2018高中数学（理）黄金100题系列第64题+空间垂直关系的证明

第64题 空间垂直关系的证明
I．题源探究·黄金母题
【例1】如图，在正方体中，求证：
（1）平面；
（2）与平面的交点是的重心
（三角形三条中线的交点）．
【解析】（1）连接，，
又⊥面，∴，
∵，
∴⊥面，因此．
同理可证：，∴平面．
（2）连接，
由，得．
∴点为的外心.又是正三角形，
∴点为的中心，也为的重心．
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2017课标1理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.
【解析】分析：（1）根据题设条件可以得出AB⊥AP，CD⊥PD.而AB∥CD ，就可证明出AB⊥平面PAD.进而证明平面PAB⊥平面PAD.试题解析：（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD.又AB 平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）略
【例3】【2017课标3理19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.
【答案】(1)证明略；(2) .
【解析】分析：(1)利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；
解析：（1）由题设可得，，从而 又是直角三角形，所以取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO又由于△ABC是正三角形，故.
所以为二面角 的平面角.
在Rt△AOB中， .又 ，
所以 ，
故 .所以平面ACD⊥平面ABC.
【例4】【2015高考新课标1理18】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）略
【解析】
在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，∴，∴EG⊥FG，
∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，
∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.

【例5】【2016高考浙江理数】如图,在三棱台 中,平面平面,
,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(I)求证：EF⊥平面ACFD；
(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
【答案】（I）证明见解析；（II）略．
【解析】（I）延长，，相交于一点，如图所示．因为平面平面，且，所以，平面，因此，．又因为，，，所以为等边三角形，且为的中点，则．所以平面．
【例6】【2015高考陕西理18】如图，在直角梯形 中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．

（I）证明：平面；
（II）若平面平面，
求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（I）证明见解析；（II）．
【解析】分析：（I）先证，，再可证平面，进而可证平面；（II）建空间直角坐标系，再算出平面和平面的法向量，进而可得平面与平面夹角的余弦值．
解析：（I）在图1中，因为，，是的中点，，所以，即在图2中，，，从而平面
又，所以平面.
(II)由已知，平面平面，又由（I）知，，
所以为二面角的平面角，所以.如图，以为原点，建立空间直角坐标系，因为，
得 ，.设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，
则，得，
取，
，得，取，
从而，
即平面与平面夹角的余弦值为.
【名师点晴】本题主要考查的是线面垂直、二面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．
【例7】【2014江苏理16】如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知，
求证（1）直线平面；
（2）平面平面.
【答案】证明见解析．
【解析】（1）由于分别是的中点，则有，又，，所以．
（2）由（1），又，
所以，又是中点，所以，，又，
所以，所以，是平面内两条相交直线，所以，
又，所以平面平面．
【名师点晴】由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．证明线面垂直时，不要忽视面内两条线为相交线这一条件．证明直线与平面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．
精彩解读
【试题来源】人教版A版必修二第79页复习参考题B组第2题．
【母题评析】本题是以正方体为载体考查空间直线与平面的垂直关系，这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力．这在高考中常常出现在解答题的第1小题位置．
【思路方法】两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直，而直线与平面或垂直又可转化为直线与直线垂直，所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”．
【命题意图】本类题主要考查空间空间直线、平面间的垂直关系的证明和判断，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、转化能力．
【考试方向】这类试题在选择题中，主要考查空间直线、平面间的垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的垂直，主要出现在第1小题中．
【难点中心】求空间直线、平面间位置关系的证明的主要难点：（1）对几何体结构认识不透，空间想象能力较差，难以下手；（2）不能正确利用条件中中点、垂直关系实施有效的转化．
III．理论基础·解题原理
考点　直线、平面平垂直的判定及其性质
定理
定理内容
符号表示
分析解决问题的常用方法
直线与平面
垂直的判定
一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直
在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直”
平面与平面
垂直的判定
一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直
（满足条件与垂直的平面有无数个）
判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”
直线与平面
垂直的性质
同垂直与一个平面的两条直线平行。
运用较少
平面与平面
垂直的性质
两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直
解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
在选择题中，主要考查空间直线、平面间的垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的垂直，主要出现在第1小题中．
【技能方法】
（1）证明线线垂直转化为证明线面垂直或面面垂直；
（2）证明线面垂直转化为证明线线垂直或面面垂直；
（3）证明面面垂直转化为证明线线垂直或线面垂直．
【易错指导】
（1）忽视定理的关键条件，如忽视直线与平面垂直的判定定理中，两条直线相交的条
件；
（2）胡乱推广平面几何的结论而用于证明空间问题；
（3）受定势思维的影响，凭直觉思维主观臆断而误导结论．
V．举一反三·触类旁通
考向1　空间直线与直线垂直
【例1】【2017四川省遂宁市联考】如图三棱柱中，侧面为菱形，
的中点为，且平面．
（1）证明： ；
（2）若， ，求三棱柱的高．
【答案】（1）见解析（2）
试题解析：（1）连接，则为与的交点，因为侧面为菱形，
所以．又平面，所以，
且故平面．由于平面，故．
（2）作，垂足为，连接．
作，垂足为．由于， ，
故平面，所以．又，所以平面，
因为，所以为等边三角形，又，
可得．由于，所以．
由，且，得．
又为的中点，所以点到平面的高为
故三棱柱的高为．
【点睛】证明线线垂直常见的有两种途径：（1）通过证明线面垂直达到目的，然而在实际证明过程中常常是转化为证明线面垂直后，又可转化为证明面面垂直或线线垂直；（2）利用三垂线定理证明．
【例2】．【2018临海市级联考】如图,在三棱柱中,
底面, 点D是AB的中点.
