2018高中数学（文）黄金100题系列第22题+复合函数的零点问题

第22题 复合函数的零点问题
I．题源探究·黄金母题
【例1】设函数（为常数且）．
若是的零点但不是的零点，则称为的二阶周期点，求函数的二阶周期点．
【答案】函数有且仅有两个二阶周期点，，．
【解析】
当时，由解得，由于，故不是的二阶周期点；
当时，由解得因，故是的二阶周期点；
当时，由解得，因故不是的二阶周期点；
当时，解得 ，因，
故是的二阶周期点．
综上：函数有且仅有两个二阶周期点，，．
精彩解读
【试题来源】2013年高考江西卷改编．
【母题评析】本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点，难度较大．新定义（信息题）是近几年来高考的一个热点．
【思路方法】理解定义，写出复合函数的解析式，再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题．
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2017年高考江苏卷】设是定义在且周期为1的函数，在区间上， 其中集合，则方程的解的个数是 ▲ ．
【答案】8
【解析】由于 ，则需考虑 的情况
在此范围内， 且 时，设 ，且 互质
若 ，则由 ，可设 ，且 互质
因此 ，则 ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此
因此 不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．
【例3】【2015年高考天津】已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】
由得，
，即
，所以恰有4个零点等价于方程
有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知．
【命题意图】本题主要考查复合函数的零点．本题能较好的考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力等．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，综合性强，难度大．
【难点中心】解答此类问题，关键在于 “抽茧剥丝”，把复合函数问题转化为单函数问题，准确作出函数图象，利用图象解决问题．
III．理论基础·解题原理
1．复合函数定义：设，，且函数的值域为定义域的子集，那么通过的联系而得到自变量的函数，称是的复合函数，记为．
2．复合函数函数值计算的步骤：求函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值．
例如：已知，计算．
【解析】，．
3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出的值．例如：已知，，若，求．
由上例可得，要想求出的根，则需要先将视为整体，先求出的值，再求对应的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义．
4．函数的零点：设的定义域为，若存在，使得，则称为的一个零点．
5．复合函数零点问题的特点：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使得等式成立；第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性强，难度大．
【技能方法】
求解复合函数零点问题的技巧：
（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像
（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围．
【易错指导】
1．函数零点—忽视单调性的存在．例如：若函数f(x)在区间[－2，2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(－2，2)内有一个零点，则f(－2)·f（2）的值 (　　)
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
解答：若函数f(x)在(－2，2)内有一个零点，该零点可分两种情况：（1）该零点是变号零点，则f(－2)·f（2）<0；（2）该零点是非变号零点，则f(－2)·f（2）>0，因此选D．
易错警示： 警示1：错误认为该零点是变号零点；警示2：不知道非变号零点这种情况．
方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断．本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性，事实上，当f(x)在(－2，2)内有一个零点时，f(－2)·f（2）的符号不能确定．
2．要注意对于在区间[a，b]上的连续函数f(x)，若x0是f(x)的零点，却不一定有f(a)·f(b)<0，即f(a)·f(b)<0仅是f(x)在[a，b]上存在零点的充分条件，而不是必要条件．
注意以下几点：①满足零点存在性定理的条件的零点可能不唯一；
②不满足零点存在性定理条件时，也可能有零点．
③由函数在闭区间上有零点不一定能推出·，如图所示．所以·是在闭区间上有零点的充分不必要条件．
注意：①如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且函数在区间上是一个单调函数，那么当·时，函数在区间内有唯一的零点，即存在唯一的，使．
②如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有·，那么，函数在区间内不一定没有零点．
③如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，那么当函数在区间内有零点时不一定有·，也可能有·．
V．举一反三·触类旁通
【例1】【2018四川绵阳一诊】函数满足，且当时， ．若函数的图象与函数（，且）的图象有且仅有4个交点，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【例2】【2018南宁高三毕业班摸底联考】设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得函数f(x)的对称轴为x=2，周期为T=4，原方程变形为，，所以只需画出，两个函数在区间(-2，6)的图像，根据图像求a的范围，图像如下，一定过（-1，0）点，当时，显然只有一个交点，所以，只需要对数从点B，点C下面穿过就有4个零点，所以解得，选D．
