2018高中数学（理）黄金100题系列第20题+函数零点的个数问题

第20题 函数零点的个数问题
I．题源探究·黄金母题
【例1】求函数的零点的个数．
【答案】1．
【解析】的定义域为．由零点存在性定理知有零点．又在上是单调递增函数，只有一个零点．
精彩解读
【试题来源】人教版A版必修1第88页例1．
【母题评析】本题考查了零点存在性定理、函数零点个数的判断．
【思路方法】判断函数是否存在零点可用零点存在性定理或利用数形结合法．而要判断函数有几个零点，还需要借助函数的单调性．
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2017高考江苏卷第14题】设是定义在且周期为1的函数，在区间上， 其中集合，则方程的解的个数是 ．
【答案】8
【解析】由于，则需考虑的情况，在此范围内，且时，设，且互质．若，则由，可设，且互质．
因此，则，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此．因此不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．
【例3】【2016高考新课标I改编】函数在有 个零点．
【答案】D．
【解析】函数|在上是偶函数，其图象关于轴对称，故先考虑其在上有几个零点．在上有零点．设．
在上有零点．又由，可得，设其解为，易知且在上有唯一零点，设为且．从而当时，，即；当时，，即，故时，为单调递减函数；当时，为单调递增函数．
又在上有唯一零点．由函数图象的对称性可知在上有两个零点．
【命题意图】本题主要考查考查了零点存在性定理、函数零点个数的判断．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记、理解与应用．
【难点中心】解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如直接求解，或数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题，或借助于导数研究函数的单调性，得到函数的零点个数．
【例4】【2015年高考江苏卷】已知函数，，则方程实根的个数为__________．
【答案】4．
【解析】方程等价于，即或共多少个根，，数形结合可得：与有两个交点；，同理可得与有两个交点，所以共计个．
【命题意图】本题主要考查考查了零点存在性定理、函数零点个数的判断．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大．
【难点中心】一些对数型方程不能直接求出其零点，常通过平移、对称变换转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法将方程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数．这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势（单调性，极值点、渐近线等），而且要明确其变化速度快慢．
III．理论基础·解题原理
1．零点的定义：一般地，对于函数，我们把方程的实数根称为函数的零点．
2．函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得．
（1）在上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提；
（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设连续）
① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个；
② 若，那么在不一定有零点；
③ 若在有零点，则不一定必须异号．
3．若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一．
4．函数的零点、方程的根、两图像交点之间的联系：
设函数为，则的零点即为满足方程的根，若，则方程可转变为，即方程的根在坐标系中为交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到．
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化．
5．函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用
（1）函数的零点：
工具：零点存在性定理；
作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内；
缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关．
（2）方程的根：
工具：方程的等价变形；
作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数；
缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数．
（3）两函数的交点：
工具：数形结合；
作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现．通过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围；
缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含的函数可作出图像，那么因为另外一个只含参数的图像为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小．若涉及的函数为分段函数，则难度加大．
【技能方法】
1．零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内．例如：对于方程，无法直接求出根，构造函数，由即可判定其零点必在中．
2．判断函数在某个区间上是否存在零点的方法
（1）解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上．
（2）利用零点存在性定理进行判断；
（3）画出函数图象，通过观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断．
3．断函数零点个数的常见方法
（1）直接法：解方程，方程有几个解，函数就有几个零点；
（2）图象法：画出函数的图象，函数的图象与轴的交点个数即为函数的零点个数；
（3）将函数拆成两个常见函数和的差，从而，则函数的零点个数即为函数与函数的图象的交点个数；
（4）二次函数的零点问题主要从三个方面考虑：
①判别式确定零点是否存在；②对称轴的位置控制零点的位置；③端点值的符号确定零点的个数．
【易错指导】
对函数零点存在的判断需要注意以下两点：（1）函数在上连续；（2）满足．
上述方法只能求变号零点，对于非变号零点不能用上述方法求解．
另外需要注意的是：（1）若函数的图象在与轴相切，则零点通常称为不变号零点；
