19.2.2 平行四边形的判定（2）同步练习

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
19.2.2 平行四边形的判定（2）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
三角形的中位线
(１)定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
(２)定理:三角形的两边中点连线平行于第三边,并且 等于第三边长的一半．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接DE．现测得AC=30m，BC=40m，DE=24m，则AB=（　　）
A. 50m B. 48m C. 45m D. 35m
2．如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为15，则△ABC的周长为（　　）
A. 30 B. 15 C. 7.5 D. 45
3．如图，已知矩形，，，点、分别是，上的点，点、分别是，的中点，当点在上从向移动而点不动时，若，则（ ）．
A. B. C. D. 不能确定
4．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC=20°，∠ACB=66°，则∠FEG等于（　　）
A. 47° B. 46° C. 11.5° D. 23°
5．已知等腰三角形的两条中位线长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为(　　)
A. 22 B. 26 C. 22或26 D. 23
6．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=14，AC=20，则MN的长为（ ）
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
7．如图，在△ABC中，AC=8，BC=12，AF交BC于F，E为AB的中点，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，垂足为D，连接DE，则DE的长为（　　）
A. 2 B. C. 3 D. 4
8．已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为（　　）
A. B. C. D.
9．如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，M，N，P分别AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP=（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 50°
10．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E，F，G分别是BD，AC，DC的中点.已知两底之差是6，两腰之和是12，则△EFG的周长是(　　)
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
二、填空题
11．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC=4cm，则DE=_____cm．
12．如图，在矩形ABCD中，M．N．分别是边AD，BC 的中点，点E、点F分别是线段BM，CN的中点，若AM=DM=6，AB=8，则四边形ENFM的周长为_______．
13．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC延长线上的一点，FC＝3，DF交CE于点G，且EG＝CG，则BC＝________.
14．如图，已知线段AB⊥CD，E，F分别是AD，CB的中点，且AB＝16，CD＝12，则EF的长是________.
15．如图，在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点，点M在DE上，且ME＝DM.当AM⊥BM时，则BC的长为________．
16．如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，点，分别为，的中点，连接，则长度的最大值为__________．
三、解答题
17．已知△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD，垂足是E,F是BC的中点，试说明BD=2EF。
18．如图，在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的中线，延长AB到点E，使BE=AB，连接CE．求证：CD= CE。
19．如图，已知：四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC、AB的中点，直线EF分别与BC、AD的延长线相交于G、H．求证：∠AHF=∠BGF。
20．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点M，N，E分别是BD，AC，DC的中点，连接MN，ME，NE，试猜想△EMN的形状，并证明你的猜想.
21．如图，在△ABC中，AB=AC，AE=CF．求证： 。
22．如图，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE于点G，AD＝BE＝6，求AC的长．
23．如图，在中， ，点分别是的中点， 是延长线上的一点，且．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
参考答案
1．B
【解析】∵D是AC的中点，E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB，
∵DE=24m，
∴AB=2DE=48m，
故选B．
2．A
【解析】试题分析：根据三角形中位线的性质可得：AB=2EF，AC=2DF，BC=2DE，则△ABC的周长=2×(EF+DF+DE)=30，故选A．
3．B
【解析】连接．
∵,
,,
∴．
又∵中，
为中点，
为中点，
∴,
∴
故选B.
点睛：此题主要考查了勾股定理及三角形的中位线定理，熟练掌握勾股定理和三角形中位线定理是解答本题的关键.
4．D
【解析】∵AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，
又∵AD=BC，
∴GF=GE，∠FGC=∠DAC=20°，∠AGE=∠ACB=66°，
∴∠FGE=∠FGC+∠EGC=20°+（180°﹣66°）=134°，
∴∠FEG=（180°﹣∠FGE）=23°．
故选：D．
5．C
【解析】当与底边平行的中位线长为3时，底边长为6，腰长为10，三角形的周长为26；当与底边平行的中位线长为5时，底边长为10，腰长为6，三角形的周长为22，故选C.
