2018高中数学（文）黄金100题系列第65题+空间角的计算

第65题　空间角的计算
I．题源探究·黄金母题
【例1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中.求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
【解析】连接B1C 交于O， 连结A1O，因为
,
,,
A1O为A1B 在平面A1B1CD上的射影，是A1B
与平面A1B1CD平面所成的角。在中，由，，知
即A1B 与平面A1B1CD平面所成的角为
【名师点睛】解决直线与平面所成角问题主要分三步；“找”、“证”、“算”，即；先要通过定义找垂线，看射影（转化为斜线与射影所成的平面角），然后回到定义进行证明，最后进行角的计算（一般放到三角形中）。
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2014新课标2】直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与 AN所成角的余弦值．
解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1 的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，且，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB=在△ANO中，由余弦定理可得：
cos∠ANO=故选：C．
【例3】【2016高考新课标1文数】平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，
,,,则m,n所成角的正弦值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】分析：如图,设平面平面=,平面平面=,因为平面,所以,则所成的角等于所成的角.延长,过作,连接,则为,同理为,而,则所成的角即为所成的角,即为,故所成角的正弦值为,故选A.
【名师点睛】关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.
【例4】【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△，直线AC与所成角的余弦的最大值是______．
【答案】
【解析】分析：设直线与所成角为．
设是中点，由已知得，如图，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，由，，，作于，翻折过程中，始终与垂直， ，
则，，
因此可设，
则，
与平行的单位向量为，
所以＝
，所以时，
取最大值．
【点睛】先建立空间直角坐标系，再计算与平行的单位向量和，进而可得直线与所成角的余弦值，最后利用三角函数的性质可得直线与所成角的余弦值的最大值．
【例5】【2016高考上海文科】将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．计算体积与侧面积即得.
（2）由得或其补角为与所成的角，计算即得．
试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长，底面半径．
圆柱的体积，
圆柱的侧面积．
（2）设过点的母线与下底面交于点，则，
所以或其补角为与所成的角．
由长为，可知，
由长为，可知，，
所以异面直线与所成的角的大小为．
【例6】【2017天津文17】如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.
（I）求异面直线与所成角的余弦值；
（II）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ) .
【解析】分析：（Ⅰ）异面直线所成的角一般都转化为相交线所成的角，，所以即为所求，根据余弦定理求得，但本题可证明，所以；（Ⅱ）要证明线面垂直，根据判断定理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直，即证明；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，做，连结,即为所求.
解析：（Ⅰ）解：如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.
（Ⅲ）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，
可得,在Rt△DPF中，
可得.
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
【名师点睛】用几何法求线面角，关键是找到射影，斜线与其射影所成的角，就是线面角.
【例7】【2015高考湖南文18】如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点。
（I）证明：平面平面；
（II）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积。
【答案】（I）略；(II) .
【解析】分析：（I）首先证明，，得到平面，利用面面垂直的判定与性质定理可得平面平面； (II)设AB的中点为D,证明直线直线与平面所成的角，由题设知，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积.
解析：（I）如图，因为三棱柱是直三棱柱，
所以，又是正三角形 的边的中点，
所以，因此平面，而平面，所以平面平面。
（II）设的中点为，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是直线与平面所成的角，由题设知，所以，
在中，，所以故三棱锥的体积。
精彩解读
【试题来源】人教版A版必修二第66页;例题2
【母题评析】需要明确直线与平面所成角的定义，然后在具体的几何环境中，观察找出（做出）相应的线面角。
【思路方法】思路方法上；解决直线与平面所成角问题主要分三步；“找”、“证”、“算”，即；先要通过定义找垂线，看射影（转化为斜线与射影所成的平面角），然后回到定义进行证明，最后进行角的计算（一般放到三角形中）。
【命题意图】考察空间想象能力及推理论证和计算能力，转化思想。
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择填题或解答题的形式出现，难度中档.
【难点中心】关于空间角计算的难点在于，概念不清，在较为复杂的几何环境下无法准确的找出空间角对应的平面角。即空间想象能力不足。
III．理论基础·解题原理
考点一　异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．
(2)范围：.
考点二　直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)范围：. 当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.
