2018高中数学（文）黄金100题系列第13题+函数的图像

第13题函数的图像
I．题源探究·黄金母题【例1】下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．【解析】图象（A）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象（B）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进． 精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第23页练习第2题【母题评析】本题考查了函数的表示法之一—图像法，意在培养学生的数形结合思想，也考察了学生的分析问题和解决问题的能力，同时告诉了学生生活之中处处有数学，数学来源于生活又应用与生活。【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。
【例2】函数的图象如图所示．（1）函数的定义域是什么？（2）函数的值域是什么？（3）取何值时，只有唯一的值与之对应？【解析】（1）函数的定义域是；（2）函数的值域是；（3）当，或时，只有唯一的值与之对应． 精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第25页习题1．2B组第1题【母题评析】本题以分段函数的图像为载体考察了函数定义域、值域的求法，加强学生对函数概念及函数三要素的理解，这对以后学习函数的性质有很大的帮助。【思路方法】函数图像解决函数问题是强有力的工具，因此培养学生的读图、识图能力很重要。
【例3】函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，．当时，写出函数的解析式，并作出函数的图象．【解析】图象如下 精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第25页习题1．2B组第3题【母题评析】本题是一道信息给予题，通过定义新函数，考查了学生对分段函数概念的理解及函数解析式的求法，同时培养学生阅读能力和理解能力。【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。
【例4】画出下列函数的图象，并根据图象说出函数的单调区间，以及在各单调区间上函数是增函数还是减函数．（1）；（2）．【解析】（1）函数在上递减；函数在上递增；（2）函数在上递增；函数在上递减． 精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第39页习题1．3A组第1题【母题评析】本题以画图的方式让学生去寻找函数的单调区间，培养学生的作图、读图、识图的能力，。【思路方法】利用函数图像求函数的单调区间是一种常用的方法，数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。
【例5】出函数及的图象，并且说明这两个函数的相同点和不同点，如右图所示．【解析】画出函数及的图象，如下图所示：相同点：图象都在轴的右侧，都过点不同点：的图象是上升的，的图象是下降的关系：和的图象是关于轴对称的． 精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第73页练习第1题【母题评析】本题以和的图像为载体，让同学们再次认识对数函数图像的异同，加强学生对对数函数图像的认识。【思路方法】利用图像解决函数的问题，形象直观，过程简练，语言简洁。
【例6】利用函数图像判断下列方程有没有根，有几个根：（1）-x2+3x+5=0；（2）2x(x-2)=-3；（3）x2=4x-4；（4）5x2+2x=3x2+5【解析】（1）令f(x)=-x2+3x+5，作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7（1）)，它与x轴有两个交点，所以方程-x2+3x+5=0有两个不相等的实数根．（2）2x(x-2)=-3可化为2x2-4x+3=0，令f(x)=2x2-4x+3，作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7（2）)，它与x轴没有交点，所以方程2x(x-2)=-3无实数根．（3）x2=4x-4可化为x2-4x+4=0，令f(x)=x2-4x+4，作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7（3）)，它与x轴只有一个交点(相切)，所以方程x2=4x-4有两个相等的实数根．（4）5x2+2x=3x2+5可化为2x2+2x-5=0，令f(x)=2x2+2x-5，作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7（4）)，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根． 精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第88页练习第1题【母题评析】本题以通过图像然学生去探究方程根的分布情况，意在培养学生的数形结合思想，同时也渗透了函数与方程思想。【思路方法】本题为研究方程根的分布指明了方向，即转化为判断函数图像与轴交点个数问题。
