2018高中数学（文）黄金100题系列第16题+对数函数

第16题对数函数
I．题源探究·黄金母题
【例1】已知函数，，．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．
【解析】（1）由，得，∴函数的定义域为．
（2）根据（1）知：函数的定义域为
∴函数的定义域关于原点对称．
又∵
＝，
∴是上的偶函数．
精彩解读
【试题来源】人教版A版必修一第75页B组第4题
【母题评析】本题以对数函数为载体，考查函数的定义域与奇偶性．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，能达到考查运算能力以及代数恒等变换能力．
【思路方法】求含有对数的函数的定义域时，除考虑前面所知晓的分母、根式要求外，还须考虑对数的真数必须大于0．判断对数型函数的奇偶性时首先必须确定函数的定义域是否对称，对称的情况下判断与的关系，进而判定．
II．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考北京卷】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是（）
（参考数据：lg3≈0．48）
A．1033B．1053 C．1073 D．1093
【答案】D
【解析】设，两边取对数，，所以，即最接近，故选D．
【例2】【2017高考天津卷文理】已知奇函数在上是增函数．若，则的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由题意：，且：，
据此：，结合函数的单调性有：，
即，本题选择C选项．
【例3】【2017高考新课标II文数】函数的单调递增区间是（）
A．B． C． D．
【答案】D
【解析】函数有意义，则，解得或，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为．故选D．
【例4】【2017高考新课标I文数】已知函数，则
A．在单调递增
B．在单调递减
C．的图像关于直线对称
D．的图像关于点对称
【答案】C
【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，C正确，D错误；又（），在上单调递增，在上单调递减，A，B错误，故选C．
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．
【命题意图】本类题考查对数型函数的定义域与奇偶性．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往以考查对数运算构成的对数型函数奇偶性、对数函数的单调性应用、对数函数的图象、在实际生活中的应用．
【难点中心】（1）处理含有参数的对数型函数的单调性与奇偶性时，常常要运用逆向思维的方法，体现待定系数法的应用；（2）应用对数函数的图象时，常常涉及不太规范的对数型函数的图象，其作法可能较难，常常利用转化思想；（3）解决对数不等式问题的方法就是化为同底的对数或对数的形式，再利用函数的单调性转化为熟悉的代数不等式求解；（4）在实际生活中的应用时如何建立与对数相关的函数模型，也是相对较难．
III．理论基础·解题原理
考点一　对数与对数的运算性质
（1）对数的定义
如果（且），那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
（2）几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为，且
常用对数
底数为10
自然对数
底数为
2、对数的性质与运算法则
（1）对数的性质（）：
①，②，③，④．
（2）对数的运算法则：
如果，且，，，那么：
1．·＋；
2．－；
3．．
（2）换底公式：
（均为大于零且不等于1，）；
利用换底公式推导下面的结论
（1）．推广．
（2），特例：
考点二　对数函数的定义
函数，且叫做对数函数，其中是自量，函数的定义域是．
注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．（2）对数函数对底数的限制：，且．
考点三　对数函数图象与性质
图象
性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）当时，，即过定点（1，0）
（4）当时，；
当时，
（4）当时，；
当时，
（5）在（0，+）上为增函数
（5）在（0，+）上为减函数
注：确定图中各函数的底数与1的大小关系
提示：作一直线，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，∴．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
1．通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系；
2．在解答题常常与导数相结合，考查函数的单调性、极值、最值等．
【技能方法】