考点三　二面角
（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
(2)范围：
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选填题或解答题的形式出现，难度中档。
【技能方法】
1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
2．线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．
3．利用综合法求线面角与二面角的步骤：
(1)找：根据图形找出相关的线面角或二面角．
(2)证：证明找出的角即为所求的角．
(3)算：根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角．
【易错指导】
两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角
可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．
V．举一反三·触类旁通
考向1　空间线与线所成的角
【例1】【2018银川模拟】如图7-3-5，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)
A.　　 　B.　　 　C.　　 　D.
【答案】D
【例2】【2018哈尔滨模拟】如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________.
【答案】
【解析】取DE的中点H，连接HF，GH.由题设，HF平行于AD，
∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．在△GHF中，
可求HF＝，GF＝GH＝，
∴cos∠GFH＝＝.
【例3】【2018海淀区校级期末】如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为线段DD1，BD的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC1D1；
（2）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为16π，求异面直线EF与BC所成的角的大小．
【答案】
设AA1=a，则，解得a=，
在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵BC⊥平面CDD1C1，CD1?平面CD﹣D1C1，
∴BC⊥CD1，在RT△CC1D1中，BC=2，CD1=，D1C⊥BC，
∴tan∠D1BC=，则∠D1BC=60°，
∴异面直线EF与BC所成的角为60°．
【点评】本题考查了异面直线所成角的定义以及求法，线面平行的判定定理，球的表面积公式，以及直四棱柱的结构特征，属于中档题．
【跟踪练习】
1.【2018兰州模拟】如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．
【答案】
2.【2018兰州模拟】已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD为异面直线AE与D1F
所 成的角．设正方体棱长为a，
则D1D＝a，DF＝a，D1F＝a，
∴cos∠D1FD＝＝
3.【2018东莞市模拟】在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（　　）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】C

4.【2018大连模拟】如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：
(1)三棱锥P-ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
【答案】（1）. （2）.
【解析】 (1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥P-ABC的体积为
V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.
(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).
在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.
5.【2017佛山期末】已知某几何体如图1所示．
（1）根据图2所给几何体的正视图与俯视图（其中正方形网络边长为1），画出几何图形的侧视图，并求该侧视图的面积；
（2）求异面直线AC与EF所成角的余弦值．
【答案】
【点评】本题考查了三视图的画法和异面直线所成的角，属于中档题．
考向2　线与面所成的角
【例1】【2017银川模拟】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．
【答案】　
【例2】【2017张家港市联考】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面的边长都为，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B　
【解析】如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，
∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，
∵平面ABC∥平面A1B1C1，
∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．
∵=．∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1=AA1，
解得AA1=．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，
∴A1P=1，在Rt△AA1P中，tan∠APA1==，
∴∠APA1=60°．故选B．
【点评】本题考查线面角，掌握正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．
【例3】【2017兰州模拟】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；
(2)证明：AE⊥平面PCD.
【答案】见解析　
(2)证明：在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.又AE?平面PAC，∴AE⊥CD.
由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.又PC∩CD＝C，故AE⊥平面PCD.
【跟踪练习】
1.【2017朝阳区校级期末】正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】∵△A1BC1是等边三角形，A1B1=BB1=B1C1，
∴B1在平面A1BC1上的射影为△A1BC1的中心O，
设正方体棱长为1，M为A1C1的中点，则A1B=，
∴OB=BM==，
∴OB1==，∴sin∠B1BO==，
即BB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，
∵DD1∥BB1，∴直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为．故选：A．
2.【2017临沂三模】已知边长为的正方形ABCD的四个顶点都在球心为O的球面上，若球O的体积为36π，则直线OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
3.【2017湖北黄石模拟】将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角，已知直角边AB=4，AC=4，那么下面说法正确的是（　　）
A．平面ABC⊥平面ACD B．四面体D﹣ABC的体积是
C．二面角A﹣BC﹣D的正切值是 D．BC与平面ACD所成角的正弦值是
【答案】D
【解析】对于A，如图，由题意可知∠BDC为B﹣AD﹣C的平面角，
即∠BDC=120°，故平面ABC⊥平面ACD不成立．
对于B，四面体D﹣ABC的体积V=≠，故错；
对于C，如图，由题意可知∠BDC为B﹣AD﹣C的平面角，
即∠BDC=120°，作DF⊥BC于F，连结AF，AF=，BD=4，DC=8，AD=4，
∴∠AFD为二面角A﹣BC﹣D的平面角，tan∠AFD=．
对于D，如图，由题意可知∠BDC为B﹣AD﹣C的平面角，即∠BDC=120°，
作DF⊥BC于F，连结AF，AF=，BD=4，DC=8，AD=4，过O作BO垂直BO⊥CO于O，则∠BCO就是BC与平面ACD所成角，BO=2，OD=2，BC=，sin∠BCO=．故选：D
【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．
4.【2016高考浙江】如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.
