 最小，又最小值为到准线的距离此时最小值为，此时点的纵坐标为，所以，即点的坐标为．
【名师点睛】利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，由此可解抛物线中的最值问题。常见的有下列两种情况：（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．
【例13】【2018安徽黄山模拟】是经过双曲线焦点且与实轴垂直的直线，是双曲线的两个顶点，若在上存在一点，使，则双曲线离心率的最大值为_____．
【答案】
【跟踪练习】
1．椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点F与点 的距离为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率 的直线使直线与椭圆相交于不同的两点M，N满足，若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ．（2）l的方程为或．

（2）方法一：由知点在线段的垂直平分线上，由消去得即 （*）
由，得方程(*)的，即方程(*)有两个不相等的实数根．
设、，线段MN的中点，则，，
，即
，∴直线的斜率为，
由，得，∴ ，解得：，
∴ l的方程为或．
方法二：直线l恒过点(0，-2)，且点(0，-2)在椭圆上，∴不妨设M(0，-2)，则|AM|=4
∴|AN|=4，故N在以A为圆心，4为半径的圆上，即在的图像上．
联立 化简得 ，解得
当y=-2时，N和M重合，舍去．当y=0时，，因此
∴ l的方程为或．
【综合点评】中点坐标公式一个作用是可以利用“设而不求”技巧解题，其二是可以将未知点坐标和已知点坐标联系起来；涉及求范围问题，注意方程不等式思想的运用．
2．【2017河南新乡三模】已知抛物线：（）的焦点为，直线交抛物线于、两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点．
（1）是抛物线上的动点，点，若直线过焦点，求的最小值；
（2）是否存在实数，使 ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）5；（2）．
试题解析：（1）直线与轴的交点为，
，则抛物线的方程为，准线：．
设过作于，则 ，
当、、三点共线时，取最小值．
（2）假设存在，抛物线与直线联立方程组得：，
设，，则，，．
，．则得： ， ，
，代入得，解得或（舍去）．
【名师点睛】解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．
3．【2017河南南阳、信阳等六市高三第一次联考】如图，抛物线的焦点为，抛物线上一定点．
（1）求抛物线的方程及准线的方程；
（2）过焦点的直线（不经过点）与抛物线交于两点，与准线交于点，记的斜率分别为，问是否存在常数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1），准线；（2）存在常数，理由见解析．
成立．
试题解析：（1）把代入，得，所以抛物线方程为，准线的方程为．
（2）由条件可设直线的方程为．由抛物线准线，可知，又，所以，把直线的方程，代入抛物线方程，并整理，可得，设，则，又，故．因为三点共线，所以，即，所以，即存在常数，使得成立．
【名师点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，是高考的高频考点，属于难题．求抛物线方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意标准方程形式；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．是否存在问题注意式子化简，若存在一般能化简出常数．
考向5 圆锥曲线中的定点、定值证明等问题
【例14】【2018届云南省玉溪第一中学高三上学期第三次月考】在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点，O为坐标原点．
（1） 如果直线过抛物线的焦点且斜率为1，求的值；
（2）如果，证明：直线必过一定点，并求出该定点．
【答案】（1）8；（2）证明见解析
【例15】【2016年高考北京理数】已知椭圆C： （）的离心率为 ，，，，的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N．
求证：为定值．
【答案】（1）；（2）详见解析．
（2）由（Ⅰ）知，，设，则．
当时，直线的方程为．
令，得．从而．直线的方程为．
令，得．从而．
所以
．
当时，，所以．
综上，为定值．
【例16】【2016高考山东理数】平面直角坐标系中，椭圆C：?的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上；
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为
因为抛物线的焦点为，所以，所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）（i）设，由可得，所以直线的斜率为，
因此直线的方程为，即．
设，联立方程，得，
由，得且，因此，
将其代入得，因为，所以直线方程为．
联立方程，得点的纵坐标为，即点在定直线上．
当，即时，取得最大值，此时，满足，
所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为．
【综合点评】解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，解决这类问题需要正确运用转化思想、函数与方程思想、数学结合思想，其中运用最多的是利用方程根与系数关系构造等式或者函数关系式，注意根的判别式来确定或者限制参数的范围．
【领悟技法】探索性问题和证明往往会涉及到定点、定值问题，可以通过特例找寻定点、定值，然后利用逻辑推理的方法去证明．
【跟踪练习】
1．【201马鞍山三模】已知曲线， ，直线与曲线相交于两点， 为坐标原点．
（Ⅰ）若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
（Ⅱ）若直线与曲线相切，求的取值范围．
【答案】（1）直线恒过定点．（2）
试题解析：（Ⅰ）由已知，可设 ，由 得： 由可得： 解得： 直线恒过定点．
（Ⅱ）直线与曲线相切，，显然，，整理得①
由（Ⅰ）及①可得：


，即的取值范围是
【点睛】本题考查了抛物线和圆的方程以及直线与圆锥曲线的位置关系，考查了计算能力，通过联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解．本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出．．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
2．【2017届福建省泉州市高三5月模拟】已知动圆过点，且在轴上截得的弦长为
（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；
（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，证明： 为定值，并求出这个定值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）定值为
试题解析：解：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为，由题意得：动圆半径
圆心到轴的距离为，依题意有，
化简得，即动圆圆心的轨迹方程为：
（Ⅱ）①当直线的斜率不存在，则直线的方程为：
得，所以，故为定值．
②当直线的斜率存在，则设直线的方程为： ，
得，所以，
即，又点在抛物线上，所以，于是
综合①②，为定值，且定值为
3．已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8．
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程；
(Ⅱ) 已知点B(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是的角平分线，证明直线l过定点．
【答案】(Ⅰ) （）；(Ⅱ)证明：见解析．
设，若x轴是的角平分线，则
，即故直线l方程为，直线l过定点．（1，0）
4．【2017届湖南省长沙市长郡中学高三下学期临考冲刺】在平面直角坐标系中，点，圆，以动点为圆心的圆经过点，且圆与圆内切．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若直线过点，且与曲线交于两点，则在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）在轴上存在一点，使得轴平分．
（Ⅱ）设，当直线的斜率不为时，设直线，
代入得： ， 恒成立．
由根与系数的关系可得， ，
设直线的斜率分别为，则由得，

．
∴，将代入得，
因此，故存在满足题意．
当直线的斜率为时，直线为轴，取，满足，
综上，在轴上存在一点，使得轴平分．