2018高中数学（理）黄金100题系列第78题+圆锥曲线的离心率问题

第78题 圆锥曲线的离心率问题
I．题源探究·黄金母题
【例1】设椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上且异于，两点，为坐标原点．若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为______．
【解析】椭圆上任一点与椭圆上关于原点对称的两点的连线的斜率之积；椭圆上任一点与椭圆上关于原点对称的两点的连线的斜率之积．（记忆方法：无论椭圆焦点在哪个轴，总是以椭圆方程中的分母为分母）由拓展，知
精彩解读
【试题来源】人教A版选修2-1P41例3改编．
【母题评析】本题考查椭圆离心率的求法，考查考生的计算能力．
【思路方法】结合椭圆的简单几何性质、离心率计算公式、两点间斜率公式等解题．
II．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考浙江卷】椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，选B．
【例2】【2017高考全国II卷】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线为：，圆心到渐近线距离为：，不妨考查点到直线的距离：，即：，整理可得，双曲线的离心率．故选A．
【例3】【2017高考全国III卷】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点 ，半径为 ，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：，整理可得，即，从而 ，椭圆的离心率，故选A．
【例4】【2017高考北京卷】若双曲线的离心率为，则实数m=_________．
【答案】2
【解析】，，解得．
【例5】【2017高考全国I卷】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________．
【答案】
【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且，，而，
所以，点到直线的距离
在中，，代入计算得，即，由得，．
【例6】【2017高考天津卷节选】已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为．（I）求椭圆的离心率．
【答案】（Ⅰ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据图象分析出， 再结合，求得离心率．
试题解析：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由，可得，即．又因为，解得．所以，椭圆的离心率为．
【命题意图】这类主要考查椭圆、双曲线的离心率（活期取值范围）．能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，大多数难度中等偏易，少数题为压轴题，难度较大．
【难点中心】椭圆（双曲线）的离心率是双曲线最重要的几何性质，求椭圆（双曲线）的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）．
III．理论基础·解题原理
在椭圆中有：，；
在双曲线中有：，．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，一般以选择题或填空题的形式出现，难度中等．
【技能方法】
1．求离心率的方法：
（1）直接求出a、c，求解e：已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解；
（2）变用公式，整体求出e：以椭圆为例，如利用，；
（3）构造a、c的齐次式，解出e：根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值．
2．求解离心率的范围的方法
（1）借助平面几何图形中的不等关系：根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围．
（2）借助题目中给出的不等信息：根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解．
（3）借助函数的值域求解范围：根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
（4）根据椭圆或双曲线自身的性质求范围：在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆中，，P是椭圆上任意一点，则等．
V．举一反三·触类旁通
考向1 求椭圆的离心率
【例1】【2018四川凉山】以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【例2】【2018黑龙江大庆】以为中心， 为两个焦点的椭圆上存在一点，满足，则该椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】延长与椭圆交于，如图所示：
∵与互相平分，∴四边形是平行四边形．
∵平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，∴．
∵， ， ， ，∴，∴，∴，故选C．
【名师点睛】本题考查了椭圆的离心率的求解问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，此类问题解答中熟记椭圆的几何性质和合理转化条件是解答的关键．
【例3】【2018吉林辽源】已知是椭圆的左焦点， A为右顶点， P是椭圆上的一点， 轴，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
【例4】已知椭圆E： 的短轴的两个端点分别为A，B，点C为椭圆上异于A，B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为，则椭圆的离心率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【跟踪练习】
1．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1，F2，M是椭圆C上的一点，且满足，则椭圆C的离心率e等于(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不妨设椭圆方程为．由椭圆定义，得＋＝2a，再结合条件可知＝＝．如图，过M作MN⊥OF2于N，则||＝， 2＝2－．
设＝x，则＝2x．在Rt△MF1N中，4x2＝c2＋x2－，即3x2＝2c2，而x2＝，所以a2＝2c2，即e2＝，所以e＝，故选D．
【名师点睛】研究解几问题，一是注重几何性，利用对称性减少参数；二是巧记一些结论，简约思维、简化运算，如本题利用关于原点对称， 为椭圆上三点)．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，分别为椭圆的右、下、上顶点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率是 　 ．
【答案】

