2018高中数学（文）黄金100题系列第14题+二次函数

第14题二次函数
I．题源探究·黄金母题
【例1】已知函数=，=（）．
求，的单调区间；
求，的最小值．
【解析】（1）由题知，=，=，当＜1时，＜0，当＞1时，＞0，
当时，＞0，
∴的单调减区间为，单调增区间为（1，+∞）；的单调增区间为[2，4]．
（2）由（1）知，当时，==-1；
当=2时，==0．
精彩解读
【试题来源】人教版A版必修1第39页B组第1题
【母题评析】本题主要考查利用二次函数的图象研究二次函数的单调性和最值．高考中的许多最值问题最值都可以转化为二次函数在某个区间上的最值问题，故本题是一个典型的二次函数问题．
【思路方法】二次函数问题，常常借助其图象研究函数的单调性、对称性、在某个区间上的值域，借助图象解对应的一元二次不等式和根的分布问题．
II．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考山东文数】已知命题p：；命题q：若，则aA． B． C． D．
【答案】B
【解析】由时成立知p是真命题，由可知q是假命题，∴是真命题，故选B．
【例2】【2017浙江卷】若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M – m（）
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
【答案】B
【解析】因为最值在中取，∴最值之差一定与无关，选B．
【例3】【2016高考新课标II】已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x) 图象的交点为（x1，y1），(x2，y2)，…，（xm，ym），则（）
(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m
【答案】B
【解析】都关于对称，∴它们交点也关于对称，当为偶数时，其和为，当为奇数时，其和为，故选B．
【命题意图】本类题通常主要考查以二次函数为载体考查函数图象、对称性、单调性及最值．．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，往往与函数的定义域、值域、单调性、最值、方程解或函数零点的个数、解不等式性质等数学知识结合，难度为容易题题、中档题、也有有难题．
【难点中心】若题目为关于某个函数的二次函数单调性、值域、最值或零点个数问题或可化为关某个函数的方程解得个数问题，通常用换元法，转化为一元二次函数或一元二次方程在某个范围上的问题，利用一元二次函数的图象与性质求解，注意新变量的取值范围，对含参数的一元二次函数的最值问题，注意分类讨论结合图象处理．
III．理论基础·解题原理
考点一二次函数的概念与表示
1．概念：形如：函数叫二次函数；
2．表达形式有：
（1）一般式：．
（2）顶点式：若为抛物线的顶点坐标．，
（3）截距式：设为抛物线与轴交点的横坐标，则．．
考点二二次函数图象与性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
对称性
函数的图象关于x＝－对称
考点三二次函数图象与性质的应用
1．一元二次方程的实根分布
，是一元二次方程=0的根，设=．
根的分布
充要条件
充要条件1
充要条件2
，∈(，+∞)
＞且＞
，∈(-∞，)
＜且＜
＜＜
＜＜
＜＜＜
＜＜＜
对一元二次方程根的分别问题，结合对应函数的图象，考虑对称轴、判别式、端点函数值．．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，往往与分段函数、复合函、方程、不等式等数学知识结合考查函数的值域、零点个数或方程解得个数，难度为中档或中档以上．
【技能方法】
解决此类问题通过分类整合结合化为分段函数，结合函数图象与性质解题，转化化归思想、分类整合思想、数形结合思想是解题的法宝．
【易错指导】
（1）对二次项系数含参数的问题，要分二次项系数大于0小于0两类，结合对应图象处理；
（2）对可化为含参数的二次函数在某个区间上的最值问题，要根据对称轴在区间左、中、右分类结合图象求解；
（3）在用换元法化为二次函数或二次方程问题时，注意新变量的取值范围．
（4）对一元二次方程根的分别问题，结合对应函数的图象，考虑对称轴、判别式、端点函数值．
V．举一反三·触类旁通
考向1二次函数概念与表示
【例1】【福建三明一中模拟】如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论:①；②当时，；③；④当秒时，∽；⑤当的面积为时，时间的值是或；其中正确的结论是（）
A．①⑤B．②⑤C．②③D．②④
【答案】D
【解析】根据图（2）可得，
当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度分别是1cm/秒、2cm/秒，∴BC=BE=10，∴AD=BC=10．
又∵从M到N的变化是4，∴ED=4，∴AE=AD?ED=10?4=6．∵AD∥BC，∴∠EBQ=∠AEB，
∴，故③错误；如图1，过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，∴∠EBQ=∠AEB，∴，∴PF=PBsin∠EBQ=t，
∴当0如图3，当t=6秒时，点P在BE上，点Q静止于点C处．