1．转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化，同时要熟练应用公式：，，，．
2．数式化简与求值的规律
含有对数的代数式的化简关键是减少含有对数的项的个数，而含对数的项的合并常用对数的性质，因此，化简要朝这个方向进行．一般有如下规律：
（1）先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并；
（2）熟练地运用对数的三个运算性质和换底公式并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧；
（3）指数式与对数式的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．
3．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的方法步骤：
（1）先求出函数的定义域；
（2）判断对数函数的底数与1的关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论；
（3）判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．
4．求函数的最值(或值域)
（1）直接法：充分利用函数的单调性和图象直接求解．
（2）转化法：利用运算公式将含有对数式的函数转化为求二次函数最值问题，然后采用配方法求解，但需注意自变量的范围．
（3）分解法（复合法）：求解步骤：①分解成两个函数；②求的定义域；③求的取值范围；④利用的单调性求解．
【易错指导】
1．在对数运算中，忽视真数的限制条件，如已知，求的值；
2．错误利用对数的运算性质，如求值：；
3．忽视函数中的定义域，如求函数的单调递增区间；
4．混淆函数定义域与值域的理解，如若函数的值域为，求实数的取值范围；
5．忽视对含参底数的讨论，如已知函数的最大值比最小值大1，求的值；
6．忽视复合指数型函数的单调性的复合性，如求的单调区间．
V．举一反三·触类旁通
考向1 对数运算性质的应用
【例1】【2015高考安徽卷】___________．
【答案】
【解析】解法一：原式＝．
解法二：．
【例2】用表示下列各式：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）．
【例3】【2018河南南阳一中上学期第三次考试】求值：（1）；
（2）．
【答案】（1）1；（2）．
【解析】（1）原式=．
（2）原式．
【跟踪练习】
1．已知函数则的值为（）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为所以，，选．
【考点定位】本题考查函数的概念，指数与对数运算等基础知识，意在考查考生的计算能力及分析判断能力能力．
2．【2016高考浙江卷】已知．若，，则_________，___________．
【答案】　
【技巧归纳】进行对数运算常用的方法：（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的．
3．【2017吉林梅河口五中高三一模】已知两条直线：和：，与函数的图象从左到右相交于点，与函数的图象从左到右相交于点，记线段和在轴的投影长度分别为，当变化时，的最小值为__________．
【答案】
【解析】根据题意得：，，，，所以，，即，因为，所以，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为
点睛：本题主要考查的是对数的运算及均指不定式的运用，难度适中，属于中等难度题．先分别表示出、、、的坐标，然后表示用、、、的坐标表示出投影长度、，得到，然后利用均值不等式求得的最小值．
考向2 求对数型函数的定义域、值域
【例4】【2017河北唐山二模】函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】要使有意义，则，即，即，即，即函数的定义域为．
【例5】求下列函数的定义域、值域：
（1）；（2）．
【例6】【2018黑龙江双鸭山一中卖不】已知函数
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最小值为-4，求a的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）要使函数有意义，则有解之得函数的定义域；
（2）整理可得，则由复合函数的单调性可得的最小值为
，由此可解得a的值．
试题解析；；
（1）要使函数有意义，则有解之得，所以函数的定义域为．
（2）
．，，
．由，得，．
【跟踪练习】
1．【2016高考全国Ⅱ卷】下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（　　　）
A．　　B．　　C．　 D．
【答案】D
【解析】，定义域与值域均为，只有D满足，故选D．
2．【2015高考湖北卷】函数的定义域为（　　　）
A．　　　B．　　　C．　　　D．
【答案】C
