2018高中数学（文）黄金100题系列第38题+平面向量的线性运算及平面向量的共线问题

第38题 平面向量的线性运算及平面向量的共线问题I．题源探究·黄金母题
【例1】如图，已知四边形是等腰梯形，分别是的中点，是线段上的两个点，且，下底是上底的2倍，若，，求．
【解析】，
∴．
又，
∴，
所以
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2015全国新课标Ⅰ卷】设为所在平面
内一点，则（　　　）
A．　　
B．
C．　
D．
【答案】A
【解析】由题知＝＝，故选A．
【例3】【2014全国1文6】设分别为
的三边的中点，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据平面向量基本定理和向量的加减运
算可得：在中，
，同理
，则
【名师点睛】熟练掌握平面向量的共线（平行）、垂直、平面向量的加法等基本概念和基本性质是解决本题的关键之所在，同时本题考查了考生的综合分析问题的能力以及数形结合的能力.
【例4】【2015高考新课标2文2】已知点
，向量，则向量( )
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【解析】∵=（3,1），∴=(-7,-4)，故选A.
【名师点睛】对向量的坐标运算问题，先将未知向量用已知向量表示出来，再代入已知向量的坐标，即可求出未知向量的坐标，是基础题.
【例5】【2016高考新课标2文数】已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，则m=___________.
【答案】
【解析】：因为a∥b，所以，解得．
考点：平面向量的坐标运算 ，平行向量.
【名师点睛】如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
【例6】【（2015北京高考卷】在中，点，满足，．若，则______；_______．
【答案】
【解析】由题意知无论的位置关系如何，对结果
都没有任何变化，即结论唯一，不妨设，，因此以以为原点，为轴，
为轴，建立直角坐标系，
，
，
则，，，
所以．
【例7】【2014福建文10】设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于 （ ）
【答案】
【解析】由已知得，而所以，选.
【名师点睛】本题主要考查向量的加法法则与减法法则及几何意义.解决此类问题时经常出现的错误有：忽视向量的起点与终点，导致加法与减法混淆，对此，要注意三角形法则与平行四边形法则适用的条件.
【例8】【2015高考广东卷】设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题：
①给定向量,总存在向量,使；
②给定向量和,总存在实数和,使；
③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使；
④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使．
上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（　　　）
A．1　　　B．2　　　C．3　　D．4
【答案】B
【解析】利用向量加法的三角形法则，易知①是对的；利用平面向量的基本定理，易知②是对的；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题.综上，选B．
【例9】【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b= ,若a||b,则 .
【答案】
【解析】：由a||b可得
【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(3)三点共线问题．A,B,C三点共线等价于与共线.
精彩解读
【试题来源】人教版A版必修四第120页复习参考题A组第13题．
【母题评析】本题中实际上为基底，然后将其它的向量利用此基底表示出来，主要考查向量加减法的几何意义、平面向量基本定理，所以此类题型在高考中出现的频率还是比较高的，要么单独考查，要么渗透于其它向量问题中．
【思路方法】（1）将一个向量表示为另两个不共线的向量的线性关系，主要是利用平行四边形法则或三角形法则，结合数乘向量、平面向量的基本定理来解决．（2）注意题目中中点与平行的应用．
【命题意图】本类题主要考查平面向量的加法运算及三角形法则、数乘向量，以及图形的识别能力、运算求解能力．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中偏下．
【难点中心】（1）如何利用三角形法则，面临的就是如何选择三角形，这是一个难点；（2）如何利用条件中的关键条件，如线段的中点、三点共线、平行关系，即如何利用这些条件实施向量线性运算间的转换，从而达到将一个向量利用基底向量表示的目的．