6．C
【解析】如图,延长BN交AC于点D,因为AN平分∠BAC，BN⊥AN,所以BN=ND,AD=AB=14,又因为M是BC的中点，所以CD=2MN,因为CD=AC-AD=20-14=6,所以MN=3,故选C.
7．A
【解析】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD．
在△ACD和△FCD中，∵∠ACD＝∠FCD，CD＝CD，∠ADC＝∠FDC，∴△ACD≌△FCD，
∴FC=AC=8，AD=DF，∴BF=BC-CF=4．
∵E为AB的中点，AD=DF，∴DE是△ABF的中位线，∴DE=BF=2．故选A．
点睛：本题考查的是三角形中位线定理和三角形全等的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
8．C
【解析】试题解析：∵连接△ABC三边中点构成第二个三角形，
∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1：2，
∴它们相似，且相似比为1：2，
同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1：2，
即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：1：22，
以此类推：第2012个三角形与原三角形的相似比为1：22011，
∵周长为1，
∴第2012个三角形的周长为 1：22011．
故选C．
9．A
【解析】∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM=AB，PN=DC，
∵AB=CD，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵∠MPN=130°，
∴∠PMN=（180°-∠MPN）÷2=25°，
故选A．
10．B
【解析】如图，
找到AD的中点M，并连接EM
又∵E是BD的中点 ∴EM∥AB，EM=AB﹙三角形中位线的性质﹚
而AB∥CD ∴EM∥CD 又∵M是AD的中点
∴EM平分线段AC﹙平行线等分线段﹚ 而F是线段AC的中点
∴F在线段EM上 ∴FM是⊿ADC的中位线
∴FM=CD
∴EF=EM-FM=﹙AB-CD﹚=3
在⊿ADC中F是AC中点，G是CD中点 ∴FG=AD
同理得 EG=BC
∴FG+EG=﹙AD+BC﹚=6
∴⊿EFG的周长=6+3=9.
故选：B.
11．2
【解析】解：∵点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC．
又∵BC=4cm，∴DE=2cm．故答案为：2．
12．20
【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，在Rt△ABM中，AB=8，AM=6，由勾股定理得BM=10，同理CM=10，∵E、F分别是线段BM、CM的中点，BN=CN，∴EM=FM=5，∴EN，FN都是△BCM的中位线，∴EN=FN=5，∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5=20，故答案为20．
13．6
【解析】∵D，E分别是AB和AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，在△GED和△GCF中， ，∴△GED≌△GCF，∴DE＝CF＝3，∴BC＝2DE＝6，故答案为6.
14．10
【解析】连接AC，取AC中点M，连接EM、FM，
∵E，F分别是AD，CB的中点，
∴EM//CD，EM=CD==6，
FM//AB，FM=AB==8，
∵AB⊥CD，∴∠1=90°，
∵FM//AB，∴∠2=∠1=90°，
∵EM//CD，∴∠3=∠2=90°，
∴EF==10，
故答案为：10.
【点睛】本题考查了三角形的中位线、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键.
15．8
【解析】根据直角三角形的性质（斜边上的中线等于斜边的一半），求出DM=AB=3，即可得到ME=1，根据题意求出DE=DM+ME=4，根据三角形中位线定理可得BC=2DE=8．
故答案为：8．
点睛：本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16．3
【解析】连接，
∵点、分别为、中点，
∴，
∴最大时，最大，
∵与重合时最大，
，
∴的最大值是．
17．证明见解析.