（2）函数的零点不是点，它是函数与轴的交点的横坐标，是方程的根．
V．举一反三·触类旁通
【例1】【2018云南昆明一中高三一模】若函数，则函数的零点个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【解析】如图：函数与函数有2个交点，所以选D．
【例2】【2018河南漯河高中高三上学期二模】已知函数是上的偶函数，且，当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【例3】【2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考】函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
；当时， ，据此可得：；当时， ，而，则函数与函数在区间上有2个交点，很明显，当时，函数图象没有交点，绘制函数图象如图所示，观察可得：函数的零点个数为5个．
【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【例4】【2018贵州黔东南州第一次联考】已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出函数的图象如下：
【名师点睛】方程的根或函数有零点求参数范围常用方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【例5】【2018黑龙江海林模拟】设，又是一个常数，已知或时， 只有一个实根，当时， 有三个相异实根，给出下列命题：
①和有一个相同的实根；
②和有一个相同的实根；
③的任一实根大于的任一实根；
④的任一实根小于的任一实根．
其中正确命题的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
，
当时， 只有一个实数根；
当时， 有三个相异实根，故函数即有极大值，又有极小值，且极小值为0，极大值为4，故 与有一个相同的实数根，即极大值点，故（1）正确．
与 有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确；
有一实根且函数最小的零点，
有3个实根均大于函数的最小零点，故（3）错误；
有一实根且小于函数最小零点，
有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）正确；
所以A选项正确．
【点睛】三次函数图象时，要关注三次函数的极值点个数，三次函数的三次项系数为正，如果有两个极值点，那么函数为先再减最后增，满足对是一个常数，当或时， 只有一个实根，当时， 有三个相异实根这样的条件，说明有极小值为0，极大值为4，据此可画出函数的模拟图像，数形结合，逐一验证．
【例6】【2018安徽阜阳临泉一中高三上学期二模】已知 ，若关于的方程 恰好有 个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________．
【答案】
令，则当时，方程有一解；当时，方程有两解；时，方程有三解．∵关于的方程，恰好有4个不相等实数根，∴关于的方程在和上各有一解，∴，解得，故答案为．
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
【例7】【2018江苏南通如皋高三第一次联考】已知函数若有三个零点，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】有三个零点，根据题意可得时，函数有一个零点； 时，函数有两个零点．当时， ， 恒成立，故；当时， ，要使得有两个零点，需满足，解得，综上可得，故答案为．
【例8】【2017江西宜春丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学届高三六校联考】已知函数， 的四个零点， ， ， ，且，则的值是__________．
【答案】
【例9】【2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考】已知函数将的图象向右平移两个单位，得到函数的图象．
（1）求函数的解析式；
（2）若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）借助平移的知识可以直接求出函数解析式
（2）先换元将问题转化为有且只有一个根，再运用函数方程思想建立不等式组分析求解．
（1）（2）设，则，原方程可化为，于是只须在上有且仅有一个实根．
法1：设，对称轴，则①．或②
由①得，即，．由②得无解，则．
法2：由，，得，，设，则，．
记，则在上是单调函数，因为故要使题设成立，只须．即．从而．
【名师点睛】在解答指数函数的综合题目时可以采用换元法，转化为一元二次函数的问题，根据题目要求，如需要分类讨论，再加入分类讨论．
【例10】【江苏扬州模拟】设 (R)
（1） 若，求在区间上的最大值；
（2） 若，写出的单调区间；
（3） 若存在，使得方程有三个不相等的实数解，求的取值范围．
【答案】（1） （2） 的单调增区间为和，单调减区间 （3）
试题解析：
（1）当时，=，
在R上为增函数， 在上为增函数，则 ．
（2），，，
当时， ， 在为增函数 ，
当时，，即，在为增函数，在为减函数，则的单调增区间为和，单调减区间 ．
（3）由（2）可知，当时， 为增函数，方程不可能有三个不相等实数根，
当时，由（2）得 ，，
即在有解，由在上为增函数，
当时， 的最大值为，则 ．
【例11】【2018海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学等八校联考】设函数，其中．
（1）若直线与函数的图象在上只有一个交点，求的取值范围；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1） 或；（2） ．
令得， 递减，∴在处取得极小值，且极小值为，
∵， ，∴由数形结合可得或．
（2）当时， ， ，令得；
令得， 递增；令得， 递减，∴在处取得极小值，且极小值为，∵，∴，∵当即时， ，∴，即，∴无解，当即时， ，∴，即，又，∴．
综上， ．
【名师点睛】函数交点问题，研究函数的单调性找函数最值，求参；恒成立求参，对于分段函数来讲，分段讨论最值即可．
【跟踪练习】
1．【2018江苏南宁模拟】设函数，则零点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【点睛】
函数数零点问题，常根据零点存在性定理来判断，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为 （ ）
A． 4 B．6 C．8 D．10
【答案】D．
【解析】由为偶函数可得：只需作出正半轴的图像，再利用对称性作另一半图像即可，当时，可以利用利用图像变换作出图像，时，，即自变量差2个单位，函数值折半，进而可作出，，……的图像，的零点个数即为根的个数，即与的交点个数，观察图像在时，有5个交点，根据对称性可得时，也有5个交点．共计10个交点．
【评注】
