2018高中数学（文）黄金100题系列第12题+函数的周期性与对称性

第12题 函数的周期性与对称性
I．题源探究·黄金母题
【例1】容易知道，正弦函数y=sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗?其坐标是?正弦曲线是轴对称图形吗?如果是，对称轴的方程是? 你能用已学过的正弦函数性质解释上述现象吗? 对于弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．
【解析】由周期函数的性质知，T=2π 所以对称中心为，正弦曲线是轴对称图形 同样由周期函数的性质知 其对称轴方程纬．对于余弦函数同样有类似的性质，因为cosA=sin(A+) 所以对称中心为，余弦曲线是轴对称图形 同样由周期函数的性质知 X=Kπ(K为整数) ．正切函数同样有类似的性质，对称中心为(kπ/2，0)(K为整数)但不是轴对称图形，而是中心对称图形．
精彩解读
【试题来源】人教版A版必修四第46页A组第11题
【母题评析】本题以正弦函数是奇函数为依据，让你去探索正弦函数有没有对称中心、对称轴，然后类比正弦函数，在去探索总结余弦函数、正切函数的对称性，此题的结论也是高考常考的知识点．
【思路方法】以旧探新是一种重要的学习、解题方法，这种类比推理思想是近几年高考试题常常采用的命题形式．
【例2】已知函数y＝f(x)的图象如图所示，试回答下列问题：（1）求函数的周期；（2）画出函数y＝f(x＋1)的图象；（3）你能写出函数y＝f(x)的解析式吗？
考点：函数的图象，函数解析式的求解及常用方法
【解析】（1）从图象得知，x从0变化到1，函数经历个周期，即，故函数的周期T=2；（2）函数y=f（x+1）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移1个单位得到，因为函数y=f（x）的图象过点（0，0）、点（1，1）所以y=f（x+1）的图象经过（-1，0）、点（0，1），再根据函数为周期函数画出图象：
当-1≤x＜0时，f（x）=-x，
当0≤x＜1时，f（x）=x； 当2n-1≤x＜2n时，f（x）=f（x-2n）=-（x-2n）=2n-x， 当2n≤x＜2n+1时，f（x）=f（x-2n）=x-2n，∴（n为整数）
点评：本题主要考查函数的图象的变换，及求函数的解析式，属于基础题．
【试题来源】人教版A版必修四第47页B组第3题
【母题评析】本题以y＝f(x)的图象为载体，考查函数周期的求法、函数图像的平移及由图定式（根据图像求解析式）问题，此类问题是高考常考的题型之一．
【思路方法】数形结合思想是高中数学中常用的解题思想之一，特别是在解决函数问题中起着举足轻重中的作用，因此，通常说“解决函数问题，数形结合你准备好了吗？”．
II．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考新课标I卷】已知函数，则 （ ）
A．在（0，2）单调递增
B．在（0，2）单调递减
C．y=的图像关于直线x=1对称 D．y=的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，C正确，D错误；又（），在上单调递增，在上单调递减，A，B错误，故选C．
【例2】【2017高考山东卷】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x-2)．若当 时，，则f(919)= ．
【答案】
【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知，是周期函数，且，所以 ．
【例3】【2017江苏高考14】设是定义在且周期为1的函数，在区间上， 其中集合，则方程的解的个数是 ▲ ．
【答案】8
【解析】解法一：由于则需考虑的情况，在此范围内，时，设 ，且 互质．若 ，则由 ，可设 ，且 互质．因此 ，则 ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此．因此 不可能与每个周期内对应的部分相等，
只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．
解法二：是有理数集，∴自变量，所对应的函数值都为有理数，且在函数上对应的空心点函数值也为有理数，令等于这些函数值与空心点函数值所求得在区间内皆为无理数，故 不能与函数上所对应的函数值及空心点函数值相交，故答案为8 个．
【例4】【2016年高考山东卷】已知函数f(x)的定义域为R．，当x<0时， ；当 时，；当 时， ．则f(6)= （ ）
（A）?2 （B）?1 （C）0 （D）2
【答案】D
【解析】当时，，所以当时，函数是周期为 的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，故选D．
【例5】【2016高考新课标1卷】已知
为的零点，为
图像的对称轴，且在单调，则
的最大值为( )
（A）11????????（B）9?????（C）7????????（D）5
【答案】B
【解析】因为为的零点，为图像的对称轴，所以，即
，所以，又因为在单调，所以，即，由此的最大值为9．故选B．
【例6】【2016高考浙江卷】设函数
，则的最小正周期（ ）
A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关
【答案】B
【解析】
，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B．
【例7】【2016高考江苏卷】设是定义在上且周
期为2的函数，在区间上，
(，若 ，则的值是 ．
【答案】
【解析】
，因此
【命题意图】本类题通常主要考查函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容．本题具备一定难度．解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．