【解析】试题分析：根据三角形的中位线定理，在三角形中准确应用，并且求证E为CD的中点，再求证EF为△BCD的中位线．
试题解析：
∵AD=AC，AE⊥CD，
∴CE=DE
∵CE=DE，F是BC的中点
∴BD=2EF
18．见解析
【解析】试题分析：作BF∥AC交EC于F，通过证明△FBC≌△DBC，得到CD=CF，根据三角形中位线定理得到CF=CE，等量代换得到答案．
试题解析：证明：作BF∥AC交EC于F．
∵BF∥AC，∴∠FBC=∠ACB．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠FBC=∠ABC．
∵BF∥AC，BE=AB，∴BF= AC，CF=CE．
∵CD是AB边上的中线，∴BD=AB，∴BF=BD．
在△FBC和△DBC中，∵BF＝BD，∠FBC＝∠DBC，BC＝BC，∴△FBC≌△DBC，∴CD=CF，∴CD=CE．
点睛：本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键．
19．见解析
【解析】试题分析：连接AC，作EM∥AD交AC于M，连接MF．根据中位线定理得到MF∥BC，且MF=BC，根据AD=BC得到EM=MF，∠MEF=∠MFE，根据平行线的性质，得到∠MEF=∠AHF，∠MFE=∠BGF．即可得到结论．
试题解析：证明：连接AC，作EM∥AD交AC于M，连接MF．如下图：
∵E是CD的中点，且EM∥AD，∴EM=AD，M是AC的中点．又∵F是AB的中点，∴MF∥BC，且MF=BC．
∵AD=BC，∴EM=MF，∴∠MEF=∠MFE．
∵EM∥AH，∴∠MEF=∠AHF．∵FM∥BG，∴∠MFE=∠BGF，∴∠AHF=∠BGF．
20．△EMN是等腰三角形.
【解析】试题分析:因为点M,N,E分别是BD,AC,DC的中点,所以ME,NE是三角形的中位线,根据三角形中位线的性质可得: ME=BC, NE=AD,因为BC=AD,所以ME=NE,根据等腰三角形的判定即可求解.
试题解析:猜想△EMN是等腰三角形,
因为M,E分别是BD,DC的中点,所以ME是△BDC的中位线.所以ME=BC.
同理,得NE=AD,
因为AD=BC,所以ME=NE,所以△EMN是等腰三角形.
21．证明见解析
【解析】过E作ED平行且等于BC，连接DF，DC，再由平行线的性质及全等三角形的性质，在△EFD中即可得出结论．
证明：过E作ED平行且等于BC，连接DF，DC，
如图所示，
∴BCDE是平行四边形，
∴DC平行且等于BE，
∴∠1=∠A，
∵AB=AC，AE=FC，
∴BE=AF=DC，
∴△AEF≌△CFD，
∴EF=DF，
在△EFD中，EF+DF＞DE，
∴2EF＞BC，即EF＞BC，
当E、F为AB、AC中点时，EF=BC，
∴EF≥BC.
点睛：本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形三边关系、全等三角形的判定与性质和三角形中位线定理.合理构造辅助线是解题的关键.
22．
【解析】试题分析：过D点作DF∥BE，交AC于点F.根据平行线分线段的性质，可得DF的长，然后根据勾股定理求出AF的长，再根据三角形的中位线的性质和等腰三角形的性质和判定求解即可.
试题解析：过D点作DF∥BE，交AC于点F.
∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE
∴F为CE的中点，AD⊥DF.
∴DF是△BCE的中位线，∠ADF＝90°.
∵AD＝BE＝6，
∴DF＝BE＝3
∴AF＝＝3.
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠ABG＝∠DBG.
∵AD⊥BE
∴AG＝DG，
即G为AD的中点．
∵BE∥DF，
∴E为AF的中点
∴AE＝EF＝CF＝AF
∴AC＝AF＝×3＝ .
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线定理可得DE=BC，再根据，从而可得DE=CF；
（2）利用SAS证明△BDE≌△ECF即可得.
试题解析：（1）∵点分别是的中点，
∴DE‖BC，且DE=BC，
∵，∴DE=CF；
（2）∵AD=BD=AB，AE=EC=AC，AB=AC，
∴BD=EC， AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠BDE=180°-∠ADE=180°-∠AED，
∵DE‖BC，∴∠AED=∠ACB，
∴∠ECF=180°-∠ACB ，∴∠BDE=∠ECF，
又由（1）得DE=CF， ∴△BDE≌△ECF（SAS），
∴BE=EF.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)