（1）类似函数的周期性，但有一个倍数关系．依然可以考虑利用周期性的思想，在作图时，以一个“周期”图像为基础，其余各部分按照倍数调整图像即可；
（2）周期性函数作图时，若函数图像不连续，则要注意每个周期的边界值是属于哪一段周期，在图像中要准确标出，便于数形结合；
（3）巧妙利用的奇偶性，可以简化解题步骤．例如本题中求交点个数时，只需分析正半轴的情况，而负半轴可用对称性解决．
3．已知函数的图像为上的一条连续不断的曲线，当时，，则关于的函数的零点的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【答案】A．
【评注】
（1）本题由于解析式未知，故无法利用图像解决，所以根据条件考虑构造函数，利用单调性与零点存在性定理进行解决；
（2）所给不等式呈现出轮流求导的特点，猜想可能是符合导数的乘法法则，变形后可得，而的零点问题可利用方程进行变形，从而与条件中的相联系，从而构造出．
4．定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
【评注】本题有以下几个亮点：
（1）的周期性的判定： 可猜想与周期性有关，可带入特殊值，解出，进而判定周期，配合对称性作图；
（2）在选择出交点的函数时，若要数形结合，则要选择能够做出图像的函数，例如在本题中，的图像可做，且可通过图像变换做出．
5．已知定义在上的函数满足，当时，，其中，若方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
，即．
6．【2018广东广州模拟】已知函数 则函数的零点个数为 个．
【答案】．
【解析】的零点个数，即是方程的根的个数，也就是与的图象的交点个数，分别作出与的图象，如图所示，由图象知与的图象有两个交点，所以函数有个零点．

7．【2018全国名校第二次大联考】函数有4个零点，其图象如下图，和图象吻合的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
得解：本函数图象的交点、函数的零点、方程的根往往是“知一求二”，解答时要先判断哪个好求解就转化为哪个，判断函数零点个数的常用方法：（1） 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；（2） 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；（3） 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题．
8．【2018四川绵阳高三第一次诊断性考试】函数满足，且当时，．若函数的图象与函数（，且）的图象有且仅有4个交点，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数满足，所以函数的周期为又在一个周期内，函数解析式为，所以可作出函数图象，在同一坐标系内作函数的图象，要使两个函数图象有且仅有四个交点，只需，所以，故选C．
9．【2018安徽十大名校高三11月联考】若函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 当时， 恒成立，又，
则函数在上有且只有1个零点；
当时，函数，则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以此时函数的极大值为，极小值为，
要使得有4个零点，则，解得，故选B．
【名师点睛】本题主要考查了根据函数的零点求解参数的取值范围问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值等知识点的综合应用，着重考查了数形结合思想和转化与化归思想的应用，解答中把函数的零点问题转化为函数的图象与的交点个数，利用函数的极值求解是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．
10．【2018江苏淮安盱眙中学高三第一次学情调研】已知函数的图象与函数的图象有四个交点，则实数的取值范围为________．
【答案】
上个递增，由可得函数 在 上个递减，所以函数最小值为，令 ，可得，此时函数有两个零点，故函数的图象与函数的图象有四个交点，实数的取值范围为，故答案为．
【方法点睛】本题主要考查函数图象的交点、函数的零点、方程的根，属于难题．函数图象的交点、函数的零点、方程的根往往是“知一求二”，解答时要先判断哪个好求解就转化为哪个，判断函数零点个数的常用方法：（1） 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；（2） 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；（3） 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题．
11．【2018安徽滁州高三9月联合质量检测】已知，若方程有唯一解，则实数的取值范围是__________．
【答案】
由图可知： ．
【名师点睛】根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．
12．【2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考】已知函数将的图象向右平移两个单位，得到函数的图象．
（1）求函数的解析式；
（2）若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
（1）（2）设，则，原方程可化为，于是只须在上有且仅有一个实根．
法1：设，对称轴，则①．或②
由①得，即， ．
由②得无解，则．
法2：由， ，得， ，设，则， ．
记，则在上是单调函数，因为故要使题设成立，只须．即．从而．
【名师点睛】在解答指数函数的综合题目时可以采用换元法，转化为一元二次函数的问题，根据题目要求，如需要分类讨论，再加入分类讨论．
13．【2018河南林州一中高三8月调研】已知函数，且曲线在处的切线与平行．
（1）求的值；
（2）当时，试探究函数的零点个数，并说明理由．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析: （1）根据曲线在处的切线与平行可得: ，进而求出a值；（2）①当时， ，函数在单调递增，根据零点存在性定理可得: 在上只有一个零点．②当时， 恒成立，构造函数，求导判断单调性与最值可得，
又时， ，所以，即，故函数在上没有零点，③当时， ，
所以函数在上单调递减，根据零点存在性定理可得:函数在上有且只有一个零点，综上所述时，函数有两个零点．
试题解析:解：（1）依题意，故，
故，解得．
（2）①当时， ，此时， ，
函数在单调递增，
故函数在至多有一个零点，又，
而且函数在上是连续不断的，因此函数在上只有一个零点．
②当时， 恒成立，证明如下：设，则，所以在上单调递增，所以时， ，所以，又时， ，所以，即，故函数在上没有零点，
③当时， ，
所以函数在上单调递减，故函数在至多有一个零点，
又，而且函数在上是连续不断的，
因此，函数在上有且只有一个零点．
综上所述时，函数有两个零点．