在△ABE与△PQB中，AE=BP，∠EBQ=∠AEB，BE=BC，∴△ABE≌△PQB(SAS)．故②正确；
如图4，当时，点P在CD上，∴，
，∴，∴，∵∠A=∠Q=90°，∴△ABE∽△QBP，
故④正确．由②知，，当y=4时，，从而，故⑤错误．故选D．
【例2】【2017江西上饶一模】已知正方形的面积为2，点在边上，则的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
点睛：平面几何中有关于向量的运算常用到的几何法和坐标法两种方法，几何法在应用时主要是借助于向量的平行四边形法则与三角形法则实现向量的转化进而结合平面几何图形的性质求解，坐标法的应用首先要建立合适的坐标系，确定相关点的坐标，进而将所求的向量转化为数量问题求解，如本题中的向量的数量积转化为二次函数求最小值问题．
【跟踪练习】
1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
【答案】B
2．【2018江苏省南通模拟】已知二次函数为偶函数且图象经过原点，其导函数的图象过点．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，其中m为常数，求函数的最小值．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）利用待定系数法依题意可设，根据该函数为偶函数可得，根据导函数的图象过点，可得；（2）由（1）可得：根据二次函数的性质分为，和三种情形判断其单调性得其最值．
试题解析：（1）因为二次函数经过原点，可设，又因为为偶函数，所以对任意实数，都有，即，所以对任意实数都成立，故．所以，，又因为导函数的图象过点，所以，解得．所以．
（2）据题意，，即
①若，即，当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为．
②若，即，当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增，故的最小值为．
③若，即，当时，，故在上单调递减，在上单调递增；当时，，故在上单调递增，故的最小值为．
综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为．
考向2二次函数图象与性质（奇偶性、单调性、对称性等）
【例3】【2018山西45校第一次联考】函数 (且)与函数在同一坐标系内的图象可能是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的指数函数、二次函数的图象与性质，属于中档题．这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循．解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除．
【例4】【2017河北武邑中学二模】已知函数，其中．若函数的最大值记为，则的最小值为（）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】，设，即，对称轴，所以函数的最大值是，，，解得，当时，当时，，所以当时函数取得最小值，所以最小值是，故选D．
【例5】【2018江苏如皋联考】已知函数，，则函数的最大值是__________．
【答案】
【解析】由二次函数的对称轴方程为且图象开口向上知，当时函数有最大值，故填．
【例6】【2017天津十二重点中学联考】若函数是偶函数，则的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知，为偶函数，则，解得，即，时，，故选C．
【跟踪练习】
1．【2017山东日照二模】函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为（）
A． B．C． D．
【答案】D
2．已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是定义在上的奇函数，当时，，
∴，∴，
由解得或；由解得，
∴函数的零点的集合为，故选D．
3．已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为．
【答案】
【解析】据题意解得．
4．【2016高考浙江卷】已知函数f（x）=x2+bx，则“b<0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
当时，的最小值为，∴“”能推出“的最小值与的最小值相等”；
当时，的最小值为0，的最小值也为0，∴“的最小值与的最小值相等”不能推出“”．故选A．
5．【2016高考山东卷】已知函数其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________．
【答案】
【解析】画出函数图象如下图所示：
由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图象在深蓝色图象的下方，即，解得
考向3 与二次函数有关的零点及方程个数问题
