19.2.2 平行四边形的判定（1）同步练习

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１９．２．２ 平行四边形的判定（1）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
平行四边形的判定
(１)两组对边互相平行的四边形是平行四边形;
(２)对角线互相平分的四边形是平行四边形;
(３)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(４)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．若∠A，∠B，∠C，∠D为四边形ABCD的四个内角，下列给出的是这四个内角的比值，其中能使四边形ABCD是平行四边形的是(　 　)
A. 2∶3∶2∶3 B. 2∶3∶3∶2 C. 1∶2∶3∶4 D. 2∶2∶3∶3
2．如图，AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形还需要条件(　　)
A. AB＝DC B. ∠1＝∠2 C. AB＝AD D. ∠D＝∠B
3．(聊城临清市期末)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD交于点O，下列条件中不能说明四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A. AD＝BC B. AC＝BD
C. AB∥CD D. ∠BAC＝∠DCA
4．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动，如果点E、F同时出发，当四边形AEFC是平行四边形时，运动时间t的值为( )
A. 2 s B. 6 s C. 8 s D. 2 s或6 s
5．下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是（ ）
A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等
C. 一组对边平行，一组对边相等 D. 两条对角线互相平分
6．如图，在四边形中，是边的中点，连结并延长，交的延长线于点，．添加一个条件，使四边形是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（ ）．
A. B. C. D.
7．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形(　 )
A. AE＝CF B. DE＝BF C. ∠ADE＝∠CBF D. ∠AED＝∠CFB
8．在下列四个选项中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A. AB=CD，AD∥BC B. AB∥DC，∠A=∠B C. AB∥DC，AD=BC D. AB∥DC，AB=DC
二、填空题
9．在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABD＝∠CDB，要使四边形ABCD是平行四边形只需添加一个条件，这个条件可以是____________．
10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的 ADCE中，DE最小的值是________．
11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线交于点0，点E、F在直线AC上（不同于A、C），当E、F的位置满足_______的条件时，四边形DEBF是平行四边形．
12．一个四边形的边长依次是a，b，c，d，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是______，依据是________．
13．如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，且CD=6cm，AB=9cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向B运动，Q以2cm/s的速度由C向D运动．则________秒时，直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形
三、解答题
14．如图，△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF＝AB，连接EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明．
15．如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.证明四边形DAEF是平行四边形．
16．(10分)如图，已知点A，C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE＝CF.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)直接写出图中所有相等的线段(AE＝CF除外)．
17．(徐州中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，△ACD是等边三角形，E是AC的中点，连接BE并延长交DC于点F，求证：
(1)△ABE≌△CFE；
(2)四边形ABFD是平行四边形．
18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，
（1）求证四边形ABCD是平行四边形
（2）求四边形ABCD的面积？
参考答案
1．A
【解析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有A能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定．
故选A．
【点睛】运用了平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法．
2．D
【解析】试题解析：A. 符合条件AD∥BC，AB=DC，可能是等腰梯形，故A选项错误；
B. 根据∠1=∠2,推出AD∥BC，不能推出平行四边形，故B选项错误；
C. 根据AB=AD和AD∥BC不能推出平行四边形，故C选项错误；
D. ∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵∠B=∠D，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项正确.
故选D.
3．B
【解析】解：A．∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
B．∵AB=CD，AC=BD，∴不能说明四边形ABCD是平行四边形，故该选项符合题意；
C．∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
D．∵AB=CD，∠BAC=∠DCA，AC=CA，∴△ABC≌△ACD，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意．
故选B．
4．B
【解析】当AE∥CF且AE=CF时，四边形AEFC为平行四边形，所以t=2t -6，解得t=6s；故选D.
点睛：本题考查了平行四边形的判定，弄清题意是解本题的关键，动点问题是中考的热点，应加强动点问题的训练．
5．C
【解析】试题解析：A、因为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，所以根据“两组对边分别平行”可以判定一个四边形为平行四边形．故本选项不符合题意；
B、因为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，所以根据“两组对边分别相等”可以判定一个四边形为平行四边形．故本选项不符合题意；
C、根据“一组对边平行，另一组对边相等”不能判定一个四边形为平行四边形．故本选项符合题意；
D、因为“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”，所以根据“对角线互相平分”可以判定一个四边形为平行四边形．故本选项不符合题意；
故选：C．
6．D
【解析】如图所示：
在和中
∴≌，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴
∴四边形为平行四边形．
故选．
7．B
【解析】A选项：∵在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
若AE=CF，则OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
B选项：若DE与AC不垂直，则满足AC上一定有一点DM=DE，同理有一点N使BF=BN，则四边形DEBF不一定是平行四边形，则选项错误；
C选项：∵在平行四边形ABCD中，OB=OD，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
若∠ADE=∠CBF，则∠DEB=∠FBO，
则△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF，
∴DE=BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．故选项正确；
D选项：∵∠AED=∠CFB，
∴∠DEO=∠BFO，
∴DE∥BF，
在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF，
∴DE=BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．故选项正确．
故选B．
8．D
【解析】根据平行四边形的判定可知：
A、若AB=CD，AD∥BC，一组对边平行，另一组对边相等也有可能是等腰梯形，故A错误；
B、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故B错误；
C、AB∥DC，AD=BC ，此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故C错误．
D、可判定是平行四边形的条件，故D正确，
故选D．
9．AB＝CD(答案不唯一)
【解析】试题解析：∵∠ABD=∠CDB,∴AB∥CD,要使四边形ABCD是平行四边形,可添AB=CD,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可使四边形ABCD是平行四边形;或添AD∥BC，根据由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可使四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：AB=CD,(答案不唯一).