【例7】设函数，若，（1）求的解析式；（2）借助计算机或计算器，画出函数的图像；（3）求出函数的零点（精确度0．1）．【解析】（1）由题设有g(x)=2-［f(x)］2=2-(x2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2．（2）函数图象如下图所示．图3-1-2-10（3）由图象可知，函数g(x)分别在区间(-3，-2)和区间(-1，0)内各有一个零点．取区间(-3，-2)的中点x1=-2．5，用计算器可算得g(-2．5)=0．187 5．因为g(-3)·g(-2．5)<0，所以x0∈(-3，-2．5)．再取(-3，-2．5)的中点x2=-2．75，用计算器可算得g(-2．75)≈0．28．因为g(-3)·g(-2．75)<0，所以x0∈(-3，-2．75)．同理，可得x0∈(-2．875，-2．75)，x0∈(-2．812 5，-2．75)．由于|-2．75-(-2．812 5)|=0．062 5<0．1，所以原方程在区间(-3，-2)内的近似解可取为-2．812 5．同样可求得函数在区间(-1，0)内的零点约为-0．2．所以函数g(x)精确到0．1的零点约为-2．8或-0．2． 精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第93页习题3．1B组第3题【母题评析】本题是一道求复合函数解析式与函数零点相结合的问题，同时考查了如何利用零点分段法去求函数的零点。【思路方法】本题为研究函数的零点指明了方向，即转化为判断函数图像与轴交点个数问题。解决这类需要我们利用图象所提供的信息来分析解决问题的题目的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；
II．考场精彩·真题回放【例1】【2017高考新课标I卷】函数的部分图像大致为（）A． B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，排除D；当时，，排除A．故选C．【例2】【2017高考新课标III卷】函数的部分图像大致为（） A B C D【答案】D【解析】当时，，故排除A，C，当时，，故排除B，满足条件的只有D，故选D．【例3】【2017高考山东卷】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，单调递减，且，单调递增，且，此时有且仅有一个交点；当时，，在上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需，故选B．【例4】【2017高考北京卷】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________．②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________．【答案】；【解析】试题分析：作图可得中点纵坐标比中点纵坐标大，所以第一位选分别作关于原点的对称点，比较直线斜率，可得最大，所以选 【命题意图】识别辨析函数的图象，实质就是分析函数的性质，主要观察以下几点：①函数的定义域；②函数图象的最高点(最大值)和最低点(最小值)；③与坐标轴的交点（即或的点）；④图象的对称性(函数的奇偶性)；⑤函数图象在某段上的变化趋势(即函数的单调性)；⑥图象的变化规律(即函数的周期性)；⑦函数图象的凸凹性．【考试方向】高考试题的考查角度有两种：一种是给出函数解析式判断函数图象；一种是函数图象的应用．图象的判断以及函数图象的应用、数形结合的数学思想方法及利用函数图象研究函数性质、方程、不等式等问题仍将是高考的主要考查内容，备考时应加强针对性的训练．【难点中心】本类试题主要考查幂、指、对函数图像与性质、二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念．解答此类问题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式．这类题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等．这类题目一般比较灵活，对解题能力要求较高，故也是高考中的难点，解决这类问题的方法一般是利用间接法，即由函数性质排除不符合条件的选项．（1）运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向；（2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究．如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“”，即将函数值的大小转化自变量大小关系
III．理论基础·解题原理
考点一由式定图：即根据函数的解析式确定函数的图象
此类问题实质就是分析函数的性质，主要观察以下几点：
①函数的定义域；②函数图象的最高点(最大值)和最低点(最小值)；
③与坐标轴的交点（即或的点）；④图象的对称性(函数的奇偶性)；
⑤函数图象在某段上的变化趋势(即函数的单调性)；⑥图象的变化规律(即函数的周期性)；
⑦函数图象的凸凹性．
解决这类需要我们利用图象所提供的信息来分析解决问题的题目的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
考点二利用函数的图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数图象与x轴的交点的横坐标，方程的根就是函数与图象交点的横坐标．
考点三、函数图象变换
设函数，其它参数均为正数
（1）平移变换：
：的图像向左平移个单位；：的图像向右平移个单位
：的图像向上平移个单位；：的图像向下平移个单位
（2）对称变换：
：与的图像关于轴对称；：与的图像关于轴对称
：与的图像关于原点对称
（3）伸缩变换：
：图像纵坐标不变，横坐标变为原来的
：图像横坐标不变，纵坐标变为原来的
（4）翻折变换：
：即正半轴的图像不变，负半轴的原图像不要，换上与正半轴图像关于轴对称的图像
：即轴上方的图像不变，下方的图像沿轴对称的翻上去。
考点四二阶导函数与函数的凹凸性：
（1）无论函数单调增还是单调减，其图像均有3种情况，
若一个函数的增减图像为则称函数为下凸函数
若一个函数的增减图像为则称函数为上凸函数
（2）上凸函数特点：增区间增长速度越来越慢，减区间下降速度越来越快
下凸函数特点：增区间增长速度越来越快，减区间下降速度越来越慢
（3）与导数的关系：设的导函数为（即的二阶导函数），如图所示：增长速度受每一点切线斜率的变化情况的影响，下凸函数斜率随的增大而增大，即为增函数；上凸函数随的增大而减小，即为减函数；