【例7】【2017安徽合肥一模】已知函数，．方程有六个不同的实数解，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【例8】【2017重庆巴蜀中学模拟】若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【例9】【2016高考天津文数】已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________．
【解析】由函数在R上单调递减得，解得，又方程恰有两个不相等的实数解，∴，因此的取值范围是
【跟踪练习】
1．【2017南京、盐城二模】若函数f(x)＝x2－mcosx＋m2＋3m－8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为_______．
【答案】{2}
2．【2015高考天津卷】已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是( )
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】由得，
∴，
即
，∴恰有4个零点等价于方程
有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知．
3．已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_______
【答案】
【解析】
4．已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．
【答案】．
【解析】方法一：在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为与图象恰有四个交点．当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与仅两个交点，或．
考向4 二次函数零点（一元二次方程根）的分布问题
【例10】【2017河北衡水中学模拟】已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
，而，所以直线过C取最大值，过B点取最小值，的取值范围是，选A．
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，【例11】【2018浙江“七彩阳光”联盟上学期期初联考】设关于的方程和得实根分别为和，若，则的取值范围是__________．
【答案】．
【解析】由得，由得．在同一个坐标系中画出和的图象．由，化简得，此方程显然有根，所以，解得或或，当，或时，；当时，，由题意可知，．目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．
【跟踪练习】
1．若一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0的两根都是负数，则k的取值范围为________．
【答案】(－∞，－]∪(3，＋∞)
【解析】依题意可知解得k≤－或k>3．
2．一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0有一个正根和一个负根，则k的取值范围为________．
【答案】(0，3)
【解析】依题意有<0?03．已知方程x2－11x＋m－2＝0的两实根都大于1，则m的取值范围为________．
【答案】12解得124．已知方程x2＋2mx＋2m2－3＝0有一根大于2，另一根比2小，则m的取值范围为________．
【答案】－1－【解析】由题意得，应满足f（2）<0，即2m2＋4m＋1<0，解得：－1－5．若方程x2＋(k＋2)x－k＝0的两实根均在区间(－1，1)内，则k的取值范围为________．
【答案】－4＋2≤k<－
【解析】由题意得，应满足解得：－4＋2≤k<－．
6．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则k的取值范围为________．
【答案】7．【2017浙江名校协作体】已知．
（1）当时，若恰好存在两个实数使得，求实数的取值范围；
（2）若，函数在上不单调，且它的图象与轴相切，记，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）有两个解，由图象可知有两个不等的根且无根，所以总判别式，解不等式可解．（2）由题意可得，，对称轴在内，解得，由，得，令可求得范围．
试题解析：可得方程有两个不等的根且无根，所以可得
（2）由，函数在上不单调，且它的图象与轴相切，可得
即，由得，令，且
考向5 含参数的二次函数问题
【例12】【2018江西九江模拟】若，函数与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围为（）
A．（0，4] B．（0，8） C．（2，5） D．
【答案】B
当m＞0时，若﹣=≥0，即0＜m≤4时结论显然成立；若﹣=＜0，时只要△=4（4﹣m）2﹣8m=4（m﹣8）（m﹣2）＜0即可，即4＜m＜8，则0＜m＜8．故选B．
点睛：抓住最高次项的系数m，m＜0时，在y轴右侧恒小于零，m＞0时，在y轴右侧恒大于零，从而把问题转化为二次函数值在y轴一侧恒大于零或恒小于零的问题，充分借助二次函数的图象特征，问题将迎刃而解．
【例13】【2018浙江名校协作体】的值域为，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由值域为，可知取遍上的所有实数，当时，能取遍上的所有实数，只需定义域满足，当时，要保证能取遍上的所有实数，只需，解得，所以，选D．