【考试方向】这类试题包括确定函数周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称性进行图像变换，都是高考的热点及重点．常与函数的图象及其他性质交汇命题．题型多以选择题、填空题形式出现，函数的周期性、对称性常与函数的其他性质，如与单调性、奇偶性相结合求函数值或参数的取值范围．备考时应加强对这部分内容的训练．
【难点中心】对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查，主要考查学生的综合能力、创新能力、数形结合的能力．这就要求学生对函数的奇偶性、周期性、单调性三者之间的关系了如指掌，并能灵活运用．
分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么．函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上．解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值．
III．理论基础·解题原理
考点一 函数的周期性
1．周期性：对任意的，都有，则叫做函数的周期．
①若，周期；
②若（相反），周期；
③若()（互倒），周期；
④若()（反倒），周期；
⑤若，周期； ⑥若，周期．
考点二 函数的称性
1．一个函数的对称关系：若函数满足，则关于直线对称，若函数满足，则关于直线对称．
2．两个函数的对称关系：
函数与函数的图像关于直线对称；（巧记：相等求）
函数与函数的图像关于点对称；（巧记：相等求）
考点三 周期与对称的关系：
1．若的图像有两条对称轴和()，则为周期函数，为一个周期．（告知周期和其中一条对称轴，可以写出其他相邻的对称轴．）
2．若的图像有两个对称中心和 ()，则为周期函数，为一个周期．（告知周期和其中一个对称中心，可以写出其他相邻的对称中心．）
3．若的图像有一条对称轴和一个对称中心 ()，则为周期函数，为一个周期．
考点四、如何计算一般形式的周期和对称：
若()，则；（巧记：消去）
若，则的图像关于直线对称；（巧记：消去，相加除2）
若，则的图像关于点对称；（巧记：消去，相加除2）
若，则的图像关于点对称．（巧记：消去，相加除2，除2）
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题包括确定函数周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称性进行图像变换，都是高考的热点及重点．常与函数的图象及其他性质交汇命题．题型多以选择题、填空题形式出现，函数的周期性、对称性常与函数的其他性质，如与单调性、奇偶性相结合求函数值或参数的取值范围．备考时应加强对这部分内容的训练．
【技能方法】
解决此类问题一般会在周期上设置障碍，要通过周期的定义或有关结论算出已知函数的周期，再进行求值等相关运算，若是抽象函数，要求能够熟练运用赋值法．函数对称性、周期性的考察，往往以三角函数为载体，考察其周期、对称轴、对称中心的求解，此类问题一般会在解析式上设置障碍，要求先对解析式进行化简变形，变形的过程就考察了三角函数的有关公式，化简常常借助辅助角公式把原函数解析式化为单一函数．
【易错指导】
（1）如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的周期是；
如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的对称轴是．
V．举一反三·触类旁通
考向1 函数周期性
【例1】【2018届江苏常州横林高级中学月考】定义在上的函数满足: ，当时， ，则=________．
【答案】
【例2】设定义在上的函数满足，若，则．
【答案】
【例3】设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，
其中a，b∈R．若，则a＋3b的值为________．
【正解】因为f(x)的周期为2，所以，即．又因为
，所以．整理，得．①
又因为f(－1)＝f（1），所以，即b＝－2a． ②
将②代入①，得a＝2，b＝－4．所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10．
【跟踪练习】
1．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为(　　)
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数
【答案】D
【解析】由图象可知选D．
2．设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1，3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝__________．
【答案】－1
【解析】因为T＝2，则f(x)＝f(x＋2)，又f(－1)＝f(－1＋2)＝f（1），因为x∈[1，3)时，f(x)＝x－2，所以f(－1)＝f（1）＝1－2＝－1．
3．设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则 ．
【答案】1
【解析】．
考向2 周期性与奇偶性相结合
【例4】已知是上的奇函数，对都有成立，若，则等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．2013
【答案】A
【例5】【2016年高考四川卷】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则= ．
【答案】
【解析】因为函数是定义在上周期为2的奇函数，所以，，即，．
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把和，利用奇偶性与周期性化为上的函数值即可．
【跟踪练习】
已知定义在上的奇函数， 满足，则的值为__________．
【答案】0
【解析】∵是定义在上的奇函数，∴
又满足，∴的周期为2，∴．
考向2 对称性与单调性相结合
