2018高中数学（文）黄金100题系列第18题+几类特殊函数（对勾函数、绝对值函数等）

第18题 几类特殊函数（对勾函数、绝对值函数等）
I．理论基础·解题原理
（I）对勾函数
对勾函数的定义
形如的函数，叫做对勾函数．
对勾函数的图象与性质
定义域
值域
当时，（当且仅当，即时取等号）．
当时，（当且仅当，即时取等号）．
函数的值域为．
奇偶性
由于双勾函数定义域关于原点对称，，则对勾函数为奇函数．
单调性
由于，令，解得或，令，解得或，所以函数在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数．
渐近线
当时，，当时，，说明函数的的图象在第一、第三象限．
当时，，说明函数在第一象限的图象在直线的上方，当时，，说明函数在第三象限的图象在直线的下方．
双勾函数就是以轴和直线为渐近线的双曲线．
特别时，，函数图象如下图所示：
（II）绝对值函数
一、绝对值函数的定义：形如的函数，叫做绝对值函数．
含绝对值的函数本质上是分段函数,往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究,由于去绝对值函数大多要涉及到分类讨论,对能力要求较高,故备受高考命题者青睐,高考常考的主要有以下3类：1．形如的函数,研究此类函数往往结合图像,可以看成由的图像在轴上方部分不变,下方部分关于轴对称得到；2．形如的函数,此类函数是偶函数,因此可以先研究的情况,的情况可以根据对称性得到；3．函数解析式中部分含有绝对值,如,等,这种函数是普通的分段函数,一般先去绝对值,再结合图像进行研究．
绝对值函数的图象与性质
定义域：R；
值域：；
单调性：函数在上为减函数，在上为增函数．
特别时，，图象如下图所示
（III）取整函数
取整函数的定义
若x为实数，表示不超过的最大整数，则函数叫做取整函数．举例如下：等．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，可以是选择题或填空题，也可以是解答题，难度较大，往往与函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性有联系，主要考查函数的性质的应用等．
【技能方法】
解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的相关性质．最好先画出函数的图象，利用数形结合思想，解决相应问题．
【易错指导】
注意定义域先行原则，必须先求出函数的定义域，在定义域内解决相应问题．
V．举一反三·触类旁通
考向1 对勾函数
【例1】【2018河北唐山模拟】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，令，则为奇函数，则，所以，有，故选A．
考点：函数值、函数的奇偶性．
【例2】【2018云南省师大附中模拟】若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性．
【例3】【2017山西四校联考】若函数的导函数在区间（1，2）上有零点，则在下列区间上单调递增的是
A． B． C． D．
【解析】，，显然，函数的导函数在区间（1，2）上有零点，，为增函数，只需，故选D．
【名师点睛】1．要结合图象，理解对勾函数的各种性质，单调性，对称性，奇偶性等．
2．通过对勾函数的研究，要明确均值不等式的使用条件．
3．对渐近线的认识，应进一步加深，我们可以理解为，函数图象无限靠近直线，且总在直线的一侧．
【例4】【2018吉林百校联盟高三九月联考】已知函数函数，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则函数无零点 B．若，则函数有零点
C．若，则函数有一个零点 D．若，则函数有两个零点
【答案】A
【解析】作出函数的图象如图所示：
观察可知：当时，函数有一个零点，故A错误．故选A．
【跟踪练习】
1．若函数，则下列结论正确的是（ ）
2．关于函数有下列命题：
（1）其图象关于y轴对称；
（2）函数f(x)在上单调递增，在上单调递减；
（3）函数f(x)的最小值为；
（4）函数f(x)在上单调递增；
（5）函数f(x)无最大值，也无最小值
其中所有正确结论的序号是（ ）
【解析】注意函数的定义域为．
如图：
所以在上，g(x)在上递减，在上递增．所以由复合函数单调性可知，f(x) 在上递减，在上递增．由函数对称性，f(x) 在上递增，在上递减，所以（2）不正确，（4）正确．又因为，函数g(x)的最小值为2，所以f(x)的最小值为lg2，所以（3）正确，（5）不正确．
3．函数的最大值为______
【答案】5
4．求函数在下列条件下的值域：
(1)；
(2)
【解析】（1）当x>0时，由均值不等式，有
当时，即时，取到等号；
当x<0时，有
所以函数的值域为：
5．已知函数 其中常数a>0．
(1)证明:函数f(x)在上是减函数,在 上是增函数；
(2)利用(1)的结论,求函数 (x∈[4,6])的值域；
(3)借助(1)的结论,试指出函数 的单调区间,不必证明．
【解析】（1）．，所以值域为：
（2）解：．，所以值域为：．
（3），所以值域为：．
考向2 绝对值函数
【例5】【2017云南昆明下学期第二次统测】已知关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，方程无解；当时，，方程，即至多一解；当时，，当时方程，即必有一解；当时方程，因此有三个不同的实数解，选C．
【例6】已知函数,若方程有四个不同的解,,,,且,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【例7】【2018上海交通大学附中高三上学期开学摸底考试】已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________．
【答案】
【例8】【2015高考湖北卷】为实数,函数在区间上的最大值记为．
当 时,的值最小．
【答案】
【解析】．①当时,函数的图像如图所示．函数在区间上单调递增,．
②当时,,在区间上的最大值为．
③当时,函数的图像如图所示．
【例9】函数 ,关于的方程恰有三个不同实数解,则实数的取值范围为 ．
【答案】
【例10】【2018广东广州模拟】已知函数
(1)证明：函数是偶函数；
(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图像（草图），并写出函数的值域；
(3)在同一坐标系中画出直线，观察图像写出不等式的解集．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【解析】试题分析: 判断函数的奇偶性，首先要考查函数的定义域，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提，当函数的定义域关于原点对称式， 根据f(-x)与f(x)的关系，判断函数f(x)为奇偶性；再利用零点分区间讨论法分段去掉绝对值符号，化为分段函数，画出函数图象；根据图象解不等式，这是一种数形结合思想．
试题解析：
（1）依题可得： 的定义域为