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
高考试题的考查角度有两种：一种是给出函数解析式判断函数图象；一种是函数图象的应用．图象的判断以及函数图象的应用、数形结合的数学思想方法及利用函数图象研究函数性质、方程、不等式等问题仍将是高考的主要考查内容，备考时应加强针对性的训练．
【技能方法】
在处理有关判断正确图像的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找四个选项的不同，再结合函数的性质即可进行排除，常见的区分要素如下：
（1）单调性：导函数的符号决定原函数的单调性，导函数图像位于轴上方的区域表示原函数的单调增区间，位于轴下方的区域表示原函数的单调减区间
（2）函数零点周围的函数值符号：可通过带入零点附近的特殊点来进行区分
（3）极值点
（4）对称性（奇偶性）——易于判断，进而优先观察
（5）函数的凹凸性：导函数的单调性决定原函数的凹凸性，导函数增区间即为函数的下凸部分，减区间为函数的上凸部分。其单调性可由二阶导函数确定
【易错指导】
1。利用图像变换作图的步骤：
（1）寻找到模板函数（以此函数作为基础进行图像变换）
（2）找到所求函数与的联系
（3）根据联系制定变换策略，对图像进行变换。
例如：作图：
第一步寻找模板函数为：
第二步寻找联系：可得
第三步制定策略：由特点可得：先将图像向左平移一个单位，再将轴下方图像向上进行翻折，然后按照方案作图即可
2。如何制定图象变换的策略
（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：
①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换
②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换
例如：：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤
：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换
（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：
①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求
②横坐标的多次变换中，每次变换只有发生相应变化
例如：可有两种方案
方案一：先平移（向左平移1个单位），此时。再放缩（横坐标变为原来的），此时系数只是添给，即
方案二：先放缩（横坐标变为原来的），此时，再平移时，若平移个单位，则（只对加），可解得，故向左平移个单位
③纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行
例如：有两种方案
方案一：先放缩：，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即
方案二：先平移：，则再放缩时，若纵坐标变为原来的倍，那么，无论取何值，也无法达到，所以需要对前一步进行调整：平移个单位，再进行放缩即可（）
3、变换作图的技巧：
（1）图像变换时可抓住对称轴，零点，渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同方向的移动。先把握住这些关键要素的位置，有助于提高图像的精确性
（2）图像变换后要将一些关键点标出：如边界点，新的零点与极值点，与轴的交点等
V．举一反三·触类旁通
考向1 由式定图
【例1】【2018江西省级联考】函数的图象大致为（）
ABCD
【答案】A
【例2】【2018广西柳州上学期摸底测试】函数在上的图象的大致形状是（）
ABCD
【答案】A
【解析】，为奇函数，故图象关于原点对称，故排除C，当时，，故排除D，当时，，故排除B，故选A
【例3】【2018】函数的图像大致为（）
ABCD
【答案】D
【解析】，排除，，显然在上，，函数为递增，排除C，故选D．
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题．这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循．解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除．
【例4】【2018广西模拟】定义运算，则函数的图象是（）
ABCD
【答案】A
【跟踪练习】
1．【2018河南豫南九校第二次质量检测】函数的大致图象是（）
ABCD
【答案】C
【解析】，为奇函数，排除B；在上，当时，，排除A；时，，排除D，故选C
2．【2018广东珠海一中等六校第一次联考】函数的图象大致是（）
ABCD
【答案】D
3．【2018广西桂林模拟】函数的图象大致是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由条件知，函数为奇函数，有定义域得，排除C；当趋向于时，趋向于．当趋向于时，趋向于．排除Ｄ；当趋向于时，趋向于．故答案为B．
4．【2018河南郑州一中上学期入学考试】设曲线（）上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象要以为（）
A． B． C． D．
【答案】D
考向2 图像与函数零点、方程的根以及函数图象的交点相结合
【例5】【2018吉林长春一模】已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，作图如下：
四个交点分别关于对称，所以零点之和为，选D．
【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
【例6】【2018河南郑州一中上学期入学考试】设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【名师点睛】在处理函数的零点个数问题时，往往转化为判定两个函数的图象交点个数问题，一般利用数形结合思想进行处理；本题的难点在于判定四个解的关系及的取值范围．