3．焦点在轴上的椭圆方程为 ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为　　　．
考向2 求双曲线的离心率
【例5】【2018安徽东至】已知过双曲线右焦点，斜率为的直线与双曲线的第一象限交于点，点为左焦点，且，则此双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【例6】【2018江西南康模拟】若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵双曲线（焦点在y轴）的一条渐近线方程为，故可将双曲线方程写为： ，即得离心率，故选B．
【例7】【2018四川成都七中高三上学期一诊】已知是双曲线的左右焦点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，与双曲线交于点，且均在第一象限，当直线时，双曲线的离心率为，若函数，则（）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】双曲线的，双曲线的渐近线方程为与圆联立，解得，与双曲线方程联立，解得，即为，直线与直线平行时，既有，即，既有， ，即 ，故选C．
【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率、双曲线的渐近线，属于难题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．求与离心率有关的问题，应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式．
【例8】【2017河北邯郸】如图，，是双曲线的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于、两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为　　　．
【思路点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质和双曲线的概念，考查学生综合知识能力和图形识别能力，数中档题．其解题的一般思路为：首先根据矩形的性质并将直线代入双曲线方程中即可得出点的坐标，再由矩形的几何性质可得，最后可得出所求的结果．其解题的关键是正确地运用矩形的几何性质求解双曲线的简单几何性质．
【跟踪练习】
1．【2018陕西宝鸡】已知双曲线的两条渐近线均与圆 相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆 ，所以 ，选D．
2．【2018山东单县五中】如图，已知过双曲线的右顶点作一个圆，该圆与其渐近线交于点，若， ，则该双曲线的离心率为_________．
【答案】
【名师点睛】本题考查双曲线的性质，主要是离心率的求法，考查垂径定理、正切函数的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．
3．【2018安徽淮南二中、宿城一中高三第四次考试】已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点是抛物线焦点，点在抛物线上，且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为___．
【答案】
【解析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|，则，设PA的倾斜角为α，则sinα，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx?1，代入，可得=4(kx?1)，即?4kx+4=0，∴△=16?16=0，∴k=±1，
∴P(2，1)，∴双曲线的实轴长为PA?PB=2 所以双曲线的离心率为．
【名师点睛】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，考查数形结合思想，属于中档题．
4．【2018江苏启东中学高三上学期第二次月考】在平面直角坐标系中，若双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为_____．
【答案】

5．在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 ．
【答案】2
【解析】由题意得，解得
6．【2018河南南阳模拟】是椭圆与双曲线的公共焦点分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是__________．
【答案】
【解析】设椭圆中的基本量为，双曲线中的基本量为，由圆锥曲线中焦三角形的面积公式得到C=，，的离心率是．
7．【2018北京海淀区模拟】已知，如图， ，图中的一系列圆是圆心分别为， 的两组同心圆，每组同心圆的半径依次为， ， ，按“加”依次递增，点是某两圆的一个交点，设：
以，为焦点，且过点的椭圆为；以，为焦点，且过点的双曲线为，则
（）双曲线离心率__________．
（）若以为轴正方向，线段中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则
椭圆方程为__________．
（3）双曲线渐近线方程为__________．
（4）在两组同心圆的交点中，在椭圆上的点共__________个．