【方法归纳】求函数的定义域主要从三个方面考虑：（1）分式中的分母要求不等于0；（2）偶次根式的被开方数要求非负；（3）对数式的真数要求为正数．
3．【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第一次调研】已知函数的定义域为，不等式的解集为，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，由可得，所以，所以，故选B．
4．【2017广西南宁金伦中学高三上学期期末考试】函数的定义域是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，，故函数的定义域为，故选D．
5．【2018湖南衡阳八中模拟】设函数f（x）=lg（ax﹣bx），且f（1）=lg2，f（2）=lg12
（1）求a，b的值．
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最大值．
（3）m为何值时，函数g（x）=ax的图象与h（x）=bx﹣m的图象恒有两个交点．
【答案】（1）a=4，b=2；（2）当x=2时，函数f（x）取最大值lg12，（3）
试题解析：（1）∵f（1）=lg2，f（2）=lg12，f（x）=lg（ax﹣bx）
∴，解得．∴a=4，b=2；
（2）由（1）得：函数f（x）=lg（4x﹣2x），
当时，，∴，∴，
故当，即x=2时，函数f（x）取最大值lg12．
（3）若函数g（x）=ax的图象与h（x）=bx﹣m的图象恒有两个交点．则方程4x﹣2x=m有两个解，
令t=2x，则t＞0，则方程有两个正解；故，解得．
所以当时，函数g（x）=ax的图象与h（x）=bx﹣m的图象恒有两个交点．
考向3 对数函数的奇偶性
【例7】【2018安徽合肥调研】若函数为奇函数，当时，，则（）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【解析】，选C．
【例8】【2017贵州贵阳模拟】已知函数，则是（）
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】D
【例9】【2017吉林实验中学上学期二模】若函数为奇函数，则实数_______．
【答案】
【解析】因为函数为奇函数，所以，所以，即．
点睛：解决本题的技巧是利用了奇函数的性质（若奇函数在处有定义，则），可起到事半功倍的效果．
【跟踪练习】
1．【2015高考新课标Ⅰ】若函数为偶函数，则___________．
【答案】1
【解析】由题知是奇函数，所以＝，解得．
2．【2014高考湖南卷】若是偶函数，则_________．
【答案】
【解析】因为函数为偶函数，所以，即，所以，即＝，即，所以．
【名师点睛】此类试题主要表现为已知函数的单调性求相关的参数，其思考方向：（1）利用定义域的对称性建立方程求参数；（2）利用定义或建立方程求参数；（3）若函数为奇函数，且在有定义，则利用求参数．
考向4 对数型函数的单调区间（单调性）
【例10】求函数的递减区间．
【答案】
【例11】【2018湖北省武汉调研】函数（）的单调递增区间是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数得，得或，根据题意，设，则，图象开口向上，因函数为单调增函数，由得：也是增函数，又因在上是增函数，故的取值范围是，故选D．
点睛：复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．
【跟踪练习】
1．【2014高考天津卷】函数的单调递增区间是（　　　）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，由于外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，只要求的单调递减区间，结合函数的定义域，得单调递增区间为，故选D．
【方法点拨】此类求对数型复合函数的单调区间，首先要搞清楚函数的复合关系，即把整个函数分解为若干个单调函数，按照“同增异减”的法则去判断函数的单调性．要讨论函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行，还要注意区间的端点值．
2．【2018广东揭阳模拟】函数的单调递减区间是
A．（1，+∞） B．（﹣1，1] C．[1，3） D．（﹣∞，1）
【答案】C
3．【2018湖北孝感七校联考】函数的单调递增区间是____．
【答案】
【解析】函数有意义，则，解得，结合二次函数的性质和复合函数单调性同增异减可知：函数的单调递增区间为．
4．【2017山东济宁高三3月模拟】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意得，因为函数在上单调递减，则
且，综合可得实数的取值范围
是．
【点睛】本题考查了分段函数的单调性的应用，属于中档题，分段函数在定义域上单调递减时，每段函数都要递减，但要注意分界点处函数值的处理，在分界点处函数是可以连续的，即两个函数值是可以相等的，因此在处理分界处的函数值是容易出现错误的，做题时要注意考虑完全．