【例6】【2018河北衡水模拟】定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于（1，0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【例7】下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间上单调递增的是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D．
【解析】对于，函数是关于原点对称且在和上单调递减；对于，函数是关于轴对称且在上单调递减；对于，函数无对称性且在上单调递增；对于，函数是关于对称且在上单调递增；故选．
【跟踪练习】
1．【2018海南模拟】已知函数的图像上关于轴对称的点至少有对，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2．已知定义在R上的函数满足条件；①对任意的，都有；②对任意的；③函数的图象关于y轴对称．则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数的图象关于轴对称，得，又，
所以，，
，由题意，在上是增函数，所以．故选D
3．已知是定义在上的偶函数，且，若在上单调递减，则在上是 ( )
A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
【答案】D
考向3 周期性与命题的判断相结合
【例8】【2016高考上海卷】设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
．①和②均为真命题 ．①和②均为假命题
．①为真命题，②为假命题 ．①为假命题，②为真命题
【答案】D
【解析】①不成立，可举反例，，
②
前两式作差，可得，结合第三式，可得，
也有，∴②正确，故选D．
【名师点睛】本题主要考查抽象函数下函数的单调性与周期性，是高考常考知识内容．本题具备一定难度．解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等．
本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．
【跟踪练习】
1．【2018河北邯郸模拟】已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，，给出下列命题：①；②函数在定义域上是周期为2的函数；③直线与函数的图象有2个交点；④函数的值域为．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．①②③④
【答案】C
【综合点评】充分利用周期函数的定义将所求函数值的问题转化为已知区间的求值问题是解题关键．
2．已知实数，对于定义在上的函数，有下述命题：
①“是奇函数”的充要条件是“函数的图像关于点对称”；
②“是偶函数”的充要条件是“函数的图像关于直线对称”；
③“是的一个周期”的充要条件是“对任意的，都有”；
④ “函数与的图像关于轴对称”的充要条件是“”
其中正确命题的序号是
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】A
【解析】本题考查函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性，函数是奇函数的充要条件是函数的图象关于原点对称，而的图象关于原点对称与函数的图象关于点对称是等价的，故①正确，同理②也是正确的，那么本题只能选A了，对于③，我们知道函数满足“对任意的，都有”时，是周期为的周期函数，但反过来一一定成立，如满足“对任意的，都有”时，也是周期为的周期函数，③错误，而函数与函数的图象是关于直线对称，而还是轴，故④错误．
考向4 奇偶性、周期性与单调性
【例9】【2018海南模拟】已知函数关于直线对称，且周期为2，当时，，则（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】B
【解析】由题意可得，故选B．
【例10】【2018黑龙江大庆模拟】若偶函数对任意实数都有，且在上为单调递减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【跟踪练习】
1．【2018浙江联考】定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得函数的周期为2；由为偶函数且在上单调递增可得，函数在上单调递减．而，所以；因为，而，所以，因为，而，所以．
综上，即．故选C．
2．【2017安徽亳州二中质检】已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：
①对任意的，当时，都有；
②；
③是偶函数；
若， ， ，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
考向5 周期性、对称性与单调性
【例11】【2018呼伦贝尔模拟】已知函数满足，关于轴对称，当时，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵关于y轴对称，∴是以4为周期的周期函数，其图象的对称轴为，∵当时，，∴在区间是增函数；∴
，∵，且函数在区间上是增函数，∴，即，故选：A．
【跟踪练习】
1．【2018浙江宁波模拟】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设，则下列结论中正确的是（ ）
A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称
【答案】C
2．已知f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋2f（2），若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且f（1）＝2，则f(2011)等于(　　)
A．2 B．3 C．－2 D．－3
【答案】A
