2018高中数学（理）黄金100题系列第70题+圆方程及其应用

第70题 圆方程及其应用
I．题源探究·黄金母题
【例1】求以点为圆心，并且与直线相切的圆的方程．
【答案】
【解析】由圆心到切线的距离等于半径得：所求的圆的方程为．
【例2】求圆心在直线上，并且经过原点和点的圆的方程．
【答案】
【解析】设所求的圆的方程为．
由已知，得解此方程组，得
所求圆的方程为．
【例3】已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上，求圆心为的圆的标准方程．
【解析】因为，，
所以线段的中点的坐标为，
直线的斜率为，
因此线段的垂直平分线的方程是
，即，
解方程组，得，
即圆心坐标为，
圆的半径，
所以圆的标准方程为．
精彩解读
【试题来源】人教A版必修2P132A组T3．
【母题评析】本题考查直线和圆的位置关系、圆的方程的求法，考查考生的分析问题解决问题的能力．
【思路方法】结合圆的切线的性质和圆的标准方程解题．
【试题来源】人教A版必修2P144A组T2．
【试题来源】人教版A版必修2P120例3．
【母题评析】本题已知三个条件圆的标准方程，解答时根据利用直接法分别求出圆心的坐标与半径，具有较强的代表性，命题人常常以此为母题加以改造命制新的高考试题．
【思路方法】本题解答主要是利用直接法求圆的方程，即根据利用两条直径所在的直线首先求出圆心坐标，利用圆心到圆上的已知点求出圆的半径，进而求得圆的标准方程．
II．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考江苏13】在平面直角坐标系中，点在圆上，若，则点的横坐标的取值范围是 ▲ ．
【答案】．
【解析】设，则，
把代入，得，
点的横坐标的取值范围是．
【例2】【2016高考天津卷】已知圆的圆心在轴的正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的方程为___________．
【答案】
【解析】设圆心为，则由题意，得，解得，所以圆的半径为，故圆的方程为．
【例3】【2016浙江高考卷】已知，方程表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______．
【答案】；5．
【解析】由题意，得．当时方程为，即，圆心为，半径为5；当时方程为，不表示圆．
【例4】【2016高考陕西卷】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______．
【答案】
【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为，所以圆的标准方程为：．
【例5】【2015高考北京卷】圆心为且过原点的圆的方程是 （ 　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得圆的半径为，则圆的标准方程为，故选D．
【例6】【2015高考江苏卷】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为___________．
【答案】
【解析】由题意得：圆的半径，当且仅当时取等号，所以半径最大为，故所求的圆的方程为．
【命题意图】这类题主要考查圆的方程的求法、圆的方程的应用，以及逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想的应用、分类讨论思想的应用．
【考试方向】这类试题在考查题型上，既可以单独命题在选择题与填空题中考查，也可以出现在解答题一个小题中，涉及到知识难度中等．
【难点中心】求圆的标准方程主要有两种方法：（1）直接法，该法的难度是如何确定圆心与半径；（2）待定系数法，此法的难度是如何建立关于参数或的方程．有时面临两种方法都可以利用，此时的难点是选择何种方法较为简捷．
III．理论基础·解题原理
考点一　圆的标准方程
1．标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是．
特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：．
2．点与圆的位置关系：
（1）设点到圆心的距离为，圆半径为：
①点在圆内；②点在圆上；③．点在圆外；
（2）点与圆的位置关系：
①当，点在圆外；
②当=，点在圆上；
③当，点在圆内．
考点二　圆的一般方程
一般方程．
①当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为；
②当时，表示一个点；
③当时，方程不表示任何图形．
注：方程表示圆的充要条件是：且且．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题可单独命题在选择题与填空题中出现，也可以出现在解答题的第（1）题中．主要题型：（1）根据条件求圆的方程，难度中等；（2）根据圆的方程确定圆心与半径，难度较易．
【技能方法】
（1）直接法：就是根据条件直接分别求出圆心和半径；
（2）待定系数法：就是根据所给条件设出圆的标准式方程或一般式方程，然后根据条件通过建立方程组求得或．
（3）利用待定系数法时，要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般式．
【易错指导】
（1）若圆的方程确定圆心时，易错误确定圆心为；
（2）忽视二元二次方程表示圆的条件为，使问题的解决建立在纸上谈兵上；
（3）忽视圆方程中两个变量范围，往往会使问题造成多解．
V．举一反三·触类旁通
考向1　构成圆的方程的条件
【例1】【2018湖北省黄冈中学高三上第一次周测】点在圆上，则的值为　 （　　）
A．1　　　　B．　　　　C．1或　　　　D．2或
【答案】B
【易错提醒】对于含有参数的二次的方程是否表示一个圆，是须有条件限制的，即必须满足，且．
【跟踪练习】
1．【2018贵州遵义航天高级中学高三上学期第四次模拟】在直角坐标平面内，过定点的直线与过定点的直线相交于点，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵在平面内，过定点P的直线与过定点Q的直线相交与点M，∴P(0，1)，Q(?3，0)，∵过定点P的直线与过定点Q的直线垂直，∴M位于以PQ为直径的圆上，∵，∴，故选：D．
点睛：（1）当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
（2）在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
（3）在求直线方程时，如求与直线平行的直线方程可设为，与直线垂直的直线方程可设为，代入条件求出即可．
2．【2018武汉华中师大一附上期末】已知方程表示一个圆，则该圆的半径的取值范围横 ．
【答案】．
【解析】要使方程表示圆，则，即，整理得，解得，＝，∴．
考向2　圆的方程求法
【例2】【2018湖南永州模拟】已知的三个顶点的坐标分别为，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为　 （　　）
A．　　　B．　　　C．　　　 D．或
【答案】D
【方法归纳】求圆的方程主要有两种方法：（1）直接法：就是根据条件直接分别求出圆心和半径；（2）待定系数法：就是根据所给条件设出圆的标准式方程或一般式方程，然后根据条件通过建立方程组求得或．
【例3】【2018内蒙古包头市模拟】过三点的圆的方程为__________．
【答案】
【解析】设圆的方程为，其中，将坐标分别代入①，②，③，分别将①代入②，③得，，化简，所以，所以圆的方程是．
【例4】【2018江苏兴化楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校12月联考】经过点且圆心是直线与直线的交点的圆的标准方程为________．
【答案】
【跟踪练习】
1．【2018辽宁沈阳四校协作体高三联考】已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线
与圆相切，则圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设圆心坐标为C（a，0）（a＞0），由题意得， ，解得a=2．
∴圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4，即，故选：D．
2．【2018黑龙江大庆大庆十中、二中、二十三中、二十八中第一次联考】已知A(－4，－5)、B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程（ ）
A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29
C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116
【答案】B
【解析】由题可知，，则以线段为直径的圆的圆心为：即，半径为，故以线段为直径的圆的方程是，故答案选．
3．【2018云南玉溪质检】圆与直线及，都相切，圆心在直线上，则圆的方程为___________．
【答案】
【解析】设圆心坐标为，则有，解得，则，所以圆的方程为．
考向3　圆中的最值、范围问题
【例5】【2018山东省临沂模拟】已知点，，点是圆： 上的动点，则面积的最大值与最小值之差为___________．
【答案】
【方法点拨】求与圆相关的最值问题，通常利用两种方法：（1）将已知条件与所求问题充分展示在图形上，利用图形的直观性来解决；（2）根据条件得到关于某一个几何量的函数，通过求函数的最值来处理．
【跟踪练习】
1．【2018重庆巴蜀中学模拟】已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（　　　）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
【答案】D
【解析】由题意得的圆心为，半径为．因为圆心到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最大值为，又由，可得以为直径的圆与圆有交点，所以，故选D．
2．【2018安徽皖南八校高三第二次（12月）联考】已知直线平分圆的周长，且直线不经过第三象限，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆的标准方程为，故直线过圆的圆心，因为直线不经过第三象限，结合图象可知， ， ，故选A．
3．【2018陕西西安上学期质检】已知直线与圆交于不同的两点是坐标原点，且有，那么的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
4．【2018黑龙江海林朝鲜中学模拟】已知两点， （），若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】把圆的方程化为，以为直径的圆的方程为，若曲线上存在点，使得，则两圆有交点，所以，解得 ，选B．
5．【2018“超级全能生”26省9月联考】已知正的边长为，在平面中，动点满足是的中点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图，以A点为原点，建立坐标系， ，M(x，y)，由是的中点，可知，得，即点M轨迹满足圆的方程，圆心．所以，选A．

