2018高中数学（文）黄金100题系列第17题+幂函数

第17题幂函数
I．题源探究·黄金母题
【例】已知幂函数的图象过点（2，），试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性．
【解析】设=，则，解得，
所以=，定义域为，是非奇非偶函数，
∵，∴在是减函数，图像如下：
精彩解读
【试题来源】人教版A版必修1第82页复习参考题A组第10题
【母题评析】本题考查幂函数的解析式、图象、奇偶性、单调性，是基础题．是高考重要考点之一．
【思路方法】求幂函数的解析式常用待定系数法，研究幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性常用图像法，在研究函数性质时，一定要先求定义域，注意幂函数与指数函数的区别，注意不同的幂函数定义域、图像、性质可能不同．
II．考场精彩·真题回放
【例1】【2014高考浙江卷】在同一坐标系中，函数，的图象可能是（）
【答案】D
【解析】对A，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对B，中，中，不符合题意；对C，中，中，不符合题意；对D，中，中，符合题意；故选D．
【例2】【2014上海卷】若，则满足的取值范围是．
【答案】
【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为．
【命题意图】本类题通常主要考查幂函数的图像与性质的应用．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与不等式、函数性质等数学知识相结合，考查幂函数的定义、图像与性质．
【难点中心】幂函数因幂指数不同其定义域、值域、图像、奇偶性、单调性也不同，故解决幂函数问题，要根据解析式，首项求函数的定义域，根据幂指数确定其图像与性质，，熟记不同范围幂指数所对函数的图像与性质，是解题要熟练处理与幂函数有关的问题的关键．
III．理论基础·解题原理
考点一幂函数的概念与表示
一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数．
考点二幂函数的图像与性质
1．幂函数的图象
2．幂函数性质
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
增函数
减函数，增函数
增函数
增函数
减函数，增函数
定点
，
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数、不等式等数学知识结合考查幂函数的图像与性质．
【技能方法】
1．幂函数，其中为常数，其本质特征是以幂的底为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．
2．在上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
3．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
【易错指导】
（1）在掌握幂函数时，注意幂函数系数为1，底数为自变量，指数为常数这一特征；
（2）注意幂函数的指数定义域、值域、单调性、对称性与幂函数的幂指数有关；
（3）注意幂函数与指数函数区别．
V．举一反三·触类旁通
考向1 幂函数的概念与表示
【例1】【2018河南三门峡模拟】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为(　　)
A．　　　　B．1 C．2 D．1或2
【答案】B
【例2】【2018宁夏银川模拟】已知幂函数的图象过点，则（）
A．B．C．D．与大小无法判定
【答案】A
【解析】设，则，，即，在上是减函数，所以．故选A．
【跟踪练习】
1．【2018黑龙江哈尔滨模拟】若幂函数的图象不过原点，则的取值是（）
A．B．C．D．
【答案】D
2．【2018山西45校第一次联考】幂函数在其图象上点处的切线方程为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将点代入得，解得，故幂函数为，因为，故切线方程为，即，故选A．
3．【2018广西钦州模拟】使代数式(|x|-1有意义的x的取值范围是()
A．|x|≥1 B．-11 D．x∈R，且x≠±1
【答案】D
【解析】，选D．
考向2 幂函数的图像
【例3】【2018湖北鄂东南省级示范高中高三上学期期中联考】若幂函数与在第一象限的图象如图所示，则与的取值情况为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【例4】【2018浙江诸暨模拟】下图中曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知p分别为，中的一个，则相应于曲线C1、C2、C3、C4的p值依次是（）
A．-2，，，2B．，-2，2，C．2，，，-2D．2，，-2，
【答案】C
【解析】做直线，与四个函数图象从上到下的交点依次记为，而，从而相应于曲线的n依次为2，，，-2，故选C．
【例5】【2018山东济南模拟】已知函数在区间上的最大值是，则的取值范围是．
【答案】
【解析】，作出函数图象，如图所示，因为函数在上的最大值为，又所以，即．
【跟踪练习】
1．函数的图象是（）
A． B． C． D．
【答案】B
点评：幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x来刻画其它幂函数在第一象限的凸向．
2．【2018湖北黄冈9月质量检测】函数（，）与的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