是偶函数
（2）
由函数图象知，函数的值域为
（3）由函数图象知，不等式的解集为
【跟踪练习】
1．【2018浙江台州模拟】函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别，则的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
由，得，
由，得，
，当且仅当，
即时取到等号，故答案为D．
考点：1、函数图象的应用；2、基本不等式的应用．
2．【2018北京西城区模拟】设函数
（1）如果，那么实数___；
（2）如果函数有且仅有两个零点，那么实数的取值范围是___．
【答案】或4；
【解析】由题意 ，解得或；
第二问如图：
考点：1．分段函数值；2．函数的零点．
3．设函数为常数）
（1）a=2时，讨论函数的单调性；
（2）若a>-2，函数的最小值为2，求a的值．
【解析】（1）时，，结合图像知，函数的单调增区间为，减区间为；
（2），，结合图像可得
当时函数的最小值为=2，解得a=3符合题意；
当时函数的最小值为，无解；
综上，a=3．
考向3 取整函数与程序框图
【例11】【2018山西四校联考】执行图中的程序框图（其中表示不超过的最大整数），则输出的值为
A．5 B．7 C．9 D．12
考向4 取整函数与函数的周期性
【例12】【2018陕西西北工业大学附中模拟】x为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为 ( )
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D． 周期函数
【答案】D
考点：函数的周期性．
【例13】【2017重庆一中高三上学期一诊模拟考试】高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设，用表示不超过的最大整数，并用表示的非负纯小数，则称为高斯函数，已知数列满足：，则__________．
【答案】
考点：归纳推理、数列的递推公式及新定义问题．
【跟踪练习】
1．【2018重庆铜梁一中高三上学期第一次月考】阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，在数轴上，当是整数， 就是，当不是整数时， 是点左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数．如．
求 的值为（ ）
A．0 B．-2 C．-1 D．1
【答案】C
【解析】=?2,?2<由“取整函数”的定义可得，
=?2?2?1+0+1+1+2=?1．
故选：C．
点睛：正确理解高斯（Gauss）函数的概念是解题的关键，表示“不超过的最大整数”，
首先小于等于此实数，并且其为最大的整数，条件想全面．
2．【2018江苏南京模拟】函数称为高斯函数，又称取整函数，对任意实数是不超过的最大整数，则函数的值域为 ．
【答案】
3．【2018福建三明模拟】对于任意，令为不大于的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数．若数列满足，且数列的前项和为，则等于 ．
【答案】
【解析】由定义知，．
考向5 取整函数与函数的零点
【例14】【2018天津南开中学第三次月考】已知符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由f（x）=0得，令g（x）=（x>0），作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到a的取值范围．由f（x）=0得；令g（x）=，（x>0），则当0＜x＜1，[x]=0，此时g（x）=0，
当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=，此时；
当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=，此时；
当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=，此时；
当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=，此时；
作出g（x）的函数的图象，要使函数有且仅有3个零点，即函数g（x）的图象与直线y=a有且只有三个零点，由图象可知：．故答案为：．
考点：函数的零点与方程根的关系．
【例15】【2018杭州重点中学联考】已知，符号表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是

【答案】B
若x＞0，此时[x]≥0；若[x]=0，则，若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，故，且随着[x]的增大而增大．若x＜0，此时[x]＜0；
若﹣1≤x＜0，则，若x＜-1，因为[x]≤x＜-1；[x]≤x＜[x]+1，故,
且随着[x]的增大而增大．又因为[x]一定是不同的x对应不同的a值．所以为使函数有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=-1，-2，-3．若[x]=1，有若[x]=2，有若[x]=3，有若[x]=4，有若[x]=-1，有a＞1；若[x]=-2，有1≤a＜2；若[x]=-3，有若[x]=-4，有，综上所述，或．故选：B．
考点：函数零点的判定定理．
【跟踪练习】
1．【2018福建省莆田模拟】在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），表示不超过的最大整数．例如：．设函数，则函数的值域为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（其中表示不大于的最大整数）可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，当时，所以选项不正确，当时，所以不正确，故选C．
3．【2018浙江浙大附中模拟】对于实数，称为取整函数或高斯函数，亦即是不超过的最大整数．例如：．直角坐标平面内，若满足，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】解：由[x-1]2+[y-1]2=4，得 [x-1]=±2， [y-1]=0 或 [x-1]=0， [y-1]=±2 然后得到可行域
x2+y2看作可行域内点到坐标原点距离的平方．AO2=1，BO2=5此时x2+y2∈[1，5）．CO2=10，DO2=20，此时x2+y2∈[10，20）．所以x2+y2∈[1，5）∪[10，20）．