III．理论基础·解题原理
考点一　平面向量的加减法及几何意义
1．加法法则及几何意义
①三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，，则叫做和的和．
②平行四边形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，，以为邻边作平行四边形，则为向量和的和．
③多个向量和的多边形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，，…，，则为向量的和．
2．减法法则及几何意义
三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，，则．
考点二　向量的数乘运算及几何意义
实数与向量的乘积是一个向量，且．当时，与的方向相同；当时，与的方向相反．特别地，向量（）与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．
考点三　向量共线定理
如果，则；反之，如果，且，
则一定存在唯一一个实数使．
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，有时也会与三角函数、解三角形等知识交汇．
【技能方法】
（1）将向量表示为另外向量的线性关系，主要是利用平面向量加减法的几何意义（三角形法则、平行四边形法则）结合平面向量的基本定理来解决；
（2）根据线性关系求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量的基本定理结合待定系数法建立方程（组）来解决．
【易错指导】
（1）运算平面向量的三角法则时忽视加法运算的“首尾相接”的特点，减法运算时忽视所得差向量的方向是指向被减数的；
（2）向量的数乘运算注意实数的符号，即必须注意数乘向量的方向；
（3）利用平面向量的基本定理解决相关问题，基底的选择直接决定解题过程的繁杂与简化、决定解题的成功与失败，因此必须重视基底的选择．
V．举一反三·触类旁通
III．理论基础·解题原理
考向1　三角形法则与平行四边形法则的应用
【例1】【2018届湖南省四大名校高三3月联考】在平行四边形中, 与交于点是线段的中点，的延长线与交于点.若，则（　　　）
A．　　　B．　　　C．　　　D．
【答案】C
【方法总结】向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，解题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．
【跟踪训练】
1．【石家庄市2018届高三毕业班质检】在中，点在边上，且，
设， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．【2018吉林省辽源市田家炳高级中学模拟】如图所示，向量
在一条直线上，且则(　 　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据向量加法的三角形法则得到
化简得到。故答案为：D。
3. 【2018银川一中模拟】如图，在直角梯形中，，为边上的一点，，为中点，则 (　　　)
A．　　　 　B．　　　
C．　　 D．
【答案】C
【解析】取的中点，连结，，则，所以＝，∴，于是＝＝，故选C．
考向2　共线定理的应用
【例1】【2017山东滨州市二模】在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为（　　　）
A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D．4
【答案】A
【例2】【沈阳市2017年高中三年级教学质量监测】已知向量与不共线， ， ，则与共线的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由， 共线，
得，即mn﹣1=0，故选：D．
【跟踪训练】
1. 【2015四川文2】设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
【答案】B
【解析】由向量平行的性质，有2∶4＝x∶6，解得x＝3，选B
【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，可以结合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐标之间的关系，两个非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有0时单独讨论)；两个向量垂直时，对应坐标乘积之和等于0，即通常所采用的“数量积”等于0.属于简单题.
2．【南宁二中、柳州高中2018届高三9月联考】已知是不共线的向量， ， ，且三点共线，则 ( )
A. -1 B. -2 C. -2或1 D. -1或2
【答案】D
【解析】由于三点共线，故，即解得-1或2.本题选择D选项.
3．【吉林省东北师范大学附属中学、重庆一中等五校2018届高三1月联考】已知向量， ， ，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4.【2018河南洛阳市一中二模】在中，是上的点，若，则实数的值为___________.
【答案】
【解析】因为，所以，即，所以
．又因为三点共线，所以，
所以．
【方法归纳】共线定理描述的是两个向量间数乘关系，即与共线存在唯一，使，将其延伸后可得到三点共线的条件：在平面中三点共线的充要条件是（为平面内任意一点），其中．
考向3　平面向量线性运算与不等式交汇
【例1】【2018衡水金卷】已知的重心为，过任做一直线分别交边于两点，设，则的最小值是________．
【答案】
【跟踪训练】
1．【安徽淮南市2018届高三一模】已知是的重心，过点作直线与， 交于点，且， ， ，则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图 三点共线，
∵是的重心，

解得， 结合图象可知
令
故
故
当且仅当等号成立，故选D
2．【河北省衡水中学2018届高三月考】若非零向量满足，则下列不等式恒成立的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
点睛：点睛:这个题目考查了向量加法的三角形法则,向量形式的三角形不等式法则,有一定的计算量.对于向量的小题常用的方法有:数形结合法,建系的方法,见模平方的意识,基底化的意识.
考向4　平面向量线性运算与数列的交汇
【例1】【2018重庆一中高三月考】如题图，已知点为的边上一点，，为边上的列点，满足，其中实数列中，则的通项公式为（ ）
A．　　　 B．　　　　C．　　　D．
【答案】D
【点睛】平面向量的线性运算与数列的综合通常体现为表示向量的基底向量的系数为数列的通项（或前项和）或向量对应的点以数列形式出现，而所求解问题常常设置为数列问题，解答时通常从向量开始，利用向量线性运算的相关性质转化为数列问题，然后利用数列的相关知识求解．
【跟踪训练】
1．【2018江西抚州市一中学月考】已知数列为等差数列，且满足，若（），点为直线外一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵数列{an}为等差数列，满足，其中A，B，C在一条直线上，O为直线AB外一点，∴a1+a2017=1，∵数列{an}是等差数列，
∴{an}的=1， .故答案为：D。
2．【河南漯河市高级中学2018高三二模】已知等差数列的前项和为， 、、三点共线，且，则__________．
【答案】1009
【解析】因为三点共线，且，所以，即 所以 故答案为1009.
3．【湖南省株洲市2017届高三一模】将向量=(， )， =(， )，…=(,)组成的系列称为向量列{}，并定义向量列{}的前项和．如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列。若向量列{}是等差向量列，那么下述四个向量中，与一定平行的向量是 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
点睛: 本题主要考查新定义: 等差向量列的理解和应用, 属于中档题. 解题思路：设每一项与前一项的差都等于，运用类似等差数列的通项和求和公式，计算可得，由向量共线定理，可得出结论. 考查类比的数学思想方法和向量共线定理的运用.