【答案】 （1） （2） （3） （4）
（3）∵椭圆上的各点到、的距离之和为定理．由图可知共个点满足题意．
8．【2018辽宁庄河模拟】过双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为_______
【答案】
【解析】记右焦点为，由题意， 是中点， 是?中点，因此?且?，又E是切点，即?，所以，由双曲线的定义知，所以?，解得?．
9．若圆与双曲线的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为　　　　　．
【答案】
【解析】由题意得．
10．过双曲线（，）的右焦点作渐进线的垂线，设垂足为（为第一象限的点），延长交抛物线（）于点，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为 ．
【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为______________．
考向3 求椭圆、双曲线离心率的取值范围
【例9】【2018广东深圳】椭圆： 的左、右焦点分别为， ， 为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知F1（-c，0），F2（c，0），设点P为（x，y）．∵，∴，∴ ， ，∴=x2-c2+y2=-c2+y2=当y=0时?取到最大值，即，解得．故选B．
【例10】【2018湖北沙市中学高三1月月考】过双曲线的一个焦点的直线与双曲线相交于两点，当轴时，称线段为双曲线的通径．若的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【例11】【2018宁夏育才中学】已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在△PF1F2中，由正弦定理知
∴= =，即|PF1|=e|PF2|．①
又∵P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a，
将①代入得|PF2|=∈（a﹣c，a+c），
同除以a得，1﹣e＜＜1+e，得﹣1＜e＜1．
故答案为：D．
【名师点睛】这个题目考查的是椭圆的离心率的求法；将正弦定理和圆锥曲线联系到一起．求离心率的常用方法有：定义法，根据椭圆或者双曲线的定义列方程；数形结合的方法，利用图形的几何特点构造方程；利用点在曲线上，将点的坐标代入方程，列式子．
【例12】【2018湖南师大附中】已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2＋1的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【例13】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是______________．
【答案】
【解】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA，PB，则两切线形成的角最小，若椭圆上存在点P令切线互相垂直，则只需，即，∴，解得，∴，即，而，∴，即．
【名师点睛】根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围．
【例14】 已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是　 　．
【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式，然后借助已知条件利用三角函数的图象求解离心率的范围．
【名师点睛】根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解．
【例15】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为_________________．
【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系，得到函数关系式，进而根据m的范围，借助反比例函数求解离心率的范围．
【名师点睛】根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
【例16】设为椭圆的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的最小值为______．
【点评】为椭圆上的一点是本题的关键条件，根据圆锥曲线的共同特征把转化成基本量，，与的关系式，结合椭圆的范围，即可得到的不等式，从而求出其最小值．
【名师点睛】在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆中，，P是椭圆上任意一点，则等．
【跟踪练习】
1．【2018辽宁大连渤海高级中学】已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系．由想到点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．再由点M在椭圆的内部，可得，因为 ．所以由得，由关系求离心率的范围．
2．【2018山西晋城一中12月月考】设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
∵点Q（c， ）在椭圆的内部，∴，?2b2＞a2?a2＞2c2，．
|PF1|+|PQ|=2a﹣|PF2|+|PQ|，又因为﹣|QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|，且|QF2|=，
要|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，即2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c，， ，则椭圆离心率的取值范围是．故答案为：
3．【2018湖北稳派教育高三上学期第二次联考】已知椭圆的半焦距为c，且满足，则该椭圆的离心率e的取值范围是__________．
【答案】
4．已知椭圆的中心在，右焦点为，右准线为，若在上存在点，使线段的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是_____________．

5．过椭圆C：的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
【解】如图所示：|，，，又∵＜k＜，∴，∴，解得．
6．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为______________．
即，所以，则．
7．已知分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围是__________．
【解】本题以双曲线为素材，综合考查双曲线的离心率和函数的最值，难度中等．设，则，．又，当且仅当时，等号成立．所以，所以．
8．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是　　　　
【思路点睛】根据为与的夹角，并分别表示出与，由∠B1PB2为钝角，，利用椭圆的性质，可得到，即可解得离心率的取值范围．
9．已知椭圆上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为________________．
【解】把代入椭圆方程解得，取，则；由图可知，所以
；又，所以，即，解得．
10．已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，这两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形．若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是______________．
11．已知是双曲线的左、右两个焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N（点M，N均在第一象限），当直线与直线ON平行时，双曲线离心率取值为，则所在区间为______________．
【解】因为 ，双曲线的渐近线方程为，与圆 联立，得 ，与双曲线方程联立，得交点 即 ，直线 与直线 平行时，即有 ，即 ，即有 ，即有 ，令 ，由于 ，则
12．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是______________．
13．若双曲线上不存在点使得右焦点关于直线（为双曲线的中心）的对称点在轴上，则该双曲线离心率的取值范围为__________．
【解】若点关于直线的对称中心在轴上，则，根据题意，不存在这样的点P，
∴双曲线渐近线的斜率．
14．已知P是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，，则的最大值为 ．
15．在平面直角坐标系中，已知点及直线，曲线是满足下列两个条件的动点的轨迹：①其中是到直线的距离；②
(1) 求曲线的方程；
(2) 若存在直线与曲线、椭圆均相切于同一点，求椭圆离心率的取值范围．

（2）(解法一)由题意，直线与曲线相切，设切点为，
则直线的方程为，即
将代入椭圆 的方程，并整理得：
（2）(解法二)设直线与曲线、椭圆 均相切于同一点则 由知；由知，

16．【2018河南中原名校（即豫南九校）联考】已知的边，三角形内角、满足．
（1）求角的值；
（2）点在以， 为焦点的椭圆上，求椭圆离心率的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ．
，推得： ，即．
试题解析：(1)在中，由得，因为A，B为的内角， 所以，即，所以．
(2)又因为点A在以B，C为焦点的椭圆上 ，，所以椭圆的焦距，而椭圆长轴，在中 ，
，
，，
∴，所以椭圆离心率的值范围为．