【解析】是偶函数，所以f（2）＝f(－2)，在f(x＋4)＝f(x)＋2f（2）中，令x＝－2得f（2）＝f(－2)＋2f（2），所以f（2）＝0，于是f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期等于4，于是f(2011)＝f(－1)＝f（1）＝2，故选A．
3．已知函数与的定义域为，有下列5个命题：
①若，则的图象自身关于直线轴对称；
②与的图象关于直线对称；
③函数与的图象关于轴对称；
④为奇函数，且图象关于直线对称，则周期为2；
⑤为偶函数， 为奇函数，且，则周期为2．
其中正确命题的序号是____________．
【答案】①②③④
对于③，设F(x)=f(x+2)，则f(2?x)=F(?x)，由于F(x)与F(?x)图象关于y轴对称，
所以函数y=f(x+2)与y=f(2?x)的图象关于y轴对称，得③正确；
对于④，因为f(x)图象关于直线对称，所以f(?x)=f(1+x)，
结合函数为奇函数，得f(?x)=?f(x)，故f(x+1)=?f(x)
由此可得f(x+2)=?f(x+1)=f(x)，得f(x)是周期为2的周期函数，故④正确；
对于⑤，f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且g(x)=f(x?1)，
则由于g(x)+g(?x)=0，得f(x?1)+f(?x?1)=0，
又因为f(?x?1)=f(x+1)，所以f(x?1)+f(x+1)=0，
由此可证出f(x+4)=f(x)，得f(x)是周期为4的周期函数，故⑤不正确
故答案为：①②③④
考向6 三角函数与对称性、周期性相结合
【例12】【2018湖北咸宁模拟】若函数的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，则＝________________；
【答案】3
【解析】∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2；∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，即，∴最小正周期T=π，∴ω=2，∴函数f（x）的解析式为：y=2sin（2x-）+1；
．
【例13】【2017江苏无锡模拟】将函数的图像向左平移个单位长度后，所得的图像关于轴对称，则的最小值是
【答案】
【解析】，所以向左平移个单位长度后变换为，由题意得因此的最小值是
【跟踪练习】
【2015高考天津卷文】已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为 ．
解法二：由在区间内单调递增可得，当时，
恒成立，由，可得，且，解得，又函数在区间内单调递增，且函数的图像关于直线对称，所以是的最大值，，由可得，
考向7 周期性、对称性与函数的零点、方程的根及函数图象的交点
【例14】【2018河南豫南九校之间】定义在上的函数，满足，且，若，则方程在区间上所有实根之和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
又∵关于(2，2)中心对称，故方程f(x)=g(x)在区间[?1，5]上的根就是函数y=f(x)和y=g(x)的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为，，，其中和关于(2，2)中心对称，∴+=4，=1，故+=5，故选C．
【例15】【2017湖南浏阳一中6月考】已知定义在上的偶函数满足：时，，且，若方程恰好有12个实数根，则实数的取值范围是 （ ）
A．(5，6) B．(6，8) C．(7，8) D．(10，12)
【答案】B
【解析】 时，， ，故 在[0，1]上单调递增，且 ，由 可知函数 是周期为2的周期函数，而函数 与 都是偶函数，画出它们的部分图象如图所示，根据偶函数的对称性可知，只需这两个函数在 有6个不同交点，显然 ，结合图象可得 ，即 ，故 ，故选B．
【例16】已知周期函数的定义域为，周期为2，且当时，．若直线与曲线恰有2个交点，则实数的所有可能取值构成的集合为(　　)
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】C
【综合点评】函数周期性的应用主要有两个方面，其一是求函数值，理论依据是周期性的定义，通过加减周期的整数倍，使得自变量变到适合已知解析式的范围内，进而求值；其二是利用周期函数图象重复出现的特征，先画出一个周期内的函数图象，然后依次向左向右平移周期的整数倍即得整个定义域内的函数图象．
【例17】【2016高考新课标II卷】已知函数满足，若函数与图像的交点为则（ ）
（A）0 （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选C．
【跟踪练习】
1．若f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，且f（2）＝0，则方程f(x)＝0在区间(0，6)内解的个数至少是(　　)
A．1 B．4 C．3 D．2
【答案】B
2．奇函数f(x)定义在R上，且对常数T＞0，恒有f(x＋T)＝f(x)，则在区间[0，2T]上，方程f(x)＝0根的个数至少有 (　　)
A．3个　　　 B．4个　　　 C．5个　　　 D．6个
【错解】由f(x)是R上的奇函数，得f(0)＝0x1＝0．再由f(x＋T)＝f(x)得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0x2＝T，x3＝2T．即在区间[0，2T]上，方程f(x)＝0根的个数最小值为3个．
【剖析】本题的抽象函数是奇函数与周期函数的交汇．即……①……②解时要把抽象性质用足，不仅要充分利用各个函数方程，还要注意方程①和②互动．
3．已知，方程在［0，1］内有且只有一个根，则在区间内根的个数为（ ）
A．2011 B．1006 C．2013 D．1007
【答案】C
4．函数是定义在上的偶函数，且满足，当时， ，若方程（）恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得周期为T=2，原方程可变形为，则为y=f(x)与y=a（x+1）（）曲线交点恰有三个．由图可知斜率k=a，选A．