（I）求证：BF⊥平面ACFD；
（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
【答案】（I）见解析；（II）.
（II）因为平面，所以是直线与平面所成的角，
在中，，得，
所以直线与平面所成的角的余弦值为.
考向3　二面角
【例1】【2018徐汇区校级模拟】在直二面角α﹣l﹣β中，A∈α，B∈β，A，B都不在l上，AB与α所成角为x，AB与β所成角为y，AB与l所成角为z，则cos2x+cos2y+sin2z的值为（　　）
A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】过A、B分别作AC⊥l于C，BD⊥l于D，过B作直线平行于l，过C作直线平行于BD，两直线交于E，连接AD、AC、AE．因α一l一β为直二面角，BD在β上，l=α∩β，BD⊥l，故BD⊥α．同理AC⊥β．又∠BAD、∠ABC分别为AB与α、β所成的角，有∠BAD=x，∠ABC=y．又EC∥BD，EC⊥l，AC⊥β，有AE⊥l，AE⊥BE，∠EBA=z．∴cos2x+cos2y+sin2z==2故选B．
【点评】本题的考点是与二面角有关的立体几何综合，主要考查线面角，线线角，考查求三角函数的值，关键是正确找出相应的角
【例2】【2018兰州模拟】设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面α，β截球O的两个截面圆的半径分别为1和，二面角α﹣l﹣β的平面角为，则球O的表面积为（　　）
A．4π B．16π C．28π D．112π
【答案】B
【点评】本题考查了二面角的度量，球的截面圆性质及表面积计算．本题得出O1P2+O2P2=OP2=R2是关键．
【例3】【2017汕头三模】如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°．
（Ⅰ）证明：M是侧棱SC的中点；
（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的余弦值．
【答案】见解析
（Ⅱ）解：MB==2，又∠ABM=60°，AB=2，∴△ABM为等边三角形．
又由（Ⅰ）知M为SC中点，SM=，SA=，AM=2，
∴SA2=SM2+AM2，∠SMA=90°，
取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，
则BG⊥AM，GH⊥AM，由此知∠BGH为二面角S﹣AM﹣B的平面角，
连结BH，在△BGH中，
BG=，GH=，BH==，
∴cos∠BGH==﹣．
∴二面角S﹣AM﹣B的余弦值为﹣．
【点评】本题考查点为线段中点的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
【跟踪练习】
1．【2018广东珠海联考】在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是（　　）
A． B． C．24π D．6π
【答案】B
【点评】本题考查面面角，考查球的表面积，解题的关键是确定外接圆的半径，属于中档题．
2．【2018四川宜宾模拟】在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣D的大小为60°，求AP的值．
【答案】见解析

（Ⅱ）解:作OH⊥PC于点H，连接DH．
由（Ⅰ）知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．
所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH．
故∠DHO是二面角A﹣PC﹣D的平面角，
所以∠DHO=60°．在Rt△DOH中，由DO=，得OH=．
在Rt△PAC中，=．
设PA=x，可得=．解得x=，即AP=．
3．【2017?南开区二模】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．
（1）求证：AE⊥B1C；
（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；
（3）若G为C1C中点，求二面角C﹣AG﹣E的正切值．
【答案】见解析
（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC又∵平面ABC⊥平面ACC1A1 ∴EP⊥平面ACC1A1
而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．
∴∠PQE是二面角C﹣AG﹣E的平面角．由EP=1，AP=1，PQ=，得tan∠PQE==
所以二面角C﹣AG﹣E的平面角正切值是
【点评】本题是与二面角有关的立体几何综合题，主要考查了异面直线的夹角，线线垂直的判定，二面角等知识点，难度中档，熟练掌握线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角及二面角的定义，是解答本题的关键。