(Ⅰ) 求证; (Ⅱ) 求证平面.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
试题解析：(Ⅰ)∵三棱柱底面三边长
∴ 又∵底面∴.?
∵∴平面∴
(Ⅱ)设与的交点为， 连结
∵是的中点， 是的中点, ∴∥????????????????????????
∵平面， 平面∴∥平面.?
【例3】【遵义市2018届高三联考】如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形， .已知， .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若为上一点，记三棱锥的体积和四棱锥的体积分别为 和，当时，求的值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .
（Ⅱ）由条件可知： ，∴
∵，∴，∴
由（Ⅰ）知， 平面， 平面，
∴，∴平面，∴平面平面
过点作，交于，则平面，
∴，∴分别是三棱锥和四棱锥的高.
又，
由，得，所以
又由，同时， ，∴.
【跟踪练习】
1.【北京市朝阳区2018届高三期末】如图矩形中， .点在边上，
且， 沿直线向上折起成．记二面角的平面角为，当 时，
①存在某个位置，使；②存在某个位置，使；
③任意两个位置，直线和直线所成的角都不相等.
以上三个结论中正确的序号是
A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③
【答案】C
【 方法点睛】主要综合考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质、异面直线所成的角以及空间想象能力与抽象思维能力。
2.【2017昆明一中高考仿真】如图所示的三棱柱中，，
．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，，求三棱柱的体积．
【解析】（Ⅰ）证明：在图2中取的中点，连接，，
因为，所以，又因为， 所以．
因为，所以 平面， 而平面，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
因为，，所以，
因为，所以，
所以为等腰直角三角形，且，，
所以， 则平面，
故为三棱锥的高，则，
因为三棱柱与三棱锥同底等高，
所以其体积为．
3.【2017届四川省资阳市高三上学期期末】如图，矩形和等边三角形中， ，平面平面． 是线段上的一个动点．
（1）若，确定的位置，并说明理由；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）.
（2）由题，由（1）和三角形为等边三角形得为 的中点，∴为三棱锥的高，于是，又∵无论是上的何点， 到的距离不变，即为三角形底边的高，∴，∴．
4.【2017届云南省师范大学附属中学高考适应性月考（八）】如图，矩形（），被截去一角（即），， ，平面 平面， .
（1）求五棱锥的体积的最大值；
（2）在（1）的情况下，证明： .
【答案】（1）（2）见解析
过作，垂足为，因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 为五棱锥的高．在平面内， ， 在以为焦点，长轴长为的椭圆上，由椭圆的简单的几何性质知：点为短轴端点时， 到的距离最大，此时， ，（指出即可，未说明理由不扣分）
所以，所以．
考向2　空间直线与平面垂直
【例1】【2017武汉部分学校上期起点考】如图，四棱锥中，
，，△与△都是等边三角形．
（1）证明：平面；
（2）求四棱锥的体积．
（2）由（1）知为四棱锥的高．∵，，∴．又，，∴，∴．
【点睛】判断线面垂直在高考中用得最多的途径有两条：一是利用线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质．
【例2】【2018福建省厦门市高三质检】如图，四棱锥中，侧面底面， ， ， ， .
（1）求证： 平面；
（2）若三棱锥的体积为2，求的面积.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
（2）取中点，连接.∵，∴.
又∵平面，平面平面，
平面平面，∴平面.
∴为三棱锥的高，且.
又∵， ，∴.
∴，得.
，又∵平面且平面，
∴.∴.
【跟踪练习】
1.【2017福建泉州市高三5月质检】如图, 三棱锥中,, 平面平面,点分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）已知,求三棱锥的高.
（2）由（1）得平面,线段的长就是点到平面的距离．
又由平面得.
在中,,
故是边长为的等边三角形．
又为中点,．
又点为分别为棱的中点, 因此,且，
∴.
,
在中,, 设三棱锥的高为.则由得,故三棱锥的高为.
2．【2018辽宁省沈阳市联考】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，， ， 垂直于底面， ， 分别为棱的中点.
（1）求证： 平面；
（2）求截面的面积.