3．【2017河南周口市上学期期末调研】已知指数函数（且）的图像恒过定点，若定点在幂函数的图像上，则幂函数的图像是（）
A BC D
【答案】A
【解析】令，即时，，即指数函数（且）的图象恒过定点，又因为定点在幂函数的图象上，所以，即，解得，则在定义域上单调递增，故选A．
考向3 幂函数性质
【例6】【2017江西赣州模拟】幂函数的图象经过点，则是（）
A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数
C．奇函数，且在上是增函数 D．非奇非偶函数，且在上是增函数
【答案】C
【解析】设幂函数为，代入点，解得，所以，可知函数是奇函数，且在上是增函数，故选C．
【例7】【2017河南新乡二模】设，，，则的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【例8】【2018内蒙古集宁一中模拟】设，则使得函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为（）
A．-1，3 B．-1，1 C．1，3 D．-1，1，3
【答案】C
【解析】由题意，当时尽管也是奇函数，但定义域是，应选答案C ．
【跟踪练习】
1．设＞0且≠1 ，则“函数=在R上是减函数”，是“函数=在R上是增函数”的（）
．充分不必要条件．必要不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件
【答案】A．
【解析】p：“函数=在R上是减函数”等价于；q：“函数=在R上是增函数”等价于，即且≠1，故p是q成立的充分不必要条件．故选．
2．【2018东北师大附中模拟】已知幂函数的图象关于轴对称，则下列选项正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于幂函数的图象关于轴对称，可知为偶函数，所以，即．则有，，所以，故选B．
3．【2017浙江省余姚中学二模】已知幂函数过点，则满足的实数的取值范围是．
【答案】
考向4 幂函数的综合应用
【例9】【2018山东滕州三中模拟】已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，4），则下列判断中不正确的是（　　）
A．函数图象经过点（﹣1，1）
B．当x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的值域是[0，4]
C．函数满足f（x）+f（﹣x）=0
D．函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0]
【答案】C
【解析】由题意可知，，所以，所以，A对，x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的值域是[0，4]，B对．在（﹣∞，0]上单调递减，D对，偶函数，C错，选C．
【例10】【2018山东济宁微山县二中高三上学期第一次月考】下列命题正确的是（）
A．的图像是一条直线
B．幂函数的图像都经过点
C．若幂函数是奇函数，则是增函数
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限
【答案】D
【解析】对于，函数的图象是一条直线除去点，故错误；对于，幂函数的图象都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故错误；对于，若幂函数是奇函数，且时，是定义域上的增函数，时，在及上均为减函数，故错误；由幂函数的性质，幂函数的图象一定过第一象限，不可能出现在第四象限，正确，故选D．
【方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查幂函数的单调性、幂函数的奇偶性、幂函数的图象与性质，属于难题．这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题．
【例11】【2017河南濮阳模拟】当时，下列函数中图象全在直线下方的增函数是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【例12】【2017河南息县一中高三下学期第三次阶段测试】若集合，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，故选C．
【跟踪练习】
1．设函数，若=4，则实数=
A．-4或-2 B．-4或2 C．-2或4 D．-2或2
【答案】B
【解析】∵=4 ∴或，解得=－4或=2，故选B．
2．已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
【答案】（0，1）
3．若<，则实数a的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】不等式(a＋1)<(3－2a)等价于a＋1>3－2a>0或3－2a解得a<－1或4．已知幂函数在上单调递增，函数．
（1）求的值；
（2）当时，记的值域分别为集合，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由幂函数的定义可得，解出的值，注意验证（2）当时，单调递增，易得的值域，由即可求实数的取值范围．
试题解析：（1）依题意得：，解得或．
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去．∴．
（2）由（1）可知，当时，单调递增，∴，∵，∴，∴．故实数的取值范围是．