【点睛】圆上的动点与圆外一定点线段上的比例点的轨迹是圆．
考向4　与圆有关的轨迹问题
【例6】【2018宁夏银川一中上学期第四次月考】点是圆上的动点，点与点关于点）对称，则点的轨迹方程是___________．
【答案】
【方法点睛】动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点却随另一动点的运动而有规律的运动，且动点的轨迹为给定或容易求得，则可先将表示为的式子，再代入的轨迹方程，然而整理得的轨迹方程，代入法也称相关点法．一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法．
【跟踪练习】
1．【2018河北省冀州市中学高三上开学考试】动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（　　　）
A．　　　 　B．
C．　　　　 D．
【答案】C
【解析】设圆上动点，它与定点连线的中点，由中点坐标公式得，所以， 因为在圆满足：，把代入方程得，选C．
2．【2018河南高三12月联考】已知点， 是圆： 上任意一点，若线段的中点的轨迹方程为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D

考向5　关于特殊点与直线的对称问题
【例7】【2018吉林白城一中模拟】圆与圆关于直线对称，则圆的方程为___________．
【答案】
【解析】圆心关于直线对称的点为，所以圆C的方程为．
【方法点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．本题根据圆的图象的对称性，将圆上存在两点关于直线对称，转化为圆心在直线上是解题的关键．
【跟踪练习】
1．【2017成都市高中毕业班摸底】已知圆上存在两点关于直线对称，则实数___________．
【答案】
【解析】因为圆的圆心为，且圆上存在两点关于直线对称，所以直线过，即，解得．
2．【2018上海徐汇一模】已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是_____．
【答案】
【解析】因为O关于直线对称点为（-5，-5），所以圆的方程是
考向6　圆与其它知识的交汇
【例8】【2017江西新余一中上期开学考试】已知圆，在圆中任取一点，则点的横坐标小于的概率为 （　　）
A．　　　　B．　　　　C．　　　D．以上都不对
【答案】B
【例9】【2018宁夏六盘山模拟】若直线过圆的圆心，则的最小值是 　（　　）
A．8　　　　B．12　　　C．16　　　　D．20
【答案】C
【解析】圆的圆心在直线上，所以，即，代入得（当且仅当时等号成立），所以的最小值是，故选C．
【题型点睛】圆与其它知识的交汇主要涉及：（1）通过圆中相关线段对应的向量满足的条件与平面向量发生联系；（2）由于圆可以围成一定的区域，因此常常与几何概型发生联系；（3）圆的线段间的大小关系、多个参数之间的等量关系等形式均可能与不等式知识发生联系．
【跟踪练习】
1．【2018四川成都七中周练】已知圆，直线与圆相交于点，且，则弦的长度为___________．
【答案】
【解析】由题，则由余弦定理，所以．
2．设不等式组表示的平面区域为．若圆：不经过区域上的点，则的取值范围是 　（　　）
A．　　B．　　C．　　D．
【答案】D