【答案】(1) 见解析；(2)
(2) 因为BC=3，M、N分别为棱PC、PB的中点，所以MN=且MN
因为，所以
由(1)知，所以四边形ANMD为直角梯形
因为AD=6，AN=3，所以截面ANMD的面积为
3．【2018黑龙江省哈尔滨市模拟】如图1，已知知矩形中，点是边上的点， 与相交于点,且，现将沿折起，如图2,点的位置记为，此时.
（1）求证： 面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析；（2）
（2）∵矩形中，点是边上的点， 与相交于点，且
∴， ， ∽
∴，∴， ，
∵，∴，∴
∴三棱锥的体积.
考向3　空间平面与平面垂直
【例1】【2017届陕西黄陵中学二模】如图，在四棱锥中，是等边三角形，侧面底面，其中，，，.
（Ⅰ）是上一点，求证：平面平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
∴，又因为 中，，在中，边上的高
，
，三棱锥的体积为.
【点睛】应用平面与平面垂直的判定定理的关键是在其中一个平面中寻找另一个平面的垂线，由线面垂直推出面面垂直．特别要注意直二面角在平面与平面垂直中的应用．
【例2】【2017安徽名校阶段性测试】如图所示，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C，D的点，AE＝3，圆O的直径CE＝9.
(1)求证：平面ABE⊥平面ADE；
(2)求五面体ABCDE的体积．
【答案】（1）见解析（2）
(2)连接AC，BD，设正方形ABCD的边长为a，则AC＝a，
又AC2＝CE2＋AE2＝90，∴a＝3，DE＝6，
∴VBADE＝BA·S△ADE＝×3×＝9.
又AB∥CD，CD?平面CDE，
∴点B到平面CDE的距离等于点A到平面CDE的距离，即AE，
∴VBCDE＝AE·S△CDE＝×3×＝9，
故VABCDE＝VBCDE＋VBADE＝18.
【跟踪练习】
1.【2017河南省天一大联考上期段测】如图，已知等边中，，分别为，边的中点，为的中点，为边上一点，且，将沿折到的位置，使平面平面.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）设，求三棱锥的体积.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，所以为三棱锥底面上的高.
根据正三角形的边长为4，知是边长为2的等边三角形，所以.
易知，.
又由（Ⅰ）知，所以，
所以，
所以．
2．【北京市昌平区2018届高三期末】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. E，M分别为线段AB，PD的中点.
（I）求证：PE⊥平面ABCD；
（II）求证：PB//平面ACM；
（III）在棱CD上是否存在点G，使平面GAM⊥平面ABCD，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
（II）证明：连接BD交AC于H点，连接MH，
因为四边形ABCD是菱形，所以点H为BD的中点.
又因为M为PD的中点，所以MH // BP.
又因为 BP 平面ACM, 平面ACM.所以 PB // 平面ACM.
（III）在棱CD上存在点G，G为CD的中点时，平面GAM⊥平面ABCD．
证明：连接．由（Ⅰ）得，PE⊥平面ABCD，
所以PE⊥CD，因为ABCD是菱形，∠ ABC＝60°，E为AB的中点，
所以是正三角形，EC⊥AB .因为CD // AB，所以EC⊥CD．
因为PE∩EC=E，所以CD⊥平面PEC，所以CD⊥PC．
因为M，G分别为PD，CD的中点，
所以MG//PC，所以CD⊥MG．
因为ABCD是菱形，∠ADC＝60°，所以是正三角形.
又因为G为CD的中点，所以CD⊥AG，
因为MG∩AG=G，所以CD⊥平面MAG，
因为平面ABCD，所以平面MAG⊥平面ABCD．
3.【2017届甘肃省兰州第一中学高三冲刺模拟】在四棱锥中，底面为平行四边形， ， ， ， 点在底面内的射影在线段上，且， ，M在线段上，且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）在线段AD上确定一点F，使得平面平面PAB，并求三棱锥的体
积．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ．
（Ⅱ）取是的中点，作交于点，则四边形为平行四边形，
，则.在中， ， 分别是， 的中点，
则，所以.因为平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
.V = .
4．【辽宁省沈阳市2017-2018高三月考】如图，已知在正四棱锥中， 为侧
棱的中点，连接相交于点。
（1）证明： ；
（2）证明： ；
（3）设,若质点从点沿平面与平面的表 面运动到点的最短路径恰好经过点，求正四棱锥 的体积。
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

(3) 如图，把△PAD与 △PCD沿PD展开成平面四边形PADC1
由题意可知A，M，C1三点共线， ∵△PAD≌△PCD, M为PD的中点，
∴AM=MC1，即M为AC1中点，∴平面四边形PADC1为平行四边形，
又PA= PC, ∴平面四边形PADC1为菱形， ∴正四棱锥的侧棱长为2
∵PO⊥AC，PO⊥BD，PO ⊥面ABCD，
∴PO为正四棱锥的高