考向5 对数函数的单调性的应用
【例12】若，则
A．B． C． D．
【答案】B
【例13】【2018河南漯河高级中学高三上学期三模】已知函数，若，且，则（）
A． B． C． D．随值变化
【答案】A
【解析】不妨设，则令，则或；故故
，故选A．
【例14】【2017山西三区八校二模】设，，，则，，的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以；又，故，所以，应选答案D．
【例15】【2017江苏无锡江南中学高三考前模拟】设，，，则、、的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，应选答案D．
【跟踪练习】
1．【2018青海模拟】已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【易错指导】（1）忽视真数要求大于0的条件；（2）只注意真数所对应的二次函数的单调性而忽视外层函数的单调性．
2．【2018安徽六安一中模拟】不等式的解集是_______．
【答案】
【解析】由得，即．
【名师指导】求对数不等式的解集主要就是利用其单调性，因此必须考察对数的底数，同时易忽视真数的限制条件．
3．【2017河北石家庄考前冲刺】已知，，，则下列不等关系正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题．又，故选．
4．【2013高考全国新课标Ⅱ】设，则（　　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【名师点拨】比较两个对数值大小方法：（1）如果同底数或可转化为同底数的两个对数值的比较，只须确定其对应函数的单调性，利用真数的大小即可比较；（2）如果底数不同且不能转化为同底数的两个对数值，则此时可考虑引入一个中间数，间接比较这两个对数值的大小．
考向6 对数函数的最值（值域）
【例16】【2017吉林实验中学高三上学期第二次模拟】已知函数的最大值和最小值分别是，则的值为
A．1 B．0 C．-1 D．-2
【答案】B
【解析】由题意，得表示单位圆上动点和单位圆外一点的连线的斜率，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，设切线方程为，即，则，即的两根分别为，则，即；故选B．
点睛：在处理求函数值域问题时，往往结合所给式子的几何意义进行处理可起到事半功倍的效果，常用的有：表示过点和点的直线的斜率，表示点和点的距离的平方．
【例17】函数的最小值为___________．
【答案】
【解析】，
所以，当，即时，取得最小值．
【例18】【2018海南模拟】已知，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】由题意得，（当且仅当，即取等号）．
【名师点睛】与对数相关的函数的最值（值域）的常见三种求法：（1）对形如的函数的最值（值域）问题，可通过换元，然后配方求解，但需注意新的变量范围；（2）直接利用对数函数的单调性求解，但需注意底数与单调性的关系；（3）形如可考虑利用基本不等式求解．
【跟踪练习】
1．【2018江苏南师附中等四校高三联考】若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是________．
【答案】
【易错点晴】本题属于一道逆向型的问题，中档偏难题．解题时一定要注意对底数进行分类．解题过程中还运用了函数值域内中的一个重要性质，并以此为基点建立不等式求出了参数的取值范围．解本题的关键是如何理解题设中“值域为”并能建立等价的不等式．
2．【2018江苏扬州模拟】若函数且有最大值，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】由题令，因为抛物线开口向下，∴函数有最大值，在定义域上单调，且，∴要使函数有最大值，则在定义域上单调递增，则．又，则由得，，解得或，又因为，则，即实数的取值范围是．
【易错指导】（1）注意真数对应的二次函数的开口方向；（2）注意函数为复合函数，解答时注意利用单调性的复合规律求解；（3）注意定义域要求．
考向7 指数函数的图象过定点
【例19】函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，均大于0，则的最小值为（）
A．2　　　　B．4　　　　C．8　　　　D．16
【答案】C
【解析】根据题意，有，所以有，所以，故选C．
【方法提炼】因为指数函数恒过定点，则函数所过的定点可令求得横坐标，而纵坐标为，由此可得定点坐标．
【例20】【2017陕西西安一模】函数过定点，且角的终边过点，则的值为（）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【跟踪练习】
1．函数恒过定点．
【答案】
【解析】当时，，故函数恒过定点．