【例7】【2017福建师大附中模拟】已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，满足，则在上的零点个数为（）
A．5 B．3 C．1或3 D．1
【答案】D
【解析】构造函数所以
因为所以
所以函数在时是增函数，
又所以当x成立，
因为对任意
，所以，
由于是奇函数，所以x＞0时即只有一个根就是0．
故选D．
【点睛】本题主要考查利用构造函数法判断函数零点的知识，合理的构造函数是解决问题的关键．
【例8】【2017云南昆明第二次统测】已知关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【例9】【2016高考山东卷】已知函数其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________．
【答案】
【解析】画出函数图象如下图所示：
由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，，解得。
【例10】【2016广东广州一模】已知函数则函数的零点个数为个．
【答案】
【例11】【2016年南昌模拟】已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是．
【答案】
【例12】已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．
【答案】．
【解析】
方法一：在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为与图象恰有四个交点．当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与仅两个交点，或．
方法二：显然，所以．令，则．因为，所以．结合图象可得或．
【例13】设函数f(x)＝(x>0)．
（1）作出函数f(x)的图象；
（2）当0（3）若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
【答案】（1） m＝4．（2）两个零点．（3） [2，4]．（4） {x|04}． (5) {m|0【解析】（1）∵f（4）＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4．
（2）∵f(x)＝x|m－x|＝x|4－x|＝
∴函数f(x)的图象如图：
由图象知f(x)有两个零点．
（3）从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为[2，4]．
（4）从图象上观察可知：不等式f(x)>0的解集为：{x|04}．
(5)由图象可知若y＝f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则0【跟踪练习】
1．【2018浙江名校协作体】已知函数则关于的方程的不同实根的个数为________．
【答案】4个
【解析】函数图像如图所示，，由图像
2．【2017宁夏石嘴山三中4月模拟】已知当，表示不超过的最大整数，称为取整函数，例如，若，且偶函数，则方程的所有解之和为__________．
【答案】
点睛: 本题主要考查函数奇偶性图象与性质，取整函数的图象，以及方程根的转化，考查数形结合思想，转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力．
3．【2017炎德英才大联考】若函数满足，当时，，若在区间上，方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】设，则，则，根据可得：，（），于是有，则函数图像如下图，
有，解得，此时切线斜率为，函数的图像与函数在区间上有两个不同的交点时，则有或，所以或．
【名师点睛】本题关键是根据及时，求出函数在区间上的解析式，然后画出分段函数的图像．于是将方程有两个不等的实根，转化为两个函数图像有两个不同的交点，通过数形结合的思想方法，方程的根转化为函数的零点或函数图像的交点，体现了转化思想的重要性．
4．【2017天津河西区二模】已知函数则函数的所有零点构成的集合为__________．
【答案】
【名师点睛】本题考查分段函数的零点问题及化归转化的思想＼分类整合思想＼分析问题解决问题的能力。求解时先从内函数的值的正负为分类标准进行分类，运用函数的对应思想和观念，分别建立对数方程和整式方程，通过分析求解方程使得问题获解。
5．【2017江苏苏锡常镇四市5月调研】已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】与相切时（正舍），与相切时，与不相切．由图可知实数的取值范围为
【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
6．【2017北京东城区5月模拟】已知函数．
①若有且只有个实根，则实数的取值范围是__________．
②若关于的方程有且只有个不同的实根，则实数的取值范闱是__________．
【答案】
【解析】函数图像如下图，
根据上图，若只有1个实根，则；
若将函数的图像向左平移T=2个单位时，如下图
【名师点睛】本题主要考查函数图像，理解函数并画出函数图像，然后将方程有且只有1个实根转化为两个函数图像有且只有一个交点，主要考查函数零点的划归与转化能力．另外本题考查函数图像平移，将方程有且只有个不同的实根，转化为平移后两个函数图像有且只有3个交点，考法新颖、创新性强，考查学生分析问题、解决问题的能力，重点考数形结合思想．
7．【2018辽宁庄河高级中学、沈阳二十中高三上学期第一次联考】已知函数将的图象向右平移两个单位，得到函数的图象．
（1）求函数的解析式；
（2）若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