10．3
【解析】∵四边形ADCE是平行四边形，∴AE∥CD，OD＝OE.∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时BC⊥DE，∴∠CDE＝90°.∵∠B＝90°，∴AB∥DE.又∵AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形．∴ED＝AB＝3.
11．AE=CF（答案不唯一）
【解析】试题解析: 当AE=CF时四边形DEBF是平行四边形；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO，AO=CO，
∵AE=CF，
∴EO=FO，
∴四边形DEBF是平行四边形，
故答案为：AE=CF．
12． 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【解析】解：a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bd+d2）=0，（a﹣c）2+（b﹣d）2=0，∴a﹣c=0，b﹣d=0，∴a=c，b=d，∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．故答案为：平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
点睛：本题考查了配方法的应用．用到的知识点为：（a2﹣2ab+b2）=（a﹣b）2；两个非负数的和为0，这两个数均为0；两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
13．2或3
【解析】解：设x秒时，直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形，则AP=xcm，BP=（9-x）cm，CQ=2xcm，DQ=（6-2x）cm．
∵CD∥AB，∴分两种情况：
1．当AP=DQ时，x=6-2x，解得：x=2；
2．当BP=CQ时，9-x=2x，解得：x=3；
综上所述：当2秒或3秒时，直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形．
故答案为：2或3．
点睛：本题考查了梯形的性质、平行四边形的判定、解方程等知识；熟练掌握梯形的性质和平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
14．四边形ADEF为平行四边形，证明见解析
【解析】【试题分析】根据中位线的性质得：DE∥BF，DE＝AB.因为AF＝AB，所以DE//AF，DE=AF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得证.
【试题解析】
四边形ADEF为平行四边形．证明如下：
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE∥BF，DE＝AB.
∵AF＝AB，
∴DE＝AF，
∵DE//AF
∴四边形ADEF是平行四边形．
15．见解析
【解析】试题分析：根据已知条件易证△ABC≌△DBF，根据全等三角形的性质可得AC＝DF；同理可证得AB＝EF.即可得EF＝AD，DF＝AE，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证得结论.
试题解析：
证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，BD＝BA，BF＝BC，
∴∠DBF＝∠ABC.
∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF.
又∵AC＝AE，∴DF＝AE.
同理可证得△ABC≌△EFC，∴AB＝EF.
又∵AB＝AD，∴EF＝AD，
∴四边形DAEF是平行四边形．
点睛：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定等知识点，根据已知条件证出EF＝AD，DF＝AE，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证得结论．
16．（1）见解析；（2）AD＝BC，EC＝AF，ED＝BF，AB＝DC.
【解析】整体分析：
（1）用ASA证明△ADE≌△CBF，得到AD=BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（2）根据△ADE≌△CBF，和平行四边形ABCD的性质及线段的和差关系找相等的线段.
解：(1)证明：∵AD∥BC，DE∥BF，
∴∠E＝∠F，∠DAC＝∠BCA，∴∠DAE＝∠BCF.
在△ADE和△CBF中， ，
∴△ADE≌△CBF，∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)AD＝BC，EC＝AF，ED＝BF，AB＝DC.
理由如下：
∵△ADE≌△CBF，∴AD＝BC，ED＝BF.
∵AE＝CF，∴EC＝AF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.
17．(1)见解析;(2)见解析
【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠DCA=60°等量代换得到∠DCA=∠BAC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，推出△CEF是等边三角形，证得∠CFE=∠CDA，求得BF∥AD，即可得到结论；
试题解析：证明：（1）∵△ACD是等边三角形，∴∠DCA=60°．∵∠BAC=60°，∴∠DCA=∠BAC．在△ABE与△CFE中，∵ ∠DCA＝∠BAC，AE＝CE，∠BEA＝∠FEC ，∴△ABE≌△CFE；
（2）∵E是AC的中点，∴BE=EA．∵∠BAE=60°，∴△ABE是等边三角形，∴△CEF是等边三角形，∴∠CFE=60°．∵△ACD是等边三角形，∴∠CDA=∠DCA=60°，∴∠CFE=∠CDA，∴BF∥AD．∵∠DCA=∠BAC=60°，∴AB∥DC，∴四边形ABFD是平行四边形．
点睛：本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
18．（1）见解析；（2）面积=24
【解析】整体分析：
根据勾股定理，可得EC的长，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，即可求解．
(1)证明：在Rt△BCE中，由勾股定理得：
CE===5．
∵BE=DE=3，AE=CE=5，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：平行四边形ABCD的面积为BC BD=4×（3+3）=24.
所以平行四边形ABCD的面积为24.
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