2．【2017广东揭阳模拟】若函数f（x）=3ax﹣k+1（a＞0，且a≠1）过定点（2，4），且f（x）在定义域R内是增函数，则函数g（x）=loga（x-k）的图象是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数图象过定点，则，在定义域内为增函数，可知．则原函数为．其定义域为且函数为增函数．故选．
考向8 对数型函数的图象识别
【例21】函数的图象大致是（　　　）
（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【题型归纳】对对数函数的图象识别考查主要有两种题型：（1）根据对数函数的图象确定相关参数的值或函数的解析式；（2）根据函数的解析式确定对应的函数的图象．
【例22】【201海南海南中学、文昌中学下学期联考】函数满足，那么函数的图象大致是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，可知选项为C．
【跟踪练习】
1．已知函数为常数，其中且）的图象如图，则下列结论成立的是（　　　）
A．　　B．　　C．　　D．
【答案】D
2．【2017江苏苏北三市（连云港、徐州、宿迁）第三次调研】如图，已知正方形的边长为2，平行于轴，顶点，和分别在函数，和的图象上，则实数的值为__________．
【答案】
【解析】设，则：，
故：，
即：，
由AB=2可得：．
考向9 对数函数图象的应用
【例23】函数的零点个数为（）
A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4
【答案】B
【技巧点拨】在函数与方程的关系中，如果求解与函数零点、方程的根、图象的交点等问题时，常常要利用数形结合的思想来解决．
【例24】【2018湖北华师一附中9月调研】使成立的的取值范围是___________
【答案】（-1，0）
【解析】在同一坐标系中分别画出函数和的图象（如图所示），由图象，得使成立的的取值范围是；故填．
【例25】【2017重庆4月调研】设函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及数形结合思想，属于难题．函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
【跟踪练习】
1．【2018河南郑州一中上学期入学考试】设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出函数和的图象（如图所示），若关于的方程有四个不同的解且，则且，即，且，则在区间上单调递增，则，即的取值范围为；故选D．
点睛：在处理函数的零点个数问题时，往往转化为判定两个函数的图象交点个数问题，一般利用数形结合思想进行处理；本题的难点在于判定四个解的关系及的取值范围．
2．【2017湖南雅礼中学高三下学期月考五】若满足，满足，则（）
A．　　　B．　　　C．　　　D．
【答案】C
【方法点晴】本题主要考查的是指数函数图象、对数函数图象及图象之间的关系，属于中档题．本题通过化方程解为两函数图象交点问题，将求解方程根的和的问题，转化为直线与指数函数图象、对数函数图象交点横坐标之和的问题．本题利用互为反函数的图象关于直线对称，又与对称轴垂直，可知与两函数图象交点的中点在直线上，从而求出两交点横坐标之和．
3．【2016高考天津卷】已知函数在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________．
【答案】
考向10 对数方程的解法
【例26】【2015高考上海卷】方程的解为___________．
【答案】
【解析】设，则，．
【方法点拨】对数方程的最基本的法则是首先统一底数，然后根据方程的特征利用对数的运算性质，结合对数相等，真数相等去掉对数符号，或通过换元去掉对数符号，转化为代数方程后，利用代数的方法求求解，最后回代验证即可．
【例27】【2017河南安阳二模】已知函数，．
（Ⅰ）若在上有两个不等实根，求实数的取值范围；
（Ⅱ）证明：．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．
又，，所以的取值范围为．
（Ⅱ），即，等价于，
设，则，
所以当时，，单调递减；当时，单调递增．　
所以在上的最小值为．
设，则，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在上的最大值为．
因为，所以，故．
点睛：导数是研究函数的单调性、极值（最值）的有效而重要的工具，求解本题的第一问时，依据题设条件将方程问题转化为函数问题，再构造函数运用导数知识分析求解而获解；解答第二问时，则首先将不等式进行等价转化，然后再构造函数运用导数知识及转化化归的思想方法进行分析推证，从而使得问题简捷、巧妙获证．
【例28】【2017重庆上学期第一次诊断模拟】已知函数有两个不同的零点．
求的最值；
证明：．
【答案】（1），无最小值（2）见解析
，构造函数，通过函数的导数以及函数的单调性求解最值即可．
试题解析：，有两个不同的零点，在内必不单调，故，
此时在上单增，上单减，
，无最小值