（1）（2）设，则，原方程可化为，于是只须在上有且仅有一个实根．
法1：设，对称轴，则①．或②
由①得，即，．
由②得无解，则．
法2：由，，得，，设，则，．
记，则在上是单调函数，因为故要使题设成立，只须．即．从而．
考向3 图像与解析几何相结合
【例14】【2018辽宁鞍山一中一模】如图1所示，半径为1的半圆与等边三角形夹在两平行线之间，，与半圆相交于两点，与三角形两边相交于两点．设弧的长为，，若从平行移动到，则的图象大致是（）
A． B．C． D．
【答案】D
当时，，三角形OFG为正三角形，此时，在正三角形△AED中，AE=ED=DA=1，∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA (AE+AD)= ．如图。
又当时，图中．故当时，对应的点(x，y)在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确。故选D．
【例15】【2018贵州遵义航天中学一模】已知P是圆上异于坐标原点O的任意一点，直线OP的倾斜角为，若，则函数的大致图象是（）
A． B．C． D．
【答案】D
【名师点睛】（1）运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向．（2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究．如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系
【例16】【2017山西太原五中5月模拟】已知函数，如在区间上存在个不同的数，使得比值成立，则的取值集合是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为的几何意义为点)与原点的连线的斜率，
所以的几何意义为点与原点的连线有相同的斜率，
函数的图象，在区间上，与的交点个数有1个，2个或者3个，
故或，
即的取值集合是，故选：B．
【名师点睛】本题考查两函数的交点问题，通过分析信息得到的图象，在区间上，与的交点个数．确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象．方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理．恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解．注意利用数形结合的数学思想方法．
【跟踪练习】
1．【2017河北保定二模】若点的坐标满足，则点的轨迹大致是（）
A． B． C． D．
【答案】B
2．【2017辽宁部分重点中学作协体高三考前模拟】某观察者站在点观察练车场上匀速行驶的小车的运动情况，小车从点出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点开始随动点变化的视角为为角，练车时间为，则函数的图象大致为（）
A． B． C． D．
【答案】D
3．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，记椭圆的离心率为，则函数的大致图象是（）
【答案】A
【解析】由题意得，椭圆中，离心率，因为在直线上移动，所以，当时，，所以，排除B、C选项；当时，，所以，排除D选项，过作直线的对称点，则此时，此时有最小值，对应的离心率有最大值，故选A．
考向4 由图定式
【例17】【2018河北石家庄二中八月模拟】已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【名师点睛】识图常用的方法
（1）定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
（2）定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
（3）函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
【例18】【2018吉林松原模拟】若函数的图象如图所示，则的范围为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】试题分析：显然为奇函数，图像关于原点对称，因为在单调递增，在单调递增，所以当时，，即，
解得．
【例19】【2017福建模拟】如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为(　　)
A．B．C．D．
【答案】A
【跟踪练习】
1．【2017武汉汉阳一中第五次模拟】已知函数，则其导函数fˊ(x)的图象大致是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，是偶函数，排除A，B，又，排除D，故选C．
2．【2016届江西省新余市二模】如图，长方形的长，宽，线段的长度为1，端点在长方形的四边上滑动，当沿长方形的四边滑动一周时，线段的中点所形成的轨迹为，记的周长与围成的面积数值的差为，则函数的图象大致为（）
【答案】C
3．函数（其中）的图象不可能是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：当时，图象为B．当时，若，当且仅当时，等号成立，即函数有最小值，故A选项正确．当时，若，在为增函数，故D选项正确．所以图象不可能为C．
考向5图像的对称性
【例20】【2018江西新余一中二模】已知为奇函数，与图像关于对称，若，则（）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】B
【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的平移变换、放缩变换以及函数的对称性，属于难题题．函数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序．本题是利用函数的平移变换、放缩变换后根据对称性解答的．