【点睛】本题要注意定义域是R，与值域是为的两个题型的区别，
值域为，可知取遍上的所有实数，
定义域是R，是恒成立．
【例14】【2018甘肃兰州西北师范大学附属中学高三调研】已知函数
（1）求在区间的最小值的表达式；
（2）设，任意，存在，使，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）的取值范围是
试题解析：（1）当时，
当时，
当时，
（2）函数的定义域为，
令，则
令，则或，可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以对任意的，有，由条件知存在，使，
所以，即存在，使得
分离参数即得到在时有解，由于（）为减函数，故其最小值为，
从而，所以实数的取值范围是．
【例15】【2017湖北沙市中学、恩施高中、郧阳中学高一下学期阶段性联考】若不等式的解集为，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【跟踪练习】
1．【2017浙江台州高三4月调研】已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，恒成立，在恒成立，只需满足，故选A．
【点睛】本题考查了在给定区间二次函数恒成立的问题，结合二次函数的图象，列不等式组，得到结果，一般包含判别式大于0，对称轴的位置，以及端点值的范围这几个不等式，但可以根据实际情况，删减不等式．
2．【2018河南洛阳模拟】已知函数在上是单调函数，求实数的取值范围为．
【答案】或．
3．【2015高考湖北卷】a为实数，函数在区间上的最大值记为．当_________时，的值最小．
【答案】．
【解析】因为函数，∴分以下几种情况对其进行讨论：①当时，函数
在区间上单调递增，∴；②当时，此时
，，而，∴；③当
时，在区间上递增，在上递减．当时，取得最
大值；④当时，在区间上递增，当时，取得最
大值，则在上递减，上递增，即当
时，的值最小．故应填．
4．【2018贵州思南中学模拟】已知函数．
（1）若，求函数在上的最小值；
（2）若函数在上是单调函数，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】试题分析：（1），对称轴为，所以当时，取得最小值；
（2）函数在上是单调函数，等价于对称轴在区间两侧，即或，解得或．
试题解析：
（1）由二次函数图象性质可知，当时，取得最小值．
（2）函数在区间上是单调函数，函数的对称轴不在区间内．即或或，故的取值范围为．
考向6 与二次函数有关的复合函数问题
【例16】函数的最小值为_________．
【答案】
【例17】【2018浙江省名校协作体联考】已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是___．
【答案】
【解析】当时，f(x)=2x+1，f[f(x)]=4x+3不满足大于等于0恒成立，不符．
当时，，令所以一定有负值，不满足大于等于0恒成立不符．
当时，，令所以对称轴为，所以f(t)在单调递增，即即可，解得，填
【例18】【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研】设函数
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
试题解析：（1）．
（2），为偶函数，，
故函数在单调递减，在单调递增，
①当，即时，在区间单调递减，
．
②当时，在区间单调递增，．
③当时，在区间单调递减，在区间单调递增，
．综上：．
（3）为偶函数，在单调递减，在单调递增
．
，
所以不等式的解集为．
【跟踪练习】
1．已知函数，记是在区间上的最大值．
证明：当时，；
（2）当，满足，求的最大值．
（2）由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为．．
2．【2017湖北浠水模拟】已知二次函数对任意实数，都有恒成立．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求的表达式；
（Ⅲ）在题（Ⅱ）的条件下设，若图象上的点都位于直线的上方，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．
【解析】试题分析：（1）令即可得解；
（2）由，求得，即，再由二次不等式恒成立的条件为>0，判别式非正，即可得到，c，进而得到解析式；（3）由题意知在上恒成立，即在上恒成立，结合二次函数判别式求解即可．
对任意实数，都有，即为恒成立，
则有，化简得，
所以，
所以，经检验，符合题意．
（Ⅲ）由题意知在上恒成立，即在上恒成立，即．
（ⅰ）由，即，解得；
（ⅱ）由，解得，综上可知，．
法2：由题意知在上恒成立．
（ⅰ）当时，成立；
（ⅱ）当时，在上恒成立，又当时，（当且仅当时取得最小值），所以，解得．
点集：解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，f(x)≥a恒成立，只需即可；恒成立，只需即可．
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解．