【点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程，我们常把方程变形为f(x)=g(x)，然后根据y=f(x)与y=g(x)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程变形为，再画出两个函数的图像，根据两个图像有4个交点，求出参数a的范围．
【例3】【2018河南天一大联考】已知函数若关于的方程有3个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作图如下：
因此要使方程有3个，实数的取值范围是 ，选D．
【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
【例4】【2018广西桂林柳州高三综合模拟】已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
A（0，﹣2），B（3，1），C（4， 0），则g（x）的图象介于直线AB和AC之间，介于kAB＜m＜kAC，可得＜m＜1．故答案为：（，1）．
点睛:函数h（x）=f（x）﹣mx+2有三个不同的零点，即为f（x）﹣mx+2=0有三个不同的实根，可令y=f（x），y=g（x）=mx﹣2，分别画出y=f（x）和y=g（x）的图象，通过图象观察，结合斜率公式，即可得到m的范围．
【例5】【2018广东珠海一中等六校第一次联考】已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】解：令t=f（x），F（x）=0，则f（t）﹣2t﹣=0，
　　　　
【名师点睛】本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t对应几个x．
【例6】【2018安徽阜阳临泉一中上学期二模】已知 ，若关于的方程 恰好有 个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【解析】∵，∴，∴
∴当或时，，当时，
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
可作出大致函数图象如图所示：
令，则当时，方程有一解；当时，方程有两解；时，方程有三解
∵关于的方程，恰好有4个不相等实数根
∴关于的方程在和上各有一解
∴，解得，故答案为
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
【例7】【2018湖南株洲醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期两校期中联考】已知函数，若0＜a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），则的范围为__．
【答案】（1，2）
，满足，，即，，，故，故答案为．
【名师点睛】画出函数的图象，由图象可知有相等时的取值范围，这里的图象和计算得，可以当作结论，这样三个未知数就只剩下，由反比例即可求出结果．
【例8】【2018江西宜春丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学六校联考】已知函数， 的四个零点， ， ， ，且，则的值是__________．
【答案】
【例9】【2018山西山大附中等晋豫名校第四次调研】已知函数，把方程的根按从小到大顺序排成一个数列，则该数列的前项和__________．
【答案】
【解析】当时，有，有 ，
当时，有 ，有
当时，有 ，有
当时，有 ，有
依次类推，当时，则 ，
所以 ，故 ，所以通项公式， ．
【点睛】本题考查对分段函数的处理方法，分段函数要分段处理，根据分段函数的解析式找出各段函数的零点，从而得出各个零点与项数的关系，写出数列的通项公式，根据数列是特殊的等差数列，利用等差数列求和公式，求出数列的前项的和．
【例10】【2018江苏南通如皋第一次联考】已知函数若有三个零点，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【例11】【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研】已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是_________．
【答案】．
【解析】数形结合，由直线与曲线的位置关系可得当时有两个交点，即函数恰有两个零点．
【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．
【例12】【2018江苏淮安盱眙中学第一次学情调研】已知函数的图象与函数的图象有四个交点，则实数的取值范围为________．
【答案】
数最小值为，令 ，可得，此时函数有两个零点，故函数的图象与函数的图象有四个交点，实数的取值范围为，故答案为．
【方法点睛】本题主要考查函数图象的交点、函数的零点、方程的根，属于难题．函数图象的交点、函数的零点、方程的根往往是“知一求二”，解答时要先判断哪个好求解就转化为哪个，判断函数零点个数的常用方法：（1） 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；（2） 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；（3） 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题．
【跟踪练习】
1．【2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考】函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解析】函数的零点满足： ，则原问题等价于考查函数与函数的交点的个数．
；
当时， ，据此可得：
；
当时， ，
而，
则函数与函数在区间上有2个交点，
很明显，当时，函数图象没有交点，绘制函数图象如图所示，观察可得：
函数的零点个数为5个．
【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