由题知，两式相减得，即
故要证，即证，即证
不妨设，令，则只需证
设，则
设，则在上单减，
，在上单增，
，即在时恒成立，原不等式得证．
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题．不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明．
【例29】【2018浙江嘉兴一中模拟】已知，函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．
【答案】(1）；(2)；（3）．
【解析】试题分析：（1）当时，，然后根据对数底数大于的图象性质可得，解之即可得到答案；（2）根据题意可得，变形后为，然后将的值代入求解的值后进一步结合的取值范围分析的取值范围；（3）首先可以假设当时，则，故有，判断出函数的单调性，可设函数在区间上的最大值与最小值分别为，令其两者之差不小于列出不等式，解不等式即可．
当且时，，，．
是原方程的解当且仅当，即；
是原方程的解当且仅当，即．
于是满足题意的．
综上，的取值范围为．
（3）当时，，，
所以在上单调递减．
函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
即，对任意成立．
因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得．故的取值范围为．
【跟踪练习】
1．【2017黑龙江哈尔滨三中二模】已知函数，与函数，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（）．
A． B． C． D．
【答案】B
2．【2017安徽江南十校高三3月联考】已知函数，函数．
（Ⅰ）若曲线与直线相切，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：；
（Ⅲ）若函数与函数的图象有且仅有一个公共点，证明：．
【答案】（I）；（II）详见解析；（III）详见解析．
【解析】试题分析：（1）借助题设条件，运用导数的几何意义建立方程；（2）先将不等式进行等价转化，再构造函数，运用导数的知识进行推证；（3）可构造函数运用求导法则进行求导，然后综合运用导数等知识进行分析探求．
试题解析：
解：（Ⅰ）设曲线在点处切线是，则
由于所以，
由题意知：，于是．
（Ⅱ）令，
当时，，所以，
即，当时，，所以，
即，于是
在（0，1）单调递减，单调递增，
其最小值是，所以，于是原不等式成立．
（Ⅲ）令，
则函数与函数的图象有且仅有一个公共点等价于函数有且只有一个零点，，
注意到为上的增函数且值域为，
所以在上有唯一零点，
且在上为负，上为正，所以为极小值，
又函数有唯一零点，结合的单调性知，
所以，即，
即，
即．令，
显然，是的零点，，
在（0，1）上为正，上为负，于是在上单调递减，
注意到，所以在（1，2）内有一个零点，在内无零点，所以的零点一定小于，从而函数与函数的图象有且仅有一个公共点时一定有．
点睛：本题以含参数的两个函数解析式为前提条件，精心设置了两个问题，旨在考查导数在研究函数的单调性与极值（最值）等方面的综合运用．求解第一问时，充分借助题设条件，运用导数的几何意义建立方程使得问题获解；第二问的求解则是将不等式进行等价转化，再构造函数，运用导数的知识进行推证从而获解；第三问求解时先构造函数，进而运用求导法则进行求导，然后综合运用导数等知识进行分析探求，进而使得问题获解．
3．【2018甘肃通渭二中上学期第一次月考】函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）（0＜a＜1）．
（1）求方程f（x）=0的解；
（2）若函数f（x）的最小值为﹣1，求a的值．
【答案】（1）（2）
试题解析：（1）要使函数有意义，则有，解得：﹣3＜x＜1，
函数可化为
由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1，即x2+2x﹣2=0，解得或．满足﹣3＜x＜1．
∴方程的解为．
（2），
∵，∴，∵，∴．
由题意可得，解得，满足条件．∴．即的值为．
点睛：解决对数型函数的有关问题时，要注意以下几点：（1）函数的定义域；（2）底数与1的大小关系；（3）如何将函数解析时变形，并确保变形的等价性；（4）复合函数是怎样构成的，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．
4．【2017重庆巴蜀中学模拟】已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且．
（1）求的解析式；
（2）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）或．
【解析】
（2）由
．
得：，
令，则，即方程……（*）只有一个大于0的根，
①当时，，满足条件；
②当方程（*）有一正一负两根时，满足条件，则，∴，
③当方程（*）有两个相等的且为正的实根时，则，∴，（舍去），
时，，综上：或．