【例21】【2017安徽阜阳第二次质量检测】已知方程，有且仅有四个解，则__________．
【答案】
【解析】由图可知，且时，与只有一个交点，令，则由，再由，不难得到当时与只有一个交点，即，因此
【名师点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质．
（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．
【例22】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【跟踪练习】
1．【2017吉林梅河口市五中一模】已知函数，，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是__________．
【答案】
2．【2017湖南浏阳一中6月模拟】已知定义在上的偶函数满足：时，，且，若方程恰好有12个实数根，则实数的取值范围是（）
A．(5，6) B．(6，8) C．(7，8) D．(10，12)
【答案】B
【解析】时，，，故在[0，1]上单调递增，且，由可知函数是周期为2的周期函数，而函数与都是偶函数，画出它们的部分图象如图所示，根据偶函数的对称性可知，只需这两个函数在有6个不同交点，
显然，结合图象可得，即，故．
本题选择B选项．
3．【2016高考新课标II】已知函数满足，若函数与
图像的交点为则
（）
（A）0 （B）（C）（D）
【答案】C
4．【2016湖北咸宁】已知函数f(x)=()x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称，令h(x)=g(1-|x|)，则关于h(x)有下列命题：
①h(x)的图象关于原点对称；②h(x)为偶函数；③h(x)的最小值为0；④h(x)在(0，1)上为减函数．
其中正确命题的序号为 _________．(将你认为正确的命题的序号都填上)
【答案】②③
【解析】g(x)= x，∴h(x)= (1-|x|)，∴h(x)=
得函数h(x)的大致图象如图，故正确命题序号为②③．
考向6 图像的与不等式恒成立相结合
【例23】【2018上海交通大学附属中学上学期开学测试】已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】根据题意，函数的图象如图，令，其图象与x轴相交于点，在区间上我减函数，在上为增函数，若不等式在上恒成立，则函数的图象在上的上方或相交，则必有，即，可得．
【例24】【2017湖南长沙模拟】已知定义在上的函数为增函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
，与题设矛盾，故答案B不正确；若，则，故，所以，与题设矛盾，故答案C不正确；应选答案D。
【例25】【2016·南通期末】设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】[－1，＋∞)
【解析】如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图像，观察图像可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
【跟踪练习】
1．【2017江苏苏州模拟】已知函数若f(3－2a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为函数是单调递减函数，所以原不等式等价于
2．【2017四川成都模拟】已知函数若恒成立，则取值范围为__________．
【答案】[-2，0]
【解析】由题意可作出函数图象，和函数的图象，
【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及导数的几何意义，属于难题．函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
3．【2017湖南岳阳高三质量检测】已知函数，若恒成立，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【名师点睛】解答本题的关键是借助数形结合的思想，先画出不等式中两边所表示的函数的图像，运用动静结合的思想数形结合，探究出参数（斜率）的取值范围，从而使得问题获解。
考向7 图像的与立体几何相结合
【例26】【2018浙江杭州模拟】如图，P是正方体ABCD—A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是( )
【答案】A
在三角形PAO中
画出其图象，如图所示，A正确．
【例27】【2017江西南昌二中高二下第一次阶段性测试】如图，已知正方体的棱长为1，动点在此正方体的表面上运动，且，记点的轨迹的长度为，则函数的图像可能是
A． B． C． D．
【答案】B
【名师点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，解题的关键是认识到的轨迹为以为球心，为半径的球面与正方体的交线，定性分析“交线”的长度变化规律即以面所在对角线的长度，体所在对角线的长度为临界值。
【跟踪练习】
1．【2017浙江杭州高级中学高三2月模拟】如图，点在正方体的表面上运动，且到直线与直线的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点的轨迹在展开图中的形状是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
2．【2018甘肃张掖模拟】如图所示，已知二面角的平面角为，为垂足，且，，设到棱的距离分别为，当变化时，点的轨迹是下列图形中的（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
在平面内过作，垂足为，连结，，同理，，即，又的轨迹是双曲线在第一象限内的部分，故选D．