2．【2018江西上饶高三下学期一模】已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间上有两解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
即有在区间上有两解，由，可得，当时， ， 递减；当时， ， 递增． 在处取得最大值， ， ，分别作出，和的图象，可得两图象只有一个交点，将的图象向上平移，至经过点，有两个交点，由，即，解得，当时，两图象有两个交点，即方程两解．故选A．
3．【201甘肃兰州西北师范大学附属中学一调】若函数，则方程的根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换．充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解．
4．【2018安徽滁州高三9月联合质量检测】已知，若方程有唯一解，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】当时， ，所以．．
若方程有唯一解，即，有唯一解．
作出和的图象，根据题意两函数图象有唯一交点．
由图可知： ．
【名师点睛】根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．
5．【2018山西45校高三第一次联考】已知若方程有且仅有3个实数解，则实数的取值范围是__________．
【答案】
设，AB为的切线，B为切点， ，观察可知，当位于切线AB和割线AC之间时， 图象与的图象有三个交点，设．由，可得切线AB: ，解得，故，又，所以当方程在上有三个实数解，实数k的取值范围为．
【名师点睛】根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．
6．【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研】已知，若有个根，则的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
因为，所以，故答案为．
7．【2018河郑州一中模拟】已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】画出的图象如图所示
当时，得或
此时化为，
若，则此时有两解或，违背题意，
故
此时
若，则关于的不等式恰有一个整数解．
结合图象可知，可得
若，则关于的不等式恰有一个整数解．
结合图象可知，可得
综上， ．
8．【2018江苏南京高三数学上学期期初学情调研】已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则实数a的取值范围为______．
【答案】[0，2]∪[3，8]
满足符合题意，当时，至少存在两点满足不合题意，故答案为
【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等
9．【2018浙江温州一模】已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为3，则的取值范围为__________．
【答案】
单调递增，且取值范围是，当时，函数的导函数，考虑到是上的单调递增函数，且，于是在上有唯一零点，记为，进而函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，如图：
接下来问题的关键是判断与的大小关系，注意到，，函数，在上与直线有个公共点，的取值范围是，故答案为．
10．【2018湖南永州高三上学期一模】定义函数， ， ，若存在实数使得方程无实数根，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
11．【2018河北石家庄二中八月高三模拟】已知，若函数有零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
综上可得： 或
故答案为：
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
12．【2018广东茂名高三五大联盟学校9月份联考】若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
由可得，则问题转化为函数的图像有至少三个交点，结合图像可以看出当时，即时满足题设，应填答案．
【名师点睛】本题的求解过程体现了数形结合的数学思想的巧妙运用，求解时先在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像，进而借助图像的直观建立不等式，进而通过解不等式求出参数的取值范围．
13．【2018山东齐河晏婴学校一模】已知，又，若满足的有三个，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意作函数的图象：

【名师点睛】本题考查方程根的个数问题的转化，一元二次方程根的分布问题，以及换元法的应用，考查数形结合思想，转化思想；由题意作函数的图象，令，由图求出的范围，代入方程化简，由条件和图象判断出方程的根的范围，由一元二次方程根的分布问题列出不等式，求出的取值范围．
14．【2018浙江名校协作体上学期考试】已知函数则关于的方程的不同实根的个数为________．
【答案】4个
【解析】函数 图像如图所示， ，由图
15．【2018河南郑州一中模拟】已知函数满足，当时， ，当时，，若定义在上的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
当时，则，故；当时，则，故；当时，则，又因为，所以，则．所以， ，画出函
【名师点睛】解答本题的关键是充分运用题设条件先将函数在区间上的解析表达式求出来，再画出其图像数形结合，从而将问题转化为方程有唯一解，可求得，通过数形结合，求得当时，函数在区间上的图像与直线的图像有且只有三个不同的交点，即定义在上的函数有三个不同的零点．
16．【2018江苏南京师范大学附属中学模拟】函数其中，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
时，两直线与函数共有六个不同交点，应填答案．
【名师点睛】解答本题的关键关节有两个：其一是将函数的零点问题进行等价转化；其二是要巧妙运用数形结合思想建立不等式组．求解时还要综合运用导数知识确定函数的极值点和极值．
灵活运用所学知识和重要是数学思想进行分析问题和解决问题是本题一大特征，体现了数学思想在解决数学问题中四两拨千斤的功能．